QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG TRONG đời SỐNG HÀNG NGÀY có sử DỤNG KIẾN THỨC của môn QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Các tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính.... CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.1.1.. CHƯƠNG 3: BÀI TOÁNĐỐI NGẪUYÊU CẦU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN



TIỂU

LUẬN

MÔN HỌC

MÔN : QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

Mã lớp:2021COMP150204

Tên giảng viên: Trịnh Huy Hoàng Tên sinh viên: Trần Công Minh

-2021 -MỤC LỤC

YÊU CẦU 1: BÀI NGHIỆM THU

CHƯƠNG 1 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1.Khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.1.Các ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.2.Định nghĩa

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

1.3 Cách đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc 1.4 Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

1.5 Các tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.1.1 Ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu

2.1.2 Định nghĩa

2.1.3 Quy tắt thành lập bài toán đối ngẫu

2.2 Các định nghĩa đối ngẫu 2.3 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 2.3.1 Trường hợp có giả phương án xuất phát

2.3.2 Trường hợp chưa có giả phương án xuất phát

2.3.3 Bài toán QHTT có tham số ở vế phải

2.4 Phân tích hậu tối ưu

2.4.1 Giá mờ

2.4.2 Trường hợp PATU không đổi

2.4.3 Trường hợp hiệu chỉnh được nghiệm tối

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

3.1 Cách làm bài toán đối ngẫu

3.2.Các cặp ràng buộc đối ngẫu

3.3 Các định lý đối ngẫu

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI

4.1.Một số định nghĩa liên quan

4.2.Một số tính chất cơ bản của bài toán vận tải

4.3.Giải thuận thế vị

4.3.Bài toán vận tải suy biến

4.4.Bài toán vận tải không cân bằng thu phát

YÊU CẦU 2: ỨNG DỤNG TRONG ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY CÓ SỬ

DỤNG KIẾN THỨC CỦA MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 20

YÊU CẦU 3: TRÌNH BÀY 4 HỌC PHẦN CHUYÊN NGÀNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO (SƯ PHẠM TIN HOẶC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN) MÀ CÓ SỰ VẬN DỤNG KIẾN THỨC CỦA MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỂ HỖ TRỢ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TIN HỌC, MINH HOẠ CỤ THỂ 22 YÊU CẦU 4: TÌM HIỂU VÀ SỬ DỤNG THƯ VIỆN QUY HOẠCH

TUYẾN TÍNH TRONG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁNĐỐI NGẪU

YÊU CẦU 1: BÀI GHIỆM THU

3.1.Cách thành lập bài toán ối ngẫu: đối ngẫu:

Với bài toán QHTT, bài toán gốc, ký hiệu là P (Primal), chúng ta có thể thiết lập bài toán

 QHTT khác, bài toán ối ngẫu, ký hiệu là D (Dual), sao cho từ lời giải của bài toán này ta đối ngẫu:

có thể thu thập ược thông tin cho lời giải của bài toán kia đối ngẫu:

Hơn nữa, khi phân tích ồng thời cả hai bài toán gốc và ối ngẫu, chúng ta có thể rút rađối ngẫu: đối ngẫu: các kết luận có giá trị về mặt toán học lẫn về mặt ý nghĩa kinh tế

Giả sử có bài toán QHTT (bài toán gốc)

f(x)=

a11 x1 +a 12 x 2 + +a 1 n x n (≤ ;=;≥)b 1

c 1 x 1 +c

2 x

2 +… +c n x n → min

………

a x + a x +…+ a x (≤;=;≥

x m ( 1 1 m 2 ) 0 2

(l=1.n) mn n j ≤ ;=;≥

Khi ó bài toán ối ngẫu có dạng: đối ngẫu: đối ngẫu:

f (´x ) =b1 y1 +b2 y2+ …+ bm ym →max

a

) b m

) c 1

a 1n y 1 + a 2 n y 2 + …+a mn y m (≤;=;≥) c n

y (≤ ;=;≥) 0 (i=1 m)

Về1 dấu: BT gốc quy ịnh BT ối ngẫuđối ngẫu: đối ngẫu:

+ Ràng buộc biến quy ịnh ràng buộc chungđối ngẫu:

+ Ràng buộc chung quy ịnh ràng buộc dấuđối ngẫu:

Ví dụ1: Lập bài toán ối ngẫu của bài toán sauđối ngẫu: :

Bài toán gốc:

f(x)= x 1 + x 2 +3 x 3 → min

−x 1 +3 x 2 =5

2 x 1 −x 2 +3 x 3 ≥ 6

x 1 ≥ 0 , x 2 ≤ 0

Bài toán ối ngẫu: đối ngẫu:

f(x)=

− y 1 + 2 y 2 ≤5

3 y 1 − y 2 ≥ 1

y 2 ≥0 , y 3 ≤0

3.2.Cặp ràng buộc ối ngẫu:đối ngẫu:

Ta gọi 2 ràng buộc bất ẳng thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tươngđối ngẫu:

ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc ối ngẫu : đối ngẫu:

i=1 (j= )

m

1 , n

x j ≥ 0↔ ∑ a ij x j ≤ c j

´

Ví dụ 1:

Bài toán gốc:

f(X)= x 1 + 3 x 2 +2 x 3 → min

2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 2

x 1 −2 x 2 −x 3 +3 x 4 ≥5

− x 1 −x 2 + x 3 + x 4 ≥ 1

Bài toán đối ngẫu:

g(Y)= 2 y 1 +5 y 2 + y 3 →max

2 y 1 + y 2 − y 3 ≤ 1 y 1 −2 y 2 − y 3 ≤3

y 1 − y 2 + y 3 ≤2

y j ≥ 0 (i=1,3) ´

3.3.Các ịnh lý ối ngẫuđối ngẫu: đối ngẫu: :

Định lý 1:Nếu một trong hai bài toán ối ngẫu nhau có P.A.T.Ư thì bài toán kia cũng có P.A.T.Ư vàđối ngẫu:

giá trị hàm mục tiêu của chúng bằng nhau.

Hệ quả 1: Điều kiện cần và ủ ể cho các bài toán ối ngẫu nhau có phương án tối ưu là mỗi bàiđối ngẫu: đối ngẫu: đối ngẫu:

toán có ít nhất một phương án.

Hệ quả 2:Điều kiện cần và ủ ể các bài toán ối ngẫu nhau không có P.A.T.Ư là một bài toán cóđối ngẫu: đối ngẫu: đối ngẫu:

P.A còn bài toán kia thì không có P.A.

Định lý 2 (Định lý ộ lệch bù yếu):đối ngẫu:

- X;Y là 2 PA của cặp bài toán ối ngẫu (X là PA của bt gốc, Y là PA của bt ối ngẫu)đối ngẫu: đối ngẫu:

- Điều kiện cần và ủ ể X; Y là 2 PA tối ưu của cặp bài toán ối ngẫu là:Trong các cặp ràng buộcđối ngẫu: đối ngẫu: đối ngẫu:

ối ngẫu, nếu ràng buộc này là lỏng thì ràng buộc kia là chặt.

đối ngẫu:

Chú ý: lỏng >chặt

chặt) ta sẽ thu ược hệ pt tuyến tính theođối ngẫu:

 Từ X* và các cặp ràng buộc ối ngẫu (lỏng đối ngẫu:

y1 ;y2 ;…;ym

 Giải hệ ta nhận ược nghiệm Y=(yđối ngẫu: 1; ,ym)

Nếu Y là PA của bài toán D thì Y = Y*

( Tương tự ta cũng có thể bắt ầu từ Y* )đối ngẫu:

Ví dụ : f(x)=

x1+ x2 + 4 x4=6

x 1 −2 x 2 +2 x 3 + 0 x 4 → min

(P) { 2 x2 + x3+5 x4 =8

x ≥ 0 , j =1,2,1,4 ;

PATƯ của bt (Q).

Giải: 6 y 1 +8 y 2 → max

g(x)= Bt ối ngẫu(Q) là: đối ngẫu:

{

y 1 ≤1

• y1+2 y2 ≤−2

y ≤2

• Tìm PATƯ của(Q).

= (y 1 , y 2 ) và hơn nữa

+Vì bt(P) có PATƯ nên theo ịnh lí 1 thì bt(Q) cũng có PATƯ yđối ngẫu: 0

f(x0) = g(y0)

+Ta có x 0 = (2,4,0,0).

Vì x1=2 nên theo ịnh lí ộ lệch bù thì ràng buộc thứ nhất của bt(Q): yđối ngẫu: đối ngẫu: 1-1=0 (a)

Vì x2=4 nên theo ịnh lí ộ lệch bù thì ràng buộc thứ hai của bt(Q): yđối ngẫu: đối ngẫu: 1+2y2+2=0 (b)

Kết hợp (a), (b) ta có hệ pt:

{

y =1

{y

1−1=0 ↔ y1 −3

y 1 +2 y 2 +2=0 2 = 2

Vậy phương án tối ưu của bài toán ối ngẫu là: y đối ngẫu: 0 =(y ,y )=(1,-3/2) và giá trị tối ưu là:

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI

4.1 Một số ịnh nghĩa liênđối ngẫu: ijquan;

Một ma trận thỏa các iều kiện (2a), (2b), (3) gọi là một phương án vậnđối ngẫu:

chuyển (PA)

X =( x ) m× n

 Một PA thỏa (1) ược gọi là phương án vận chuyển tối ưu (PA.TƯ) đối ngẫu:

Bài toán vận tải thông thường ược biểu diễn dưới dạng bảng sau: đối ngẫu:

Dây chuyền là một dãy ô sao cho:

  Trên mộ t dòng hay cộ t có tố i a 2 ô đối ngẫu:

 Hai ô liên tiếp phải ở trên 1 dòng hay 1 cột

 Vòng là 1 dây chuyền khép kín có tối thiểu 4 ô

 NhữngÔchọn ô ặcứngtrưngvới đối ngẫu: x choij> 0 tuyếncủamột ườngPA ượccóvậngọitải.là ô chọn, những ô còn lại ược gọi là ô loại đối ngẫu: đối ngẫu: đối ngẫu:

Một phương án mà các ô chọn không tạo thành vòng gọi là phương án cực biên

 Một PA.CB có ủ m+n-1 ô chọn gọi là PA.CB không suy biến.đối ngẫu:

 Một PA.CB ít hơn m+n-1 ô chọn gọi là PA.CB suy biến

4.2.Một số tính chất cơ bản của bài toán vận tải:

Tính chất 1: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu

Tính chất 2: Trong mọi PA.CB, số ô chọn không bao giờ vượt quá (m+n-1) ô

Tính chất 3: Với một PA.CB có ủ (m+n- 1) ô chọn thì 1 ô loại bất kỳ sẽ tạo nên một vòng duy nhất với một số ô đối ngẫu: chọn.

4.3 Giải thuật thế vị:

1,2 , … , m u 1 ,u 2 , … , u m 1,2 , … , n

Định lý 1:

Nếu lần lượt1cộng vào chi phí ở hàng

bởi

một' lượng

v , v 2 , … ,v n

, tức là thay thếc

ij

c ij =c ij +u i +v j

thì ta ược bài toán mới tương ương bài toán cũ.đối ngẫu: đối ngẫu:

Định nghĩa:ij

thỏa

ij

+

i

+

j

= Ɐ

ô chọn (i,j) ược gọi là các thế vị đối ngẫu:

Các số

ược gọi là các lượng kiểm tra đối ngẫu:

Đối với các ô loại, lượng

∆

ij

c

+ v

j

Định lý 2:ij ∀(

u

)

ta có PA.TƯ Nếu

Nếu



PA chưa tối ưu

 ∃(i, j) sao cho ∆ ij <0

Cách tìm các thế vị:

vị thực chất chính là giải hệ phương trình

c ij + u i +v j =0 Ɐ

ô chọn (i,j)

Việc tìm các thế

Chúng ta cho một i (dòng i) hoặc j (cột j) một giá trị bất kỳ, thông thường là chọn dòng

hay cột có nhiều ô chọn nhất và gáni giá trịj 0 ể giải hệ nhanh hơn đối ngẫu:

Tiếp i theo ij chúng j

và truy hồi như sau:

ta tính các thế vị

u =−c −v

 v i =− ij −u j

Các bước thực hiện:

kiện cân bằng thu phát

Bước 1: Kiểm tra iềuđối ngẫu: 0

Bước 2: Tìm PA.CB X bằng phương pháp chi phí nhỏ nhất

Bước 3: Tính các thế vị

Bước 4: Tính các lượng kiểm tra:

 Nếu ∆ ij ≥ 0 , ∀(i, j)  X 0là PA.TƯ

lập phương án mới X ' quay lại bước 3. Ngược lại chọn rs { ' ij | }

 q=min ¿

 Tính X ' :

 x ' = {x 0 −q n ế u (i, j ) ∈ V− ¿ ¿ x0 +q nếu (i, j) ∈ V+ ¿¿ x0 nơi khác

Ví ij dụ 4 ij 3: ijij

4.4 Bài toán vận tải suy biến:

Khái niệm về bài toán vận tải suy biến:

Nếu một PA.CB của bài toán vận tải có số ô chọn bé hơn m+n-1 thì lúc này ta gọi bài toán

suy biến.

 Khi bài toán suy biến ta khắc phục như sau:

 Ta thêm các ô chọn mới từ cái ô loại cho ủ m+n-1 ô chọn.đối ngẫu:

Ô loại ược chọn phải thỏa các tính chất:đối ngẫu:

 Không cùng các ô chọn khác tạo thành vòng

Giúp tính ược một thế vị mới đối ngẫu:

4.5 Toán vận tải không cân bằng thu phát:

Bài toán vận tải không cân bằng thu phát chia làm 2 trường hợp:

Trườngmhợp 1: Phát lớn hơn thu: Ta thêm trạm thu giả b

n+1

với lượng hàng là:

và

n

´

b +1 = ∑ a i − ∑ b j ci ,n+1=0 , ∀ i=1 ,m

m+1

với lượng hàng là:

nhợp 2: Phát nhỏ hơn thu: Ta thêm trạm phát giả

m

´

a m+1 = ∑ b j − ∑ a i c m +1 , j =

Ví dụ 4.5: