BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 CHỦ ĐỀ ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ

Tính tốc độ thay đổi sản lượng quạt máy của công ty theo chi phínhân công tại thời điểm công ty đang chi 200 triệu đồng cho lao động và 800 triệu đồng cho vốn đầu tư.. Chủ đề 1: Vector G

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

M ục l ục

Sinh viên thực hiên: ………

Hoàn thành các chủ đề:……….

I: Bài làm từng thành viên………

II:Nội dung ………

Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện

Chủ đề 2: Vi phân

Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến

Chủ đề 4: Ứng dụng hình học của tích phân kép

Chủ đề 5: Tích phân bội ba

Chủ đề 6: Tích phân đường

Chủ đề 7 : Tích phân mặt

Chủ đề 8 : Chuỗi ( chuỗi số,chuỗi lũy thừa)

Danh sách các thành viên trong nhóm 7 (L21) :

+ Lê Hoàng Đức -MSSV: 2012991

+ Nguyễn Hữu Hạnh -MSSV: 2013095

+ Hồ Thanh Hải -MSSV: 2013066

+ Nguyễn Tấn Hào -MSSV: 2013053

+ Phan Anh Hào -MSSV: 2013055

+245

= 4 √205

5

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cong

f ' x (x,y)= [ tan (x y2 ) ]' x = y2[ 1 +tan 2 (x y2 ) ]

f ' y (x,y)= [ tan (x y2) ]' y = y2[ 1 +tan 2 (x y2) ]

⇒df ( x , y )=f ' x (x,y)dx+ f ' y (x,y)dy = y2[ 1 +tan 2 (x y2 ) ] +

y2[ 1 +tan 2 (x y2 ) ]

Ví dụ 2:Cho hàm số f(x,y) = 2x3y2− x2y Tính df(1;-1)?

Giải:

f ' ( x, y) = 6x2y2− 2 xy ⇒f ' (1 ;−1) = 8

f ' y (x , y) = 4x3y − x2 ⇒f ' y (1;− 1) = -5

⇒df(x , y)=f '

x (x,y)dx+ f ' y (x,y)dy= 8dx-5dy

Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến:

Ví dụ 1: Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hang với giá P = 60 ₁

và P =75 Hàm chi phí C= Q ²+ Q ².Q ²+ Q ² Tìm các mức sản ₂ ₁ ₁ ₂ ₂lượng Q , Q doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại₁ ₂ ?

302+30²)=1575 khi đơn vị sản xuất 15 đơn

vị hàng hóa thứ nhất và 30 đơn vị hàng hóa thứ hai

V được giới hạn bởi 0≤ φ ≤2 π ; 0 ≤ r ≤2 ; r2≤ z ≤ 4

Ví dụ 1: Tính ∫C y2ds ; C là đường cong {x =a (t − sint )

Ta có mặt z=√ 1− x2− y2 ; hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D: x2+ y2

≤1 Hơn nữa ⃗n tạo với Oz góc nhọn nên:

Ví dụ 2:Khảo sát sự hội tụ phân kì của chuỗi ∑

n)n n → ∞

→

3

e >1 nên chuỗi phân kì

STT:02 Tên:Nguyễn Tấn Hào

MSSV: 2013053

Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện

Ví dụ 1:Tìm đạo hàm của f ( x , y )=arctg y

Phương trình mặt phẳng tiếp diện: 8( x− 2)−12 ( y −1)+4 ( z−1 )=0

Phương trình pháp tuyến: x −28 = y−1

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị sản phẩm Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là

Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị), Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề Tốc độ này nói lên điều gì?

Tính tốc độ thay đổi sản lượng quạt máy của công ty theo chi phínhân công tại thời điểm công ty đang chi 200 triệu đồng cho lao động và 800 triệu đồng cho vốn đầu tư Tốc độ này nói lên điều gì?

Hình chiếu của Ω lên Oxy là miền D: x2+ y2

¿

Vì ⃗n hợp với chiều dương của Oz một góc tù nên

Vậy chuỗi phân kỳ

Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi

 Miền hội tụ của (2) là −5< X <5

 Miền hội tụ của (1) là −1< x <4

Vậy miền hội tụ là (-1; 4)

STT:03 Tên: Hồ Thanh Hải

MSSV : 2013066

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện

Ví dụ 1:Nhiệt độ T tại 1 điểm trong quả cầu kim loại tỉ lệ nghịch

với khoảng cách từ tâm cầu đến điểm đó, lấy tâm cầu là gốc tọa

độ Cho biết nhiệt độ tại điểm M(1,2,2) là 1200C Tìm tốc độ biến thiên của T tại M theo hướng đến điểm N(2,1,3) ?

Giải:

c

Tốc độ biến thiên của T tại M theo hướng N là:

T’MN(M)= ∇T (M ).⃗|⃗MN|MN = − 403√3

Ví dụ 2: Nếu f(x,y)=x. e y ,tìm tốc độ biến thiên của f tại điểm P(2,0) theo hướng từ P đến Q( 12 ,2) có tốc độ biến thiên cực đạitheo hướng nào ?

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị sản phẩm Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là

Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị),

Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề Tốc độ này nói lên điều gì?

Ví dụ 1: Tính diện tích phần mặt nằm ngoài đường tròn r=1 và nằm trong đường tròn r= √3cosφ2 ?

-Khi mặt phẳng giới hạn bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D của

nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z của 2 phương trình 2 mặt:

Ví dụ 1:Tính tích phân I= ∭( x+z) dx dy dz thuộc E trong đó E là vật thể giới hạn bởi x2+y2=1,z=2-x2-y2,z=0 ?

Ví dụ 2: Tính tích phân bội ba I= ∭

E

❑

z dx dy dz với E là vật thể giới hạn y=1-x;z=1-x2 và các mặt phẳng tọa độ ?

0=sin(t) => {cos(t )=1

sin(t)=0 =>t=0Tương tự với B: => t= π

Tham số hóa pt nữa đường tròn: {x =cos( t )

Trên S2 ta có: z = - √R2− x2− y2 và khi đưa về dấu tích phân kép thì lấy dấu âm, nên:

Vậy chuỗi đã cho là chuỗi phân kỳ

Ví dụ 2:(Chuỗi lũy thừa) Tìm tổng chuỗi hàm:

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện

Ví dụ 1:Nhiệt độ tại điểm (x , y , z) được cho bởi

b) Nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm P theo hướng nào?c) Tìm tốc độ tăng tối đa tại P

Giải

Ví dụ 2:Cho hàm số f (x , y )=3 x2− y2 có đồ thị là mặt cong S Tìm điểm A trên mặt S sao cho mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d: x=2 −3 t , y=7+ 8 t , z=5 −t

Giải

Đường thẳng d có vector chỉ phương là ⃗a=(−3, 8,− 1)

Vector pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện tại điểm A (x , y , z) là

⃗n=(6 x ,− 2 y ,−1)

Mặt phẳng tiếp diện tại A vuông góc với đường thẳng d

⇔ ⃗n cùng phương ⃗a ⇔ ⃗n=k ⃗a=k (−3, 8,− 1) ⇔ {x =−1

Chủ đề 3: đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1:Giả sử hàm số ω=f (x , y , z) có đạo hàm tại điểm (1, 0, 2) với f x(1, 0,2)=1 , f y(1,0, 2)=2 và f z(1, 0, 2)=3 Nếu x=t , y=sin (πt ) ,

¿f ' x.1+f ' y π cos ( πt )+ f ' z.2t

¿ 1.1+2 π cos π+3.2.1

¿ 7−2 π

Ví dụ 2:Nhiệt độ của một đĩa kim loại mỏng đặt trên mặt phẳng

Oxy tại mỗi điểm có tọa độ (x, y) cho bởi T = 100

Ví dụ 1:Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường: y2=9 − x ,

Ta có công sinh ra:

Giải

z ' x=0

z ' =−2 y

Miền D xy :

+ Hàm điều kiện: x+ y=2 , x=4

+ Hình chiếu giao tuyến: 4− y2=0 ⇔y=± 2

=1 , z ≥ 0 bị chắn bởi các mặt x=0 , x=1 , lấy phíatrên theo hướng ⃗Oz

Giải

⇒ VTPT: ⃗n=(0,2 y ,2 z) ; z ≥ 0

Miền D xy :

+ Hàm điều kiện: x=0, x=1

+ Hình chiếu giao tuyến: y2=1 ⇔y=±1

Vậy chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn D’Alambert

Ví dụ 2:Tìm miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa

STT: 05 Tên: Trần Công Hiển

MSSV: 2013188

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện

Giải tích vectơ: Hiểu Gradient

Gradient là một từ ưa thích để chỉ đạo hàm, hoặc tốc độ thay

đổi của một hàm Đó là một vectơ (hướng di chuyển)

Các điểm theo hướng tăng nhiều nhất của một hàm (trực giác về

bạn có thể nói một đường có gradient (độ dốc của nó), nhưngviệc sử dụng "gradient" cho các hàm một biến là khó hiểu mộtcách không cần thiết Giữ nó đơn giản.

Ví dụ: Giả sử chúng ta có một cái lò thần kỳ, với tọa độ được ghi

trên đó và một màn hình hiển thị đặc biệt

Chúng ta có thể nhập 3 tọa độ bất kỳ (như “3,5,2 ″) và màn hình hiển thị cho chúng ta gradient của nhiệt độ tại điểm đó

Gradient tại bất kỳ vị trí nào đều hướng theo hướng tăng lớn nhất của một hàm Hãy nhớ rằng gradient không cung cấp cho chúng ta tọa độ của nơi cần đến; nó cho chúng ta hướng di

chuyển để tăng nhiệt độ của chúng ta

Câu1(Đề ca 1_HK192): Cho hàm số f(x, y) = x2 − 2 y2 +2x có

đồ thị là mặt cong Tìm điểm M trên mặt S sao cho tiếp diện của mặt S tại M vuông góc với trục Oz

Giải

Vector pháp của mặt S tại (x, y, z) là ⃗n = (−2x − 2, 4y, 1)

⃗n song song với trục Oz  ⃗n = k(0, 0, 1)  x = −1, y = 0

Vậy M(-1,0,-1)

Chủ đề 2: Vi phân

Khái niệm: Trong toán học, vi phân là một nhánh con của vi tích

phân liên quan đến nghiên cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khibiến số thay đổi Đây là một trong hai nhánh truyền thống của vi tích phân, cái còn lại là tích phân, nghiên cứu về diện tích nằm bên dưới một đường cong

Ứng dụng : Vi phân có các ứng dụng cho gần như tất cả các

ngành định lượng Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm của sự dịch

chuyển của vật chuyển động theo thời gian là vận tốc của vật thể

và đạo hàm của vận tốc đối với thời gian là gia tốc Đạo hàm

của động lượng của một cơ thể đối với thời gian bằng với lực tácdụng lên cơ thể; sắp xếp lại tuyên bố phái sinh này dẫn đến

phương trình nổi tiếng F = ma liên quan đến định luật chuyển

động thứ hai của Newton Tốc độ phản ứng của một phản ứng hóa học là một đạo hàm Trong nghiên cứu hoạt động, các công

cụ phái sinh xác định các cách hiệu quả nhất để vận chuyển vật liệu và thiết kế nhà máy

Ví dụ về bài toán thực tế: Tốc độ gia tăng dân số của một thị

trấn tỉ lệ thuận với số người dân ở đó tại thời điểm t.Dân số ban

đầu là 500, tăng 15% sau 10 năm Hỏi dân số sau 30 năm sẽ là

bao nhiêu? Tốc độ gia tăng dân số tại t =30 là bao nhiêu?

Q(x, y) = 1200 x + 500 y + x2y − x3 −

y2 (đơn vị)

Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 30 công nhân lành nghề và 60 công nhân chưa lành nghề Tốc độ này nói lên điều gì?

Giải

Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề là Q' x

(30, 30)

Q' x (30, 60) = 2100 (đơn vị/người) nói lên:

Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản phẩm tăng thêm 2100 đơn vị

Mặt phẳng phía trên: z = 2+ r2

Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi y= x2 , y + z

Do mặt trụ giới hạn trên bởi đường cong z= xy

2R , giới hạn dưới bởi 14 vòng tròn x2+ y2

=R2 trong mặt phẳng xy, nên có phương trình: x= Rcost, y= Rsint,

với A(0,0), B(1,1) Cung AB là đường:

a) Với AB: y = x, 0 ≤ x ≤ 1

í D ụ 3 : Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng

hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho

vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết

Vật thể Ω là hình nón, nên S bao gồm 2 mặt S= S1+S2, trong đó S1 = mặt nón, S2 = mặt đáy của hình nón Tuy nhiên, S1, S2 cùng có hình chiếu là mặt tròn x2+ y2

Mặt S được chia làm 5 mặt: hai mặt đáy S1, S2; hai mặt bênS3, S4 nằm trong các mặt xz (y= 0), yz (x= 0) tương ứng vàmặt trụ cong S5

n → ∞

¿ 1=> r=1Xét tại x= 1, ta có:

chu i ỗ đi u ề hòa

∑

n=0

∞ (− 1) n

n h i ộ tụtheo tiêu chu n ẩ Leibnitz

Do đó miền hội tụ của chuỗi là X = [−1,1)

STT: 06 Tên : Phan Anh Hào

MSSV:2013055

Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện.

Câu 1: (Vector Gradient) Cho hàm zf x y( , )có các đạo hàm riêng liên tục vàcác điểm A(1,1), B(4,1), C(1,0), D(4,5) Cho biết tại điểm A, đạo hàm của hàm

f theo hướng vecto AB là 4 và theo hướng vecto AClà 7 Tính đạo hàm tại A củahàm f theo hướng vecto ⃗AD

A

16 5



Giải:

Câu 2: (Mặt phẳng tiếp diện) Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt

bậc hai z 4x2 2y2tại điểm H(1,1,6)

Giải:

Ta có: F x y z( , , ) 4 x2 2y2  z =>

' 8 ' 4

Câu 1: Người ta dự định làm 1 rạp xiếc bằng cách xây 4 bức tường dọc theo 4

canh hình chữ nhật chiều rộng x = 10 m, chiều dài y = 15 m với mái vòm che

có diện tích được cho bởi S x y( , ) 2 xy





Khi dùng vi phân của hàm S(x,y) để ướclượng sự thay đổi của diện tích mái vòm thì thấy diện tích mái sẽ giảm đikhoảng 5.4978 mét vuông nếu thay đổi x và giảm y xuống còn 14.8 mét Tìm

sự thay đổi của chiều rộng x

A Tăng 0.1 mét B Giảm 0.1 mét C Giảm 0.3667 mét D.Tăng 0.3667 mét

Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến:

Câu 1: Các giàn khoan dầu được đặt tại 3 địa điểm tương ứng với các tọa độ

A(-3;0), B(-1;2), C(0;0), đơn vị tính theo trăm mét Tìm vị trí đặt trạm bảodưỡng M(x,y) sao cho tổng bình phương khoảng cách từ trạm đến các giànkhoan là bé nhất

Câu 1: Tìm khối lượng m của bản phẳng D được giới hạn bởi

y x x y   x y x x  biết hàm mật độ tại mọi điểm trên D là

1 ( , )

2

x y

Bỏqua đơn vị tính của khối lượng, chọn đáp án đúng:

m 

C

1 2

x t

y t z

Câu 2: (Loại 1) Tính tích phân S

Câu 4: (Loại 2) Tính tích phân S 3 3

I ∫∫xdydz ydzdx zdxdy

, trong đó S là mặt phíangoài của phần mặt paraboloid z  9 x2  y2 lấy phần z 0

Ví dụ 2: Chuỗi lũy thừa

Bài: Tìm chuỗi Taylor trong lân cận x=2

STT: 07 Tên:Đỗ Hữu Trung Hiếu

MSSV:2013138

Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện

1.1 Cho hàm f x y z , ,  y z2 2 x2  3xz 2y z  5. Chứng minh rằng hướng tăng nhanh nhất của hàm f khi đi qua M 1,2,2

trùng với u⃗  4,7,9  Tìm tốc độ biến thiên của hàm f theo hướng này

1.2 Cho mặt cong S có phương trình z x y 2 2  5x3  2xy2 3y 1

Tìm pháp vector của S tại M1, 1, 10    và viết phương trình tiếp

diện của S tại M.

Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến

Ví dụ 1:Mô ̣t thí nghiê ̣m đo sự đô ̣c hại của khí Formaldehyd được ghi lại trong bảng bên dưới Với Pf t c( , )là phần trăm số chuô ̣t còn sống sau khi bị ảnh hưởng bởi khí Formaldehyd nồng đô ̣ c (parts per million, ppm) sau t tháng

t =14

t =16

t =18

t =20

t =22

t =24

x=rcos , y=rsin , dxdy=rdrd

6.1. Giao tuyến của của mặt cầu và mặt trụ

1 4

3 3

5

3 3

2

3 3

0 1 1

7.1. Một cái phễu bằng kim loại mỏng có hình dạng là một

phần mặt nón z x2  y2 ứng với 0.5  z 4.Tính khối lượng

phễu, biết mật dộ tại điểm x y z, ,  trên mặt nón là:

7.1. Phễu có dạng hình nón z x2 y2 được giới hạn bởi mặt phẳng dưới z 0.5 và mặt phẳng trên z 4

1 2

64 3

Chủ đề 1:Vectơ Gradient,mặt phẳng tiếp diện

Ví dụ 1 : Đặt một đĩa phẳng kim loại trong một hệ trục tọa độ Oxy Nhiệt độ tại mỗi điểm trên đĩa được cho bởi công thức T(x, y) = x2 xy2 Trên đĩa có 1 hạt tìm nhiệt được thiết kế để luôn di chuyển theo hướng nhiệt tăng nhanh nhất Khi đặt hạt tại điểm M(1, 2), nó sẽ di chuyển theo hướng nào?

Giải:

Vậy phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt trụ paraboloid



tại

' 2 ''

3 ''

2 ' 2 2 '' ''

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến( BT thực tế)

Ví dụ 1: Một cái hộp có chiều dài x (m), chiều rộng y (m) và chiều cao z (m) Tại một thời điểm xác định, x = 3(m) và y = z =

2 (m), y và z tăng với tốc độ 2 (m/s) trong khi x giảm với tốc độ

1 (m/s) Tại thời điểm

đó, tốc độ biến thiên của thể tích là

Giải:

Gọi là V là thể tích của hộp  V xyz

 Tốc độ biến thiên của thể tích tại điểm(3;2;2) là

Ví dụ 2: Chỉ số cảm nhiệt (0C ) được mô hình hóa bởi hàm số W(T,v) 13,12 0,6215T 11,37 v    0,16 0,3965Tv0,16

trong đó T là nhiệt độ môi trường (0C ) và v là tốc độ gió (km/h) Khi T = 300C và v = 30 (km/h), chỉ

số cảm nhiệt W tăng bao nhiêu nếu nhiệt độ môi trường tăng 10

Vậy khối lượng của bản phẳng D là 11,25

Ví dụ 2:Tính diện tích phần hình tròn x2 y2  2x giới hạn bởi 2 đường   x y x

Giải:

 

Chủ đề 5:Tích phân bội ba

Ví dụ 1:Câu 2-Ca 2-Đề thi CHK 192

Cho Ω là miền giới hạn bởi 3 mặt cong :x2 y2  9,z x2020 y2022  1

và z  9 x2020 y2022  1 Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính)

3 2

3 0 0 4

Ví dụ 1:Câu 4-Ca 3-Đề thi CHK192

Trong 1 lần thử nghiệm máy bay mô hình,do lỗi thiết bị điều khiển,máy bay bay được 10s thì chạm vào tường và rơi

xuống.Chuyển động của máy bay được mô tả bởi phương trình tham số

x(t) = 0 , y(t) = t - 3sint , z(t) = 4 - 3cost

Trong đó x(t),y(t),z(t) tính theo mét (m) ,và t tính theo giây (s) Tính độ dài đường bay của máy bay trong lần thử nghiệm này