Nội dung chính của bài viết Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius trình bày một số lời giải hình học đơn giản. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Trang 1KHOẢNG CÁCH GIỮA TÂM ĐƯỜNG TRÒN EULER VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS
Trịnh Xuân Minh – Macau
TÓM TẮT
Như tiêu đề đã nêu, phần này giới thiệu với bạn đọc về hệ thức liên hệ giữa tâm hai đường tròn tiếp xúc trong và ngoài với ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác Cách chứng minh của tác giả đã lâu (2009) và tương đối cồng kềnh nên hy vọng sau bài viết này có thể có một lời giải hình học đơn giản hơn dành cho nó Để cho ngắn gọn và đỡ phức tạp, những điều đã biết hoặc cơ bản xin không chứng minh ở đây, thay vào đó người viết sẽ chú thích nguồn để bạn đọc tiện tham khảo
Cho4ABC và những ký hiệu tương ứng sau:
S là diện tích 4ABC
p là nửa chu vi 4ABC
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC
r là bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC
M ˛M; ˇM M/ nếu ˛M !
MAC ˇM !
MB M !
M C D E0 Trước tiên chúng ta nhắc lại một số định lý và hệ thức cơ bản sau:
Định lý Euler.Trong một tam giác, chân ba đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler
Hình 1 Đường tròn Euler
Trang 2˛X 5 D a cos.B C /:
Định lý Feuerbach.Trong một tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc đồng thời với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp
Hình 2 Định lý Feuerbach
Định lý trên được công bố năm 1822 bởi nhà hình học người Đức, Karl Wihelm Feuerbach (1800-1834)
Đường tròn Apollonius.Đường tròn tiếp xúc trong với cả ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác gọi là đường tròn Apollonius của tam giác đó
Trang 3Hình 3 Đường tròn Apollonius
Đường tròn Apollonius có bán kính là p2C r2
4r và có tâm Kimberling X970 với ˛.X970 / D R.p2 r2/a cos A a2S:
Một số hệ thức cơ bản
4:1/ S D abc
4R D pr D p a/ra
4:2/ a2C b2C c2 D 2p2 2r2 8Rr
4:3/ a cos AC b cos B C c cos C D 2S
R 4:4/ cos2AC cos2BC cos2C D 3 a
2
C b2C c2 4R2 D 3 p
2 r2 4Rr 2R2
4:5/ ab cos C C bc cos A C ca cos B D .a
2
C b2C c2/
2 D p2 r2 4Rr 4:6/ a cos B cos C C b cos C cos A C c cos A cos B D S
R 4:7/ MA2 D .ˇMc/
2
Mb/2C 2bcˇM Mcos A ˛M C ˇM M/2
4:8/ ˛M C ˇM M/M S2D ˛MAS2C ˇMBS2 MCS2
˛MˇMc2C ˇM Ma2 M˛Mb2
˛M C ˇM M
Đường tròn Euler và đường tròn Apollonius gây sự chú ý đặc biệt với bản thân tôi bởi tính chất tiếp xúc của chúng với ba đường tròn bàng tiếp trong một tam giác Cũng vì đó mà tôi từng nghĩ đến sự tồn tại của một hệ thức đẹp liên hệ giữa chúng, và quả đúng như vậy
Định lý.Gọi E; RE/ và E0; RE 0/ lần lượt là đường tròn Euler và đường tròn Apollonius của 4ABC Khi đó EE02D RE C RE 0/2
1 r
RE
Chứng minh.Ta có ˛E 0 D R p2 r2a cos A a2S
Áp dụng 4.2 và 4.3
X
cycli c
˛E 0 D R p2 r2 X
cycli c
a cos A S X
cycli c
a2
D R p2 r2 2S
R S 2p2 2r2 8Rr
D 8RrS 1/
Trang 4Kết quả trên cũng có được một cách gián tiếp thông qua việc xét quan hệ vị trí giữa E với các điểm đặc biệt khác trên đường thẳng Euler (trọng tâm, trực tâm, tâm đường đường tròn ngoại tiếp )
Như vậy,
4˛E 0 AE2 D R2C 2bc cos AR p2
r2a cos A a2S
DR3
p2 r2
8RS2a cos A C 8R2
S p2 r2 cos2
A R2S a2
Áp dụng 4.2, 4.3 và 4.4 ta có
4 X
cycli c
˛E 0 AE2 DR3
p2 r2 8RS2 X
cycli c
a cos A
C8R2S p2 r2 X
cycli c
cos2A R2S X
cycli c
a2
DR3
p2 r2 8RS2 2S
R C 8R2S p2 r2
3 p
2 r2 4Rr 2R2
R2S 2p2 2r2 8Rr
D 26R2S p2 r2 16S3 2S p2 r2 4Rr2 p2
r2 C R2
D 26R2S p2 r2
16S3 4S p2 r22
2S p2 r2 R2 8Rr C 8R3rS
D 4S p2 r22C 8RS.3R C 2r/ p2 r2 16S3C 8R3rS
Suy ra,
X
cycli c
˛E 0 AE2 D S p2 r22
C 2RS.3R C 2r/ p2 r2
4S3C 2R3rS 2/
Lại có
˛E 0ˇE 0c2 D c2R p2
r2a cos A a2SR p2
r2b cos B b2S
D 4R3S p2 r22
c cos A cos B 4R2S2 p2 r2.bc cos A C ca cos B/ C 16R2
S4
Áp dụng 4.5 và 4.6
X
cycli c
˛E0 ˇE0 c2 D 4R3S.p2 r2/2 X
cycli c
c cos A cos B 8R2S2.p2 r2/
X
cycli c
ab cos C C 48R2S4
D 4R3S.p2 r2/2 S
R 8R
2
S2.p2 r2/.p2 r2 4Rr/C 48R2S4
D 4R2S2 p2 r22C 32R3rS2 p2 r2 C 48R2
S4 3/
Sau cùng ta áp dụng (1), (2) và (3) vào 4.8 với M E0và S E ta thu được
8RrS EE02D
S p2 r22C 2RS.3R C 2r/ p2 r2 4S3C 2R3rSC
4R2S2 p2 r22
32R3rS2 p2 r2
48R2S4 8RrS
D S p2 r22
C 2RS.3R C 2r/ p2 r2
4S3C 2R3rSC
pRh p2 r22 8Rr p2 r2 12S2i
2 Suy ra,
Trang 5EE02D .R 2r/ p
2 r22 16Rr2 C 4RS RC 2r/ p
2 r2 16RrS C 4S r R
3 3p2R 2p2r 16RrS
D .R 2r/ p
2 r22
C 4Rr.R C 2r/ p2 r2 16Rr2 C R
3 3p2R 2p2r 4R
D R
2
4
Rr
2 C Rr
4 C p
2R 4r
4p2
8 Cp
2
8
8r2
16 C r
2
16 C p
4
16r2
p4 8Rr
p2r 4R
r3 8R
D R
2
4
1 2r
R
C R p
2
C r2 4r
p2C r2
2 C p
2
C r2 4r
2
p2C r22
8Rr D
"
R
2 C p
2C r2 4r
#2
1 2r R
D RE C RE 0/2
1 r
RE
điều phải chứng minh:
Tài liệu tham khảo
[1] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line