Bai tap 3 diem thang hang TS 10 nam 2021 QC

Vẽ AC cắt OM tại E, vẽ MB cắt nửa đường tròn tại D Dkhác B a Chứng minh tứ giác MADE nội tiếp b Chứng minh 2 MA =MD.MB c Vẽ CH vuông góc AB... Chứng minh tam giác CPN là tam giác cân và

CÁC BÀI HÌNH THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2021

3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY

ĐẮK NÔNG

Câu 4: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đường kính AB Lấy một điểm M trên tia Ax Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn  O (C là tiếp điểm ) Vẽ AC cắt OM tại E, vẽ MB cắt nửa đường tròn tại D (Dkhác B)

a) Chứng minh tứ giác MADE nội tiếp

b) Chứng minh 2

MA =MD.MB c) Vẽ CH vuông góc AB Chứng minh MBđi qua trung điểm của đoạn CH

Lời giải

a) Ta cóOAOC nên O thuộc trung trực AC

MAMB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên M thuộc trung trực AC

Suy ra OM là trung trực của AC  0

OM AC AEM 90

Ta có  0

ADB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa  O )  0

ADM 90

Xét tứ giác ADME có   0

AEMADM90 Nên tứ giác MADE nội tiếp

b) Xét MAD và MBA có

N E

D M

O

C

H

  0

2

AMBchung

MDA MAB 90

MAD MBA g.g

MA MB

MA MD.MB

MD MA

”

c) Gọi giao điểm của MB và CH là N

Vì tứ giác AEDM nội tiếp nên DECAMD

MÀ AMDDAB ( Cùng phụ MAD )

Nên DEC DAB (1)

Ta cóDNC BNH (2 góc đối đỉnh)

Mà

 

0

0

BNH NBH 90

BNH DAB DNC DAB 2 DAB NBH 90







Từ (1) và (2) DECDNC Nên tứ giác DENC nội tiếp

DNE DCE

  Mà DCE  DCADBADNE DBA

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên EN//AB hay EN/ /AH

Lại có: E là trung điểm của AC ( do OM là trung trực của AC OM, cắt AC tại E ) Nên N là trung điểm của CH ( định lí đường trung bình của ACH )

Vậy MB đi qua N là trung điểm của CH

ĐỒNG NAI

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho ABC có ba góc nhọn (ABAC) Ba đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H 1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiểp tứ giác BFEC

2) Gọi I là trung điểm của AH Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ( )O 3) Vẽ CI cẳt đường tròn ( )O tại M M( khác C ), EF cắt AD tại K Chứng minh ba điểm B K M, , thẳng hàng

Lời giải

1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC

Vì CFAB nên CFB  90

Vì BEAC nên BEC  90

Xét tứ giác BEFC có: E, F là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC và

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC là trung điểm cạnh BC

I

H

O F

E

B

A

H

O F

E

B

A 2) Gọi I là trung điểm của AH Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

Xét AEH vuông tại H , có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh AH nên

1

2

Suy ra: IEH cân tại I IEH IHE

Mà IHE BHD (Hai góc đối đỉnh)

Suy ra: IEH BHD (1)

Ta lại có: OB OE R  OEB cân tại O

OBE OEB

  (2)

Từ (1) và (2), ta có: IEH OEB BHD OBE   

Mặt khác: BHD OBE  90 (vì BHD vuông tại D)

Suy ra: IEH OEB BHD OBE    90 hay OEI  90

Và E( )O

Do đó: IE là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

3) Vẽ CI cắt đường tròn ( )O tại M M( khác C ), EF cắt AD tại K Chứng minh ba

điểm B K M, , thẳng hàng

Ta có: góc BMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc BMC = 90 độ

Xét IEK và IDE có:



EIK là góc chung; IDE IEK(ECF)

Do đó: IEK∽IDE(g.g) IE IK ID IK IE2

Mặt khác: IM IC IE2 (Bạn đọc tự chứng minh) ID IK IM IC IM IK

Xét tam giác IMK và tam giác IDC có: Góc MIK là góc chung; IM IK

  ∽ KMI CDI 90

, ,

B M K









  thẳng hàng

K

M I

H

O F

E

B

A

HÀ NỘI

Bài IV (3,0 điểm):

Cho tam giácABCvuông tạiA Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CA Từ điểm B

kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn C CA;  (M là tiếp điểm, M và A nằm khác phía đối với đường thẳng BC)

1) Chứng minh bốn điểm A C M, , và B cùng thuộc một đường tròn

2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B) Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP AN Chứng minh tam giác CPN là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP

Lời giải

1) Chứng minh bốn điểm A C M, , và B cùng thuộc một đường tròn

Xét ABC vuông tại A nên ta có: BAC 90 0

Theo giả thiết BM là tiếp tuyến của C CA;   BM MC hay  0

90

BMC 

Xét tứ giác ACMB có  BACBMC 90 0  90 0  180 0

Mà hai góc BAC và BMC ở vị trí đối nhau  tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)

 Bốn điểm A C M, , và B cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B) Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP AN Chứng minh tam giác CPN là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP

Chứng minh tam giác CPN là tam giác cân

Xét ACN và MCP có:

bán kính ;

90 (gt)

AC MC C CA

CAN CMP

AN MP













 ACN  MCP (c.g.c)

 CN CP (hai cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)

Xét CPN có CN CP suy ra CPN cân đỉnh C

Chứng minh đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP

Gọi I là trung điểm của PN, nối IM, IA

CPN

 cân đỉnh C có CI là đường trung tuyến nên CI cũng là đường cao của CPN

CI PN

90

CIP CIN

Xét tứ giác CIMP có   0

90

CIPCMP , khi đó hai đỉnh kề I M, cùng nhìn cạnh CP dưới cùng góc 0

90 nên suy ra tứ giác CIMP nội tiếp  MIPMCP (góc nội tiếp cùng chắn cung MP) (1)

Xét tứ giác ACIN có   0 0 0

90 90 180

CANCIN    , mà hai góc CAN và CIN ở vị trí đối nhau  tứ giác ACIN nội tiếp đường tròn  AIN ACN (góc nội tiếp cùng chắn cung



AN) (2)

Ta có ACN MCP (cmt)  ACN MCP (hai góc tương ứng của 2 tam giác bằng nhau) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MIP AIN

Ta có   0

180

PIAAIN  (hai góc kề bù)    0

180

PIA MIP   AIM 1800 ba điểm , ,

A I M thẳng hàng hay đường thẳng AM đi qua điểm I

Vậy đường thẳng AM đi qua trung điểm Icủa đoạn thẳng NP

HẢI PHÒNG

Bài 5 (3 điểm)

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Các đường cao AD BE, và CF của

ABC

 cắt

nhau tại H.

a) Chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh EB là tia phân giác của FED và BFE đồng dạng với DHE

c) Giao điểm của AD với đường tròn ( )O là I I(  A), IE cắt đường tròn ( )O tại

K K I Gọi M là trung điểm của đọn thẳng EF Chứng minh rằng ba điểm B M K, , thẳng hàng

Lời giải

a) Ta có: AD BE CF, , lần lượt là các đường cao của ABC





Xét tứ giác BCEF ta có: BEC BFC 90 ( cmt)

BCEF

 là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bẳng nhau)

Xét tứ giác CDHE ta có: CDH CEH  90 90 180

BCEF

 là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 )

b) Ta có: BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt)

FEB FCB

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF )

Lại có: CEHD là tứ giác nội tiếp (cmt)

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD )

Hay FED FCB

FEB BED FCB

EB

 là tia phân giác của FED (dpcm)

Ta có: BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt)

 

FBE FCE

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF )

Lại có: CEHD là tứ giác nội tiếp (cmt)

HDE HCE

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH )

FBE HDE FCE

Xét BFE và DHE ta có:

FBEHDE cmt

FEBHED cmt

c) Chứng minh: HI2HD

Lại có BFEIHE( 180o 

BCA

  ) Suy ra BFM∽IHE c g c FBMHIK

Mà HIKFBK B K M, , thẳng hàng

PHÚ YÊN

Câu 16 (2,00 điểm) Cho hình thang ABCD có AˆDˆ 90, AD4AB, CD3AB Gọi

M là trung điểm của AD, E là hình chiếu vuông góc của M lên BC Tia BM cắt đường thẳng CD tại F

a) Chứng minh rằng MAEMBE

b) Chứng minh rằng ABDF là hình bình hành

c) Đường thẳng qua M vuông góc với BF cắt cạnh BC tại N Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên CD Chứng minh rằng tam giác BNF cân

d) Chứng minh rằng đường thẳng MH đi qua trung điểm của DE

Lời giải

a) Chứng minh rằng MAEMBE

Xét tứ giác ABEM có

MAB  (gt) và MEB 90

 (E là hình chiếu vuông góc của M lên BC)



 Tứ giác ABEM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối trong bù nhau)

MAE MBE

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ME)

b) Chứng minh rằng ABDF là hình bình hành

Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)  AB // DF

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có: AB AM

Mà AM MD (M là trung điểm AD) nên AB 1

Xét tứ giác ABDF, ta có: AB // DF (cmt) và ABDF (cmt)

 Tứ giác ABDF là hình binh hành (tứ giác có một cặp cạnh vừa song song vừa

bằng nhau)

c) Chứng minh rằng tam giác BNF cân

Ta có: ABDF là hình bình hành (cmt)

 Hai đường chéo AD và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà M là trung điểm AD (gt) nên M cũng là trung điểm BF

Xét BNFcó:

NM là đường trung tuyến (M là trung điểm BF) và NM là đường cao (MNBF)

BNF

  cân tại N (tam giác có trung tuyến đồng thời là đường cao)

d) Chứng minh rằng đường thẳng MH đi qua trung điểm của DE

Gọi K là giao điểm của MH và DE

Xét tứ giác MNHF có

FMN   (MNBF) và NHF 90 (H là hình chiếu vuông góc của N lên CD)



 Tứ giác MNHF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối trong bù nhau)

HFN HMN

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN ) (1)

Ta có: NFMNBM (NBF cân tại N) mà NBMNME (cùng phụ BME)

Từ (1) và (2), ta cộng vế theo vế, ta được:

Mà HFMABM (so le trong của AB // DF)

Mặt khác, ABM AEM (hai góc nội tiếp cùng chắn AM , ABEM nội tiếp)

HME AEM

  mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên AE // MH

Xét AED có: M là trung điểm AD (gt) và AE // MK (KMH, AE // MH)

 K là trung điểm DE (định ly đường trung bình trong tam giác)

Vậy MH luôn đi qua trung điểm của DE (đpcm)

QUẢNG TRỊ

Câu 5 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vuông góc với BC tại E Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF Đường thẳng BF cắt đường tròn

(O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC tại H

1 Chứng minh tứ giác ABEF là tứ

giác nội tiếp

2 Chứng minh BCABDA

3 Chứng minh hai tam giác AEO và

EHO đồng dạng

4 Đường thẳng AD cắt đường tròn

(O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I,

CG cắt FD tại K Chứng minh I, K, H

thẳng hàng

Lời giải:

1 Chứng minh tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp

Ta có:   0 0 0

90 90 180

FABFEB   nên suy ra tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh BCABDA

Ta có:   0

90

CABBDC nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Suy ra BCABDA (là 2 góc cùng chắn cung AB)

3 Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng

Trước hết ta chứng minh: OAECBDOEH

Trong tứ giác nội tiếp ABEF ta có: FAEFBE (Vì cùng chắn cung EF)

Suy ra OAE CBD  1

Trong tam giác cân ODE (cân tại O), ta có:  180  90 

o

o

EOD EOD OED    ,

Mà EOD2ECD (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ED)



2

EOD

ECD BCD

 

Suy ra:  90  90    2

2

OED   BCDCBD

Từ (1) và (2) suy ra: OAECBDOEH

Xét hai tam giác OAE và tam giác OEH có:

* Góc O chung;

* OAEOEH (theo chứng minh trên)

Vậy OAE OEH g g . 

4 Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG

cắt FD tại K Chứng minh I, K, H thẳng hàng

Trong tam giác CKF ta có CD và FG là các đường cao nên giao điểm của chúng là trực tâm của tam giác CKF

Vì thế để chứng minh I, K, H thẳng hàng ta cần chứng minh KH là đường cao của tam giác CKF hay là cần chứng minh KH CF

Thật vậy, trước hết ta có ODEOAE (Vì cùng bằng OEH)

Suy ra tứ giác ADOE là tứ giác nội tiếp

Từ đó suy ra ADE AOE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

Mà ADEGCE (Trong tứ giác nội tiếp, góc ngoài bằng góc trong đối diện)

Suy raAOEGCE (3)

Vì tứ giác ABEH là tứ giác nội tiếp nên suy ra CBKOAE (4)

Trong tam giác KCB ta có:  0   0  

CKB  KCBCBK   GCECBK (5) Lại có DHAOHEOEA (theo chứng minh ở câu 3)

Suy ra DHA 180 0  AOEOAE (6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra CKBDHA hay CKDDHA

Suy ra tứ giác CKDH là tứ giác nội tiếp

Suy ra   0

90

CHK CDK  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK)

Suy ra KH CF Vậy I, K, H thẳng hàng

SƠN LA

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD và H là trực tâm tam giác Vẽ đường tròn tâm I đường kính BC, từ A kẻ các tiếp tuyến AM AN, với đường tròn  I (M N, là các tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh AMN ADN và AHN AND.

c) Chứng minh ba điểm M H N, , thẳng hàng

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn

Theo giả thiết, AM AN, là các tiếp tuyến của đường tròn  I với M N, là các tiếp điểm

90

AMI ANI 

Xét tứ giác AMIN có   0 0 0

90 90 180

AMIANI    , mà AMI và ANI là hai góc ở vị trí đối diện nhau suy ra tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)

Vậy tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh AMNADN và AHN AND.

Theo giả thiết AD là đường cao của ABC ADBC hay ADI 90 0

Xét tứ giác ADIN có   0 0 0

90 90 180

ADIANI    , mà hai góc ADI và ANI ở vị trí đối diện nhau  tứ giác ADIN nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)

 ADN AIN (góc nội tiếp cùng chắn cung AN) (1)

Theo câu (a), tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn  AMN AIN(góc nội tiếp cùng chắn cung AN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMNADN

Gọi E là chân đường cao hạ từ B xuống AC, BE AC  0

90

AEH

Xét AEH và ADC có



90

Chung DAC

AEH ADC





( )

AEH ADC g g

  #  

AH AE

AC AD

  AH AD  AC AE. (3)

Xét AEN và ANC có: Chung EAN

ANEACN (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EN)

( )

AEN ANC g g

    

AE AN

AN AC

  AC AE  AN2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra 2

.

AH AD AN AH AN

AN AD

Xét AHN và AND có



(cmt)

Chung HAN

AH AN

AN AD









(c g c)

AHN AND

     

AHN AND

  (đpcm)

c) Chứng minh ba điểm M H N, , thẳng hàng

Ta có AMNANM(hai góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MN của  I )

ANM ADN

Theo câu (b), ta có AHN ANDANH  ADN

ANH ANM

  , mà H M, nằm cùng phía với AN ba điểm H M N, , thẳng hàng

TRÀ VINH

Câu 6 (3.0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao

AD (D  BC), BE (E  AC), CF ( F AB ) cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh DA là phân giác EDF

3 Kẻ đường kính AK, gọi I là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm

H, I, K thẳng hàng

Lời giải

1 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn

Tứ giác BCEF có

BEC90 (BE là đường cao)

BFC90 (CF là đường cao)

BEC BFC 90

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp

2 Chứng minh DA là phân giác EDF

Tứ giác DHEC có

HEC90 (BE là đường cao);  0

HDC90 (AD là đường cao)

BEC BFC 90 90 180

K I

O H

D

F

E

C B

A

Tứ giác DHEC nội tiếp HDE HCE( cùng chắn cung HE)

Tương tự, ta chứng minh được HDFHBF( cùng chắn cung HF)

Mà HCE HBF( cùng chắn cung FE)HDEHDF

Vậy DA là phân giác EDF

3 Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng

Vì AK là đường kính của (O) nên   0

ABKACK90

Ta có KC AC KC / /BH













Tương tự ta có BK / /HC

Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành

Mà I là trung điểm của BC

Suy ra I là trung điểm của HK

Vậy ba điểm H, I, K thẳng hàng