SLIDE TOÁN RỜI RẠC Chương 3 5 cây và cây khung của đồ thị TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT

TIẾP NỐI CHƯƠNG 2 CỦA SLISE MÔN TOÁN RỜI RẠC MÌNH XIN GỬI ĐẾN CÁC BẠN CHƯƠNG 3 MÌNH MONG RẰNG VỚI NHỮNG MẪU SLIDE NÀY SẼ GIÚP MỌI NGƯỜI DỄ DÀNG HƠN KHI HỌC TẬP VÀ THỰC HÀNH MÔN NÀY ..... ,,,,,,

Trang 1

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

GV: Đặng Hữu Nghị Sđt: 0989640319

Email: nghidanghuu@gmail.com

Trang 2

NỘI DUNG

3.1 •Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị

3.2 •Biểu diễn đồ thị trên máy tính

3.3 •Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị

3.4 •Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton

3.5 •Cây và cây khung của đồ thị

Trang 3

3.5.1 CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA

Trang 4

3.5.1 CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA

3) T không chứa chu trình và có n−1 cạnh

4) T liên thông và mỗi cạnh là cầu

5) Giữa hai đỉnh phân biệt bất kỳ của T luôn có duy nhất

một đường đi đơn

Trang 5

BÀI TẬP

1 Đồ thị nào trong các đồ thị sau là cây

5

Trang 6

3.5.2 CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ

 Trong đồ thị liên thông G,

 nếu ta loại bỏ cạnh nằm trên chu trình nào đó thì ta sẽ được

đồ thị vẫn là liên thông.

 Nếu cứ loại bỏ các cạnh ở các chu trình khác cho đến khi nào

đồ thị không còn chu trình (vẫn liên thông) thì ta thu được

một cây nối các đỉnh của G.

 Cây đó gọi là cây khung hay cây bao trùm của đồ thị G

 Định nghĩa: Giả sử G = (V ,E ) là đồ thị vô hướng

liên thông Cây T= (V ,F) với F E được gọi là cây

khung của đồ thị G

Trang 7

Đồ thị và các cây khung của nó

7

Trang 8

 Định lý sau đây cho biết số lượng cây khung của đồ thị

đầv đủ Kn

 Định lý 2 (Cayley): Số cây khung của đổ thị K n là n n-2

 Định lý 2 cho thấy số lượng cây khung của một đổ thị là

một số rất lớn

Trang 9

BÀI TẬP

Hãy vẽ tất cả các cây khung của các đồ thị sau:

9

Trang 10

BÀI TẬP

3 Đồ thị sau có bao nhiêu cây khung, liết kê các cây khung

đó

Trang 11

 Ta xét áp dựng của thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu và

theo chiều rộng trên đồ thị để xây dựng cây khung của

đổ thị vô hướng liên thông

 Trong cả hai trường hợp mỗi khi ta đến được đỉnh mới u

(tức Chuaxet[u] = true) từ đỉnh v thì cạnh (v, u) sẽ được

kết nạp vào cây khung

11

Trang 12

procedure STREE_DFS(v);

(* Tìm kiếm theo chi ều sâu áp dụng vào tìm tập cạnh của cáy khung T của đồ

thị vô hướng liên thông G cho bởi danh sách kề Các biến Chuaxet, Ke, T là

toàn cục *)

begin

Chuaxet[v] := false ;for u ϵ Ke(v) do

if Chuaxet[u] thenbegin

T := T  (v, u) ;STREE_DFS(u);

Trang 13

(* Main Program *)

BEGIN

(* Initialiation *)for u ϵ V do Chuaxet[u]:=true;

T :=  ; (* T là tập cạnh của cây khung *) STREE_DFS(root); (* root là đỉnh nào đó của đồ thị *)

END

13

Trang 15

10

13

Trang 16

procedue STREE_BFS(r);

(* Tìm kiếm theo chiều rộng áp dụng tìm tập cạnh của cây khung T

của đồ thị vô hướng liên thông G cho bởi danh sách Ke *)

begin

QUEUE := ;

QUEUE  r ; Chuaxet[r]:=false;

While QUEUE ≠  do begin

v  QUEUE;

for u ϵ Ke(v) do

if Chuaxet[u] then begin

QUEUE  u; Chuaxet[u]:=false;

Trang 17

Trang 18

VD: Tìm cây khung của đồ thị :

2

8

Trang 19

Bước T.thái Queue:

Trang 21

3.5.3 XÂY DỰNG TẬP CÁC CHU TRÌNH CƠ BẢN

CỦA ĐỒ THỊ

 Giả sử G = (V, E) là đơn đồ thị vô hướng liên thông,

H=(V, T) là cây khung của nó

 Các cạnh của đồ thị thuộc cây khung ta sẽ gọi là các cạnh

trong, còn các cạnh còn lại sẽ gọi là cạnh ngoài

 Định nghĩa 3: Nếu thêm một cạnh ngoài e ϵ E \ T vào

cây khung H chúng ta sẽ thu được đúng một chu trình

trong H, ký hiệu chu trình này là Ce Tập các chu trình

Ω = {Ce: e ϵ E \ T } được gọi là tập các chu trình cơ

bản của đồ thị G

21

Trang 22

 Tên gọi chu trình cơ bản gắn liền với sự kiện là mỗi chu

trình của đồ thị đều có thể thu được từ các chu trình cơ

bản như chỉ ra trong định lý sau đây:

 Định lý 3: Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng liên

Trang 23

 Việc tìm tập các chu trình cơ bản giữ một vai trò quan

trọng trong vấn đề giải tích mạng điện Cụ thể hơn, theo

mỗi chu trình cơ bản của đồ thị tương ứng với mạng điện

cần phân tích ta sẽ thiết lập được một phương trình tuyến

tính theo định luật Kirchoff:

 Tổng hiệu điện thế dọc theo một mạch vòng là bằng

không Hệ thống phương trình tuyến tính thu được cho

phép tính toán hiệu điện thế trên mọi đoạn đường dây

của lưới điện

23

Trang 24

 Mô tả thuật toán xây dựng tập các chu trình cơ bản dựa

trên thủ tục tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị

 Thuật toán có cấu trúc tương tự như thuật toán xây dựng

cây khung theo thủ tục tìm kiếm theo chiều sâu mô tả

trong mục trước

 Thuật toán xây dựng tập các chu trình cơ bản Giả thiết

rằng đồ thị G = (V, E) được mô tả bằng danh sách kề

Ke(v), v ϵ V

Trang 25

if (u ≠STACK[d-l]) and (Index[v] > Index[u]) then

< Ghi nhận chu trình với các đỉnh:

STACK[d], STACK[d-1], , STACK[c] , với STACK[c]=u >:

d := d - l;

end;

25

Trang 26

Trang 32

3.5.4 BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT

 Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng liên thông với tập đỉnh V =

{1, 2, , n} và tập cạnh E gồm m cạnh.

 Mỗi cạnh e của đồ thị G được gán với một số thực c(e), gọi là

độ dài của nó.

 Giả sử H = (V, T) là cây khung của đồ thị G Ta gọi độ dài

c(H) của cây khung H là tổng độ dài của các cạnh của nó:

Trang 33

 Ví dụ về đồ thị có trọng số trên cạnh và cây khung nhỏ

nhất của đồ thị được chỉ ra bởi các cạnh tô đậm

33

Trang 34

 Bài toán xây dựng hệ thống đường sắt:

 Giả sử ta muốn xây dựng một hệ thống đường sắt nối n thành

phố sao cho hành khách có thể đi từ bất cứ một thành phố nào

đến bất kỳ một trong số các thành phố còn lại.

 Và chi phí vể xây dựng hệ thống đường phải là nhỏ nhất

 Rõ ràng là đổ thị mà đỉnh là các thành phố còn các cạnh

là các tuyến đường sắt nối các thành phố tương ứng với

phương án xây dựng tối ưu phải là cây

 Vì vậy, bài toán đặt ra dẫn về bài toán tìm cây khung

Trang 35

 Bài toán nối mạng máy tính.

 Cần nối mạng một hệ thống gồm n máy vi tính đánh số từ 1

đến n.

 Biết chi phí nối máy i với máy j là c[i, j], i , j = 1, 2,, , n

(thông thường chi phí này phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần

sử dụng).

 Hãy tìm cách nối mạng sao cho tổng chi phí nối mạng là nhỏ

nhất

35

Trang 36

3.5.4.1 THUẬT TOÁN KRUSKAL

nhất T=(VT, ET) theo từng bước:

1. Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh

trọng số

cạnh của dãy đã được xếp vào T theo nguyên tắc cạnh

thêm vào không được tạo thành chu trình trong T

Lặp lại Bước 3 cho đến khi nào số cạnh trong T bằng

Trang 37

procedure Kruskal;

begin

T : = 0 ;while (|T| < n-1) and ( E ≠ ) dobegin

Trang 38

 Ví dụ : Tim cây khung nhỏ nhất của đồ thị cho trong

hình

Trang 39

 Bước khởi tạo Đặt T :=  S ắp xếp các cạnh của đồ thị theo

thứ tự không giảm của độ dài ta có dãy:

 Tinh huống tương tự cũng xảy ra đối với cạnh (3,4) là cạnh

tiếp theo trong dãy.

 Tiếp theo ta bổ sung cạnh (1,3), (2,3) vào T và thu được tập T

gồm 5 cạnh;

T = {(3,5), (4,6), (4,5), (1,3), (2,3)}

 chính là tập cạnh của cây khung nhỏ nhất cần tìm. 39

Trang 40

 Ví dụ : Tim cây khung nhỏ nhất của đồ thị cho trong

2

5 5

Trang 41

3.5.4.2 THUẬT TOÁN PRIM

 Thuật toán Kruskal làm việc kém hiệu quả đối với những

đồ thị dày (đồ thị với số cạnh m  n(n-1)/2).

 Trong trường hợp đó thuật toán Prim tỏ ra hiệu quả hơn

gần nhất

41

Trang 42

 Trong phương pháp này, bắt đầu từ một đỉnh tuỳ ý của

đồ thị s, đầu tiên ta nối s với đỉnh lân cận gần nó nhất,

Trang 43

 Đồ thị cho bởi ma trận trọng số C = c[i, j], i, j = 1, 2, , n

 các đỉnh của đổ thị sẽ được gán cho các nhãn Nhãn của một

đỉnh v sẽ gồm hai phần và có dạng [d[v], near[v]]

 d[v] := min { c[v, w] : w ϵ V H}

 Near[v] ghi nhận đỉnh của cây khung gần v nhất (near[v] := z).

43

Trang 44

H = ( VH ,T) là cây khung nhỏ nhất của đồ thị ;

Stop := true;

end else for v ϵ V\ VH do

if d[v]> c[u,v] then

Trang 45

 Tim cây khung nhỏ nhất cho đồ thị xét trong thí dụ sau

theo thuật toán Prim

45

Trang 46

 Ma trận trọng số của đồ thị có dạng

Trang 47

 Bảng dưới đây ghi nhãn của các đỉnh trong các bước lặp

của thuật toán, đỉnh đánh dấu * là đỉnh được chọn để bổ

sung vào cây khung (khi đó nhãn của nó không còn bị

biến đổi trong các bước lặp tiếp theo, vì vậy ta đánh dấu

- để ghi nhận điếu đó):

47

Trang 49

của đồ thị Các cạnh đậm là các cạnh được chọn vào cây

khung

49

Trang 50

BÀI TẬP

4 Cho đồ thị như hình vẽ bên, tìm cây khung nhỏ nhất

theo thuật toán Prim

Trang 51

3.5.5 CÂY CÓ GỐC

51

Trang 52

 vn là con (child) của vn-1

 Nếu x là tiền bối của y thì y là hậu

Trang 53

3.5.5.1 CÁC KHÁI NIỆM

 Nếu x không có con thì x là lá

(leaf)

 Nếu x không là lá thì x là đỉnh

trong (branch vertex)

 Mức (level) của đỉnh x là chiều

dài (số cành) của đường đơn từ

 Tập các cành gồm mọi cành nối tới

các hậu duệ của x

53

Trang 55

 Cây có gốc thứ tự (Ordered rooted tree) nếu các con của

mỗi đỉnh trong được xếp thứ tự từ trái qua phải

55

Trang 56

3.5.5.1 CÁC KHÁI NIỆM

 Đặc biệt: Cây nhị phân có thứ tự - Nếu một đỉnh trong

có đủ 2 con thì

 Con thứ nhất là con bên trái (left child)

 Con thứ hai là con bên phải ( right child)

(balanced) nếu tất cả các lá đều ở mức h hay h-1

Trang 57

MỘT SỐ VÍ DỤ

 Mô hình gia phả một dòng họ

57

Trang 58

MỘT SỐ VÍ DỤ

 Mô hình biểu diễn của các tổ chức

 Ví dụ: Mô hình tổ chức Trường Đại Học

Trang 59

MỘT SỐ VÍ DỤ

59

Trang 60

MỘT SỐ VÍ DỤ

Trò đố 8 ô

Nguyên bản của trò chơi là trò đố 15 ô như hình

dưới, có 15 viên gạch đánh số khác nhau được đặt

vừa vào 16 ô vuông theo bảng

Có một ô vuông để trống nên các viên gạch đó có

thể di chuyển loanh quanh để tạo ra các sắp xếp

khác nhau

Mục tiêu là tìm ra một chuỗi bước di chuyển các

viên gạch vào ô trống để sắp xếp bảng thành một

cấu hình đích nào đó

Trang 61

Trạng thái ban đầu Trạng thái đích

Trang 64

MỘT SỐ VÍ DỤ

Trò chơi Tic-Tac-Toe

nhất có thể đặt ký hiệu nước đi X vào bất cứ ô nào

trong 9 ô trống của bàn cờ

cờ khác cho phép đấu thủ thứ hai đến lượt mình

đi sẽ có thể chọn 8 cách đặt ký hiệu nước đi O của

mình vào Và sẽ cứ luân phiên như thế

Trang 66

3.5.5.2 CÂY TÌM KIẾM NHỊ PHÂN

trong đó:

 Mỗi đỉnh được gán cho một nhãn

 Các nhãn có thể so sánh được với nhau

 ∀ đỉnh v ∈T, các nhãn trong cây con bên trái của v đều nhỏ

hơn nhãn của v và các nhãn trong cây con bên phải của v đều

lớn hơn nhãn của v

Trang 67

 Ví dụ: 30, 20, 10, 40, 32, 27, 17, 8, 42, 78, 35

67

Trang 68

Thuật toán tìm kiếm trên cây tìm kiếm nhị phân

 Giả sử ta có một cây tìm kiếm, x là một giá trị nào đó

 Xác định vị trí của biến x nếu x là nhãn của một đỉnh v

 Nếu thấy rằng x không là nhãn của một đỉnh nào cả thì

tạo ra một đỉnh mới và gán nhãn x cho đỉnh đó

 Độ phức tạp thuật toán: O(logn)

Trang 69

Thuật toán tìm kiếm trên cây tìm kiếm nhịphân

Void TK (Cây NPTK T, phần tử x);

{

v = gốc của T;

if(v == NULL) thêm đỉnh r vào cây và gán cho nó nhãn là x

while((v != NULL) && (label(v) != x) )

{

if(x == label(v)) cout<< “Tìmđược x”;

if(x < label(v))

if(con bên trái v != NULL) v = con bên trái v;

else thêm đỉnh nhãn x là con bên trái v và đặt v := NULL;

if(x > label(v))

if(con bên phải v != NULL) v = con bên phải v;

else thêm đỉnh nhãn x là con bên phải v và đặt v:=NULL;

}

Trang 70

 Biểu diễn cây nhị phân

 Thông tin lưu tại nút:

Info

 Ðịa chỉ nút gốc của cây

Trang 71

 C ấu trúc dữ liệu của 1 nút

typedef struct tagTNode

{

int Key; //trường dữ liệu là 1 số nguyên

struct tagTNode *pLeft;

struct tagTNode *pRight;

} TNode;

 C ấu trúc dữ liệu của cây

typedef TNode *TREE;

71

Trang 72

Tạo cây rỗng

void CreateTree(TREE &T)

{

}

Trang 73

Trang 74

if (T->Key > X) return insertNode(T->pLeft, X);

else return insertNode(T->pRight, X);

} T= new TNode;

if (T == NULL) return -1;

T->Key = X;

Trang 75

75

4 4

Trang 76

TNode * searchNode (TREE Root, int x)

{ TNode *p = Root;

while (p != NULL) { if (x == p->Key) return p;

else

if (x < p->Key) p = p->pLeft;

else p = p->pRight;

Trang 77

Trang 78

44

Hủy X=37

Trang 79

79

Trang 80

Trang 81

3.5.5.3 CÂY QUYẾT ĐỊNH

Thuật toán tìm kiếm trên cây tìm kiếm nhị phân

 Cây quyết định là cây có gốc mà:

 Mỗi đỉnh tương ứng với 1 quyết định

 Mỗi cây con tại các đỉnh này ứng với mỗi kết cục có thể của

của quyết định

 Một lời giải là một đường đi từ gốc đến lá

 Ví dụ 1: Cho 8 đồng xu, trong đó có một đồng nhẹ hơn

Xác định nó bằng 1 cái cân thăng bằng

81

Trang 82

 Có 3 trạng thái sau mỗi lần cân Do đó cây quyết định

cho một dãy các lần cân là cây tam phân

 Có ít nhất 8 lá trong cây quyết định vì có 8 kết cục có thể

và mỗi kết cục cần biểu diễn bằng ít nhất 1 lá

 Số lần cân nhiều nhất để xác định đồng xu giả là chiều

cao của cây h

 Ta có h≥ ⎡log38⎤ = 2 (làm tròn tăng)

Trang 83

83

Trang 84

tennis” ứng với thời tiết nào đó không

Trang 85

85

Trang 86

Trang 87

3.5.5.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP DUYỆT CÂY

 Thuật toán viếng thăm mọi đỉnh của một cây có gốc có

thứ tự đúng 1 lần một cách có hệ thống gọi là thuật toán

duyệt cây

 ™Có 3 thuật toán phổ thông:

 Duyệt tiền tự (Preoder traversal)

 Duyệt trung tự (Inorder traversal)

 Duyệt hậu tự (Postorder traversal)

87

Trang 88

Thuật toán duyệt tiền tự

Duyệt cho tới khi tất cả các nút

đều được duyệt:

Trang 89

Thuật toán duyệt tiền tự

void Preorder( cây thứ tự có gốc T);

89

Trang 90

 Ví dụ

Trang 91

Thuật toán duyệt trung tự

Duyệt cho tới khi tất cả các nút đều

Trang 92

Thuật toán duyệt trung tự

s = con đầu tiên từ trái sang phải của r T(s) = Cây con với gốc s;

Inorder(T(s));

Thăm r;

for (Mỗi cây con c của r từ trái sang phải trừ s)

Trang 93

 Ví dụ

 Duyệt trung tự: d, c, e, b, a, g, f, h, m, l, n, k, o, p, s, q, t 93

Trang 94

Thuật toán duyệt hậu tự

Duyệt cho tới khi tất cả các nút

đều được duyệt:

Bước 1: Duyệt các cây con bên

trái một cách đệ qui

Bước 2: Duyệt các cây con bên

phải một cách đệ qui

Bước 3: Truy cập nút gốc.

Trang 95

Thuật toán duyệt hậu tự

Void Postorder( cây thứ tự có gốc T);

{

r = gốc của T for (Mỗi cây con c của r từ trái sang phải) {

T(c) = Cây con với gốc c Postorder( T(c) )

} Thăm r

Trang 96

 Ví dụ

Trang 97

BÀI TẬP

97

Trang 98

CÂY BIỂU THỨC

Trang 99

CÂY BIỂU THỨC

 Cây biểu diễn biểu thức (6 / 2 + 3) * (7 - 4) như sau:

99

Dạng tiền tố (prefix) của biểu thức: * + / 6 2 3 - 7 4

Dạng trung tố (infix) của một biểu thức: 6 / 2 + 3 * 7 – 4

Dạng hậu tố (postfix) của biểu thức: 6 2 / 3 + 7 4 - *

Tiêu đề	Cây và Cây Khung Của Đồ Thị
Người hướng dẫn	GV: Đặng Hữu Nghị
Trường học	Trường Đại Học Mỏ Địa Chất

Định dạng
Số trang	99
Dung lượng	2,64 MB

SLIDE TOÁN RỜI RẠC Chương 3 5 cây và cây khung của đồ thị TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT

BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT

CÁC PHƯƠNG PHÁP DUYỆT CÂY