sáng kiến kinh nghiệm toán học thcs

Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến: - Trước khi áp dụng sáng kiến " Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9” tôi thườ

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: “Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng

Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 05/09/2020 đến ngày 7/5/2021

4 Tác giả:

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

A Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Toán học là một môn khoa học rất quan trọng trong tất cả các lĩnh vực.Trong bất kì hoàn cảnh nào chúng ta cũng không thể thiếu kiến thức về Toán.Nghiên cứu về Toán cũng là nghiên cứu một phần của thế giới

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng, tínhlogíc cao Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp Giáo dục và Đào tạocũng đổi mới không ngừng Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 đãđược Hội nghị trung ương 8 (khoá XI) thông qua, đề ra quan điểm chỉ đạo vềđổi mới căn bản toàn diện Giáo dục và Đào tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệphoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủnghĩa

Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiệncho các em học sinh học tốt các môn học khác

Với phân môn Hình học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khảnăng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Đặc biệt là rèn luyện cho học sinh khá, giỏi nâng cao được năng lực tư duy,tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài toán Vì vậy bộ mônHình học càng có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khôngđơn thuần chỉ cung cấp cho các em học sinh một số kiến thức cơ bản thông quaviệc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rènluyện khả năng sáng tạo, khả năng nghiên cứu sâu bài toán, khả năng biết sửdụng kết quả những bài toán đã làm được để giải quyết các bài toán khác Với

bộ môn Hình học việc rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và phán đoánlôgíc là rất quan trọng Một trong những nội dung khó của phân môn Hình họclớp 9 đó là các bài toán liên quan đến các đường đặc biệt Đây là dạng toánthường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh

Trong các đường thẳng đặc biệt đó thì đường thẳng Simson có nhiềuứng dụng không chỉ trong việc giải toán mà còn giúp giáo viên và học sinhsáng tạo trong việc ra đề bài theo mức độ khó dễ khác nhau, giúp nâng caonăng lực tư duy cho học sinh không chỉ ở cấp THCS mà còn ở các cấp họccao hơn

Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tế, đặc biệt là qua nhiều năm làmcông tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh tiếp cận các bài toándạng này chưa hiệu quả, thiếu định hướng Chính vì các lí do đó, tôi chọn đề

2

tài “Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9” để nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khái niệm, các tính chấthình học của đường thẳng Simson Ứng dụng đường thẳng Simson vào giảiquyết các bài tập hình học lớp 9

Thông qua việc nghiên cứu để góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quảdạy và học môn hình học trong nhà trường, nâng cao hơn nữa chất lượng bồidưỡng học sinh giỏi

B Mô tả giải pháp kỹ thuật:

I Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến:

- Trước khi áp dụng sáng kiến " Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9” tôi thường chỉ chú

trọng cho học sinh giải các bài tập một cách đơn lẻ, chưa có nhiều sự liên hệgiữa các bài tập với nhau

- Chưa quan tâm nhiều đến những đường đặc biệt trong hình vẽ, chưa tạo rađược nhiều tình huống có vấn đề, chưa tạo ra được nhiều hứng thú trong họctập cho học sinh

II Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi có sáng kiến:

1 Giải pháp thực hiện:

- Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến đường thẳng

Simson

- Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát, dự đoán tiếp cận lời giải

- Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản, vận dụngnhững kết quả đã chứng minh được vào giải quyết các vấn đề có liên quan

3 Tổ chức thực hiện:

3.1 Đường thẳng Simson:

Bài toán 1 Cho ∆AB

C

nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm tuỳ ý trênđường trong (O) Gọi D, E, F lần lượt là hìnhchiếu của điểm M trên BC, AC, AB Chứng minh rằng: Ba điểm D, E, F thẳng hàng

A

O E D

Dó đó tứ giác BFMD nội tiếp đường tròn

Xét đường tròn ngoại tiếp

Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn

* Đường thẳng đi qua 3 điểm D, E, F gọi

là đường thẳng Simson của

∆

A B C

ứng với điểm M.

* Vấn đề đặt ra là:

A

O E

D

F

Ta

có

M

MD ⊥ BC; ME ⊥

AC; MF ⊥ AB (gt)

Suy ra

BF

Suy

raB

M F

Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC

Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn.

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDEC có

cùng chắn CE ED C và EMC là 2 góc nội tiếp

Xét tứ giác AEMF có AEM + AFM = 900 + 900 = 1800

Do đó tứ giác AEMF nội tiếp đường tròn

Suy ra A + EMF = 1800

Mà BMC =

EMF

(cmt)

Suy ra A + BMC = 1800

Suy ra tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn

Suy ra M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ đó ta có bài toán 2 như sau:

Bài toán 2 Cho ∆ABC , M là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác

ABC Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB và D, E, Fthẳng hàng Chứng minh điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

Từ hai bài toán trên ta có kết quả:

Cho tam giác ABC , M là điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác

và không trùng với các đỉnh của tam giác Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên ba cạnh của tam giác ABC Điều kiện cần và đủ để

điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3 điểm

thẳng hàng.

D, E, F

Nhưvậy vớimỗiđiểm M

ta cómộtđườngthẳngSimsonđối vớitamgiác

ABC

- Ở bài toán 1: Trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì đ ư ờ n g t h ẳ n g S i m s o n c ủ

a

∆

A B C

ứng với điểm M có gì đặc biệt?

Trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì AM là đường kính

của đường tròn (O) và điểm M thuộc đường tròn (O)

Áp dụng hệ quả góc nội tiếp ta có ABM = 900; ACM =

900

Suy

ra MB ⊥ AB; MC ⊥ AC

Suy ra E trùng với B; F trùng với C

Khi đó 3 điểm D, E, F cùng nằm trên đường thẳng BC

Vậy trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì đường thẳng

Simson của

∆ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng BC

Tương tự trong trường hợp điểm M đối xứng với B qua O thì đường

thẳng Simson của

∆ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng AC.

Trong trường hợp điểm M đối xứng với C qua O thì đường thẳng Simsoncủa ∆AB

C

ứng với điểm M trùng với đường thẳng AB

- Ở bài toán 1: Trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A và ∆ AB

C

vuông tại A thì đường thẳng Simson của ∆ ABC

ứng với điểm M và tâm của đường tròn ngoại tiếp

Trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A và

Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm D, E, F thẳng hàng

Vậy trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A

và

∆ ABC vuông tại A thì đường thẳng Simson của ∆ AB

C

ứng với điểm M

đi qua tâm của đường trong ngoại tiếp ∆ABC

3.2 Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải các bài toán hình học lớp 9

a Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng

O E

F D G

Bài 3.2.1 Cho ∆AB

C

có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường kính

AD Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông

góc của C trên AB và AD Lấy M là trung điểm

của BC Chứng minh 3 điểm E, M, F thẳng hàng

Phân tích: Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc

của C lên AB và ADnên ta sẽ nghĩ đến đường thẳng Simson của ∆ABD

ứng với điểm C Việc còn

thiếu chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng BD gợi ý cho

chúng ta vẽ thêm đường phụ để sử dụng đường thẳng Simson

Cách 1:

Gọi G là hình chiếu vuông góc của C trên BD Nên E, F, G thẳng hàng (đường thẳng Simson) Xét

tứ giác BECG có

CEB =

ường chéo EG và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Suy ra EG đi qua MSuy ra 3

điểm E,

M, F thẳng hàng

Cách 2:

O E

F D

Tứ giác FEAC nội tiếp đường tròn

Bài 3.2.2 Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm nằm trên đường tròn.

Đường phân giác của ACB cắt đường tròn (O) tại M Gọi D và E lần lượt

là hình chiếu của M trên BC và CA Chứng minh 3 điểm O, D, E thẳng hàng

D O

E

M

Phân tích: Vì D và E lần lượt là hình chiếu của M trên BC và CA nên chỉ

việc chứng minh MO vuông góc với AB ta sẽ có đường thẳng Simson của

Theo kết quả bài toán 1 ta có 3 điểm D, O, E thẳng hàng (Đường thẳng

Simson của điểm M đối với tam giác ABC)

Bài 3.2.3 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm

trên cung BC không chứa A Đường tròn (I) đường kính MB và đường tròn(J) đường kính MC cắt nhau ở K Đường tròn (I) đường kính MB cắt AB tại P(P khác B) Đường tròn (J) đường kính MC cắt AC tại Q (Q khác C) Chứngminh 3 điểm P, K, Q thẳng hàng

O

Q K

I

M

Phân tích: Sử dụng hệ quả góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được P, K, Q

lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, BC, CA Từ đó ta sẽ nghĩđến đường thẳng Simson của tam giác ABC ứng với điểm M

Suy ra 3 diểm P, K, Q thẳng hàng (Đường thẳng Simson của tam giác ABC ứng với điểm M).

Bài 3.2.4 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác

trong của góc A (D thuộc BC) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của

D lên AB, AC Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt trung tuyến AMcủa tam giác ABC tại K Chứng minh 3 điểm P, K, Q thẳng hàng

Phân tích: Ở bài toán này việc nhận biết đường thẳng Simson không dễ dàng

như những bài trước vì điểm M nằm trên BC Gọi E là giao điểm của AD vớiđường tròn (O) Vì AD là phân giác của góc A nên E là điểm chính giữa củacung nhỏ BC Suy ra EM vuông góc với BC Từ đó ta sẽ kẻ EU vuông gócvới AB tại U và EV vuông góc với AC tại V ta sẽ có đường thẳng Simson củatam giác ABC ứng với điểm E Khi đó ta chỉ việc chứng minh PK và QKcùng song song với UV thì sẽ suy ra điều phải chứng minh

Giải

Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn (O) Vì AD là phân giác của góc

A Suy ra BAE = CAE

Suy ra EB = EC

Suy ra E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

Suy ra OE ⊥ BC tại trung điểm của BC Mà M là trung điểm của BC

Suy ra OE ⊥ BC tại M

Gọi U, V lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên AB, AC

Bài 3.3.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, M là điểm thuộc cung BC

không chứa A Gọi D, E, H lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BC,

CA, AB Chứng minh

MD ME MH

Phân tích : Dễ dàng nhận thấy đường thẳng Simson là đường thẳng đi qua 3

điểm H, D, E, các bài toán về tỉ số thường liên quan đến tỉ số đồng dạng, diệntích hoặc tỉ số lượng giác Từ việc phân tích bài toán, sử dụng tính chất các tứgiác nội tiếp để có các góc bằng nhau, có thể nghĩ đến việc chứng minh tamgiác đồng dạng hoặc tỉ số lượng giác đều giải quyết được bài toán

Áp dụng kết quả bài toán 1 ta có 3 điểm H, D, E thẳng hàng

Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC

Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn

đồng dạng với ∆MAB

Bài toán 3.3.2 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm

trên cung nhỏ BC Gọi D, E, H lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BC,

CA, AB Chứng minh rằng 1

=1 +1

MD ME MH

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng các đường thẳng đặc biệt để biến đổi về tam giác đồng dạng hoặc dùng tỉ số lượng giác sẽ giúp học sinh có định hướng dễ dàng hơn khi gặp các bài toán tương tự

c Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố:

Bài 3.4.1 Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA,

AB Chứng minh rằng 3 điểm P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng vàđường thẳng này luôn đi qua một điểm cố định

Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của MK, MP, MQ với BC, CA, AB

Suy ra

MD ⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB

Suy ra D, E, F thẳng hàng

Suy ra ED là đường trung bình của ∆MKP

DF là đường trung bình của ∆MKQ

Suy ra Q, K, P thẳng hàng và EF // PQ

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , I, J là các điểm đối xứng của H qua

AC, AB Suy ra I, J thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Suy ra QHJ = MJH = MAC

Tương tự

PHI = MIH = MAB

Suy ra QHJ + PHI + IHJ = MAC + MAB + IHJ = A +

IHJ = 1800

Suy ra P, Q, H thẳng hàng

Suy ra đường thẳng PQ luôn đi qua trực tâm H của ∆ABC

(Đường thẳng này có tên là đường thẳng Steiner)

Bài 3.4.2 Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không cắt đường trong

(O; R) Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên đường thẳng d Từ M kẻ hai tiếptuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm) Gọi K là hìnhchiếu vuông góc của O lên đường thẳng d, E và F lần lượt là hình chiếu vuông

góc của K lên MA, MB Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đườngthẳng d thì đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Phân tích: Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên MA và MB

nên ta sẽ nghĩ đến đường thẳng Simson của ∆MA

B

ứng với điểm K Điều nàygợi ý cho chúng ta vẽ thêm đường phụ để sử dụng đường thẳng Simson

Giải:

Từ K kẻ KD vuông góc với AB tại D

Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm E, F, D thẳng hàng

(đường thẳng Simson của ∆MAB ứng với điểm K)

Gọi J là giao điểm của AB và OK; I là giao điểm của OK và DF; H là giaođiểm của AB và OM

Xét đường tròn (O; R) có MA, MB là hai tiếp tuyến; A, B là hai tiếp điểmSuy ra MA = MB Ta

có OA = OB = R

Suy ra MO là đường trung trực của đoạn AB

hay KDI = KAM

Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác KAOM nội tiếp đường trònSuy ra

Suy ra EF đi qua điểm I cố định

d Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán cực trị hình học

Bài toán 3.5.1 Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác

ABC, M là một điểm thuộc cung BC không chứa A Gọi E, F

là hình chiếu của M lên các cạnh AC và AB Xác định vị trícủa M để EF lớn nhất

A

E D

F

M

Phân tích : Ta dễ dàng nhận ra EF là đường thẳng Simson của

tam giác ABC ứng với điểm M Từ đó dẫn đến ý thưởng vẽ thêmđiểm D là hình chiếu của M trên BC và tìm lời giải của bài toán

Giải

Gọi D là hình chiếu của M trên BC Ta có D, E, F thẳng hàng

(đường thẳng Simson)

Bốn điểm F, D, B, M cùng thuộc một đường tròn nên

Bốn điểm E, D, C, M cùng thuộc một đường tròn nên

Từ đó ta có ∆ MBC đồng dạng với ∆ MFE (g.g)

MBD =MFD MCD =MED

⇒ EF BC= MF MB= ME MC≤ 1 ⇒ EF ≤ BC

Đẳng thức xảy ra khi F trùng với B và E trùng với C, khi đó

MBA = MCA = 900

Suy ra AM là đường kính của đường tròn tâm O

Suy ra M là điểm đối xứng với A qua O

- Trở lại bài 3.4.1

Ta dễ dàng chứng minh được EF là đường trung bình của ∆MPQ

Suy ra EF = PQ

2Suy ra PQ = 2 EF

Vậy PQ lớn nhất ⇔ EF lớn nhất⇔ M là điểm đối xứng với A qua O

Từ đó ta có bài toán mới

Bài toán 3.5.2 Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC,

CA, AB Chứng minh rằng 3 điểm P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng.Xác định vị trí của M để độ dài đoạn PQ đạt giá trị lớn nhất.

e Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải các bài toán quan hệ hình học Bài 3.6.1 Cho

∆AB C

nội tiếp đường tròn (O) Gọi M và N là các điểm thuộc

đường tròn (O) sao cho CM và CN đối xứng với nhau qua phân giác của C Gọi D, E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BC.Chứng minh rằng 3 điểm D, E, F thẳng hàng và đường thẳng đi qua 3 điểm D,

E, F vuông góc với CN

Áp dụng kết quả bài 1 ta chứng minh được 3 điểm D, E, F thẳng hàng

Gọi K là giao điểm của của EF và CN

Từ giả thiết suy ra CEM

= CFM

= 900

Suy ra E và F cùng thuộc đường tròn đường kính CM

Suy ra tứ giác CFEM nội tiếp đường

tròn Suy ra CME + CFE = 1800

Ta có CFK + CFE = 1800

Suy ra CME = CFK

Từ giả thiết dễ chứng minh được

MCE = FCK