BỘ ĐỀ GIÁO ÁN LOGIC ĐẠI CƯƠNG ĐƯỢC TỔNG HỢP TỪ NHỮNG MẪU ĐỀ THI GIỮA KÌ VÀ CUỐI NĂM MONG SẼ GIÚP CHO AE ĐỄ DÀNG CHINH PHỤC ĐƯỢC MÔN NÀY ,,,, ..... .... ... ..........................................................
Trang 1Lời giải Cúc làm hoa đào.
Đào làm hoa hồng
Hồng làm hoa cúc
Ví dụ 1.2 Trong một ngôi đền cổ có ba vị thần giống hệt nhau Thần Thật thà luôn nói thật,thần Dối trá luôn nói dối và thần Khôn ngoan lúc nói thật lúc nói dối Có một nhà hiền triếtđến thăm đền Ông đã hỏi các vị thần và nhận được câu trả lời khi hỏi thần bên trái: - Ai ngồicạnh ngài? - Đó là thần Thật thà Ông hỏi thần ngồi giữa: - Ngài là ai? - Ta là thần Khônngoan Sau cùng ông hỏi thần bên phải: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Dối trá Nghe xong,nhà hiền triết đã xác định được các vị thần Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào?Lời giải Nếu bên trái là thần Thật thà thì ông sẽ luôn nói đúng nên không trả lời bên cạnhông là thần Thật thà Nếu ông ngồi giữa là thần Thật thà thì ông sẽ trả lời là: - Ta là thầnThật thà Vì cả 2 khả năng trên đều không xảy ra nên bên phải là thần Thật thà Vì ông nàyluôn nói thật nên ở giữa là thần Dối trá Từ đó suy ra bên trái là thần Khôn ngoan
Ví dụ 1.3 Ba bạn Quân, Hùng, Mạnh đạt giải nhất, nhì, ba trong cuộc thi toán quốc tế Biếtrằng
- Không có học sinh chuyên nào đạt giải cao hơn Quân
- Nếu Quân đạt giải thấp hơn một bạn nào đó thì Quân không phải học sinh trường chuyên
- Chỉ có một bạn duy nhất không học trường chuyên
- Nếu Hùng hoặc Mạnh đạt giải nhì thì Mạnh đạt giải cao hơn bạn quê ở Hải PhòngHãy cho biết mỗi bạn đạt giải nào?
Lời giải Nếu Quân đạt giải hai hay ba thì từ giả thiết 2 và 1 suy ra vô lý Nên Quân đạt giảinhất
Mạnh đạt giải nhì, Hùng giải ba và Hùng là người Hải Phòng
Ví dụ 1.4 Nhà trường cử thầy A và 4 học sinh Lê, Huy, Hằng, Tiến đi thi Có 3 người đạtcác giải nhất, nhì, ba và một người không đạt giải Khi được hỏi về giải mà mình nhận được,các em trả lời như sau
Trang 2Lê: Nhì hoặc ba
Huy: Mình có đạt giải
Hằng: Giải nhất
Tiến: Không đạt giải
Biết trong đó có 3 bạn nói đúng, 1 bạn nói đùa Hãy chỉ ra ai nói đùa, ai giải nhất, ai khôngđược giải?
Lời giải Lê, Huy, Tiến không thể là người nói dối nên Hằng là người nói dối
Tiến không đạt giải, Huy giải nhất
Ví dụ 1.5 Có ba học sinh rất thông minh chơi trò đội mũ Cô giáo có 5 chiêc mũ trong đó có
3 chiếc xanh, 2 chiếc đỏ Cô bịt mắt 3 em sau đó lần lượt đội cho mỗi em một chiếc mũ Haichiếc mũ còn lại được cô cất đi Sau khi tháo bịt mắt của các em cô cho các em lần lượt quansát nhau và nói về màu mũ mình đội
Chứng minh rằng có ít nhất 1 em có thể nói chính xác màu mũ của mình
Lời giải Giải sử 3 em là A, B, C
• Nếu A thấy B, C đội mũ đỏ thì A sẽ đoán đúng màu mình đội
• Nếu A đoán sai màu mũ của mình, tức là B và C phải có ít nhất 1 người đội mũ xanh.Nếu B thấy C đội mũ đỏ thì B sẽ đoán được đúng mình đội mũ xanh
• Nếu A, B đoán sai màu mũ của mình thì C sẽ đoán được mình đội mũ xanh
Ví dụ 1.6 Tiến hành một trò chơi, trong đó các em được chia làm hai đội quân xanh và quân
đỏ Đội quân xanh luôn nói dối, đội quân đỏ luôn nói thật Có 3 thiếu niên đi tới là An, Cường,Dũng Thầy phụ trách hỏi An: "Em quân gì" Sau đó thầy hỏi Cường và Dũng: "An vừa trả lời
An quân gì?" Cường trả lời: "An quân đỏ" Dũng trả lời: "An quân xanh" Hỏi Cường, Dũngquân gì?
Lời giải Dù An ở đội nào thì An luôn trả lời mình ở đội đỏ Do đó, Cường thuộc đội quân đỏ,Dũng thuộc đội quân xanh
i+ 1 con thỏ (nếu mkhông chia hết cho n)
Ví dụ 1.7 Trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quentrong số những người dự họp là như nhau
Ví dụ 1.8 Có 33 con chim đậu trên một sân hình vuông có cạnh 4 mét Chứng minh rằng có
ít nhất 3 con chim đậu trong một đường tròn bán kính 1 mét
Ví dụ 1.9 Trong một hộp có 70 cái cà vạt trong đó có 20 cái xanh, 20 cái đỏ, 20 cái vàng và
10 cái nâu, đen lẫn lộn Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu cái để chắc chắn lấy được 10 cái cùngmàu
Trang 3BỘ MÔN TOÁN Hướng dẫn ôn tập logic
Ví dụ 1.10 Giả sử các điểm trong mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ.Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhật mà bốn đỉnh được tô cùng màu
Lời giải Kẻ 3 dòng kẻ ngang, 9 dòng kẻ dọc như hình vẽ, ta được 9 bộ 3 điểm
Vì mỗi điểm được tô bởi hai màu nên có 8 cách để tô 3 điểm Mà có 9 bộ điểm nên sẽ có
2 bộ được tô giống hệt màu nhau Với hai bộ đó ta có thể có hình chữ nhật mà bốn đỉnh được
Nếu 1 người A quen đúng 1 người B, không quen C, D, E thì xét trong các nhóm (A, C,D), (A, C, E), (A, D, E) phải có C quen D, C quen E, D quen E Vậy trong nhóm (C, D, E)
ba người quen lẫn nhau–> vô lý
Vậy 1 người bất kì trong 5 người quen đúng 2 người và không quen đúng 2 người
Tiếp theo xếp chỗ ngồi theo nguyên tắc xếp hai người quen của 1 người ngồi kế bên họ Tađược cách xếp thỏa mãn
Ví dụ 1.12 Trong một hội nghị, mỗi người có một số người quen nhất định Người A quenngười B thì người B cũng quen người A Chứng minh rằng số người có lẻ số người quen là một
Lời giải Giả sử 3 trường là A, B, C
Giả sử sinh viên a quen số sinh viên của 1 trường nhiều nhất là k sinh viên, không mất tínhtổng quát giả sử a là sinh viên trường A và k sinh viên đó của trường B Vì sinh viên từ mộttrường quen n+1 sinh viên của 2 trường còn lại nên có (n+1-k) sinh viên A quen thuộc trườngC
Trường hợp 1: ∃c ∈ C nằm trong số (n+1-k) sinh viên A quen cũng quen 1 bạn thuộc ksinh viên trường B mà A quen → xong
Trang 4Trường hợp 2: ∀c ∈ C thuộc (n+1-k) sinh viên a quen không có ai quen k sinh viên trường
B mà a quen Khi đó, c chỉ quen nhiều nhất là n-k sinh viên trường B Như vậy số sinh viên cquen ở trường A ít nhất sẽ là
n + 1 − (n − k) = k + 1Suy ra, vô lý với điều giả sử Vậy ko xảy ra trường hợp 2 này
Ví dụ 1.14 Một hệ thống đèn trang trí gồm 8 đèn Mỗi đèn hiện màu xanh trong 2 phút rồichuyển sang màu đỏ cũng trong 2 phút Bắt đầu từ đèn thứ nhất bật màu xanh, cứ sau 10 giâythì một đèn tiếp theo sẽ bật màu xanh Tính thời gian cả 8 đèn cùng bật màu xanh trong 3 phútđầu tiên của hệ thống đèn
Lời giải Giải Trong 3 phút đầu tiên của hệ thống đèn thì đèn thứ nhất chỉ hiện màu xanhtrong 2 phút đầu tiên Đổi 2 phút = 120 giây Ta thấy bắt đầu từ giây thứ 70, thì cả 8 đènđều bật màu xanh Suy ra thời gian cả 8 đèn cùng bật màu xanh trong 3 phút đầu tiên của hệthống là 120 – 70 = 50 (giây)
Ví dụ 1.15 Một người đi bộ dọc theo đường tàu, nếu đi ngược chiều tàu chạy thì cứ 5 phút lạigặp một đoàn tàu , nếu đi cùng chiều tàu chạy thì cứ 7 phút lại thấy 1 đoàn tàu Hỏi sau baonhiêu phút thì có một đoàn tàu khởi hành biết tàu chuyển động đều, người đi đều và khoảngcách 2 chuyến tàu cùng 1 ga không đổi
Chứng minh Cách 1 Gọi s là khoảng cách giữa 2 chiếc tàu chạy kế tiếp nhau Khi anh ta đicùng chiều với tàu thì cứ 7 phút một, tàu đi ơn anh ta một quảng đường s, do đó ta có: s =7(vt – vng) (*) với vt là tốc của tàu; vng là vận tốc người đi Tương tự khi đi ngược chiều vớitàu thì cứ 5 phút một, cả tàu và người đi được quãng đường s, nên có: s = 5(vt + vng) (**)
Từ (*) và (**) suy ra vt = 6 vng thay vào (*) có s = 35/6 vt => thời gian giữa 2 chuyến tàuliên tiếp: t = s/vt = 35/6 phút (5 phút 50 giây) tức là cứ 5 phút 50 giây lại có 1 chuyến tàuxuất phát
Cách 2
Ví dụ 1.16 Để lọt vào đội tuyển toán tuổi thơ, An đã tham gia một số bài kiểm tra Bạn đótính rằng: nếu được thêm 3 điểm 10 và 3 điểm 9 thì điểm trung bình sẽ là 8 điểm, nếu đượcthêm 1 điểm 9 và 2 điểm 10 thì điểm trung bình là 7,5 điểm Hỏi An đã được kiểm tra mấybài?
Lời giải Trường hợp 1: Được thêm 3 điểm 10 và 3 điểm 9 thì số bài tăng thêm là 6 bài và sốđiểm tăng thêm là 57 điểm Để trung bình là 8 thì 6 bài này đã bù cho 57-(8.6)=9 điểm chonhững bài kiểm tra trước đó
Trường hợp 2: Được thêm 1 điểm 9 và 2 điểm 10 thì số bài tăng thêm là 3 bài, số điểm tăngthêm là 29 Để trung bình là 7,5 thì 3 bài này đã bù 29-7,5.3=6,5 điểm cho những bài kiểm tratrước đó
Vậy để tăng thêm điểm trung bình từ 7,5 lên 8 thì phải bù thêm 9-6,5=2,5 điểm cho cácbài kiểm tra trước đó Do đó số bài kiểm tra đã làm là 2,5:0,5=5 bài
Ví dụ 1.17 Có 3 người A, B, C chọn một bộ bài 3 cây, trên mỗi bài ghi số 0<p<q<r Cáchchơi như sau: Chia cho mỗi người 1 quân bài và phát cho mỗi người số kẹo bằng với số ghi trênquân bài, sau đó thu quân bài lại, trộn đi và tiếp tục chia Cứ như thế sau n lần chia (n>2) thì
A, B, C lần lượt nhận được 20, 10, 9 viên kẹo Biết rằng B nhận được r viên kẹo ở lần phátcuối cùng, hỏi ai đã được q viên kẹo ở lần phát đầu tiên?
Trang 5BỘ MÔN TOÁN Hướng dẫn ôn tập logic
Lời giải Tổng số kẹo 3 bạn nhận được là 20+10+9=39 viên Suy ra n(r+p+q)=39 Suy ra n=3hoặc n=13
Vậy lần đầu A nhận r kẹo, B nhận p kẹo và C nhận q kẹo
Ví dụ 1.18 Có 26 que diêm, 2 người chơi mỗi người lần lượt bốc từ 1 đến 4 que Người bốcphải que cuối cùng là người thua cuộc Tìm cách chơi cho người đi sau để người đó luôn làngười thắng cuộc
Lời giải Đề người đi sau thắng thì người đi đầu phải là người bốc được que cuối cùng Tức làngười đi sau sau khi bốc lần cuối chỉ để lại đúng 1 que
Cách chơi như sau: khi người trước bốc k que (1 ≤ k ≤ 4) thì người sau sẽ phải bốc 5 − kque diêm Như vậy sau 5 lượt bốc sẽ còn lại đúng 1 que diêm và đến người đi trước bốc Nhưvậy người đi trước sẽ thua cuộc
Ví dụ 1.19 Có 27 que diêm, 2 người chơi mỗi người lần lượt bốc từ 1 đến 4 que Đến khi hết,trong tay ai có số diêm chẵn sẽ thắng cuộc Tìm cách chơi cho người đi trước để người đó luôn
là người thắng cuộc
Lời giải Đề A thắng cuộc thì phải hoặc bốc nốt số diêm cuối cùng và được chẵn que hoặc Abốc được số chẵn que, còn lại đúng 1 que cuối cùng
Cách chơi: A sẽ đi theo nguyên tắc
• Nếu B đã bốc được số lẻ que và đến lượt A thì A cần bốc sao cho còn lại 6k que (tức là
Bài 1.2 Có 200 học sinh xếp thành 10 hàng dọc, mỗi hàng 20 học sinh Lần thứ nhất chọn
ra 10 học sinh cao nhất ở mỗi hàng dọc sau đó chọn ra 1 người thấp nhất trong 10 người vàcho 10 học sinh đó về lại chỗ.Lần thứ hai chọn ra 20 học sinh thấp nhất ở 20 hàng ngang sau
đó chọn ra 1 người cao nhất trong 20 người Hỏi trong 2 người đã chọn ra ở lần thứ nhất vàthứ hai, ai cao hơn?
Trang 6Bài 1.3 Có 6 con chim đậu ở 6 đỉnh của một lục giác đều Nghe tiếng động, cả 6 con bay lênsau đó lại đậu lại ở 6 đỉnh lục giác đều đó Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được ba conchim mà tam giác được tạo bởi ba con chim đó lúc trước khi bay lên bằng với tam giác sau khichúng đậu xuống.
Bài 1.4 Trong một hội nghị, người ta nhận thấy điều thú vị sau đây: Trong hội nghị có rấtnhiều người quen biết nhau nhưng nếu hai người nào đó có cùng số người quen thì không cóchung một người quen nào cả Hãy chứng tỏ trong hội nghị có ít nhất một người chỉ có duynhất một người quen
Bài 1.5 Hai sinh viên chơi cờ tự tạo như sau:
• Vẽ trên mặt đất một hình vuông và chia hình vuông đó ra làm 9 hình vuông con bằngnhau và sau đó cắt tiếp 9 hình vuông bằng những hình vuông con trên Trên 9 hình vuôngcon này ghi các số tự nhiên lớn hơn 0 bất kì và bắt đầu chơi
• Người thứ nhất lấy một mảnh giấy có số đặt vào một 1 hình vuông con và người thứ haicũng lấy 1 số đặt vào các hình vuông con còn lại Cứ tiếp tục như thế cho đến hết 9 ôvuông
• Sau đó cộng hàng ngang trên cùng và hàng ngang dưới cùng được một số là kết quả t1
của người thứ nhất Cộng hàng dọc tận cùng bên trái và hàng dọc tận cùng bên phảiđược kết quả t2 của người hai Nếu t1 > t2 thì người thứ nhất thắng, nếu t1 = t2 thì hòa,nếu t1 < t2 thì người thứ hai thắng
Chứng minh rằng tồn tại một cách chơi mà người đi đầu không bao giờ thua cuộc
Trang 7Chương 2
Đại số mệnh đề
2.1 Các phép toán và các công thức
Định nghĩa 2.1 Mệnh đề là một câu mang nội dung phán đoán Mỗi phán đoán được giả thiết
là có giá trị chân lý nhất định đúng hoặc sai, không thể vừa đúng hoặc vừa sai hoặc không thểkhẳng định tính đúng sai của nó
Các mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như A, B, C, , X, Y, Z vàđược gọi là các biến mệnh đề
Môn học nghiên cứu các mệnh đề được gọi là đại số mệnh đề
Giá trị chân lý là giá trị đúng, sai của mệnh đề Giá trị chân lý đúng kí hiệu là T, giá trịchân lý sai kí hiệu là F
Bảng chân lý là bảng gồm các trường hợp đúng sai của mệnh đề
Ví dụ 2.2 Bảng chân lý của một mệnh đề, hai mệnh đề và ba mệnh đề
ATF
Chú ý: Nếu có n mệnh đề thì có 2n khả năng có thể xảy ra
Định nghĩa 2.3 Mệnh đề sơ cấp là mệnh đề không có các liên từ "và", "hoặc", "nếu thì"
Ví dụ 2.4 A="Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam" (T)
B="Thành phố HCM là thủ đô của nước Việt Nam" (F)
Trang 9BỘ MÔN TOÁN Hướng dẫn ôn tập logic
Định nghĩa 2.5 Công thức trong đại số mệnh đề được định nghĩa theo quy nạp như sau
1 Mỗi mệnh đề sơ cấp là một công thức mệnh đề
2 Nếu A là công thức thì A cũng là công thức
Nếu A, B là công thức thì A ∧ B, A ∨ B, A → B, A ↔ B đều là công thức
3 Không có công thức nào khác ngoài công thức có được từ mục 1 và 2
Ví dụ 2.6 H = A ∨ B → (C ∧ D) ∨ B ∨ D là một công thức
* Quy ước:
1 Có thể bỏ dấu ngoặc ở tận cùng bên trái và bên phải
2 Có thể bỏ dấu ngoặc ở ngay trước dấu hội
Ví dụ 2.7 H = A ∨ B → C ∧ D ∨ B ∨ D
3 Khi thực hiện phép toán trong đại số mệnh đề chúng ta thực hiện theo thứ tự ưu tiênnhư sau
• Trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau
• Nếu không có ngoặc thì thứ tự ưu tiên của các phép toán là: Phủ định, phép hôi,phép tuyển, kéo theo, tương đương
* Giá trị của công thức
Để tính giá trị của công thức, người ta thay các mệnh đề có trong công thức bằng những mệnh
H = ”15 .5” → ”Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam” ∧ ”13 là số nguyên tố ”
Ta nói, giá trị công thức của H theo bộ mệnh đề đã cho là (T )
Trang 10Tổng quát: Cho H(X1, X2, , Xn) Thay X1, X2, , Xn bằng những mệnh đề cụ thể thì giátrị của H nhận được được gọi là giá trị của công thức H theo bộ mệnh đề cụ thể Tuy nhiênkhi tính giá trị của H thì chúng ta lại tính theo giá trị của các mệnh đề cụ thể Do đó, có thểthay các biến mệnh đề trong công thức H bằng bộ giá trị cụ thể của các biến.
Tóm lại, Nếu H(X1, X2, , Xn), trong đó các Xi nhận mệnh đề cụ thể X1 = B1, X2 =
Định nghĩa 2.9 Giả sử H, K là hai công thức trong đại số mệnh đề của cùng các biến mệnh
đề H(X1, X2, , Xn) ≡ K(X1, X2, , Xn) được gọi là đồng nhất bằng nhau nếu H, K nhận giátrị như nhau (đúng sai như nhau) với mọi bộ biến mệnh đề X1, X2, , Xn
Trang 11BỘ MÔN TOÁN Hướng dẫn ôn tập logic
Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp lập bảng
Định nghĩa 2.11 Công thức A trong đại số mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó nhận giátrị đúng với mọi trường hợp xảy ra với các biến mệnh đề có trong A
Công thức A trong đại số mệnh đề được gọi là hằng sai nếu nó nhận giá trị sai với mọitrường hợp xảy ra với các biến mệnh đề có trong A
Công thức A trong đại số mệnh đề được gọi là thỏa được nếu tồn tại bộ biến mệnh (1 trườnghợp) mà A nhận giá trị đúng
Trang 12Dịch một câu được phát biểu bằng ngôn ngữ tự nhiên thành một biểu thức logic có vai trò hếtsức quan trọng trong xây dựng các ngôn ngữ lập trình, chương trình dịch và xử lý ngôn ngữ tựnhiên.Một khi câu đã được chuyển dịch thành biểu thức logic, chúng ta có thể xác định đượcgiá trị chân lý của biểu thức logic, thao tác trên biểu thức logic, biến đổi tương đương trênbiểu thức logic.
Ví dụ 2.13 Dịch câu “Bạn không được lái xe máy nếu bạn cao dưới 1.5 mét trừ phi bạn trên
18 tuổi” thành biểu thức logic
Lời giải Đặt A="Bạn được lái xe máy", B="Bạn cao dưới 1.5 mét", C="Bạn đủ 18 tuổi"Khi đó, câu trên có thể viết là B ∧ C → A
Ví dụ 2.14 Đặt X là mệnh đề "Tuấn đi xe không cẩn thận", Y là mệnh đề "Tuấn đi xe antoàn", Z là mệnh đề "Tuấn đi xe giỏi." Hãy viết các mệnh đề phức hợp sau đây dưới dạng côngthức logic mệnh đề
a) Tuấn đi xe cẩn thận, giỏi và an toàn
b) Nếu Tuấn đi xe cẩn thận, giỏi thì an toàn
Lời giải a) X ∧ Y ∧ Z
b) (X ∧ Z) → Y
2.2 Dạng chuẩn tắc tuyển và dạng chuẩn tắc hội
Các công thức (mệnh đề) tương đương được xem như các biểu diễn khác nhau của cùng mộtmệnh đề Hay nói cách khác, một công thức trong đại số mệnh đề có thể biểu diễn được dướinhiều dạng khác nhau Để dễ dàng viết các chương trình máy tính thao tác trên các công thức,chúng ta cần chuẩn hóa các công thức, đưa chúng về một dạng biểu diễn chuẩn, gọi là dạngchuẩn tắc
Trang 13BỘ MÔN TOÁN Hướng dẫn ôn tập logic
1 Tuyển sơ cấp (TSC): Tuyển các mệnh đề sơ cấp và phủ định của các mệnh đề sơ cấp đượcgọi là tuyển sơ cấp
Định lí 2.15 1 Điều kiện cần và đủ để TSC đồng nhất đúng là trong TSC có chứa mệnh
đề sơ cấp và phủ định của chính nó Nói cách khác
• Nếu A ∈ (TSC) thì giá trị A là (F )
• Nếu B ∈ (TSC) thì giá trị của B là (T )
Với bộ giá trị ấy (TSC) = (F ) ∨ (F ) ∨ ∨ (F ) ≡ (F ) Vô lý
Vậy phải tồn tại A, A ∈ (TSC)
2 Chứng minh tương tự
Định nghĩa 2.16 1 Dạng chuẩn tắc tuyển (DCTT) là tuyển của các hội sơ cấp
(DCTT) = (HSC)1∨ (HSC)2 ∨ ∨ (HSC)n
2 Dạng chuẩn tắc hội (DCTH) là hội của các tuyển sơ cấp
(DCTH) = (TSC)1∧ (TSC)2 ∧ ∧ (TSC)nMọi công thức trong đại số mệnh đề đều có thể đưa về dạng DCTT hoặc DCTH dựa vàocông thức sau
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (DCT T )
Trang 14Ví dụ 2.17 Đưa về dạng chuẩn tắc công thức sau
2 Điều kiện cần và đủ để một công thức trong đại số mệnh đề đồng nhất sai là tất cả (HSC)trong (DCTT) của nó đều chứa ít nhất một mệnh đề sơ cấp và phủ định của nó
Ngược lại muốn chứng minh một công thức đồng nhất sai, ta đưa công thức ấy về (DCTT)
và kiểm tra các hội sơ cấp trong (DCTT)
Ví dụ 2.21 Chứng minh các công thức sau