sáng kiến kinh nghiệm toán trung học cơ sở

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾNTên sáng kiến: "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc giải một số bài toán về đường tròn có hai tiếp tuyến và một cát tuyến kẻ từ một điểm”

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc

giải một số bài toán về đường tròn có hai tiếp tuyến và một cát tuyến kẻ từ một điểm”

1 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục cấp THCS

2 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm 2015 đến năm 2019

3 Tác giả:

MỤC LỤC

I MÔ TẢ GIẢI PHÁP KĨ THUẬT TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP KĨ THUẬT SAU KHI TẠO RA SÁNG KIẾN 8

1.Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 8

2 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc giải các bài

toán về đường tròn có hai tiếp tuyến và một cát tuyến kẻ từ một điểm. 13

IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN 89

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

*****

A ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong nhà trường THCS có thể nói môn Toán là một trong những môn họcgiữ một vị trí hết sức quan trọng Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiênmang tính trừu tượng cao, tính logíc Những tri thức và kỹ năng toán học cùngvới những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tậpnhững môn khoa học khác và nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồngthời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân Môntoán có khả năng tư duy lôgic, phát huy tính linh hoạt, sáng tạo trong học tập vàmôn toán là một trong những môn học được coi khó đối với nhiều học sinh

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trò đánhgiá hoạt động của học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhữnghoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quytắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệphổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt độngngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quantrọng trong dạy học, nó phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệthống, bền bỉ, liên tục qua tất cả các lớp Việc giải một bài toán là một quá trình

mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán Có người phải mò mẫmrất lâu, thử hết cách này đến cách khác, trong khi có người lại có thể tìm đượccách giải rất nhanh Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn vàchính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giảitoán có thể trải qua để đi đến các lời giải thoả đáng là gì?

Trong chương trình môn toán, đường tròn và những bài toán liên quanđến đường tròn chiếm một vị trí không nhỏ trong chương trình Toán 9, mặc dù

là lớp cuối cấp THCS nhưng việc giải các bài toán chứng minh các em cũngđang gặp nhiều lúng túng Từ các bài đơn giản đến các bài phức tạp, từ các bàitập mang tính chất củng cố kiến thức đơn lẻ đến các bài tập mang tính chất tổng

hợp các em thường gặp khó khăn trong việc tìm tòi lời giải Định hướng, hướngdẫn cho các em tìm lời giải là việc làm cần thiết và quan trọng Hơn nữa việccung cấp cho các em phương pháp giải các dạng bài tập này lại càng quan trọnghơn Song đưa ra một phương án duy nhất để tìm ra một hướng chuẩn mực, tối

ưu cho các bài toán là điều không thể thực hiện Mỗi một giáo viên đều có thếmạnh riêng của mình Do đó tuỳ vào đối tượng học sinh và yêu cầu của bài toán

mà giáo viên đưa ra những phương pháp phù hợp, đảm bảo tính khoa học, tínhsáng tạo, tính sư phạm, tính thực tiễn để trang bị cho học sinh Đặc biệt trongcác đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT nhiều năm ta đều gặp rất nhiềucác bài toán liên quan đến hai tiếp tuyến và một cát tuyến của một đường tròncùng đi qua một điểm với các cách khai thác khác nhau rất đa dạng và độc đáo

Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề giúp học sinh có phương pháp và kỹnăng giải tốt các bài toán về hai tiếp tuyến và cát tuyến cùng đi qua một điểmcủa một đường tròn để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đếnnâng cao các bài toán dạng này là một việc làm hết sức cần thiết với mỗi ngườigiáo viên đang giảng dạy bộ môn Toán lớp 9

Do vậy tôi đã tìm tòi học hỏi đồng nghiệp, tham khảo tài liệu để viết đề tài

sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc giải một số bài toán về đường tròn có hai tiếp tuyến và một cát tuyến

kẻ từ một điểm ”

Sáng kiến này xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giảitoán cho học sinh trên cơ sở hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về đườngtròn có hai tiếp tuyến và một cát tuyến cùng cắt nhau tại một điểm, nhằm gópphần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán

- Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng

giải toán cho học sinh

- Xây dựng các phương pháp giải bài tập hình học theo hướng rèn luyện

kỹ năng giải toán cho học sinh

- Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải

toán cho học sinh

Tôi nhận thấy nếu xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải bàitập theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán và sử dụng có hiệu quả hệ thống cácphương pháp đó thì có thể phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh, đồng thờigóp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông

Quá trình học sinh nắm vững kiến thức không phải là tự phát mà là mộtquá trình có mục đích rõ rệt, có kế hoạch tổ chức chặt chẽ, một quá trình nỗ lực

tư duy trong đó học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác của mình dưới sựchỉ đạo của giáo viên Trong quá trình ấy mức độ tự lực của học sinh càng caothì việc nắm kiến thức càng sâu sắc, tư duy độc lập sáng tạo càng phát triển cao,kết quả học tập càng tốt.Trên thực tế quá trình dạy học là quá trình thống nhất baogồm quá trình dạy và quá trình học, nó là một hệ thống tác động lẫn nhau giữagiáo viên và học sinh, trong đó mỗi chủ thể tác động lẫn nhau có vai trò và chứcnăng của mình.Trong quá trình dạy học lấy học sinh làm trung tâm, không cónghĩa là hạ thấp vai trò của giáo viên mà trong đó vai trò của giáo viên quyết địnhđến quá trình nhận biết - học - dạy và đặc trưng cho việc định hướng giáodục.Trong quá trình dạy học: Giáo viên đồng thời là người hướng dẫn, người cố

vấn, người mẫu mực cho học sinh, điều đó có nghĩa là hoạt động dạy là xâydựng những quy trình, các thao tác chỉ đạo hoạt động nhận thức của học sinh,hình thành cho học sinh nhu cầu thường xuyên học tập, tìm tòi kiến thức, kíchthích năng lực sáng tạo, hình thành cho các em tự kiểm tra, đánh giá kết quả họctập của mình, rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp suy nghĩ Điều quantrọng là hình thành cho các em cách học có hiệu quả nhất, đáp ứng được nhu cầukiến thức bộ môn.

2 Cơ sở thực tiễn

Trong các môn học ở trường phổ thông, học sinh ngại học môn hình học.Nguyên nhân học sinh“ngại”môn hình học cũng có lý do của nó, bởi lẽ các emcho rằng hình học là môn học rất khó, trừu tượng cao đối với học sinh bậcTHCS và bởi nó là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt.Ngoài ra, môn hình học còn đòi hỏi HS phải có trí tưởng tượng, óc suy xét và tư

duy logic.

Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặtkiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bị động, người giáo viên thườngchú trọng đến số lượng bài tập Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy mà không

tự giải được bài tập Việc phát triển bài toán ít được học sinh quan tâm đúngmức Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn hình học, giải bài tập hình học.Thực tiển dạy học cho thấy: HS khá – giỏi thường tự đúc kết những tri thức,phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinhtrung bình hoặc yếu, kém gặp nhiều khó khăn hoặc không thể nắm được bài

Để có kĩ năng giải bài tập hình học cần phải qua quá trình luyện tập Tuyrằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệuquả, nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ mộtbài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó,rèn luyện một phương pháp học tập nào đó cho mình Đa số học sinh kể cả làhọc sinh giỏi khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với kết quả đó Chính vì lý

do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng Trong thực tế nếu biết

khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bài toán rất hay, kích thích được sựtìm tòi khám phá kiến thức của học sinh.

Qua công tác giảng dạy môn toán nói chung và hình học lớp 9 nói riêngtôi thấy đa số học sinh:

- Không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bàihọc một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khókhăn, lúng túng

- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụnghết các dữ kiện của bài toán…

- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương phápsuy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc ápdụng phương pháp giải một cách thụ động

- Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay

mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việcrèn luyện năng lực giải toán hình học

- Kết quả điều tra thực trạng cho thấy: Thực tế, học sinh học phân mônhình học còn có nhiều hạn chế, tỉ lệ học sinh khá giỏi bộ môn toán hìnhtrong trường còn ít, khả năng vẽ hình và tư duy sáng tạo, khai thác vàphát triển bài toán của học sinh còn chưa tốt nên nhiều học sinh chưa yêuthích môn hình

Kết quả điều tra tháng 9/2018 đối với 42 học sinh lớp 9A7 trường THCSTrần Đăng Ninh cho thấy:

em, quán triệt quan điểm dạy học theo hướng “ Phát huy tính tích cực, tự giác,thói quen nghiên cứu khoa học cho học sinh” thì việc hường dẫn cho học sinh cóthói quen khai thác, nhìn nhận một vấn đề trên nhiều khía cạnh khác nhau sẽ cótác dụng tốt trong việc phát triển tư duy logic, độc lập sáng tạo cho học sinh Rènluyện cho học sinh một số phương pháp khi giải toán hình học như:

– Phương pháp phân tích tổng hợp

– Phương pháp so sánh

– Phương pháp tổng quát hóa…

Điều đó đã đem lại kết quả khả quan Đa số các em trong lớp mà tôi giảngdạy đã có sự chú ý và ham mê đối với môn hình học nhiều hơn dẫn đến kết quả,chất lượng môn Toán có sự chuyển biến tích cực hơn Chính vì thế mà tôi đãquyết định nêu một số biện pháp của mình đã thử nghiệm và có kết quả tốt đểcác đồng nghiệp tham khảo và góp ý kiến

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP KĨ THUẬT SAU KHI TẠO RA SÁNG KIẾN:

1 Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán

* Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Kháiniệm, cách thức, phương pháp …) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực chấtcủa sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thốngphức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựngtrong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho họcsinh cần:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm

và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bàitập, các đối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiếnthức tương ứng

* Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bao gồm hai nội dung chủyếu đó là: Rèn luyện việc tìm lời giải bài toán và rèn luyện việc giải bài toán.Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung này có khi tiến hành đồng thời nhưngcũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt Tuy vậy về mặt nhận thức cầnphân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhau nhưngchúng có mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau Mỗi nội dung đảm nhận một yêu cầuriêng biệt trong công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Trong quá trình dạy học người giáo viên cần làm cho học sinh nhận thức rõ

ý nghĩa, tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đó

1.1.1 Vấn đề giải bài toán

Đây là vấn đề quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán Vìrằng, từ chỗ tìm ra được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnhbài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững

các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đếnviệc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật Nói mộtcách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt Điều này đòi hỏi người giải toán phảihọc tập nghiêm túc, chăm chỉ và hiệu quả.

Để phát huy tác dụng của việc giải bài toán trước hết cần nắm vững cácyêu cầu của lời giải Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện cho việcthực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh,

có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau:

(i) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian;

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng thoả mãn yêu cầu đề ra Kếtquả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứanhững sai lầm tính toán, suy luận, biến đổi biểu thức …

(ii) Lập luận chặt chẽ;

(iii) Lời giải đầy đủ;

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp nào,một khả năng, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không đượcthiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào …

(iv) Ngôn ngữ chính xác;

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật;

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp cácyếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, …) trong lời giải

(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất;

Ngoài các yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cáchgiải cho cùng một bài toán, phân tích, so sánh những cách giải khác nhau để tìm

ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong số các lời giải đã tìm được hay nói cáchkhác là nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ

(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu vềmặt trình bày còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao

Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng trong việc rènluỵện giải bài toán (khi đã có đường lối giải) Nhưng dù sao vẫn phải xem việcrèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trongtoàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.1.2 Vấn đề rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán

Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn luyện kỹnăng giải toán cho học sinh Vì vậy, trong quá trình dạy học giải bài tập toán, giáoviên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng, làm cho họ ýthức được vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể hiện ở chỗ:

- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực hiệncác thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhưng khi chưa có phươnghướng giải hoặc chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lờigiải tốt

- Khi đã có phương hướng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trìnhbày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân tíchquan trọng lớn như khi tìm phương hướng giải

- Mặt khác, ý thức được tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phương pháptìm lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả nănglàm việc độc lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu được đối với người giảitoán

Như vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá trìnhrèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rất quan trọngnhưng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán

1.2 Phương pháp tìm lời giải các bài toán

Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Ngay

cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợpkhông có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suynghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài

Với một bài toán công việc của người giải toán cần đặt ra là tìm hiểu nộidung bài toán: phân biệt cái đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện chotrong bài toán để từ đó xác định được dạng bài toán, tìm được phương hướnggiải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp

Bước 1 là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bàitoán Năng lực của người giải toán thể hiện rõ ở bước này Nhiều người khi giảitoán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiết hay tìm ramối liên hệ quan trọng trong bài toán mà cứ ghi chép, nháp lia lịa, mặc dù chưabiết mình giải quyết cái gì Đó là cách tìm lời giải máy móc và không hiệu quả

Có thể nói bước này là thước đo năng lực của người giải toán, vì rằng không thểđánh giá kỹ năng giải toán tốt mà chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và vận dụng tốt

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay liên hệ cácgiả thiết, các điều kiện đã cho với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giảivới một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơnhay một bài toán nào đó có liên quan

Bước này nhằm rèn luyện những kỹ năng đi sâu vào mỗi bài toán:

Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và cả kết quả của nógiúp cho người giải toán hiểu rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi bàitoán Nghĩa là, người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đãcho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?

Làm tốt bước này người giải toán có đủ lòng tin vào đường lối mình đãtiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác, biến đổi Ngoài ra, nócòn giúp ích nhiều cho người giải toán trong việc tìm kiếm các bài toán liênquan, sáng tạo ra các bài toán mới.

Bước 3: Trình bày cách giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bướcđó

Bước này nhằm rèn luyện cho người giải toán khả năng trình bày một lờigiải chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giảinhững bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bàitoán mới Để làm tốt việc này trước hết người giải toán phải phân tích kỹ để nắmđược đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó Như thếmới có thể thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một loại bài toán

và giữa các loại bài toán khác nhau

1.3 Các thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng đượcphương pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặptrong chương trình Học phương pháp tìm lời giải không phải là học một thuậtgiải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Theo[6], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phương pháp để tìm lời giải bàitoán như sau:

- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinhnắm được phương pháp tìm lời giải các bài toán và có ý thức vận dụng 4 bướccủa phương pháp này trong quá trình giải toán

- Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinhnhững câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những

ID

câu hỏi này như những phương tiện kích thích, tìm tòi, dự đoán, phát hiện đểthực hiện từng bước của phương pháp tìm lời giải bài toán

Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp tìm lời giải bài toán là mộtquá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giảitoán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể

Từ phương pháp tìm lời giải bài toán đi tới cách giải một bài toán cụ thểcòn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong

đó có nhiều yếu tố sáng tạo

2 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc giải các bài toán

về đường tròn có hai tiếp tuyến và một cát tuyến kẻ từ một điểm.

2.1 Nhắc lại cho học sinh bài toán cơ bản cần nhớ:

Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường

thẳng AB, CD cắt nhau tại S Khi đó các điều sau là tương đương:

i) Tứ giác ABCD nội tiếp

* Chứng minh : từ ii)  i).

Vì SA.SB  SC.SD  SA  SDSCSB

Xét SAD và SCB có : S$ chung và SA  SDSCSB

Suy ra SAD □ SCB (c - g - c) do đó S□AD  S□CB Xét tứ giác ABCD có S□AD  S□CB nên tứ giác ABCD nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

* Chứng minh : từ i)  ii)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp

nên S□AD  S□CB (cùng bù với B□AD ) Xét SAD và SCB có : S$ chung và S□AD  S□CB (chứng minh trên) Suy ra SAD □ SCB (g - g)

do đó SA  SD  SA.SB  SC.SD SCSB

b) Ta chứng minh cho ii)  iii)

Chứng minh ii)  iii)

Chứng minh : từ iii)  ii)

S□CB tứ giác nội tiếp).

Xét tứ giác ABCD có S□AD 

S□CB Vì tứ giác ABCD nội tiếpnên tứ giác ABCD nội tiếp (góc

ngoài tại một đỉnh bằng góc trong nên S□AD 

S□CB

(cùng bù với B□AD )

của đỉnh đối diện) Xét SAD và SCB có : S$ chung

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên và S□AD  S□CB (chứng minh trên)

D□AC  D□BC (góc nội tiếp cùng

Do đó IAD □ IBC (g - g)suy ra IA  IB  IA.IC  IB.ID IDIC

nên dễ dàng chứng minh được

IAD □ IBC (c-g-c) Suy ra D□AC  D□BC

SuyratứgiácABCDnội tiếp(dhnb tứ giác nội tiếp)

A

D

B

c) Ta đi chứng minh iii)  i) :

Bài toán 2 : Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

(tích các cạnh đối bằng nhau) Ta còn gọi tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa

Bài toán 3 : Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến SA, SB (A

và B là các tiếp điểm) và cát tuyến SCD (SC < SD) sao cho A và O nằm khác phía với CD Gọi H là trung điểm của CD Chứng minh rằng :

Nhận xét: Có thể thay bằng câu hỏi dẫn đến học sinh khó nhìn ra hướng, như:

Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

Dựa vào kết quả bài toán cơ bản ta có câu hỏi cần chứng minh sau:

3) Gọi M là giao điểm của SO và AB, ta cũng chứng minh SA 2 = SM.SO

D C

I B

4) Tứ giác CMOD nội tiếp.

5) Gọi I là giao điểm của AB và CD Chứng minh SI.SH = SM.SO.

2.2 Những bài toán tiêu biểu.

Gợi ý:

K

a) Để chứng minh KIOD là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góc là rất khó khăn

Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến, tiếp tuyến

Ta có: AIBD là tứ giác nội tiếp và AB  ID = M

nên ta có: MA.MB = MI.MD

Mặt khác KAOB là tứ giác nội tiếp nên MA.MB = MO.MK

Từ đó suy ra MO.MK = MI.MD hay KIOD là tứ giác nội tiếp

b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD

Ta có IO = OD = R  O□KI = O□KD  KO là phân giác của góc IKD

Nhận xét:

- Để giải được phần a của bài tập trên HS nhận ra được tính chất 2 (chính là

dựa vào các đoạn thẳng cắt nhau để suy luận ra cách chứng minh tứ giác nộitiếp)

- Đối với phần b, nhiều học sinh sẽ loay hoay chứng minh hai góc bằng nhau

để chứng minh phân giác mà quên mất tính chất quan trọng:

Bài 1: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến

KCD đến (O) Gọi M là giao điểm OK và AB Vẽ dây DI qua M Chứng minh:a) KIOD là tứ giác nội tiếp

b) KO là phân giác của góc IKD

D C

+ Trong một đường tròn dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Như vậy, ở bài tập trên với đối tượng học sinh trung bình ta có thể gợi ý chứngminh hoặc tách thành hai ý nhỏ: Chứng minh MO.MK = MI.MD và KIOD là tứgiác nội tiếp

Nếu hai cát tuyến cắt nhau bên ngoài, học sinh sẽ dễ nhìn ra hơn: GV chiếu hình

vẽ của bài tập 2 trước khi nêu đề bài, học sinh nhìn và có thể tự nhìn và chứngminh được tứ giác CMOD nội tiếp

Bài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

tuyến KCD đến (O) Gọi M là giao điểm OK và AB Chứng minh:

a) CMOD là tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD

Gợi ý:

h1a) Vì KB là tiếp tuyến nên ta có:

B h2

KB2 = KC.KD = KO2 - R2Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và BM  KO nên KB2 = KM.KO

 KC KD = KM.KO hay CMOD là tứ giác nội tiếp

b) CMOD là tứ giác nội tiếp nên K□MC = O□DC, O□MD =

O□CD Mặt khác ta có: O□DC = O□CD  K□MC =

O□MD

Trường hợp 1:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO (h1)

A DH

hay MA là tia phân giác của góc C□MD

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO (h2) thì tương tự ta cũng có

MB là tia phân giác của góc C□MD

Suy ra đường thẳng AB chứa phân giác của góc C□MD

Nhận xét: Ở bài tập này học sinh vận dụng 5 điểm cùng thuộc một đường

tròn K, A, H, O và B và biết khéo léo vận dụng các góc trong đường tròn đểchứng minh các góc bằng nhau để từ đó suy ra điều chứng minh

Bài 4: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

tuyến KCD đến (O) Gọi H là trung điểm CD Đường thẳng qua H song song với

BD cắt AB tại I Chứng minh: CI  OB

Bài 3: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

tuyến KCD đến (O) Gọi H là trung điểm CD Vẽ dây AF đi qua H Chứngminh: BF // CD

A DH

Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI Gọi I là điểm đối xứng với A qua D.

Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt IB

ở K Gọi C là giao điểm thứ hai của KD với đường tròn (O) Chứng minh rằng:

BC // AI

A D

H 1C

A□IK = C□AB hay  BID ∽ BCA

Thật vậy theo chứng minh bài toán 2 (mục 2.2) trong tứ giác ABCD ta có:

Tứ giác ACBD nội tiếp nên

B□CA = B□DI  BID ∽ BCA 

Bài 6: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

tuyến KCD đến (O) Gọi M là giao điểm OK và AB Vẽ dây CF qua M Chứngminh: DF // AB

Chú ý: DF//AB ABFD là hình thang cân có hai đáy là AB, DF  O□MD = O□MF

2

Bài 7: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

tuyến KCD đến (O) Gọi M là giao điểm OK và AB Kẻ OH vuông góc với CDcắt AB ở E Chứng minh

D A

B

a) CMOE là tứ giác nội tiếp

b) CE, DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Gợi ý:

K

a) Theo bài toán 2, ta có CMOD là tứ giác nội tiếp nên C□MK = O□DC =

O□CD Do đó các góc phụ với chúng bằng nhau: C□ME = C□OE

Suy ra CMOE là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc)

b) Cũng theo bài toán 2, CMOD nội tiếp

Mặt khác CMOE là tứ giác nội tiếp nên E, C, M, O, D thuộc một đường tròn

Từ đó dễ chứng minh CE, DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 8: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

tuyến KCD đến (O) Vẽ đường kính AI Các dây IC, ID cắt KO theo thứ tự ở G,

D A

B

Ta vẽ trong hình trường hợp O và A nằm khác phía đối với CD Các

trường hợp khác chứng minh tương tự

Để chứng minh OG = ON, ta sẽ chứng minh IOG = AON

Ta đã có OI = OA, I□OG = A□ON , cần chứng minh C□IA = I□AN , muốn

vậyphải có AN // CI Ta sẽ chứng minh A□ND = C□ID Chú ý đến AI là đường kính,

ta có A□ DI = 900 , do đó ta kẻ AM  OK Ta có AMND là tứ giác nội tiếp, suy ra

AND = COD Ta lại có

Bài 9: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát

tuyến KCD đến (O) Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng A□DC =

M□DB

F

Kẻ OH  CD, cắt AB ở E

Theo bài 7, EC là tiếp tuyến của đường tròn (O) suy ra C□BD = E□CD (1)

EC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ,theo bài 2, ta còn chứng minh được ECMD là tứ giác nội tiếp, suy ra E□MD  E□CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra C□BD = E□MD

Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau:

C□AD = B□MD  CAD ∽ BMD (g.g) nên A□DC = M□ DB

Nhận xét: Như vậy thông qua khai thác tứ giác nội tiếp và kết hợp với

kiến thức về đường tròn ta đã giải quyết các dạng toán:

+ Chứng minh tứ giác nội tiếp

+ Chứng minh các góc bằng nhau

+ Chứng minh quan hệ vuông góc, song song,

+ Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau,

Ngoài ra tôi còn khai thác, phát triển thêm các bài tập chứng minh các hệthức hình học, chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy, một

số bài tập về cực trị hình học,… để phát triển tư duy học sinh

2.3 Khai thác, phát triển thêm các bài toán mới từ các bài toán căn bản trên.

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại A cắt

BC ở K Kẻ tiếp tuyến KD với đường tròn Gọi E, G, F theo thứ tự là hìnhchiếu của D trên AB, BC, CA Chứng minh rằng GE = GF

Gợi ý:

A

D

D C

(3)

Theo bổ đề 1 ta có BD  AB

Từ (3) và (4) suy ra EG B□ 1 AB sin  AH  1 (với AH là đường cao

của ABC) Vậy EG = GF

GF AC sin C□ 1 AH

Lưu ý: Ta có E, G, F thẳng hàng (đường thẳng Simson) nên còn suy ra G là

trung điểm của EF

Bài 11: Cho đường tròn (O), tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD Chứng

minh rằng tứ giác ACBD có tích hai đường chéo bằng hai lần tích hai cạnh đối(được sử dụng định lí Ptô-lê-mê với tứ giác nội tiếp: tích hai đường chéo bằngtổng các tích hai cạnh đối)

Gợi ý:

K

Theo định lí Ptô-lê-mê: AB CD = AC BD + AD BC (1)

Tứ giác ABCD ta có AC BD = AD BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB CD = 2AC BD = 2AD BC

C I

2 1 1

M

Bài 12: Cho đường tròn (O) Qua điểm K nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến

KM, cát tuyến KAB đi qua O, cát tuyến KCD bất kì Gọi I là giao điểm củ AD

và BC, H là hình chiều của I trên AB Chứng minh rằng:

a) CHOD là tứ giác nội tiếp

(IHAC nội tiếp)

= H□BD (IHBD nội tiếp)

= C□ 2 (ABDC nội tiếp)

Bài 13: Cho đường tròn (O), tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD Tiếp tuyến

với đường tròn (O) tại D cắt AB ở E Chứng minh rằng EC là tiếp tuyến củađường tròn (O)

A D C

bằng cách chứng minh

Bài 14: Cho đường tròn (O), tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD Gọi M là

trung điểm của AB Chứng minh rằng A□DC  B□DM

Cách 2 Kẻ đường kính AE Gọi I là giao điểm của DE và KO Tứ giác AMID

nội tiếp (vì A□MI  A□DI  900

Hai góc này cùng trừ đi K□DM được A□DC  B□DM

Cách 3 Sử dụng kết quả của bài 12.

D C

M

O

B

K

Theo bài toán 11, ta có

Bài 15: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A Kẻ dây AB của

đường tròn (O') không đi qua O' Kẻ các tiếp tuyến BC, BD với đường tròn (O),

C và D là các tiếp điểm Gọi giao điểm thứ hai của CA, DA với đườngt ròn (O')lần lượt là E, F Tiếp tuyến chung của hai đừng tròn (O) và (O') tại A cắt EF ở

O C

B' E BE

Gợi ý:

K

BE

Bài 16: Cho đường tròn (O), các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD (A□C 

B□C) Gọi I là trung điểm của CD Đường tròn đi qua B, I, D cắt AB ở điểmthứ hai E Chứng minh rằng AK // DE

Tứ giác BIDE nội tiếp 

E□

 B□IK

(1)

A, K, B, I thuộc đường tròn đường kính KO 

A□

 B□IK

(2)

Từ (1) và (2) suy ra E□  A□ , do đó AK // DE

Bài 17: Cho đường tròn (O), các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD Kẻ dây

AE song song với CD Gọi M là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng M

là trung điểm của CD

Bài 18: Cho đường tròn (O), các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD Gọi M

là trung điểm của CD Kẻ dây BE đi qua M Chứng minh rằng:

a) AE // CD

b) AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BCM

2 1

G O E F

(đã chứng minh trong cách giải câu a)

nên AEM ∽ ABK (g.g)

 AE  AM AB AK

Bài 19: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BE và

CF Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở K Gọi M là giao điểm của OK và BC

a) Chứng minh rằng B□AK  M□ AC

b) Gọi G là giao điểm của AM và EF, H là giao điểm của AK và BC Chứng minh rằng GH // OM