SILE TOÁN RỜI RẠC Chương 3 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT

IẾP TỤC CHƯƠNG 2 CỦA MÔN TOÁN RỜI RẠC MÌNH SẼ GỬI DẾN D CÁC BẠN SLIDE BÀI GIẢNG CHƯƠNG 3.1 MÔN TOÁN RỜI RẠC CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT MONG RẰNG VỚI CÁC SLIDE NÀY SẼ GIÚP CÁC BẠN DỄ DÀNG CHINH PHỤC ĐƯỢC MÔN TOÁN RỜI RẠC NÀY

Trang 1

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

GV: Đặng Hữu Nghị Sđt: 0989640319

Email: nghidanghuu@gmail.com

Trang 2

NỘI DUNG

3.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị

3.2 Biểu diễn đồ thị trên máy tính

3.3 Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị

3.4 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton

3.5 Cây và cây khung của đồ thị

3.6 Bài toán đường đi ngắn nhất

3.7 Bài toán luồng cực đại trong mạng

Trang 3

3.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ

THUYẾT ĐỒ THỊ

 Lý thuyết đồ thị được khởi đầu từ vài trăm năm trước

(1736 với bài toán 7 cây cầu thành Konigsberg – Nga, và

được gắn với các tên tuổi lớn như Euler, Gauss,

Hamilton )

3

Trang 4

 Đồ thị được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh

vực khác nhau, ví dụ:

 Nhờ mô hình đồ thị của mạng máy tính chúng ta có thể xác

định xem hai máy tính trong mạng có thể trao đổi thông tin

được với nhau hay không

 Tim đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng

giao thông.

 Sử dụng đổ thị để giải các bài toán về lập lịch, thời khoá

biểu, và phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền

hình

 Các ứng dụng khác: Phân tích gen, trò chơi máy tính, chương

trình dịch, thiết kế hướng đối tượng

Trang 5

 Mối liên hệ giữa các môn học

5

Trang 6

 Biểu diễn mê cung

Trang 7

 Biểu diễn mạch điện

7

Trang 8

 Truyền thông trong mạng máy tính

Trang 9

 Luồng giao thông trên xa lộ

9

Trang 10

 Cây trò chơi (Game)

Trang 12

Trang 13

3.1.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

 Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các

cạnh nối các đỉnh này

 Phân biệt các loại đồ thị khác nhau bởi kiểu và số lượng

cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị

13

Trang 14

Trang 16

Trang 17

 Định nghĩa 2 (Đa đồ thị).

Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh

khác rỗng, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai

phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh Hai cạnh e 1 và e 2

được gọi là cạnh lặp (bội hay song song) nếu chúng cùng

tương ứng với một cặp đỉnh.

Mỗi đơn đồ thị là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị

nào cũng là đơn đồ thị, vì trong đa đồ thị có thể có hai

(hoặc nhiều hơn) cạnh nối một cặp đỉnh nào đó

17

Trang 18

Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại

Trang 19

 Định nghĩa 3 (Giả đồ thị).

Giả đồ thị vô hướmg G = (V, E ) bao gồm V là tập các

đỉnh, và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phân tử

(không nhất thiết phải khác nhau) của V gọi là các cạnh.

Cạnh e được gọi là khuyên nếu nó có dạng e=(u, u)

19

Sơ đồ mạng máy tính với kênh thông báo

Trang 20

 Nhận xét:

Giả đồ thị là loại đồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó có

thể chứa các khuyên và các cạnh lặp

Đa đồ thị là loại đồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội

nhưng không thể có các khuyên, còn đơn đồ thị là loại đồ

thị vô hướng không chứa cạnh bội hoặc các khuyên

Trang 21

 Định nghĩa 4 (Đơn đồ thị có hướng).

Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh

khác rỗng và E là tập các cặp có thứ tự các phần tử

thuộc V gọi là các cung.

21

Trang 22

 Định nghĩa 5 (Đa đồ thị có hướng).

Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh

khác rỗng và E là tập các cặp có thứ tự các phần tử

của V gọi là các cung Hai cung e 1 , e 2 tương ứng với cùng

một cặp đỉnh được gọi là cung lặp.

Trang 23

 Các loại đồ thị: Tóm tắt

23

Trang 24

Chú ý

 Đa đồ thị là dạng tổng quát hơn của đơn đồ thị,

nghĩa là một đơn đồ thị vẫn có thể được coi là Đa

đồ thị nhưng ngược lại thì không đúng

 Mặc dù tổng quát hơn nhưng Đa đồ thị rất khó

biểu diễn và xử lý trên máy tính

 Chính vì thế trong hầu hết các ứng dụng người ta

tìm cách biến các Đa đồ thi thành Đơn đồ thị

bằng cách thêm một số đỉnh vào giữa các

cạnh/cung song song hay các khuyên Khi đó Đa

đồ thị sẽ trở thành đơn đồ thị

Trang 25

BÀI TẬP

 Các đồ thị sau là đồ thị loại gì?

25

Trang 26

3.1.2 CÁC THUẬT NGỮ CƠ BẢN

Định nghĩa 1:

 Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V, E) được

gọi là liền kề nếu (u,v) Є E.

 Nếu e = (u, v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u

và v

 Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v Các

đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e.

Trang 27

Định nghĩa 2:

 Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V, E), ký hiệu deg(v), là

số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh

được tính hai lần cho bậc của nó.

 Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô

lập nếu deg(v)= 0

27

Trang 28

 Xét ví dụ:

28

Ta có: deg(v1)=7, deg(v2)=5, deg(v3)=3, deg(v4)=0,

deg(v5)=4, deg(v6)=1, deg(v7)=2

Trang 29

Rõ ràng mỗi cạnh e = (u, v) được tính một lần trong deg(u)

và một lần trong deg(v) Từ đó suy ra tổng tất cả các bậc

của các đỉnh bằng hai lần số cạnh

29

Trang 32

Trang 33

 Định nghĩa 3.

Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai

đỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u, v) nối đỉnh u với

đỉnh v hoặc cũng nói cung này là đi ra khỏi đỉnh u và vào

đỉnh v.

Đỉnh u(v) sẽ được gọi là đỉnh đầu (cuối) của cung (u, v).

33

Trang 34

Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị có

hướng là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký

hiệu là deg + (v) (deg - (v))

Trang 35

 Chứng minh: Kết quả có ngay là vì mỗi cung được tính

một lần cho đỉnh đầu và một lần cho đỉnh cuối

 Ví dụ

35

Ta có:

deg-(a)=1, deg-(b)=2, deg-(c)=2,

deg-(d)=2, deg-(e) = 2

deg+(a)=3, deg+(b)=1, deg+(c)=1,

deg+(d)=2, deg+(e)=2

Trang 36

BÀI TẬP

Bài 1: Cho đồ thị vô hướng

a) Hãy xác định số đỉnh, số cạnh và bậc của mỗi

đỉnh trong đồ thị

Trang 37

BÀI TẬP

Bài 2: Cho đồ thị có hướng

b) Chỉ ra các đỉnh cô lập và đỉnh treo của đồ thị 37

Trang 38

BÀI TẬP

Bài 3: Cho đồ thị có hướng

Trang 39

BÀI TẬP

 Bài 4: Có bao nhiêu cạnh trong đồ thị có 10 đỉnh,

mỗi đỉnh có bậc bằng 6

 Bài 5: Cho biết các đỉnh của đồ thị có bậc lần lượt

là: 4, 3, 3, 2, 2 Số cạnh của đồ thị này là bao

nhiêu

 Bài 6: Có tồn tại đơn đồ thị vô hướng có 5 đỉnh với các

số bậc sau đây không? Nếu có, hãy vẽ đồ thị đó

Trang 40

3.1.3 ĐƯỜNG ĐI , CHU TRÌNH ĐỒ THỊ LIÊN

THÔNG

Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên

dương, trên đồ thị vô hướng G = (V, E) là dãy

x0, x1,…, xn-1, xntrong đó u = x0, v = xn, (xi , xi+1) ϵ E, i = 0, 1 , 2,…, n-1.

Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các

Trang 41

THÔNG

 Thí dụ

 Trên đồ thị vô hướng cho trong hình:

 a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4.

 d, e, c, a không là đường đi, do (c,e) không phải là cạnh của

đồ thị.

 Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4.

 Đường đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi

Trang 42

THÔNG

 Khái niệm đường đi và chu trình trên đồ thị có hướng

được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trường hợp đồ

thị vô hướng, chỉ khác là ta có chú ý đến hướng trên các

cung

Trang 43

THÔNG

Định nghĩa 2: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó

n là số nguyên dương, trên đồ thị có hướng G = (V, A) là dãy

x0, x1,…, xn-1, xntrong đó u = x0, v = xn, (xi , xi+1) ϵ A, i = 0, 1 , 2,…, n-1.

Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các

Trang 44

THÔNG

 Ví dụ:

 Trên đồ thị có hướng cho trong hình trên:

 a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4.

 d, e, c, a không là đường đi, do (e, c) không phải là cung của

đồ thị.

 Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4.

 Đường đi a, b, e, d a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi 44

Trang 45

THÔNG

 Định nghĩa 3 (Liên thông)

Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thông nếu luôn

tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

45

Đồ thị liên thông G và đồ thị H gồm 3 thành phần liên thông H1, H2, H3

Trang 46

THÔNG

 Định nghĩa 4: Ta gọi đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là

đồ thị H = (W, F), trong đó W  V và F  E.

Trong trường hợp đồ thị là không liên thông, nó sẽ rã ra

thành một số đồ thị con liên thông không có đỉnh chung

Những đồ thị con liên thông như vậy ta sẽ gọi là các thành

phần liên thông của đồ thị

Ví dụ: Đồ thị H trong hình trên gồm 3 thành phần liên

thông H1 , H2, H3

Trang 47

THÔNG

Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng

với các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số

thành phần liên thông của đồ thị Cạnh e được gọi là cầu

nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên

thông của đồ thị.

Ví dụ: Trong đồ thị G ở hình trên, đỉnh c, d và e là đỉnh rẽ

nhánh, còn các cạnh (c,d) và (c,e) là cầu

47

Trang 48

THÔNG

Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thông mạnh

nếu luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thông yếu nếu

đồ thị vô hướng tương ứng với nó là vô hướng liên thông

48

Trang 50

ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ

 Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi K n , là đơn đồ thị vô

hướng mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó luôn có cạnh nối

Đồ thị đầy đủ K n , có tất cả n(n-1)/2 cạnh, nó là đơn đồ thị

Đồ thị đầy đủ

Trang 51

Đ Ồ THỊ ĐẦY ĐỦ

51

Trang 52

ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ

Trang 58

ĐỒ THỊ LẬP PHƯƠNG

 Đơn đồ thị 2n đỉnh, tương ứng với 2n xâu nhị phân độ dài

n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi 2 xâu nhị phân

tương ứng với hai đỉnh này chỉ khác nhau đúng một bit

được gọi là đồ thị lập phương, ký hiệu là Qn

 Như vậy, mỗi đỉnh của Qn có bậc là n, số cạnh của Qn là

n.2n-1

Trang 59

ĐỒ THỊ LẬP PHƯƠNG

59

Đồ thị lập phương Q n

Trang 61

ĐỒ THỊ HAI PHÍA

 Đơn đồ thị G = (V, E) được gọi là hai phía nếu như tập

đỉnh V của nó có thể phân hoạch thành hai tập X và Y

sao cho mỗi cạnh của đồ thị chỉ nối một đỉnh nào đó

trong X với một đỉnh nào đó trong Y.

 Khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu G=(X  Y, E) để chỉ đồ thị

hai phía với tập đỉnh X  Y.

61

Trang 62

 Định lý sau đây cho phép nhận biết một đơn đồ thị có

phải là hai phía hay không

Đơn đồ thị là đồ thị hai phía khi và chỉ khi nó không

chứa chu trình độ dài lẻ.

Trang 63

 Ví dụ: Kiểm tra đồ thị sau có phải là đồ thị hai phía hay

không?

63

Trang 64

 Không phải là đồ thị hai phía

Trang 65

 Để kiểm tra xem một đồ thị liên thông có phải là hai phía

hay không có thể áp dụng thủ tục sau

 Chọn v là một đỉnh bất kỳ của đồ thị Đặt X = {v}, còn Y là

tập các đỉnh kề của v Khi đó các đỉnh kề của các đỉnh trong

Y phải thuộc vào X.

 Ký hiệu tập các đỉnh như vậy là T Vì thế nếu phát hiện

TY≠ thì đồ thị không phải là hai phía, kết thúc.

 Ngược lại, đặt X = X T Tiếp tục xét như vậy đối với T' là

tập các đỉnh kề của T,

65

Trang 66

 Thuật toán kiểm tra đồ thị hai phía

1 Chọn v là đỉnh bất kỳ Đặt X = {v}

2 Y = { u | u kềvới v,∀v∈X}

3 Nếu X ∩ Y≠ ∅ ⇒ G không là đồ thị hai phía

4 Ngược lại, đặt X := Y Quay trở lại 2

5 Nếu tất cả các đỉnh được xét hết mà không xảy ra 3 thì

G là đồ thị hai phía Ngược lại G không là đồ thị hai phía

Trang 68

 Đồ thị hai phía G = (X Y, E) với |X| = m , |Y| = n

được gọi là đồ thị hai phía đầy đủ và ký hiệu là Km,n

nếu mỗi đỉnh trong tập X được nối với mỗi đỉnh trong Y.

Các đồ thị K2,3, K3,3, K3,4 được cho trong hình

Trang 70

 Bài tập 2: Sử dụng thuật toán kiểm tra đồ thị hai

phía để kiểm tra các đồ thị G và H sau có phải là

đồ thị hai phía không

Trang 72

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Bài toán mở đầu

 Có 3 gia đình, 3 nhà cung cấp điện, nước, gas.

 Các gia đình đều cần điện, nước, gas và đều muốn đi dây riêng.

 Cần nối dây từ các gia đình đến các nhà cung cấp sao cho không dây nào cắt dây nào.

A B

?

Trang 73

 Định nghĩa: Đồ thị vô hướng G là đồ thị phẳng

nếu ta có thể biểu diễn nó trên một mặt phẳng

sao cho không có cạnh nào cắt nhau (trừ tại đỉnh)

 Ví dụ:

73

Đồ thị phẳng

Không là

đồ thị phẳng

Trang 74

 Để nhận biết xem một đồ thị có phải là đồ thị phẳng có

thể sử dụng định lý Kuratovski, mà để phát biểu nó ta

cần một số khái niệm sau:

 Ta gọi một phép chia cạnh (m,v) của đồ thị là việc loại bỏ

cạnh này khỏi đồ thị và thêm vào đồ thị một đỉnh mới w cùng

với hai cạnh (u, w), (w, v).

 Hai đồ thị G = (V, E ) và H = (W, F) được gọi là đồng cấu

nếu chúng có thể thu được từ cùng một đồ thị nào đó nhờ các

phép chia cạnh.

Trang 75

 Định lý 2 (Kuratovski) Đồ thị là phẳng khi và chỉ khi

nó không chứa đồ thị con đồng cấu với K 3,3 hoặc K 5

 Trong trường hơp riêng, đồ thị K 3,3 và K 5 không phải là

Trang 76

 Biểu diễn phẳng của đồ thị sẽ chia mặt phẳng ra thành

các miền, trong đó có thể có cả miền không bị chặn

 Thí dụ, biểu diễn phẳng của đồ thị cho trong hình sau

chia mặt phẳng ra thành 6 miền R1, R2, , R6

Trang 77

 Định lý 3 (Công thức Euler): Giả sử G là đồ thị phẳng

liên thông với n đỉnh, m cạnh Gọi r là số miền của mặt

phẳng bị chia bởi biểu diễn phẳng của G Khi đó

5

6

Trang 78

Thí dụ: Cho G là đồ thị phẳng liên thông với 20 đỉnh, mỗi

đỉnh đều có bậc là 3 Hỏi mặt phảng bị chia làm bao nhiêu

phần bởi biểu diễn phẳng của đồ thị G?

Giải: Do mỗi đỉnh của đồ thị đều có bậc là 3, nên tổng bậc

của các đỉnh là 3 x 20 = 60 Từ đó suy ra số cạnh của đồ thị

m = 60/2 = 30 Vì vậy, theo công thức Euler, số miền cần

tìm là

r = 30 -20 + 2 = 12

Trang 79

TÔ MÀU ĐỒ THỊ

79

Trang 80

Phải dùng 3 màu để tổ

?

Phải dùng 4 màu để tổ

Trang 81

81

Trang 83

 Định nghĩa Tô màu một đồ thị vô hướng là một

sự gán màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề

nhau phải khác màu nhau

 Định nghĩa Số màu (sắc số) của một đồ thị là số

màu tối thiểu cần thiết để tô màu đồ thị này

7

Đồ thị có số màu là 3 Đồ thị có số màu là 4

Trang 84

Bài toán bốn màu:

 Vào khoảng năm năm mươi của thế kỷ 19 Gazri,

một thương gia người Anh, khi tô màu bản đồ

hành chính nước mình, đã nhận ra rằng luôn có

thể tô được bằng 4 màu

 Năm 1852 ông ta thông báo giả thuyết này cho

De Morgan

 Năm 1878 Keli đã đăng bài toán trên trong

Tuyển tập các công trình của Hội Toán học Anh,

gây nên sự chú ý của nhiều người

Trang 85

 Năm 1976, ba nhà khoa học người Mỹ là K.Appel,

W Haken và J Koch chứng minh bằng máy tính

điện tử được rằng giả thuyết của Gazri là đúng

 Định lý (Định lý 4 màu) Số màu của một đồ thị

phẳng là không lớn hơn 4

 Dễ thấy rằng, đồ thị vô hướng đầy đủ Kn

(n5) có sắc số lớn hơn 4 nên không phẳng.

85

Trang 86

ỨNG DỤNG

 Bài toán lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong một

trường đại học sao cho không có sinh viên nào thi

Trang 87

ỨNG DỤNG

 VD: Có 7 môn thi với thông tin như sau:

 Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi

 Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi

 Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi

 Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi

 Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi

 Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi

 Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi

Hãy xếp lịch thi thành các đợt sao cho các sinh

viên đều có thể dự thi tuần tự các môn mình đăng

ký

87

Trang 88

ỨNG DỤNG

◼ VD: Có 7 môn thi với thông tin như sau:

◆ Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi

◆ Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi

◆ Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi

◆ Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi

◆ Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi

◆ Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi

◆ Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi

2

3

4 5

Định dạng
Số trang	88
Dung lượng	2,33 MB

SILE TOÁN RỜI RẠC Chương 3 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT

CÁC THUẬT NGỮ CƠ BẢN

ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG