Khai thác và mở rộng bài toán chứng minh trong hình học lớp 8

Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải toán hình học, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và trong đề tài này tôi xin trình bày việc hướng dẫn học sinh “ Khai thác và mở rộng bài toán chứng minh trong hình học lớp 8 ”

Môn/nhóm môn: Toán

Tổ bộ môn: Khoa học Tự nhiên Người thực hiện:

Điện thoại: ……….

Email: ………

., năm 2022

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

- Mục tiêu của dạy học toán học trong cuộc sống là:

+ Trang bị cho học sinh những kiến thức về toán học

+ Rèn luyện kỹ năng toán học

+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh đồng thời hình thành và phát triểnnhân cách cho học sinh

- Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS, trên cơ

sở nắm vững mục tiêu của dạy học bộ môn tôi nhận thấy rằng việc phát triển tưduy toán học cho học sinh nói chung và nhất là đối tượng khá giỏi thì việc hìnhthành kĩ năng giải các bài tập toán là rất quan trọng Để làm được như vậy giáoviên cần giúp học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả các bài tập cơ bản, xâuchuỗi các bài toán để học sinh khắc sâu kiến thức tạo lối mòn, tô đậm mạch kiếnthức, suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới từ những bài toán ban đầu

- Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thườngxuyên, vẫn còn trong giáo viên chúng ta chưa có thói quen khai thác một bàitoán, một chuỗi bài toán liên quan, hay chí ít là tập hợp những bài toán có một

số đặc điểm tương tự (về kiến thức, hình vẽ hay về yêu cầu …) Trong giải toánnếu chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán, lâu dần làm cho họcsinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học, không có thói quen suynghĩ theo kiểu đặt câu hỏi, liệu có bài nào tương tự mà ta đã gặp rồi? Cho nênkhi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết bắt đầu từ đâu? Cần vậndụng kiến thức nào? Bài toán liên quan đến những bài toán nào đã gặp mà có thểvận dụng hay tương tự ở đây?

- Trong quá trình dạy học hay bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng việc tìmtòi mở rộng các bài toán quen thuộc thành bài toán mới tìm các cách giải khácnhau cho một bài toán để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một hướngđem lại nhiều điều hiệu quả cho việc dạy học Quá trình này bắt đầu từ các bàitoán đơn giản đến bài toán khó dần là bước đi phù hợp để rèn luyện kỹ năng cácthao tác trong lập luận về phân tích, trình bày lời giải góp phần rèn luyện nănglực tư duy cho học sinh

- Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải toánhình học, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và trong đề tài này tôi xin trình bày

việc hướng dẫn học sinh “ Khai thác và mở rộng bài toán chứng minh trong hình học lớp 8 ”

2 Mục đích nghiên cứu

- Để giúp học sinh có cái nhìn tổng thể về mối quan hệ của một số bài toán hình

học từ đơn giản đến phức tạp, các bài toán lạ được chuyển đổi từ một bài toángốc đơn giản mà học sinh có thể giải được, để mỗi học sinh có thể tự làm, tựtrình bày một bài giải toán khó và hay, từ đó phát triển kỹ năng giải toán của họcsinh Rèn cho học sinh khả năng phân tích, dự đoán và xâu chuỗi kiến thức.Khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tưduy linh hoạt, nhạy bén khi trình bày giải bài toán Tạo được lòng say mê, hứngthú khi giải toán hình học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Từ một bài toán sách giáo khoa toán 8 tập 1, tập 2 giáo viên hướng dẫn học

sinh hình thành phương pháp giải tổng quát, để vận dụng giải các bài tập khó vàhay khác có sử dụng kết quả của bài toán gốc và kết quả của những bài toántrước

- Kết hợp các kiến thức đã học tìm thêm một số yêu cầu mới cho đề bài

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

- Học sinh các lớp 8A, 8B và 8C trường THCS ……… các năm học trước

- Các bài toán chứng minh, tính toán trong hình học ở SGK toán tập 1, tập

2, SBT toán tập 1, tập 2

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tình hình học tập của học sinh

- Cách hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các tiết dạy trênlớp, các giờ bồi dưỡng HSG, phụ đạo học sinh yếu

- Học hỏi kinh nghiệm thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Nói chuyện cởi mở với học sinh, tìm hiểu suy nghĩ của các em về chứngminh và trình bày bài toán chứng minh hình học

- Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của họcsinh từ đầu năm học đến cuối năm học của các năm học trước

PHẦN II: NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

- Những năm gần đây, chương trình sách giáo khoa có nhiều thay đổi, đặcbiệt là việc giảm tải, thay đổi khung phân phối chương trình đồng nghĩa với việcthay đổi cách nhìn, cách học, cách dạy của thầy và trò

- Trước tình hình đó môn toán cũng không nằm ngoài xu hướng đó Để dạy

và học tốt hình học, nhất là hình học lớp 8 Nội dung kiến thức tương đối nhiều

và khó, đòi hỏi cả thầy và trò phải nỗ lực nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu một cáchsâu sắc

- Việc áp dụng và xâu chuỗi kiến thức hình học đối với học sinh là còn khákhó khăn, đòi hỏi giáo viên phải có những dạng bài tập phát triển từ một bàitoán gốc, để học sinh có thể từ từ tiếp cận với các dạng bài tập khó, bằng cáchđưa các bài tập xâu chuỗi kiến thức trong chương trình toán 8

2 Thực trạng

- Sau khi nhận lớp và dạy một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản vềkhả năng làm bài hình các phần thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao thì tôithấy:

HS

Học sinh làm phầnthông hiểu

Số học sinh làmphần vận dụng thấp

Số học sinh làmphần vận dụng cao

3 Phát triển bài toán

Khai thác bài toán đơn giản trong sách bài tập toán 8 ở mức độ trung bình

và nâng dần độ khó sao cho phù hợp với nhiều đối tượng kể cả học sinh khágiỏi, bằng cách:

- Thay đổi, thêm bớt giả thiết, kết luận

- Tương tự hóa

- Khái quát hóa.

- Lật ngược vấn đề

- Đặc biệt hóa

- Khai thác nhiều cách giải

- Tìm tòi hướng chứng minh khác…

Ngoài ra đề tài còn là kết quả của quá trình thu thập xử lí tài liệu và một số

đề thi qua các đợt khảo sát hay kiểm tra giữa kỳ, cuối kỳ theo đề của phònggiáo dục hoặc sở giáo dục qua các năm Tham khảo ý kiến đồng nghiệp

Bài 1: Bài 84 trang 109 SGK:

Cho tam giác ABC, D là điểm

c) Nếu tam giác ABC vuông

tại A thì tứ giác AEDF là hình

gì? Điểm D ở vị trí nào trên

(Đây cũng là bài toán đơn lẻ, mặc dù có 3 phần nhưng cũng chỉ là thay đổi

dữ liệu để học sinh vận dụng chứng minh tứ giác đặc biệt)

Hướng dẫn:

a) Học sinh chứng minh được tứ giác AEDF là hình bình hành vì có các cạnhđối song song

b) Theo phần a tứ giác AEDF là hình bình hành, để là hình thoi thì có thêm AD

là phân giác góc A, như vậy điểm D là giao của phân giác góc A với BC hay AD

Bài toán này gợi cho chúng ta một số cách khai thác và mở rộng theo hướng:

Tam giác ABC thường thì tứ giác AEDF là hình bình hành, nếu là tam giácvuông tại A thì tứ giác AEDF là hình chữ nhật, nếu là tam giác cân tại A thì sao?

Ta có bài toán sau:

Bài 1.1: Cho tam giác ABC cân tại A, D là điểm nằm giữa B và C Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F Chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành?

(Học sinh chứng minh được)

Nếu tam giác ABC cân tại A nhưng D lại là trung điểm của BC thì tứ giácADEF là hình gì?

Bài 1.2: Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ

tự ở E và F Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi?

E F

nên AEDF là hình thoi

Nếu kết hợp với góc A vuông thì tứ giác AEDF là hình gì?

Ta có bài toán :

Bài 1.3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của BC Qua D

kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông ?

F E

C B

A

D

Học sinh sẽ pháthiện ra:

Làm như trên đượcAEDF là hình thoi

có thêm góc Avuông nên là hìnhvuông

Vẫn từ bài 1 ta thấy I là trung điểm của EF thì A, I, D thẳng hàng, ta có bàitoán sau:

Bài 1.4: Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E

và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh A, I, D thẳng hàng.

b) Theo tính chất hìnhbình hành: hai đườngchéo cắt nhau tại trungđiểm mỗi đường nên I

là trung điểm của ADhay A, I, D thẳnghàng

(Qua bài này học sinh phát hiện ra I là trung điểm của AD)

Ta thấy rằng nếu từ D không kẻ song song với AB, AC mà kẻ vuông góc với haicạnh đó thì hai đoạn thẳng nối từ trung điểm của AD đến E, F bằng nhau, ta có bài toán

Bài 1.5: Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C Qua D kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E

và F Gọi I là trung điểm của AD Chứng minh IE = IF

1 2 1 2

Sau khi chứng minh được IE = IF ta lại phát hiện ra góc DIE có số đo gấp đôi số

đo góc DAE, từ đó có thể chứng minh được góc EIF bằng 2 lần góc BAC Từ đó

Tam giác AIE, AIF cân

 2 

DIE DAC (góc ngoài

tam giác)

 2 

DIF  DAB (góc ngoàitam giác)

Suy ra: EIF  2.BAC

Nhận thấy rằng nếu biết góc BAC ta có thể tính được góc EIF, nếu tam giácABC đều thì góc EIF bằng bao nhiêu? Từ đó kết hợp các bài khai thác ở trên ta

có bài toán tổng hợp sau:

Bài 1.7: (Bài hình trong đề kiểm tra học kì I năm học 2019 – 2020)

Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, kẻ MD song song với AC(D thuộc AB), kẻ ME song song với AB (E thuộc AC)

K E D

C B

A

M

a) ME MD/ // /AD AE

 tứ giác ADME là hìnhbình hành

b) Theo tính chất đường chéo hìnhbình hành thì A, O, M thẳng hàng.c) Làm như bài 1 6

 2  2.60 0 120 0

EOI  BAC 

Khi học sinh thông thạo chứng minh một tứ giác là hình bình hành, hình chữnhật, hình thoi, hình vuông Ta có thể khai thác các bài toán trên dựa vào haiđiểm đối xứng qua 1 điểm, từ đó ta có bài toán:

Bài 1 8: (Bài hình trong đề khảo sát chất lượng học kì I năm học 2020 - 2021 của sở GD Vĩnh Phúc)

Tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC Từ M

kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

b) Gọi N là điểm đối xứng với M qua E, O là giao điểm của AM và DE Chứngminh ba điểm B, O, N thẳng hàng.

c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCN là hình thang cân

Hướng dẫn:

O

N E

NCB ABC  ACB ABC  ACB 30 ;0 ABC 600

Bài 2: Xuất phát từ bài 18 trang 121 Sgk toán 8 tập 1:

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: S AMB = S AMC

M

A

Bài toán trên học sinh chứng minh được bằng cách phát hiện hai tam giác này

có cùng chiều cao và hai cạnh đáy có độ dài bằng nhau

Chúng ta giải được bài toán sau:

Bài 2.1: ABC vuông tại A, AM là trung tuyến Gọi P, Q là hình chiếu của M

trên AC, AB Chứng minh rằng: SAQMP = 1

2 SABC

Hướng dẫn:

M B

Bài 2.3: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, E là trung điểm của

AC Chứng minh: S AMB S BEA

Hướng dẫn:

Tương tự bài 2 chứng minh được

AMB ABC BEA ABC AMB BEA

Ta thấy nếu M di chuyển trên BC, E di chuyển trên AC thì sao, ta có bài toán:

Bài 2.4: Cho tam giác ABC, lấy M trên BC sao cho 1

3

CM  BC , lấy E trên ACsao cho 1

E A

Ta có thể so sánh diện tích tam giác AEM và diện tích tam giác BEC Ta có

bài toán:

Bài 2.5: Cho tam giác ABC, lấy M trên BC sao cho 1

3

CM  BC , lấy E trên ACsao cho 1

4

CE AC Chứng minh:S AEM S BEC

C M

E A

ABC AMC AME AME

AME BEC ABC BEC

Bài 3: (Trích bài 20 Sách bài tập trang 87 tập 2):

Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20 cm, BC = 28cm Đường phân giác góc Acắt BC tại D Qua D kẻ DE // AB (E AC) Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC và

Phân tích tìm lời giải:

Ta có thể hướng dẫn HS tìm lời giải như sau:

Để tính được BD; DC ta có thể vận dụng trực tiếp định lí nào? (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

Để tính được DE ta cần sử dụng định lí hay hệ quả của định lí nào? (Hệ quả của định lí ta lét)

Ta cần biết được tỉ số: DE

AB ; để biết được tỉ số đó ta lại cần tính CD BD Tỉ sốnày ta tìm được khi tính được BD, CD Vậy ta tính DB và DC trước

Lời giải vắn tắt:

Xét tam giác ABC có:

AD là tia phân giác góc A,

Ở bài toán trên rõ ràng nêu: tam giác ABC vuông thì ta có bài toán mới

tương tự mà không cần sử dụng cạnh thứ 3 Ta có bài toán sau

Bài 3.1:

Cho tam giác ABC (A 90 0) AD là phân giác góc A, AB= 21cm, AC= 28cm

Kẻ DE// AB (E thuộc AC) Tính DB ; DC ; DE ?

Ta có hình vẽ như sau :

D

A

C B

Với việc giải bài toán gốc vừa xong thì bài toán này học sinh sẽ tìm ra cáchgiải

C AC , thì liệu khi đó AD có phải là phân giác của góc A.

Ta cùng nghiên cứu bài toán tiếp theo:

Bài 3.2: ( Bài toán này được đưa ra khi học đủ các trường hợp đồng dạng của

hai tam giác thường, hai tam giác vuông )

Cho tam giác

D B

A

C

Phân tích bài toán:

Để chứng minh được AD là phân giác ta chứng minh góc nào bằng góc nào?( Ta có thể chứng minh góc  

( Ta chứng minh chúng là 2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng.)

Rõ ràng ban đầu chưa có cặp tam giác nào đồng dạng, nên để có cặp tam giác đồng dạng ta phải làm gì?

( Ta phải kẻ thêm đường phụ)

Vậy kẻ như thế nào để vận dụng được: D

Hay AD là phân giác của A

2 1

“ Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy, và ngược lại nếu có 1 điểm nằm trên cạnh của 1 tam giác và chia cạnh đó ra thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy thì đoạn thẳng nối điểm ấy với đỉnh đối diện là đường phân giác ”

Nhận xét 3

Nhận thấy ở bài toán gốc 1 không quan tâm tới số đo và nếu để ý thì ta đã có khi DE// AB theo Talet ta có: DE EC DE AB

AB AC  EC AC (1), Mặt khác nếu ta để ý khi DE//AB ta có  

1 1

A D ( 2 góc so le trong) dẫn đến tam giác ADE

luôn cân tại E, Suy ra DE= AE (2) Từ (1)(2) ta có : AE AB

E

D B

4 Kết quả thu được qua khảo nghiệm thực tế.

- Học sinh đã có thái độ học tập tích cực, thích thú hơn trong tiết học hìnhhọc Chủ động nêu lên những thắc mắc, khó khăn khi gặp bài tập lạ với giáoviên, các em hưởng ứng rất nhiệt tình Bên cạnh đó các bài tập hình học mà giáoviên giao về nhà đã được các em làm một cách nghiêm túc, tự giác học bài Tuynhiên một số em vẫn còn mắc sai lầm ở cách trình bày

- Kết quả thông qua cách dạy khai thác và mở rộng bài toán hình học: Cuối

kì I sau khi kiểm tra học kì I, kết quả thu được:

Lớp Số

HS

Học sinh làm phầnthông hiểu

Số học sinh làmphần vận dụng thấp

Số học sinh làmphần vận dụng cao

Rất mong được sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp!

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa, Sách giáo viên, SBT toán 8 tập 1,2 - Phan Đức chính, Tôn Thân

2 Phương pháp dạy học ở trường phổ thông - Hoàng Chúng

3 Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán THCS - Tôn Thân

4 Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1, 2 - Vũ Hữu Bình

5 Cẩm nang vẽ thêm đường phụ trong giải toán hình học phẳng - Nguyễn Đức Tấn

6 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS hình học - Trần Văn Tấn, Nguyễn Thị Thanh Thủy