Chứng minh rằng n3− chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3+5a chia hết cho 6.. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng
Trang 1PHẦN I: SỐ HỌC
§1 LÝ THUYẾT CHIA HẾT Bài 1 (Ninh Phước 2019) Cho B =21+ + + +22 23 229+230 Chứng minh rằng B chia hết cho
21
Bài 2 Chứng minh rằng P = +2 22+ + +23 22011+22012 chia hết cho 6
Bài 3 Chứng minh rằng số 10
11 − chia hết cho 100 1
Bài 4 (Nguyễn Du 1996) Chứng minh rằng số 2130+3921 chia hết cho 45
Bài 5 (Nguyễn Du 1998) Chứng minh rằng số 8351634+8241142 chia hết cho 26
Bài 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số 5n+2+26.5n+82n+1 chia hết cho 59
Bài 7 Chứng minh rằng n3− chia hết cho 6 với mọi số nguyên n n
Bài 8 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3+5a chia hết cho 6
Bài 9 (Quận 10 – 2002) Chứng minh rằng với mọi a nguyên thì a3+11a−6a2− chia hết cho 6 6
Bài 10 Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của
chúng cũng chia hết cho 3
Bài 11 (Sơn Dương 2016) Cho a a1, 2, ,a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 Chứng
minh rằng A=a13+a32+ + a20163 chia hết cho 3
Bài 12 (Quận 1 – 2012) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a b c− + =2012 Tìm số dư khi chia
a − + cho 6 b c
Bài 13 (Quận 1 – 2015) Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a3= − + Chứng minh rằng b3 c3 d3
a b c d− + − chia hết cho 6
Bài 14 (Đặng Trần Côn 2015) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3− + chia hết cho 6 3n 2
Bài 15 (Quận 6 – 1996) Chứng minh rằng B= +n3 6n2−19n−24 chia hết cho 6
Bài 16 (Quận 10 – 2002) Chứng minh rằng tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 Bài 17 (Quận 1 – 1998) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3+20n luôn chia hết cho 48
Bài 18 (Giao Thủy 2017) Chứng minh rằng n3+2012n chia hết cho 48 với mọi số tự nhiên n
chẵn
Bài 19 Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
Bài 20 (Trần Đại Nghĩa 2013) Cho A=(a+b b)( +c)(c+a)−abc Chứng minh rằng nếu a, b, c là
các số nguyên và a b c + + chia hết cho 4 thì A chia hết cho 4
Bài 21 (Quận 1 – 2014) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố a thì 3 a3− chia hết cho 24a a
Bài 22 (Trần Đại Nghĩa 2014) Cho số nguyên tố p Chứng minh rằng 3 2
Trang 2 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Trang 2
a) Phân tích P(x) thành nhân tử
b) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi số nguyên x
Bài 24 (Quận 6 – 1993) Cho đa thức ( ) 4 3 2
2 13 14 24
P x =x + x − x − x+ a) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì P(x) chia hết cho 6
Bài 25 (Quận 6 – 1994) Cho ( ) 4 3 2
P x =x − x + x − x+ a) Chứng minh rằng nếu x nguyên dương thì P(x) chia hết cho 6
b) Giải phương trình P(x) = 0
Bài 26 Chứng minh rằng n4−2n3− +n2 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
Bài 27 (Tân Bình 1998) Chứng minh rằng A=n8+4n7+6n6+4n5+ chia hết cho 16 với mọi số n4
nguyên
Bài 28 Cho a, b lần lượt là bình phương của hai số lẻ liên tiếp Chứng minh rằng ab a b− − + chia 1
hết cho 48
Bài 29 (Tam Dương 2019) Cho A=n6+10n4+ +n3 98n−6n5−26 và B= + − Chứng minh 1 n3 n
rằng với mọi số nguyên n thì thương của phép chia A cho B là bội của 6
Bài 30 (Cẩm Giàng 2016) Chứng minh rằng 3 ( ) (3 )3
Q=n + n+ + n+ chia hết cho 9 với mọi
*
Bài 31 (Hoa Lư 2009) Chứng minh rằng n5− chia hết cho 5 với mọi số nguyên n n
Bài 32 (Hoài Nhơn 2016) Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n là như 5
nhau
Bài 33 (Vĩnh Lộc 2017) Cho các số nguyên a, b, c Chứng minh rằng 5 5 5 ( )
a +b + −c a+ +b c chia hết cho 30
Bài 34 Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có x y5 −xy5 chia hết cho 30
Bài 35 (Kinh Môn 2019) Cho đa thức ( ) 3 2
Bài 38 (Bắc Giang 2019) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n + là ước của 2 2 n +6 206
Bài 39 (Hoằng Hóa 2015) Cho số tự nhiên n > 3 Chứng minh rằng nếu 2n =10a b+
(a b, ; 0 b 10) thì tích ab chia hết cho 6
Trang 3§2 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Bài 1 (Quận 6 – 1996) Tìm giá trị nguyên của x, y sao cho 2x3+xy=7
Bài 2 (Thạch Hà 2017) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 4(x+y)=xy+11
Bài 3 (Mỹ Đức 2012) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7(x− +1) 3y=2xy
Bài 4 (Tam Dương 2017) Tìm x, y nguyên dương sao cho x2−y2+2x−4y−10= 0
Bài 5 (Mỹ Đức 2014) Tìm tất cả cặp số nguyên (x y; ) thỏa mãn 2 ( )
Bài 7 (Ý Yên 2016) Tìm các cặp số nguyên (x y; ) sao cho x2+ + =x 3 y2
Bài 8 (Hoằng Hóa 2015) Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho 2 2
2 13
Bài 9 (Hậu Lộc 2019) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình x4+ + =y 4 y2− x2
Bài 10 (Nam Trực 2016) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2+3xy−2y2 = 7
Bài 11 (Mỹ Đức 2013) Tìm cặp số nguyên (x y; ) sao cho 5x+30= −3xy+9y2
Bài 12 (Quận 6 – 2013) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2−xy+3x−2y= 5
Bài 13 (Mỹ Đức 2015) Tìm tất cả cặp số nguyên (x y; ) thỏa mãn 2x2−2xy+3x− =y 59
Bài 14 (Hậu Lộc 2017) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 2
y + xy− x− =
Bài 15 (Mỹ Đức 2013) Tìm cặp số nguyên (x y; ) thỏa mãn 5x+30= −3xy+9y2
Bài 16 (Bắc Giang 2018) Tìm tất cả các số nguyên x; y sao cho 3x2+3xy−17=7x−2y
Bài 17 Giải phương trình nghiệm nguyên x2+xy−2012x−2013y−2014= 0
Bài 18 (Chí Linh 2018) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn ( ) 3 2
Bài 20 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2−4xy+5y2−16= 0
Bài 21 (Mỹ Đức 2017) Tìm cặp số nguyên dương (x y; ) sao cho 4x2+4x+y2−6y=24
Bài 22 (Triệu Sơn 2016) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 2 2
5x +2xy+y −4x−40= 0
Bài 23 (Giao Thủy 2017) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 5x2+y2 =17 2+ xy
Bài 24 (Vĩnh Lộc 2017) Giải phương trình nghiệm nguyên x2+2y2+3xy+3x+5y=15
Bài 25 (Kinh Môn 2019) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn 2 ( ) 2
x + xy+ x+y + y + =
Bài 26 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 10x2+20y2+8x−24y+51 0
Bài 27 (Hoài Nhơn 2016) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn
10x +50y +42xy+14x−6y+57 0
Bài 28 (Thanh Trì 2019) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x2+y2+5x y2 2+60=37xy
Trang 4 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Trang 4
Bài 29 (Thạch Hà 2017) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3+y3 = + +x y 2017
Bài 30 (Trần Đại Nghĩa 2009) Tìm các số nguyên dương x, y sao cho x3+y3 =3xy− 1
Bài 31 (Quảng Xương 2019) Tìm các số tự nhiên x y thỏa mãn , x3+y3−3xy= 1
Bài 32 (Thanh Oai 2016) Tìm số nguyên dương x, y sao cho 3 3 ( 2 2) ( )
x +y + x +y + x+y = xy
Bài 33 (Sông Lô 2016) Tìm các số nguyên x, y sao cho x3+2x2+3x+ = 2 y3
Bài 34 (Hoa Lư – 2011) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 1 x+ +x2+x3= y3
Bài 35 (Hải Phòng 2014) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x3−2y3+5xy+ = 1 0
Bài 36 (Sơn Dương 2016).Tìm các số nguyên x y z sao cho ; ; x2+y2+ −z2 xy−3y−2z+ = 4 0
Bài 37 (Mỹ Đức 2019) Tìm các cặp số tự nhiên (x y; ) sao cho
4x+15y+1 4x +x + +x y =305
Bài 38 (Chí Linh 2017) Giải phương trình nghiệm nguyên dương 3y =x2−5x+ 7
Bài 39 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x+4x = 5x
Bài 40 (Thanh Trì 2019) Tìm số nguyên dương n sao cho n3+2018n=20202019+ 4
Bài 41 (Thái Thụy 2017) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Bài 2 Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab bc ca+ + = Chứng minh rằng 1
Bài 5 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương
Bài 6 (Hoài Nhơn 2016) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn x2+ − =x p 0, với p là số nguyên
Bài 9 (Quận 1 – 2011) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B=n4−3n2+ là số nguyên tố 1
Bài 10 (Quận 9 – 2010) Tìm số nguyên dương n để p=n4−27n2+121 là số nguyên tố
Bài 11 (Quận 3 – 1996) Tìm các số nguyên dương n để n1998+n1997+ là số nguyên tố 1
Trang 5Bài 12 (Hải Phòng 2014) Cho các số nguyên a, b, c, d khác 0 thỏa mãn ab=cd Chứng minh rằng
số a2014+b2014+c2014+d2014 là hợp số
Bài 13 (Thạch Hà 2017) Tìm số hạng thứ 8 của dãy 1;3;5;10;17
Bài 14 (Quảng Trạch 2019) Cho a n = + + + + Chứng minh rằng 1 2 3 n a n+a n+1 là số chính
phương
Bài 15 (Mỹ Đức 2018) Tìm số nguyên x để x2+7x là số chính phương
Bài 16 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì A=n4+2n3+2n2+2n+ không phải là 1
số chính phương
Bài 17 (Triệu Sơn 2016) Với mỗi số tự nhiên n, đặt a n =3n2+6n+13
a) Chứng minh rằng nếu hai số a a không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi chia i, jcho 5 thì a i+ chia hết cho 5 a j
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ sao cho a n là số chính phương
Bài 18 (Thanh Trì 2019) Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó
cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ
Bài 19 (Vĩnh Bảo 2018) Tìm số tự nhiên n để n +18 và n −41 là hai số chính phương
Bài 20 Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng
nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính phương
Bài 21 (Mỹ Đức 2019) Cho n + và 21 n + (với n 1 ) đều là các số chính phương Chứng minh
rằng n chia hết cho 24
Bài 22 Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 ( n ) đều là các số chính phương thì n chia hết
cho 40
Bài 23 (Mỹ Đức 2016) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương
và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Bài 24 (Hậu Lộc 2019) Chia 12 chiếc bánh mỳ cho 12 người Thanh niên mỗi người 2 chiếc; người
già hai người 1 chiếc và các em bé thì bốn em một chiếc Hỏi có mấy thanh niên, mấy người già, mấy em bé? Biết rằng theo cách chia ấy thì số bánh mỳ chia vừa đủ với số người
Bài 25 (Quận 6 – 1993) Cho a, b là hai số nguyên
a) Chứng minh rằng nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+ chia hết cho 13 b2
b) Chứng minh rằng 10a2+5b2+12ab+4a−6b+ Dấu bằng xảy ra khi nào? 13 0
Bài 26 (Nguyễn Du 1997) Tìm số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng
Trang 6 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
a + + + luôn là tổng của ba số chính phương b c d
Bài 31 (Nguyễn Du 1996) Cho biết tích của hai số tự nhiên bằng 19851986 Hỏi tổng của chúng có
là bội của 1986 được không?
Bài 32 Số tự nhiên A = +1 232012 là số nguyên tố hay hợp số? Giải thích vì sao?
Bài 33 Chứng rằng số A =11 11122 2225 (có 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2) là một số chính
phương
Bài 34 Chứng minh rằng số
1 _
444 4488 89
n so
n so −
viết được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên
Bài 35 (Nguyễn Du 1998) Cho
1998 1 1000 999
11 1 11 1 66 6 8
so
A = + + + Chứng minh rằng A là số chính phương
Bài 36 (Thạch Hà 2017) Ký hiệu S a( ) là tổng các chữ số của số tự nhiên a Tìm a biết rằng
Bài 39 (Mỹ Đức 2017) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x − chia hết cho 2 2 xy + 2
Bài 41 (Sông Lô 2016) Cho S=1.2.3 2.3.4 + + +k k( +1)(k+2), với k * Chứng minh rằng
4S + là bình phương của một số tự nhiên 1
Bài 42 (Trần Đại Nghĩa 2009) Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn
2
+ + + + Chứng minh rằng A=abcd là số chính phương
Bài 43 (Thái Thụy 2017) Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn
+ + + + Chứng minh rằng A=abcd là số chính phương
Bài 44 (Nguyễn Du 1998) Tìm ước chung lớn nhất của hai số A =263− và 1 77
Trang 7PHẦN II: ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: NHÂN, CHIA ĐA THỨC
§1 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
a Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x
b Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất đó
Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x2−5x+ 4
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 4x + 1
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=4x2−4x+ 1
3
A= − x + x− nhận giá trị âm với mọi x
Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất của M = − +x2 4x− 6
2
Bài 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2−4x+y2−8y+ 6
Bài 16 (Hoàng Văn Thụ 2002) Chứng minh rằng x2+4y2+ +z2 142x+12y+4z, với mọi x, y,
z
Bài 17 (Nguyễn Du Gò Vấp 2000 – 2001) Tìm x, y, z sao cho x2+4y2+z2=2x+12y−4z− 14
Bài 18 Tìm giá trị nhỏ nhất của M =x2+2xy+2y2−2y− 2
Bài 19 Cho các số x y thỏa mãn , 3x2+3y2+4xy+2x−2y+ = Tính giá trị của 2 0
Trang 8 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Bài 30 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x2+2y2−2xy+4x−2y+ 12
Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x2−2xy+2y2−4y+ 5
B= x +y + xy− +x
Bài 33 (Củ Chi 2016) Tìm giá trị nhỏ nhất của x2+5y2+2xy−4x−8y+2015
Bài 34 (Phú Nhuận 2001) Tìm giá trị của a, b để biểu thức A=a2−4ab+5b2−2b+ đạt giá trị 5
Bài 38 (Ngô Quyền 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất của A=2x2+y2−2xy+4x+2y+ 5
Q=x + y
Bài 40 Cho hai số a b thỏa mãn , a2+2ab b+ −2 2a−2b + = Tính a b1 0 +
Bài 41 Tính giá trị của biểu thức A=x6−2x4+ + − , biết x3 x2 x 3
Bài 52 (HSG Quận 1 1997 -1998) Chứng minh rằng (x−1)(x−3)(x−4)(x− + với mọi x 6) 10 1
Bài 53 (HSG Ninh Phước 2019) Cho A=(x−1)(x+2)(x+3)(x+ Tìm giá trị của x để biểu 6)
thức A đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 9Bài 54 (HSG Quận 1 1995-1996) Chứng minh rằng với x, y nguyên thì
4( )( 2 )( 3 )( 4 )
Bài 56 (Hà tây chuyên 2004 – 2005) Rút gọn (1+x)(1+x2)(1+x4) (1+x16)(x− + 1) 1
x
+ + = Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2016
x +y = , không tính giá trị của x y , tìm giá trị của , A= − x3 y3
34
B= x +y + , biết x+ = − và y 56
Trang 10 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
§3 ÔN TẬP TỔNG HỢP VỀ NHÂN, CHIA ĐA THỨC – HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Bài 8 Tìm các số a, b sao cho x3+ax b+ chia cho x + thì dư 7, chia cho 1 x − thì dư 53 −
f x =ax +bx + + Tìm a, b, c, d biết rằng khi chia đa thức f(x) lần lượt cx d
cho (x−1 ;) (x−2 ;) (x− đều có số dư là 6 và tại 3) x = − thì đa thức nhận giá trị là 181 −
Bài 10 (Việt Yên 2013 + Cẩm Giàng 2016) Tìm đa thức f x , biết ( ) (x +2) dư 10, f x chia cho ( )
2
x − dư 26 và f x chia cho ( ) x − được thương là 5x2 4 − và còn dư
F x =x +ax +bx c+ Biết đa thức F x chia cho ( ) x + 1
dư – 4 và đa thức F x chia cho ( ) x − dư 5 Hãy tính giá trị của 2
Bài 13 (Nguyễn Du 1998 – 1999) Cho a b c+ + =9;a2+ + = Tính ab bc ca b2 c2 53 + +
Trang 11Bài 18 Cho các số a, b thỏa mãn a3−3a2+5a−2011 0= và 3 2
Bài 21 (Nguyễn Du 2002 – 2003) Cho a + b – c = 0 CMR (a2+ +b2 c2 2) =2(a4+ +b4 c4)
111
b Nếu a3+ + = Tìm giá trị của a, b, c b3 c3 1
Trang 12 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Trang 12
§4 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A < 0
Bài 4 Phân tích thành nhân tử 3x3−7x2+17x− 5
Trang 13c) (x+2)(x+3)(x+4)(x+ −5) 24
Bài 16 (Quận 6 – 2014) Phân tích thành nhân tử a a( −1)(a b+ −) (b b− 1)
Bài 17 Phân tích thành nhân tử x4+2004x2+2003x+2004
Bài 22 (Nguyễn Du 1998 – 1999) Phân tích đa thức thành nhân tử x8+3x4+ 4
Bài 27 (HSG Quận 6 1994-1995) Phân tích đa thức P x( )=6x3+13x2+4x− thành nhân tử 3
Bài 28 (Việt Yên 2013) Phân tích thành nhân tử x4+2013x2+2012x+2013
Bài 29 Phân tích thành nhân tử x4+2011x2+2010x+2011
x
x x
+ =
Bài 32 (HSG Quận 6 1992 – 1993) Cho đa thức P x( )=x4+2x3−13x2−14x+24
a) Phân tích đa thức thành nhân tử
b) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6
Bài 33 (HSG Quận 6 1990 – 1991) Cho đa thức P x( )=2x4−7x3−2x2+13x+ 6
a) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử
b) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi giá trị x nguyên
Trang 14 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Trang 14
Bài 34 (HSG Quận 6 1993 – 1994) Cho đa thức P x( )=x4−3x3+5x2−9x+ 6
a) Trong trường hợp x là số nguyên dương Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6
b) Giải phương trình P(x) = 0
Bài 35 (HSG Quận I 1994-1995) Phân tích đa thức thành nhân tử (x2+x)2−2(x2+ − x) 15
Bài 36 (Quảng Xương 2019) Phân tích đa thức thành nhân tử x2+4y2−4xy+3x−6y− 4
Bài 37 (HSG Quận I 1994-1995) Phân tích đa thức thành nhân tử (a b c+ + )3− − − a3 b3 c3
Bài 38 (HSG Quận 5 1999 – 2000) Phân tích đa thức thành nhân tử A= + + −x3 y3 z3 3xyz
Bài 39 (Thái Thụy 2017) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3+ + =b3 c3 3abc
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Bài 48 (Thanh Trì 2019) Phân tích thành nhân tử (x+1)(x+2)(x+3)(x+ −4) 24
Trang 15Bài 58 (Thanh Trì 2019) Phân tích thành nhân tử x + 4 4
Bài 64 (Hậu Lộc 2017) Phân tích thành nhân tử x20+ + x 1
Trang 16 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Trang 17CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§1 RÚT GỌN PHÂN THỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Bài 1 (HSG Tân Bình 1989 – 1990) Rút gọn biểu thức | |x |y|
++
Bài 2 (HSG Quận 6 1995-1996) Xác định số tự nhiên n để 5 11
4 13
n A n
b) Tìm các giá trị nguyên của x để F nguyên
Bài 5 (Nguyễn Du 2002 – 2003) Cho biểu thức
b) Tìm tất cả số nguyên n để A nhận giá trị nguyên
Bài 6 (Khăn Quàng Đỏ 2001 – 2002) Tìm x nguyên sao cho
Bài 8 (HSG Tân Bình 1989 – 1990) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức sau là một số
nguyên
232
x x
b) Tìm điều kiện của x để A âm
Bài 12 (HSG Tân Bình 1993 – 1994) Cho phân thức
b) Rút gọn A
Trang 18 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
a Tìm điều kiện để B có nghĩa
b Tìm giá trị bé nhất của A và giá trị tương ứng của x
c Tìm giá trị của x để A.B < 0
Bài 14 (Quốc Học Huế 1999 – 2000) Cho biểu thức
d) Tìm các giá trị của x nguyên sao cho A là một số nguyên
Bài 15 (HSG Quận 3 1996-1997) Cho phân thức
b) Rút gọn P
c) Với giá trị nào của x thì P có giá trị bằng 2
Bài 17 (Giao Thủy 2017) Cho
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A nhận giá trị nguyên
Bài 18 (Củ Chi 2016) Cho
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng 0
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Bài 19 (HSG Tân Bình 1996 – 1997) Cho biểu thức
b) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá trị của x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A tương ứng với giá trị của x khi đó
Trang 19Bài 21 Cho biểu thức 3 3 2 3
1
x A
+
=+ + + a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên
d) Tìm giá trị của A trong trường hợp |x-7|=4
Bài 27 (Quốc Học Huế 2001 – 2002) Cho biểu thức
Trang 20 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
d) Tính giá trị của A với x thỏa mãn x −4 = 5
Bài 31 (Quận 6 – 2011) Cho 1 2 5 2 1 22
b) Tìm các số nguyên x để A có giá trị nguyên
Bài 33 (Triệu Sơn 2016) Cho 2 1 1 22 1
Trang 21b) Tìm x để A nhận giá trị là số âm
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức (x+2 ) A nhận giá trị là số nguyên
Bài 36 Cho biểu thức
c) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
Bài 37 (Chí Linh 2018 + Kim Thành 2018) Cho biểu thức
c) Tìm các giá trị của x sao cho A= A
Bài 38 (Quảng Trạch 2019) Cho biểu thức
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là số nguyên
Bài 39 (Mỹ Đức 2016 – 2017) Cho biểu thức 1 2 5 2 1 22
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Trang 22 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
b) Biết P Tìm 4 x để P nguyên dương
Bài 43 (Hậu Lộc 2019) Cho biểu thức 2
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số nguyên tố
c) Với x thì P không nhận những giá trị nào? 0
Bài 44 (Kim Thành 2015) Cho biểu thức
b) Với giá trị nguyên nào của x thì A nhận giá trị nguyên
Bài 45 (Phú Nhuận 2002) Tìm các giá trị nguyên của x để
Trang 23Bài 50 (Bắc Giang 2018) Cho biểu thức
b) Với x là số nguyên, tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 52 (Tam Đảo 2015) Cho
b) Tìm các giá trị nguyên của x để M đạt giá trị lớn nhất
Bài 53 (Nga Sơn 2017) Cho biểu thức ( )
Trang 24 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
p
−
=
−
§2 BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
−
=+ và
=+ +
Trang 25Bài 8 (Quận 1 – 2015) Cho a b c khác nhau Chứng minh đẳng thức , ,
Trang 26 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Trang 26
giá trị của biểu thức
giá trị của biểu thức
M =x +y −xy là bình phương của một số hữu tỷ
Trang 27Bài 32 (Bắc Giang 2018) Cho x y z thỏa mãn , , x+ + =y z 7;x2+y2+z2=23 và xyz = Tính giá 3
x − xy=xy y x+ y
Trang 28 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
(các mẫu số đều khác 0) Tính giá trị của B, biết abc =2019
Trang 29Bài 60 (Quận 1 2003 – 2004) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác thỏa mãn
+ + + + + + CMR tam giác đó cân
Trang 30 Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
Với x, y, z khác nhau Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì ABC = 1