Slide môn toán rời rạc CHƯƠNG 1: THUẬT TOÁN ( TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT)

SLIDE MÔN TOÁN RỜI RẠC GIÚP CÁC BẠN SINH VIÊN DỄ DÀNG HỌC TẬP TRONG MMON HỌC NÀY, SLIDE NÀY CHỈ GỒM CHƯƠNG 1 MÌNH SẼ UPDATE TIẾP MONG CÁC BẠN THEO DỖI :BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Trang 1

TOÁN RỜI RẠC CHO CNTT

(D ISCRETE M ATHEMATICS FOR I NFORMATION T ECHNOLOGY )

GV: Đặng Hữu Nghị Sđt: 0989640319

Email: nghidanghuu@gmail.com

Trang 2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành Toán rời

rạc NXB Đại học QG Hà Nội 2006

2. Đỗ Đức Giáo Toán rời rạc ứng dụng trong tin

học NXB Giáo dục 2008.

3. Kenneth H Rosen (Phạm Văn Thiều, Đặng Hữu

Thịnh dịch) Toán rời rạc ứng dụng trong tin

học NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội 2003

4. Thực hành bằng Ngôn ngữ lập trình C sử dụng

trình biên dịch:

 Turbo C++ 4.0

Trang 3

CHƯƠNG 1: THUẬT TOÁN

1.1 Khái niệm về thuật toán

1.2 Các đặc trưng của thuật toán

1.3 Ngôn ngữ thuật toán

1.4 Độ phức tạp của thuật toán

1.5 Đệ quy

3

Trang 4

1.1 KHÁI NIỆM VỀ THUẬT TOÁN

 Quá trình giải quyết một bài toán trên máy tính

có thể biểu diễn theo một sơ đồ chung sau:

Trang 5

 Thuật toán là một trong những khái niệm cơ sở của tin

học Khái niệm thuật toán được hiểu theo nghĩa trực giác

như sau:

 Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy

tắc nhằm xác định một dãy các thao tác trên những đối

tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các

thao tác ta đạt được mục tiêu định trước.

5

Trang 6

Ví dụ: Thuật toán tìm ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của

hai số nguyên dương a và b như sau:

 Bước 1: Nhập số liệu a và b, thực hiện bước (2)

 Bước 2: Nếu a = b thì thông báo kết quả ƯCLN là a,

dừng thuật toán Nếu a  b thì thực hiện bước (3)

 Bước 3: Nếu a > b thì gán a = a - b, nếu a < b thì gán b =

b - a, thực hiện bước (2)

Trang 7

1.2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA THUẬT TOÁN

 Tính phổ dụng: thuật toán không đề cập chỉ một bài toán

riêng lẻ, mà phải bao hàm một lớp bài toán cùng một

kiểu

 Tính hữu hạn: hay còn gọi là tính kết thúc (tính dừng),

thuật toán bao giờ cũng phải dừng sau một số hữu hạn

bước thực hiện

 Tính nhất quán: hay còn gọi là tính xác định của thuật

toán Đặc trưng này thể hiện ở mỗi bước các thao tác

phải hết sức rõ ràng, không thể gây nên sự nhập nhằng,

lẫn lộn, tuỳ tiện Nói cách khác, trong cùng một điều

kiện, hai bộ xử lý (người hoặc máy) thực hiện cùng một

bước của thuật toán thì phải cho cùng một kết quả 7

Trang 8

 Đại lượng vào: Một thuật toán có thể có nhiều

đại lượng vào mà chúng ta thường gọi là dữ liệu

vào

 Đại lượng ra: Sau khi dừng thuật toán, tuỳ theo

chức năng mà thuật toán đảm nhiệm chúng ta có

thể thu được một số đại lượng ra xác định

Trang 9

 Tính hiệu quả:

 Yêu cầu đầu tiên của tính hiệu quả của thuật toán là

sự đúng đắn, cụ thể là với dữ liệu vào cho trước, thuật

toán hoạt động sau một số hữu hạn bước sẽ dừng và

cho kết quả mong muốn.

 Yêu cầu thứ hai của tính hiệu quả là tính hữu hiệu:

Trong số các thuật toán thực hiện cùng một chức

năng, hãy chọn những thuật toán tốt nhất Tiêu

chuẩn tốt ở đây được hiểu là:

 Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

 Thuật toán dùng ít chỗ để lưu trữ các kết quả trung gian

9

Trang 10

1.3 NGÔN NGỮ THUẬT TOÁN

 Có thể biểu diễn thuật toán bằng 3 cách sau:

 Bằng lời.

 Bằng giả mã.

 Bằng sơ đồ khối.

 Ở đây chúng ta chỉ xem xét việc biểu diễn thuật

toán bằng sơ đồ khối, ưu điểm nổi bật của nó là

tính trực quan

Trang 11

2 Khối mở đầu hoặc kết

Thúc

Dùng mở đầu hoặc kết thúc chương trình

quả

toán và thay đổi giá trị của các biến

chương trình

trình con

11

Trang 12

 Cấu trúc tuần tự: Thực hiện lần lượt <lệnh 1>,

<lệnh 2>, <lệnh 3> …

Trang 13

 Cấu trúc phân nhánh / điều kiện:

13

Trang 14

 Cấu trúc tuyển

Biểu thức

Trang 15

 Cấu trúc chu trình / lặp

 Lặp theo tham biến

15

Trang 16

 Lặp theo điều kiện

Trang 17

Đ

S

Đ S

17

Trang 18

 Ví dụ: Xây dựng sơ đồ

khối (thuật toán) tính

tổng của một dãy số

thực a1, a2,…,an

Trang 19

 Ví dụ: Biểu diễn thuật toán tìm số lớn nhất trong

một dãy hữu hạn các số nguyên theo dạng giả mã:

 Dữ liệu vào (input): a[1 n], a là mảng các số nguyên,

n>0 là số các số trong mảng a;

 Dữ liệu ra (output): max, số lớn nhất trong mảng a;

int TimMax(a: mảng các số nguyên) {

Trang 20

1.3 NGÔN NGỮ THUẬT TOÁN (BÀI TẬP)

 B1: Vẽ sơ đồ khối thuật toán tìm ƯSCLN của 2 số

Trang 21

1.4 ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN

 Tính hiệu quả của thuật toán

 Khi giải một bài toán, chúng ta cần chọn trong số các thuật

toán một thuật toán mà chúng ta cho là “tốt” nhất.

 dựa trên cơ sơ nào để đánh giá thuật toán này “tốt” hơn thuật

toán kia?

 Thông thường ta dựa trên hai tiêu chuẩn sau:

 Thuật toán đơn giản, dễ hiểu, dễ cài đặt (dễ viết chương trình).

 Thuật toán hiệu quả: Chúng ta thường đặc biệt quan tâm đến thời

gian thực hiện của thuật toán (gọi là độ phức tạp tính toán), bên cạnh

đó chung ta cũng quan tam tới dung lượng không gian nhớ cần thiết

để lưu giữ các dữ liệu vào, ra và các kết quả trung gian trong quá trình tính toán.

21

Trang 22

 Tại sao cần có thuật toán có tính hiệu quả

Xét ví dụ 1: kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên

Trang 23

 Dễ dàng nhận thấy rằng, nếu n là một số nguyên

tố chúng ta phải mất n-2 phép chia lấy phần dư

(%)

 Giả sử một siêu máy tính có thể tính được 1 trăm

nghìn tỉ phép tính % trong 1 giây (1014)như vậy

để kiểm tra 1 số có 25 chữ số mất khoảng

Trang 24

int nguyento (int n)

Trang 25

 Ví dụ: Bài toán tháp Hà Nội

 Có 3 cọc A, B, C Lúc đầu, ở cọc A có n đĩa được lồng

theo thứ tự nhỏ trên lớn dưới Yêu cầu chuyển n đĩa từ

cọc A sang cọc B với điều kiện:

 Mỗi lần chỉ được chuyển một đĩa

 Không có tình huống đĩa to ở trên đĩa nhỏ (dù là tạm

thời)

 Được phép sử dụng cọc C làm trung gian.

Trang 26

 Trường hợp một đĩa:

 Chuyển đĩa từ cọc A sang cọc B.

 Trường hợp 2 đĩa:

 Chuyển đĩa thứ nhất từ cọc A sang cọc C;

 Chuyển đĩa thứ hai từ cọc A sang cọc B;

 Chuyển đĩa thứ nhất từ cọc C sang cọc B.

Trang 27

Trang 28

 Ta thấy với trường hợp n đĩa (n>2) nếu ta xem (n-1) đĩa

ở trên đóng vai trò như đĩa thứ nhất thì có thể xử lý như

trường hợp hai đĩa, nghĩa là:

 Chuyển (n-1) đĩa trên từ A sang C

 Chuyển đĩa thứ n từ A sang B

 Chuyển (n-1) đĩa từ C sang B.

Trang 29

 Nếu gọi F(n) là số lần chuyển đĩa.

 Người ta chứng minh được F(n) = 2 n – 1

 Với n = 64, ta có F(64) = 2 64 –1 lần chuyển Giả sử mỗi lần chuyển 1 đĩa từ cọc này sang cọc kia, cần 1 giây Khi đó để thực hiện 2 64 –1 lần chuyển cần 5.10 11 năm Nếu tuổi của

vũ trụ là 10 tỉ năm , ta cần 50 lần tuổi của vũ trụ để chuyển

64 đĩa!

 Qua thí dụ trên ta thấy, tuy bài toán tháp Hà Nội tồn tại thuật toán giải nhưng với n đủ lớn thì thuật toán không khả thi

29

Trang 30

1.5 ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN

 Có hai cách tiếp cận để đánh giá thời gian thực hiện của

một thuật toán:

Trang 31

 Giả sử n là số nguyên không âm f(n) và g(n) là

các hàm thực không âm Ta viết f(n) = O(g(n))

(đọc f(n) là ô lớn của g(n)), nếu và chỉ nếu tồn tại

các hằng số dương c và n 0 sao cho f(n) <= c.g(n),

với mọi n>= n 0 .

 Ví dụ Giả sử f(n) = 3n2 + 4n +5.

Ta có : 3n 2 + 4n + 5 <= 3n 2 + 4n 2 + 5n 2 = 12n 2 ,

với mọi n >= 1.

Vậy f(n) = O(n 2 ) thuật toán có thời gian thực

hiện cấp n 2 , hoặc thuật toán có thời gian thực

hiện bình phương.

31

Trang 32

 Ví dụ: Giả sử f(n) = 2n + 23

Ta có f(n) < 2x2 n với mọi x > 5

Vì vậy f(n) = O(2 n ).

Trang 33

Trang 34

tính

n log n Bình

phương

Lập phương

Trang 35

35

Trang 36

 Xét ví dụ: Giả sử một bài toán nào đó, có hai thuật toán giải là A và B.

 Thuật toán A có thời gian thực hiện là f A (n) = O(n 2 )

 Thuật toán B có thời gian thực hiện là f B = O(n.logn).

 Với n = 1024 thuật toán A cần 1048576 phép toán sơ cấp, thuật toán B đòi hỏi 10240 phép toán sơ cấp.

 Nếu cần một micro-giây cho một phép toán sơ cấp thì thuật toán A cần khoảng 1,05 giây trong khi đó thuật toán B cần khoảng 0,01 giây.

 Nếu n = 2048 , thì thuật toán A đòi hỏi khoảng 4,2 giây, trong khi thuật toán B chỉ đòi hỏi khoảng 0,02 giây.

 Vì vậy nếu một thuật toán có thời gian thực hiện O(n 2 ) mà ta tìm ra được một thuật toán khác cho bài toán đó với thời gian

Trang 37

Các quy tắc đánh giá độ phức tạp về thời gian

thực hiện thuật toán

f1(n) + f2(n) = O(max (g1(n), g2(n))) 37

Trang 38

 Quy tắc nhân :

Nếu tương ứng với P1 và P2 là

f1(n) = O(g1(n)),

f2(n) = O(g2(n)) thì thời gian thực hiện P1 và P2 lồng nhau sẽ là :

f1(n).f2(n) = O(g1(n).g2(n))

Trang 39

 Ví dụ:

 Câu lệnh gán : x = x +1 có thời gian thực hiện bằng c

(hằng số) nên được đánh giá là O(1).

 Câu lệnh for (i = 1; i<= n; i++) x = x +1 có thời gian

thực hiện O(n.1) = O(n).

 Câu lệnh for (i= 1; i<=n; i ++)

for (j = 1; j<=n; j++) x = x +1

 Cũng có thể thấy O(c.g(n)) = O(g(n)) chẳng hạn

Trang 40

 log (n!) = O(nlogn)  nlog (n!) = O(n2logn)

 (3n2 + 2n) = O(n2)  (3n2 + 2n)logn = O(n2logn)

Vậy f(n) = O(n2logn)

Trang 41

Trang 42

Các quy tắc đánh giá độ phức tạp về thời gian thực hiện thuật toán

1 Thời gian thực hiện các câu lệnh đơn

2 Thời gian thực hiện câu lệnh điều kiện

3 Thời gian thực hiện lệnh Case

4 Thời gian thực hiện câu lệnh for

5 Thời gian thực hiện câu lệnh While

6 Thời gian thực hiện câu lệnh Do while

Trang 43

 Thời gian thực hiện các câu lệnh đơn

 Lệnh đơn gồm: Phép gán, các câu lệnh đọc, viết, câu lệnhgoto

 Thời gian thực hiện lệnh đơn: O(1) tức là thời gian thực hiệnkhông đổi

43

Trang 44

Thí dụ: xét đoạn chương trình sau:

(1) for (i = 1; i<= n-1; i++) {

Trang 45

1.5 ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT

Đánh giá thời gian thực hiện các lệnh if:

Giả sử thời gian thực hiện các lệnh S1, S2, là O(f1(n)) và O(f2(n)) tương ứng.

Khi đó thời gian thực hiện lệnh if là: O(max(f1(n),f2(n))).

Trang 46

1.5 ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT

Trang 47

 Thời gian thực hiện câu lệnh for

for (i= m ; i<= n; i++) S Với m, n nguyên và m <= n.

Đánh giá thân vòng for:

 lệnh gán,

 lệnh tăng chỉ số lặp,

 lệnh kiểm tra điều kiện dừng,

 đều là lệnh đơn nên thường có cận là O(1) = c

Gọi f(n) là số lần thực hiện lệnh S Khi đó thời gian thực

Trang 48

 Thời gian thực hiện câu lệnh While

Câu lệnh:

While (B) S

B: điều kiện

S: lệnh.

Thời gian thực hiện lệnh while được đánh giá:

 Giả sử thời gian thực hiện lệnh S (thân của lệnh

Trang 49

Thí dụ: xét đoạn chương trình:

(1) i = 1;

(2) while (x <> A[i])

 Hai câu lệnh gán (1), (3) đều là O(1)

 Vòng lặp while ở hai dòng (2) và (3) có mục đích đi tìm vị

trí của phần tử có giá trị bằng x trên mảng A (giả thiết x

có mặt trên mảng) Như vậy tối đa số lần lặp là n (với n

là số phần tử của mảng A).

 Từ đó suy ra thời gian thực hiện của đoạn chương trình

trên là O(n).

49

Trang 50

 Thời gian thực hiện câu lệnh do while

do {

S1, S2, , Sn}

while(B);

B: điều kiện

Si (i = 1, 2,… , n) các câu lệnh.

Giả sử thời gian thực hiện khối {S1, S2,…Sn} là O(f(n))

Giả sử g(n) là số tối đa các lần lặp

Khi đó thời gian thực hiện lệnh do while là O(f(n).g(n)).

Trang 51

 Ví dụ phân tích thời gian hoạt động của đoạn chương trình sau:

 Thời gian thực hiện chương trình phụ thuộc vào n.

 Câu lệnh {1}, {3} và {6} có thời gian thực hiện O(1)

 Câu lệnh lặp for {2} có số lần lặp 2n như vậy thời gian thực hiện là O(n)

 Câu lệnh {5} có số lần lặp là n, như vậy lệnh {5} có thời gian thực hiện là O(n) Lệnh lặp for {4} có số lần lặp là n, như vậy lệnh {4} có thời gian thực hiện là O(n 2 )

 Vậy thời gian thực hiện đoạn chương trình trên là:

Max(O(1), O(n), O(n 2 )) = O(n 2 )

Trang 52

 Ví dụ phân tích thời gian hoạt động của đoạn chương trình

sau:

 Lệnh {3} có thời gian thực hiện O(1)

 Khi i = 1, j chạy từ 1 đến 1  Lệnh for {2} lặp 1 lần

 Khi i = 2, j chạy từ 1 đến 2  Lệnh for {2} lặp 2 lần

 Khi i = n, j chạy từ 1 đến n  Lệnh for {2} lặp n lần

 Như vậy lệnh {3} được lặp 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛 𝑛+1

2 do đó lệnh {1} có thời gian thực hiện O(n 2 )

{1} for (i=1; i <= n; i++)

Trang 56

1.6 ĐỆ QUY

 Đệ quy tuyến tính

 Hàm đệ quy tuyến tính là hàm mà trong thân hàm có

duy nhất một lời gọi hàm gọi lại chính nó một cách

tường minh

 Thuật toán đệ quy tuyến tính:

Trang 57

1.6 ĐỆ QUY

<kiểu dữ liệu hàm> <tên hàm> (<danh sách tham số>){

if (<điều kiện dừng>){

// Trả về giá trị hay kết thúc công việc}

// Thực hiện một số công việc (nếu có)

<tên hàm> (<danh sách tham số>) ; // Thực hiện một số công việc (nếu có)

Trang 58

Dựa vào công thức trên ta có thể xây dựng hàm để tính n! một

cách đệ quy như sau:

long giaithua ( int n)

{

if ( n == 0 || n == 1) return 1;

else return ( n * giaithua ( n - 1 ) ) ;

Trang 59

1.6 ĐỆ QUY

 Đệ quy nhị phân

 Hàm đệ quy nhị phân là hàm mà trong thân của nó có

hai lời gọi hàm gọi lại chính nó một cách tường minh

 Thuật toán đệ quy nhị phân:

59

Trang 60

// Thực hiện một số công việc (nếu cú)

<tên hàm> (<danh sách tham số>) ; //Giải quyết vấn đề nhỏ hơn // Thực hiện một số công việc (nếu có)

<tên hàm> (<danh sách tham số>); // Giải quyết vấn đề còn lại // Thực hiện một số công việc nếu có

Trang 62

1.6 ĐỆ QUY

Trang 63

1.6 ĐỆ QUY

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

// ham de quy tinh so Fibonaci thu n

long fibonaci (long n)

Trang 64

1.6 ĐỆ QUY

 Đệ quy phi tuyến

 Hàm đệ quy phi tuyến là hàm mà trong thân của hàm

có lời gọi hàm gọi lại chính nó được đặt bên trong

vòng lặp

 Thuật toán đệ quy phi tuyến:

Trang 65

1.6 ĐỆ QUY

<kiểu dữ liệu hàm> <tên hàm> (<danh sách tham số>)

{

for(int i = 1; i <= n; i++) { // Thực hiện một số công việc (nếu có)

if (<điều kiện dừng>) { …

// Trả về giá trị hay kết thúc công việc }

else { // Thực hiện một số công việc (nếu có)

<tên hàm> (<danh sách tham số>) ; // Thực hiện một số công việc (nếu có) }

} }

65

Trang 66

1.6 ĐỆ QUY

 Ví dụ:

Tính số hạng thứ n của dãy số x1, x2, …, xn được định

nghĩa như sau:

X0 = 1;

Xn = n2X0 + (n-1)2X1 + + 12Xn-1, n ≥ 1

Trang 68

1.6 ĐỆ QUY

 Đệ quy hỗ tương

 Hàm đệ quy hỗ tương là hàm mà trong thân của hàm

này có lời gọi hàm đến hàm kia và trong thân của hàm

kia lại có lời gọi hàm tới hàm này.

 Thuật toán đệ quy hỗ tương như sau:

Trang 69

1.6 ĐỆ QUY

<kiểu dữ liệu hàm> <tên hàm 1> (<danh sách tham số>)

{

<tên hàm 2> (<danh sách tham số>) ;

// Thực hiện một số công việc (nếu có) }

<kiểu dữ liệu hàm> <tên hàm 2> (<danh sách tham số>)

{

<tên hàm 1> (<danh sách tham số>) ;

Trang 70

1.6 ĐỆ QUY

 Ví dụ: Tính số hạng thứ n của hai dãy {Xn}, {Yn} được

định nghĩa như sau:

Trang 72

1.6 ĐỆ QUY (BÀI TẬP)

Bài 1: Xây dựng hàm để tính S = 1 + 2 + 3 + … + n

theo phương pháp đệ quy

 Công thức tổng quát cho bài này là:

 S(0) = 0

 S(n) = S(n-1) + n

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	1,99 MB

Slide môn toán rời rạc CHƯƠNG 1: THUẬT TOÁN ( TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT)

ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TỐN