sáng kiến kinh nghiệm toán trung học cơ sở

Năm học 2020-2021 là năm tiếp tục tích cực triển khai chương trình hànhđộng thực hiện nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 hội nghị Ban chấphành Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản

Tên sáng kiến:

Kỹ thuật dạy các dạng về so sánh trong chương trình toán 6

MỤC LỤC

I ĐIỂU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN 1

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP KỸ THUẬT 1

1 Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến 6

2 Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi tạo ra sáng kiến: 9

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10

PHẦN 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH LUỸ THỪA 11

2.1: Hình thành giải pháp: Xây dựng các cách về so sánh hai luỹ thừa 11

2.2: Ứng dụng của so sánh hai luỹ thừa 13

2.3: Bài tập luyện 14

PHẦN 3 CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH PHÂN SỐ 15

3.1: So sánh hai phân số cơ bản 15

3.2: Sử dụng các bài toán phụ để so sánh 18

3.3: So sánh một tổng với một số bằng cách chia đoạn 23

3.4: So sánh một tổng với một số bằng cách so sánh tổng đó với một tổng

trung gian tính được 26

PHẦN 4: MỞ RỘNG, PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH 30

4.1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 30

4.2: Dùng bất đẳng thức để tìm khoảng giá trị của số phải tìm 31

4.3: Nguyên lý cực hạn cho bài toán số học hoặc phương pháp kẹp bất đẳng thức để tìm giá trị nguyên cho biểu thức 34

III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 37

1.Hiệu quả kinh tế 37

2.Hiệu quả về mặt xã hội: 37

IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP VÀ VI PHẠM BẢN QUYỀN 44

I ĐIỂU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

 Điều kiện khách quan:

- Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục hiện nay, do nhu cầu của việc đổimới nội dung, phương pháp giáo dục

Hiện nay, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn nữa công tác giáo dục và coiđây là một trong những yếu tố quan trọng góp phần phát triển kinh tế xã hội.Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáodục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quantâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng đượccái gì qua việc học

Mục đích của đổi mới giáo dục hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thểchất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năngkhiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàndiện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tinhọc, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triểnkhả năng sáng tạo, tự học của người học

Năm học 2020-2021 là năm tiếp tục tích cực triển khai chương trình hànhđộng thực hiện nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 hội nghị Ban chấphành Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và đào tạo:

“Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học” Để thực hiện tốt mục tiêu về đổi mới căn bản, toàn

diện

3

GD&ĐT theo Nghị quyết số 29-NQ/TW, cần có nhận thức đúng về bản chất củađổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học vàmột số biện pháp đổi mới phương pháp dạy học theo hướng này Bộ Giáo dục vàĐào tạo đã ban hành chương trình GDPT mới với yêu cầu phát triển 5 phẩm chấtchủ yếu và 10 năng lực cốt lõi cho học sinh.

- Do tri thức ngày càng nhiều nên việc hướng dẫn học sinh tiếp thu tri thức cầnchủ động và có phương pháp

Để đảm bảo được các yêu cầu trên phải thực hiện chuyển từ phương pháp

dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến

thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất Tăng cường việc họctập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên – học sinh theo hướng cộng tác có ýnghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội Bên cạnh việc học tập nhữngtri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đềhọc tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phứchợp

Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành

và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếmthông tin…), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạocủa tư duy Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung vàphương pháp đặc thù của môn học để thực hiện Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ

phương pháp nào cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn

thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.

Theo tinh thần đó, các yếu tố của quá trình giáo dục trong nhà trường phổthông cần được tiếp cận theo định hướng mới Việc xây dựng các chủ đề dạyhọc một cách hợp lý, khiến cho kiến thức môn học trở nên sinh động, hấp dẫn,

có ưu thế tạo ra động cơ, hứng thú học tập cho học sinh

 Điều kiện chủ quan:

- Lợi ích của môn Toán:

Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóngmột vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường Bên cạnh đó nó còn có tiềmnăng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạtđộng có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất

Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,

mà cả phương pháp suy diễn lôgic Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyệnkhả năng suy đoán và tưởng tượng Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩmchất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh Toánhọc ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn Toán học còn hìnhthành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong họctập, mong

muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước,

ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêmtốn,… Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiệntoàn diện hơn Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹnăng:

Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau Kỹ năngthứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia Chính vì vậy kỹ năng vận dụngkiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh Trong đóviệc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên Để cómột lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại cókiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bàitoán

- Vị trí của bài toán so sánh số trong chương trình trung học cơ sở:

Trong môn Toán, mảng kiến thức về so sánh số chiếm một vị trí hết sức quantrọng Nó là cơ sở, nền tảng vững chắc cho các mức độ tiếp theo như: so sánhhai biểu thức, bất đẳng thức…

Thực tế cho thấy ở chương trình toán học THCS học sinh được tiếp cận vớidạng toán này nhưng ở mức độ đơn giản và riêng lẻ Tuy nhiên trong hầu hết các

đề thi đều có sử dụng mảng kiến thức này Cấp độ mà các đề thi sử dụng lạithường

là ở mức vận dụng cao Để giải các bài toán ở dạng này luôn đòi hỏi học sinhphải có khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa …

Vì thế khi dạy học về dạng toán này giáo viên phải rất vất vả trong việc hướngdẫn, tuyển chọn những bài tập sao cho phù hợp

Để giải quyết được những vấn đề đó tôi đã tự biên soạn cho mình nội dung

về chuyên đề “So sánh” trong chương trình toán 6 cho phù hợp với đối tượnghọc sinh, phát triển được các năng lực, phẩm chất của học sinh Nếu học sinhbiết giải và giải thành thạo loại toán này thì việc học bộ môn Toán, đặc biệt làcác chuyên đề khó sẽ không còn là rào cản hay thách thức đối với học sinh, giúphọc sinh đam mê học toán, các bài giảng như những con đường giúp học sinh cóthể tự đi tiếp để khám phá những kiến thức sâu hơn và nâng cao hơn nữa củaToán học

Đặc biệt, trong các tiết dạy khi tôi có câu hỏi hoặc bài tập khó dành cho các đốitượng học sinh giỏi các em rất phấn khởi thi đua nhau giải, rồi cũng có lúc cảlớp mặt buồn thiu vì không ai làm được Đến lúc tôi chữa bài những ánh mắt củacác em nhìn tôi không chớp và miệng như nuốt từng lời của tôi Động lực đóthôi thúc tôi, càng làm tôi trăn trở hơn trong mỗi tiết dạy Tôi đã tìm tòi và tựbiên soạn cho mình nhiều chuyên đề phù hợp với tất cả các đối tượng học sinhtrong lớp để giúp các em học sinh có nền tảng kiến thức vững chắc, dễ dàng mởrộng và nâng cao kiến thức sau này Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc

nhất là “ Phát triển năng lực giải toán của học sinh thông qua các bài toán về

so sánh trong chương trình toán 6”.

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP KỸ THUẬT

1 Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến

 Về phía giáo viên:

Khi chưa có sáng kiến tôi đã tiến hành giảng dạy nội dung, các dạng toán về sosánh như sau: Tôi cung cấp cho học sinh đầy đủ phần lý thuyết trong sách giáokhoa và có bổ sung một số các ví dụ về so sánh hai phân số, các cách so sánh

các luỹ thừa Các bài tập tôi hướng dẫn học sinh cũng từ sách giáo khoa, sáchbài tập

và đến từ các loại sách tham khảo nhưng không chia theo dạng Đến các kìkiểm tra khảo sát chất lượng, tôi sưu tầm bộ đề kiểm tra, dành một phần thờilượng để chữa các bài tập khó trong bộ đề, tìm thêm các bài tương tự cho họcsinh luyện tập.

 Về phía học sinh:

Học sinh chưa nắm được các phương pháp giải bài toán về so sánh, chưa nhậnbiết được các dạng toán cơ bản nên khi vận dụng chưa linh hoạt Khi chữa theo

bộ đề các em tiếp cận các bài so sánh ở dạng phức tạp theo kiểu riêng lẻ, chính

vì vậy không có sự liên kết logic giữa các bài tập hoặc không hình thành đượctính đặc trưng của từng dạng toán Đôi khi học sinh cảm thấy bất ngờ với lời giảicủa giáo viên và chỉ tiếp thu theo kiểu bị động, bắt chước Như vậy sẽ dẫn tới

tâm lí “sợ bài khó” không còn hứng thú học tập bộ môn và lòng say mê khám

phá với các kiến thức mới lạ

 Về sách giáo khoa và sách bài tập:

- Các bài tập thuộc dạng toán so sánh trong sgk đều là các bài tập cơ bản

- Các bài tập trong sách bài tập có sự mở rộng nâng cao ở nhiều dạng:

• Bài 60/Tr13/SBT Toán 6 tập 1: So sánh a và b mà không tính cụ thể giá

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2

• Bài III.7/SBT Toán 6 tập 2 - Tr41: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho

tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất.

• Bài III.8/SBT Toán 6 tập 2 - Tr41:Có thể tìm được hai chữ số a và b sao

cho phân số a bằng số thập phân a,b hay không?

b

Như vậy: SBT đưa ra khá nhiều bài tập khó nhưng không phân chia theo dạng,

các phương pháp giải chưa cụ thể, chia có tính logic dẫn đến việc khó khăntrong tiếp thu kiến thức của học sinh

 Về sách tham khảo:

Hiện nay có quá nhiều các loại sách tham khảo bán tràn lan trên thị trường

Tôi đã mua nhiều sách tham khảo và tìm đọc nội dung về so sánh số Tôi nhậnthấy các sách tham khảo thường viết rất nhiều nội dung, nên việc đề cập đến nộidung so sánh thường rất sơ lược, hoặc không bao quát hết tất cả các kỹ thuật về

so sánh

Đặc biệt: Một số bài có hướng dẫn giải chưa hay.

Ví dụ: Bài 477 NC&PT trang 35 như sau:

5

dó đó A < 0,4 Như vậy: 0,2 < A < 0,4

Nhận xét: Nhiều học sinh khá bất ngờ với cách giải này Cách làm này chưa

giúp học sinh khai thác hết quy luật của bài toán, khó gắn kết với các dạng đãbiết từ trước, dẫn đến sự gò ép trong lời giải

2 Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi tạo ra sáng kiến:

Trong quá trình giảng dạy với sự cố gắng của bản thân, lòng yêu nghề và sựgiúp đỡ tận tình của BGH nhà trường, của đồng nghiệp Tôi đã tự biên soạn chomình nội dung kiến thức về các dạng toán về so sánh trong chương trình toán 6,đặc biệt chú trọng đến việc phát triển các thao tác tư duy như: phân tích, tổnghợp,

so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa… thông qua các bài toán với cách thức như sau:

Nội dung cụ thể : PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Ta đã biết rằng với hai số a và b bất kỳ, chỉ có một trong ba quan hệ:

3) Tính chất đơn điệu của phép

nhân: Nếu a > b thì ac > bc ( với

c > 0)

PHẦN 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH LUỸ THỪA

2.1 : Hình thành giải pháp: Xây dựng các cách về so sánh hai luỹ thừa Bài toán 1: So sánh hai luỹ thừa sau:

+ Tất cả các luỹ thừa có số mũ bằng 0 (cơ số khác 0) đều bằng nhau và bằng 1

? Với hai lũy thừa có cơ số và số mũ đều khác 0 và 1thì sao?

Bài toán 2: Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?

a) 23 và 32 b) 24 và 42 c) 25 và 52 d) 210 và 100

Học sinh tự làm bài tập 2, Gv uốn nắn sửa chữa cách trình bày

Ɂ Vấn đề đặt ra: Nếu hai luỹ thừa không tính ( giá trị quá lớn) được liệu có so

sánh được không bằng cách trên không?

Bài toán 4: So sánh

a) 17

8v

à

325

b)

3 00

và 16 74

? Có đưa hai lũy thừa này về cùng cơ

số hoặc cùng số mũ được không?

GV: Giới thiệu cách so sánh với số trung gian

Lời giải :a) Ta có: 178 > 168

 Chốt lại vấn đề: so sánh hai lũy thừa

+ Cách 1: Tính giá trị (chỉ dùng cho những luỹ thừa

có giá trị nhỏ) + Cách 2: Đưa hai lũy thừa về hai lũy thừa có cùng

cơ số hoặc cùng số mũ + Cách 3: So sánh với số trung gian

Mở rộng:

và

(− 16)

75

Với hai luỹ thừa

n ta phát biểu như sau:

- TH1: chún

g có cùng

Để so sánh hai luỹ thừa có cơ số nguyên âm ta đưa về so sánh hai lũy thừa có

cơ số là số tự nhiên, chú ý tính chất : Nếu a <

2.2 : Ứng dụng của so sánh hai luỹ thừa

Bài toán 5: Chứng minh rằng số 2100 là số có 31 chữ số khi viết kết quả của

2 100 > 10 30 (1)

2 100 = 2 31 2 63 2 6 = 2 31 512 7 64

10 31 = (2.5) 31 = 2 31 5 31 = 2 31 5 28 5 3 = 2 31 625 7 125

Vì 2 31 512 7 64 < 2 31 625 7 125 Nê

n

2 100 < 10 31 (2)

GV: Chỉ ra bài toán tương tự của bài toán này?

Bài toán tổng quát

Bài tập 7:

Viết liền nhau các kết quả của các lũy thừa 450 và 2550 ta được một số tự nhiên cóbao nhiêu chữ số

PHẦN 3 CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH PHÂN SỐ

3.1 : So sánh hai phân số cơ bản

Bài toán 6: So sánh các phân số sau:

45 12 5

và 772

và 2019202 1

; 35157 2

và 350573

d) 877

876 và 884

88 3

 Kết luận:

 So sánh hai phân số có tử số và mẫu số là các số nguyên dương: Cách 1: Đưa về cùng mẫu số

Cách 2: Đưa về cùng tử số :

Cách 3: So sánh với số trung gian

Cách 4: So sánh bằng cách so sánh phần bù đến 1 hoặc phần thừa so với 1

 So sánh hai phân số có tử số và mẫu số khác nhau về dấu

10 8 − 1 10 8 − 3

? Em hiểu yêu cầu đề bài trên như thế nào?

HS: Ta phải giải hai bài toán

chứng tỏ ad < bc

Bài toán số 2: Cho ad < bc chứng tỏ a

<c

b d

? Điều kiện chung của bài toán là gì? Nêu cách làm?

HS: điều kiện chung là a,b,c,d ∈ Z;b,d > 0

Cách làm: Bài 1: nhân cả hai vế với b.d > 0

Bài 2: chia cả 2 vế cho b.d > 0

GV: Từ kết qủa của bài toán em rút ra cách so sánh hai phân số như thế nào?

Bài toán phụ số 2: Với a,b,n ∈ N*

- Nếu a = b thì a = a+ n

b b+ n

- Nếu a < b thì 0 < a < a+ n < 1

b b+ n

- Nếu a > b thì a > a+ n > 1

b b+ n

HS: Nêu các cách chứng minh bài toán trên

Trường hợp 1: nhân 2 vế với n rồi cộng hai vế với ab

Trường hợp 2,3: sử dụng phần bù hoặc đưa về cùng tử hoặc cùng mẫu

 Kết luận:

Một phân số có tử và mẫu đều là số nguyên dương Nếu cộng tử và mẫu của phân số đó với cùng một số tự nhiên n khác 0 thì

- Giá trị phân số không đồi nếu tử bằng mẫu

- Giá trị của phân số tăng lên nếu tử nhỏ hơn mẫu

- Giá trị của phân số giảm đi nếu tử lớn hơn mẫu

nhỏ hơn phân số nào? Vận dụng kết luận nào?

HS: Dựa vào kết luận thứ 3 ta có 20 <19

Vì 1918 là phân số lớn hơn 1, có tử và mẫu đều dương do đó khi cộng cả tử và mẫu

của phân số đó với 1 số lớn hơn 1 ta được phân số mới có giá trị nhỏ hơn phân sốban đầu

Khai thác bài toán 9:

? Ta chứng minh được A 2 lớn hơn số nào? Tại sao?

Gợi ý : Có nhận xét gì về hai biểu thức :

Từ đó suy ra A2 > 101

? Với kết quả A2 > 101, mà A là số dương thì ta có thể chứng minh được A lớn

hơn số tự nhiên nào?

? Tại sao khẳng định được A dương và khẳng định A dương để làm gì?

? Nếu A âm mà A2> 101 thì kết luận gì về A?

Từ đó ta có bài toán sau:

Khai thác tiếp bài 9.1:

Tương tự ta có thể chứng minh A< C, C là biểu thức nào?

a; a+1; a+2; a+3; ; a+n-1; a+n (n+1 ≥ 4)

Chứng minh : a(a+n) < (a+1)(a+n-1) < < (a+ n + 1

HS: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp có n+1 số, n+1 là số chẵn là:

a; a+1; a+2; a+3; ; a+n-1; a+n (n+1 ≥ 4 )

Ta chứng minh được: a(a+n) < (a+1)(a+n-1) < <

2

n + 1 + 1 )

2

GV: Ta chỉ cần chứng minh BĐT đầu tiên còn tất cả các BĐT tiếp theo được suy

ra từ BĐT đầu tiên đó

GV: Ví dụ BĐT tiếp theo là (a+1)(a+n-1) < (a+2)(a+n-2)

Đặt a+1 = b; n-1 = m ta có BĐT mới là b(b+m) < (b+1)(b+m-1) quay lại BĐT

có dạng a(a+n) < (a+1)(a+n-1) và BĐT này đã chứng minh

Kết luận: hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất, hai số thuộc cặp trong

C = 1 +1 

+

 + +

3.3 : So sánh một tổng với một số bằng cách chia đoạn

Bài toán 11: a) Cho tổng : S = 1

rằng 3 < B < 2 1

Giải:

a) Tổng S có 30 số hạng, cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm

Giữ nguyên tử, nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số

sẽ giảm đi Ngược lại, nếu thay mẫu bằng mộ mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị củaphân số sẽ tăng lên

< + +

S <10 +10 + 10

Phát triển bài toán 11: Dạng chưa có sẵn tổng để chia đoạn

Bài tập 11.1: Cho A = 1 + 1 + + 1 So sánh A với 5 và 3