SLIDE TOÁN RỜI RẠC Chương 2:4 BÀI TOÁN LIỆT KÊ TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT

IẾP TỤC CHƯƠNG 1 CỦA MÔN TOÁN RỜI RẠC MÌNH SẼ GỬI DẾN D CÁC BẠN SLIDE BÀI GIẢNG CHƯƠNG 2.4 MÔN TOÁN RỜI RẠC CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT MONG RẰNG VỚI CÁC SLIDE NÀY SẼ GIÚP CÁC BẠN DỄ DÀNG CHINH PHỤC ĐƯỢC MÔN TOÁN RỜI RẠC NÀY

Trang 1

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT TỔ HỢP

Gv: Đặng Hữu Nghị

Trang 2

NỘI DUNG

2.1 Sơ lƣợc về tổ hợp

2.2 Bài toán đếm 2.3 Bài toán tồn tại

2.4 Bài toán liệt kê

Trang 3

2.4.1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

hợp có thể có, đƣợc gọi là hài toán liệt kê tổ

hợp

có thể xác định một thuật toán để theo đó có

Trang 4

2.4.2 PHƯƠNG PHÁP SINH

toán liệt kê tổ hợp đặt ra nếu nhƣ hai điều

kiện sau đƣợc thực hiện:

 Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu

hình tổ hợp cần liệt kê Từ đó có thể xác định

được cấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng

trong thứ tự đã xác định

 Xây dựng được thuật toán từ cấu hình chưa phải

là cuối cùng đang có, đưa ra cấu hình kế tiếp nó

4

Trang 5

<Đưa ra cấu hình đang có>;

if (<cấu hình đang có chưa là cuối cùng>)

then <Sinh_kế_tiếp>

else Stop:= true;

end;

Trang 6

LIỆT KÊ TẤT CẢ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N

Liệt kê tất cả các dãy nhị phân độ dài n: b1

b2 bn, trong đó bi  {0, 1}

Xem mỗi dãy nhị phân b = b1b2 bn là

biểu diễn nhị phân của một số nguyên p(b)

Ta nói dãy nhị phân b = b1 b2 bn đi

trước dãy nhị phân b' = b'1 b'2 b'n trong

thứ tự tự nhiên và ký hiệu là b  b' nếu

p(b) < p(b')

6

Trang 7

Ví dụ: Khi n=3, các

dãy nhị phân độ dài 3

đƣợc liệt kê theo thứ

Trang 8

 Dãy đầu tiên sẽ là: 00 0

 Dãy cuối cùng là: 11 1

 Giả sử b1 b2 b n là dãy đang có

 Nếu dãy này gồm toàn số 1, kết thúc,

 Trái lại, dãy kế tiếp nhận đƣợc bằng cách cộng thêm 1

(theo modun 2, có nhớ) vào dãy hiện tại

 Từ đó ta có qui tắc sinh dãy kế tiếp nhƣ sau:

 Tìm i đầu tiên (theo thứ tự i=n, n-1, , 1) thoả mãn b i

= 0

 Gán lại b i = 1 và b j = 0 với tất cả j > i Dãy mới thu

Trang 9

Trang 10

void Next_Bit_String( )

/*Sinh xâu nhị phân kế tiếp theo thứ tự từ điển

của xâu đang có b1 b2 bn  1 1 1 */

Trang 12

stop = 1;

else

b[i]= 1;

Trang 13

int main()

{

Init();

while(stop==0) {

Trang 14

LIỆT KÊ CÁC TẬP CON M PHẦN TỬ CỦA TẬP

N PHẦN TỬ (SINH TỔ HỢP)

Bài toán đặt ra là: Cho X = {1, 2, , n}

Hãy liệt kê các tập con m phần tử của X

Mỗi tập con m phần tử của X có thể

biểu diễn bởi bộ có thứ tự gồm m

Trang 15

Ta nói tập con a = (a1, a2, , am) đi trước

tập con a' = (a'1, a'2, , a'm) trong thứ tự

từ điển và ký hiệu là a  a', nếu tìm được

chỉ số k (1  k  m) sao cho

a1 = a'1 , a2 = a'2, , ak-1 = a'k-1, ak < a'k 15

Trang 16

Trang 17

sau đối với tập đang có:

 Tìm từ bên phải dãy a1, a2, , am phần tử ai  n-m+i

 Thay ai bởi ai + 1;

 Thay aj bởi ai + j - i, với j = i+1, i+2, , m 17

Trang 18

N PHẦN TỬ (SINH TỔ HỢP)

Ví dụ: n = 6, m = 4

Giả sử đang có tập con (1, 2, 5, 6), cần

xây dựng tập con kế tiếp nó trong thứ tự từ

Trang 19

Trang 21

a[j] = a[i] + j - i;

Trang 22

int main()

{

Init();

while(stop==0) {

Trang 23

LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ CỦA TẬP N PHẦN TỬ

Bµi to¸n: Cho X = {1, 2, , n}, h·y liÖt kª

Trang 24

Ta nói hoán vị a = (a1, a2, , an) đi trước

hoán vị a' = (a'1, a'2, , a'n) trong thứ tự

từ điển và ký hiệu là a  a', nếu tìm được

chỉ số k (1  k  n) sao cho:

a1 = a'1, a2 = a'2, , ak-1 = a'k-1, ak < a'k

24

Trang 25

Trang 26

Thuật toán sinh kế tiếp

 Hoán vị đầu tiên: (1, 2, , n)

 Hoán vị cuối cùng: (n, n-1, , 1)

 Giả sử a = (a1, a2, , a n) là hoán vị chƣa phải cuối

cùng, khi đó hoán vị kế tiếp nó có thể xây dựng nhờ thực

hiện các biến đổi sau:

Trang 27

Ví dụ

xây dựng hoán vị kế tiếp nó trong thứ tự từ

điển

Ta có chỉ số j = 3 (a3 =2 < a4 = 5)

phải của a3 là a5 = 4 Đổi chỗ a3 với a5 ta thu

đƣợc (3, 6, 4, 5, 2, 1),

Trang 28

Trang 29

//Hoan vi gia tri cua 2 phan tu

void Swap(int &x, int &y)

{ int tg = x; x = y; y = tg; }

29

Trang 30

void Next_Permutation()

{

stop = 1;

int j =n-1;

while(a[j] > a[j+1] && j > 1) j = j - 1;

/*Tim j là chi so lon nhat thoa aj < aj+1*/

if(a[j] < a[j+1])

stop =0;

int k =n; while (a[j] > a[k]) k = k - 1;

Swap(a[j], a[k]); /*doi cho aj voi ak*/

Trang 31

int main()

{

Init();

while(stop==0) {

31

Trang 32

32

C HƯƠNG 2.4 B ÀI TOÁN LIỆT KÊ

2.4.3 THUẬT TOÁN QUAY LUI Backtracking Algorithm

Trang 33

NỘI DUNG

2.4.3.1 Sơ đồ thuật toán

2.4.3.2 Liệt kê các cấu hình tổ hợp cơ bản

 Liệt kê xâu nhị phân độ dài n

 Liệt kê tập con m phần tử của tập n phần tử

 Liệt kê hoán vị

2.4.3.3 Bài toán xếp hậu

Trang 34

SƠ ĐỒ THUẬT TOÁN

 Thuật toán quay lui (Backtracking Algorithm) là một thuật toán cơ bản đƣợc áp dụng để giải quyết nhiều vấn

Trang 36

Khi k = 0, lời giải bộ phận cấp 0 đƣợc ký hiệu

là ( ) và còn đƣợc gọi là lời giải rỗng

 Nếu k = n, ta có lời giải đầy đủ hay đơn giản

là một lời giải của bài toán

Trang 37

 Ký hiệu tập các UCV vào vị trí thứ nhất của lời giải

là S1 Lấy a1  S1, bổ sung nó vào lời giải rỗng đang

có ta thu đƣợc lời giải bộ phận cấp 1: (a1)

Trang 38

BƯỚC TỔNG QUÁT

 Tại bước tổng quát, giả sử ta đang có lời giải bộ phận

cấp k-1: (a1, a2, , ak-1)

 Trên cơ sở tính chất P ta xác định được những phần tử

nào của tập Ak có thể chọn vào vị trí thứ k của lời giải

 Những phần tử như vậy ta sẽ gọi là những ứng cử viên

(viết tắt là UCV) vào vị trí thứ k của lời giải khi k-1 thành phần đầu của nó đã được chọn là (a1, a2, , ak-1)

Ký hiệu tập các ứng cử viên này là Sk

Trang 39

X ÉT HAI TÌNH HUỐNG

 Tình huống 1: Sk ≠  Khi đó lấy ak  Sk, bổ

sung nó vào lời giải bộ phận cấp k-1 đang có

(a1, a2, , ak-1)

ta thu đƣợc lời giải bộ phận cấp k:

(a1, a2, , ak-1, ak)

 Khi đó

 Nếu k = n thì ta thu đƣợc một lời giải,

 Nếu k < n, ta tiếp tục đi xây dựng thành phần thứ k+1 của lời giải

Trang 40

TÌNH HUỐNG NGÕ CỤT

 Tình huống 2: S k= Điều đó có nghĩa là lời giải bộ

phận (a1, a2, , a k-1) không thể tiếp tục phát triển thành lời giải đầy đủ Trong tình huống này ta quay trở lại tìm

ứng cử viên mới vào vị trí thứ k-1 của lời giải

 Nếu tìm thấy UCV như vậy, thì bổ sung nó vào vị trí thứ

k-1 rồi lại tiếp tục đi xây dựng thành phần thứ k

 Nếu không tìm được thì ta lại quay trở lại thêm một bước

nữa tìm UCV mới vào vị trí thứ k-2, Nếu quay lại tận

lời giải rỗng mà vẫn không tìm được UCV mới vào vị trí thứ 1, thì thuật toán kết thúc

Trang 41

THUẬT TOÁN QUAY LUI

procedure Bactrack(k: integer);

Trang 42

HAI VẤN ĐỀ MẤU CHỐT

 Để cài đặt thuật toán quay lui giải các bài toán tổ hợp cụ thể ta cần giải quyết hai vấn đề cơ bản sau:

 Tìm thuật toán xây dựng các tập UCV Sk

 Tìm cách mô tả các tập này để có thể cài đặt thao tác liệt kê các phần tử của chúng (cài đặt

vòng lặp qui ƣớc for y  Sk do)

 Hiệu quả của thuật toán liệt kê phụ thuộc vào việc ta có xác định đƣợc chính xác các tập UCV này hay không

Trang 43

C HÚ Ý

 Nếu chỉ cần tìm một lời giải thì cần tìm cách chấm dứt các thủ tục gọi đệ qui lồng nhau sinh bởi lệnh gọi Backtrack(1) sau khi ghi nhận đƣợc lời giải đầu tiên

 Nếu kết thúc thuật toán mà ta không thu đƣợc một lời giải nào thì điều đó có nghĩa là bài toán không có lời giải

Trang 44

C HÚ Ý

 Thuật toán dễ dàng mở rộng cho bài toán liệt kê trong đó lời giải

có thể mô tả như là bộ (a1, a2, , a n , ) độ dài hữu hạn, tuy nhiên

giá trị của độ dài là không biết trước và các lời giải cũng không

nhất thiết phải có cùng độ dài

 Khi đó chỉ cần sửa lại câu lệnh

if k = n then <Ghi nhận lời giải (a 1 , a 2 , , a k ) >

Trang 45

CÂY LIỆT KÊ LỜI GIẢI

THEO THUẬT TOÁN QUAY LUI

Trang 46

L IỆT KÊ XÂU NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N

Trang 47

LIỆT Kấ XÂU NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N

 Bài toán liệt kê xâu nhị phân độ dài n dẫn về việc liệt kê các phần

 Để cài đặt vũng lặp liệt kờ cỏc phần tử của S k , dễ thấy là ta cú

thể sử dụng vũng lặp for

trờn PASCAL: for y:= 0 to 1 do

hoặc trờn C: for (y=0;y<=1;y++)

Trang 48

LIỆT KÊ XÂU NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N

Cây liệt kê dãy nhị phân độ dài 3

48

Trang 49

printf("Xau thu %2d ",count);

for(int i=1 ; i<= n ;i++)

printf("%d ", b[i]);

printf("\n");

}

void Xau(int i) {

for (int j = 0; j<=1; j++) { b[i] = j;

if (i==n) Ghinhan();

else Xau(i+1); } }

int main() {

printf("n = ");

scanf("%d",&n);

count = 0; Xau(1);

printf("Count = %d ", count); }

Trang 50

CÂY LIỆT KÊ DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI 3

Trang 51

51

Trang 52

52

Trang 53

53

Trang 54

L IỆT KÊ CÁC M - TẬP CON CỦA N - TẬP

Trang 55

L IỆT KÊ CÁC M - TẬP CON CỦA N - TẬP

Bài toán: Liệt kê các tập con m phần tử

của tập N = {1, 2, , n}

tập:

Trang 56

GIẢI QUYẾT 2 VẤN ĐỀ MẤU CHỐT

của PASCAL: for y:= a[k-1]+1 to n-m+k do

của C: for (y=a[k-1]+1;y<=n-m+k;y++)

Trang 57

printf("Tap con thu %i ",count);

for (i=1 ; i<= m ;i++)

int main() { printf("n, m = ");

scanf("%i %i",&n, &m); printf("\n"); a[0]=0; count = 0; MSet(1);

printf(“Count = %d ", count);

getch();

}

Trang 58

CÂY LIỆT KÊ S(5,3)

Trang 59

LIỆT KÊ HOÁN VỊ

Trang 60

LIỆT KÊ HOÁN VỊ

1, 2, , n lµ tËp

 Bài toán: Liệt kê tất cả các phần

tử của  n

Trang 61

GIẢI QUYẾT 2 VẤN ĐỀ MẤU CHỐT

Râ rµng S1 = N Gi¶ sö ta ®ang cã ho¸n vÞ

Trang 62

MÔ TẢ SK

Xây dựng hàm nhận biết UCV:

function UCV(j,k: integer): boolean;

Trang 64

printf("Hoan vi thu %i ",count);

for (i=1 ; i<= n ;i++) {

}

Trang 65

}

Trang 66

CÂY LIỆT KÊ HOÁN VỊ CỦA 1, 2, 3

Trang 67

T HE N -Q UEENS P ROBLEM

Trang 68

THE N-QUEENS PROBLEM

 Giả sử ta có 8 con hậu

 và bàn cờ quốc tế

Trang 69

Có thể xếp các con hậu

sao cho không có hai

con nào ăn nhau hay

không

?

Trang 70

Hai con hậu bất kỳ không

đƣợc xếp trên cùng một

dòng

Trang 71

đƣợc xếp trên cùng một

cột

Trang 72

được xếp trên cùng một

đường chéo!

Trang 73

n cột

Trang 74

Xét bài toán xếp n con

hậu lên bàn cờ kích thước

n x n

Trang 75

BÀI TOÁN XẾP HẬU

 Liệt kê tất cả các cách xếp n quân Hậu trên bàn cờ nn

sao cho chúng không ăn được lẫn nhau, nghĩa là sao cho không có hai con nào trong số chúng nằm trên cùng một dòng hay một cột hay một đường chéo của bàn cờ

Trang 76

BIỂU DIỄN LỜI GIẢI

 Đánh số các cột và dòng của bàn cờ từ 1 đến n Một cách xếp hậu có thể biểu diễn bởi bộ có n thành phần (a1, a2 , , an), trong đó ai là toạ độ

cột của con Hậu ở dòng i

 Các điều kiện đặt ra đối với bộ (a1, a2 , , an):

 ai  aj , với mọi i  j (nghĩa là hai con hậu

ở hai dòng i và j không được nằm trên cùng

Trang 77

PHÁT BIỂU BÀI TOÁN

Nhƣ vậy bài toán xếp Hậu dẫn về bài toán

liệt kê các phần tử của tập:

D={(a1, a2, , an)  Nn:

ai ≠ aj và |ai – aj| ≠ |i – j|, i ≠ j}

Trang 78

for (i=1; i<k; i++)

if ((j == a[i])||(fabs(j-a[i])== k-i)) return 0; return 1;

}

Trang 79

count++; printf("%i ",count);

for (i=1; i<=n;i++) printf("%i ",a[i]); printf("\n");

}

int UCVh(int j, int k) {

int i;

for (i=1; i<k; i++)

if ((j==a[i])||(fabs(j-a[i])==k-i)) return 0; return 1;

}

Trang 80

int Hau(int i){ int j;

Trang 81

81

Toán rời rạc - NĐN

Trang 82

CHÚ Ý

Rõ ràng là bài toán xếp hậu không phải là luôn có lời giải, chẳng hạn bài toán không

có lời giải khi n=2, 3 Do đó điều này cần

đƣợc thông báo khi kết thúc thuật toán

Thuật toán trình bày ở trên là chƣa hiệu quả Nguyên nhân là ta đã không xác định đƣợc chính xác các tập UCV vào các vị trí của lời giải

Trang 83

THUẬT TOÁN LÀM VIỆC NHƢ THẾ NÀO

Trang 84

ROW 1, COL

1

Trang 85

Trang 86

Trang 87

Trang 88

Trang 89

Trang 90

Trang 91

Trang 92

Trang 93

Trang 94

4

Trang 95

Trang 96

Đẩy con hậu ở

Trang 97

Trang 98

Trang 99

Trang 100

Trang 101

Trang 102

Trang 103

Trang 104

Trang 105

Trang 106

Trang 107

Trang 108

Trang 109

Trang 110

M ỘT LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN XẾP HẬU KHI N = 8

Định dạng
Số trang	110
Dung lượng	2,36 MB