slide toán rời rạc Chương 2 1 sơ lược về tổ hợp ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT

TIẾP TỤC CHƯƠNG 1 CỦA MÔN TOÁN RỜI RẠC MÌNH SẼ GỬI DẾN D CÁC BẠN SLIDE BÀI GIẢNG CHƯƠNG 2.1 MÔN TOÁN RỜI RẠC CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT MONG RẰNG VỚI CÁC SLIDE NÀY SẼ GIÚP CÁC BẠN DỄ DÀNG CHINH PHỤC ĐƯỢC MÔN TOÁN RỜI RẠC NÀY

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT TỔ HỢP

Gv: Đặng Hữu Nghị

Bộ môn CNPM Kkoa CNTT

NỘI DUNG

2.2 Bài toán đếm 2.3 Bài toán tồn tại 2.4 Bài toán liệt kê

Hay: A  =  x / p(x)  (U: đƣợc hiểu ngầm)

 Tập hợp có thể đƣợc biểu diễn bằng cách liệt kê (nếu có thể)

Ví dụ 1: A = { n  N/ (n>3)  (n  7)}

Có thể viết lại bằng cách liệt kê: A = {4, 5, 6, 7}

Ví dụ 2: Tập các nguyên âm trong bảng chữ cái tiếng Anh

V={a,e, i, o,u}

 Một tập hợp có thể gồm những phần tử chẳng liên quan gì

C  





(B C) ( )A

12

2 2

1 1

n 2

1 n

2 1

i A A A {( a , a , , a ) / a A , a A , , a A } A

13

1 n

1 i

i A A A



2.1.2 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

 Nguyên lý cộng

Giả sử hệ có hai công việc:

 Việc thứ nhất thực hiện bằng n1 cách,

 việc thứ hai thực hiện bằng n2 cách

 Trong trường hợp hai việc không thực hiện đồng thời, khi đó

sẽ có n1+n2 cách thực hiện một trong hai việc kể trên

Tổng quát, nếu hệ có K việc

 Việc thứ k thực hiện bằng nk cách và thực hiện một cách tuần

tự

 Khi đó sẽ có n1+n2 + + nK cách thực hiện một trong K việc

nêu trên

15

2.1.2 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

Ví dụ 1:

Giả sử có 20 công nhân làm việc trong phân xưởng

1, 30 công nhân làm việc trong phân xưởng 2 Một

công nhân không thể làm việc trong cả 2 phân

xưởng

Theo nguyên lý cộng, số công nhân trong cả 2 phân

xưởng là: 20+30 = 50

17

2.1.2 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

Ví dụ 2:

Giả sử N, M là hai số tự nhiên đã xác định giá trị Hãy cho

biết giá trị của S trong đoạn chương trình sau

S = 0;

for (i =1; i<=N; i++) S++;

for (j =1; j<=M; j++) S++;

Lời giải Gọi:

 số phép toán thực hiện trong vòng lặp thứ nhất là T1,

 số phép toán thực hiện trong vòng lặp thứ hai là T2

 Vì hai vòng lặp thực hiện độc lập nhau nên theo nguyên lý

cộng, giá trị của S = T1 + T2 = N+M

18

2.1.2 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

 Nguyên lý nhân

Nội dung cơ bản của nguyên lý nhân có thể đƣợc phát biểu

nhƣ sau:

Giả sử một nhiệm vụ nào đó được tách ra làm hai việc

Việc thứ nhất có thể thực hiện bằng n 1 cách, việc thứ hai

thực hiện bằng n 2 cách sau khi việc thứ nhất đã được thực

hiện Khi đó, sẽ có n 1 n 2 cách thực hiện nhiệm vụ nêu trên

19

2.1.2 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

 Ví dụ 1:

Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C

 Ví dụ 2: Một lớp học có 5 sinh viên nữ, 10 sinh viên nam Có

bao nhiêu cách chọn ra 2 sinh viên bao gồm 1 nam và 1 nữ tham gia vào đại hội sinh viên?

Giải:

Có 5 cách chọn ra một sinh viên nữ trong 5 sinh viên nữ

Có 10 cách chọn ra 1 sinh viên nam

Theo nguyên lý nhân, có 510 = 50 cách chọn ra một nam và một nữ để tham gia đại hội

21

2.1.2 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

 Ví dụ 3:

Giả sử n1, n2 là hai số nguyên dương đã xác định giá trị

Hãy cho biết giá trị của S sau khi thực hiện đoạn chương

2.1.2 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

Ví dụ 4: Có bao nhiêu tên biến trong PASCAL độ dài 10 chỉ chứa

hai chữ cái A, B, bắt đầu bởi AAA hoặc ABA?

Giải: Tập các tên biến cần đếm được phân hoạch thành hai tập:

 một tập gồm các biến bắt đầu bởi AAA,

 còn tập kia gồm các tên biến bắt đầu bởi ABA

Với tên biến độ dài 10 bắt đầu bởi AAA thì mỗi một trong 7 ký tự còn lại này có 2 khả năng chọn (hoặc chọn A, hoặc chọn B), nên theo nguyên lý nhân có: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27=128 tên biến bắt đầu bởi AAA

Lập luận tương tự ta cũng đếm được 128 tên biến bắt đầu bởi ABA

Vì vậy, theo nguyên lý cộng, có tất cả 128 + 128 = 256 tên biến độ dài 10 chỉ chứa hai chữ A, B hoặc bắt đầu bởi AAA hoặc bắt đầu bởi

2.1.3 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP ĐƠN GIẢN

xem nhƣ một phần tử của tích Đêcac với A là tập

đã cho Theo nguyên lý nhân, số tất cả các chỉnh

hợp lặp chập k của n sẽ là nk

26

 Mỗi số trong các số nói trên chính là một cách sắp xếp có thứ

tự gồm hai chữ số, mỗi chữ số có thể có mặt đến hai lần lấy

từ bốn số đã cho Và mỗi cách sắp xếp nhƣ vậy cũng chính là một chỉnh hợp lặp chập 2 của 4 phần tử đã cho 27

2.1.4.1 CHỈNH HỢP LẶP

 Ví dụ 2 Tính số dãy nhị phân độ dài n

 Giải: Mỗi dãy nhị phân độ dài n là một bộ gồm n thành

phần, trong đó mỗi thành phần chỉ nhận một trong hai

giá trị (1 hoặc 0) Từ đó suy ra số các dãy nhị phân độ

dài n là 2n

28

2.1.4.2 CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP

 Ví dụ: Có 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hãy lập tất cả các số gồm 2 chữ số

khác nhau?

 Giải: Nếu bạn làm theo cách thủ công thì cứ ghép các số 1, 2, 3, 4,

5 với điều kiện loại bỏ 2 số giống nhau:

2.1.4.2 CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP

 Số các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử kí hiệu là

Ank Và ta cần đi xây dựng công thức tính Ank

 Để tạo ra một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử ta phải thực hiện một dãy liên tiếp k hành động:

 Theo quy tắc nhân, số cách tạo ra một chỉnh hợp không lặp chập k của

2.1.4.3 HOÁN VỊ

 Định nghĩa: Ta gọi một hoán vị của n

phần tử là một cách xếp thứ tự các phần tử

đó

 Một hoán vị của n phần tử được xem như một

trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp khi

k=n Do đó số hoán vị của n phần tử là

1.2…n=n!

34

n C

k n k



Cứ 2 đội thì có một trận Từ đó suy ra số trận đấu sẽ bằng số

cách chọn 2 đội từ n đội, nghĩa là bằng

𝑐𝑘𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)

2.1.3.4 TỔ HỢP

 Tam giác Pascal

39

2.1.3.4 TỔ HỢP

 Tam giác Pascal

40

2.1.3.4 TỔ HỢP

 Dùng tam giác Pascal để khai triển các biểu thức (𝑥 + 𝑦)𝑛

42

Giả sử trong một đĩa hoa quả có táo, cam và lê mỗi

loại có ít nhất 4 quả Tính số cách lấy 4 quả từ đĩa từ

đĩa này nếu giả sử rằng thứ tự các quả đƣợc chọn

không quan trọng, và các quả thuộc cùng một loại là

2.1.3.5 TỔ HỢP LẶP

 Ví dụ 2:

Một của hàng bánh qui có 4 loại khác nhau Có bao

nhiêu cách chọn 6 hộp bánh? Giả sử ta chỉ quan tâm

đến loại bánh mà không quan tâm tới hộp bánh cụ

2.1.3.5 TỔ HỢP LẶP

 Ví dụ 3:

Phương trình x1 + x2 + x3 = 11 có bao nhiêu nghiệm

nguyên không âm?

2.1.3.5 TỔ HỢP LẶP

Giải: Ta thấy một nghiệm của phương trình thỏa

mãn những điều kiện này ứng với một cách chọn 11

phần tử trong đó có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại