BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi TOÁN CAO CẤP 1

HỒ CHÍ MINH Môn thi: TOÁN CAO CẤP 1 H ọ và tên sinh viên: HOÀNG HIẾU VY THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: b ằng số: 15 trang b ằng chữ: Mười lăm trang YÊU C ẦU Câu 1 4 điểm Hãy trình b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

Môn thi: TOÁN CAO CẤP 1

H ọ và tên sinh viên: HOÀNG HIẾU VY

THÔNG TIN BÀI THI

Bài thi có: (b ằng số): 15 trang

(b ằng chữ): Mười lăm trang

YÊU C ẦU

Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B

b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng

c) Xét hệ phương trình sau đây

2 2 2

ax x x a

x bx x b

x x cx c

   



    



    



Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn Hãy giải phương

trình trên bằng ít nhất 2 cách

Câu 2 (3 điểm)

a Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví dụ

minh họa?

b Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch

của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?

c Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các phương trình ma trận sau

Câu 3 (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

a Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh họa?

b Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó

c Xét không gian , hãy cho ví dụ về một không gian con nằm trong không gian có

số chiều bằng 2 Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ của một vector nằm trong không gian đó với cơ sở trên?

BÀI LÀM

CÂU 1

Câu a:

Hệ phương trình tuyến tính? AX= B?

Cho hệ gồm m phương trình, n ẩn số có dạng:

{

𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

… … … …

𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Trong đó 𝑎𝑖𝑗là hệ số của ẩn; 𝑏𝑗 là hệ số tự do; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 là các ẩn số

Ta ký hiệu:

Ma trận hệ số A=(

); Ma trận cột ẩn số X=(

𝑥1

𝑥2

… 𝑥𝑛 );

Ma trận hệ số tự do B=(

𝑏1

𝑏2

… 𝑏𝑛

);

Khi đó dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

(1) A.X=B

(2) Khi hệ số tự do đều=0, ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng: A.X=0

Điều kiện để sử dụng phương pháp Gauss hoặc Gauss- Jordan: hệ bất kì m

dòng n cột

Phương pháp Gauss ( phương pháp khử ẩn liên tiếp)

Để giải một hệ phương trình tuyến tính với m phương trình n ẩn , dạng AX=B, theo

các bước sau của phương pháp Gauss:

BƯỚC 1: Lập ma trận hệ số mở rộng A̅ = [A|B]

BƯỚC 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận ấy về dạng bậc thang dòng

Chú ý, trong quá trình biến đổi:

 Nếu trong A̅ có 2 dòng giống nhau hoặc tỉ lệ nhau thì xóa bỏ 1 dòng

 Nếu trong A̅ có dòng toàn số 0 thì xóa bỏ dòng đó

 Nếu trong A̅ có 1 dòng có dạng (𝟎 𝟎 𝟎 𝟎|𝒃); b ≠ 0  Hệ vô nghiệm

BƯỚC 3: Khi hệ có dạng tương tự bậc thang, kiểm tra nghiệm bằng cách sử dụng định

lý Krocnecker- Capelli về điều kiện có nghiệm

BƯỚC 4: Nếu hệ có nghiệm ( vô số nghiệm hoặc nghiệm duy nhất), tiến hành giải ngược từ dưới lên

Phương pháp Gauss- Jordan:

Nếu thay BƯỚC 4 bên trên thành BƯỚC 4’) mạnh hơn sau đây, ta có được phương pháp Gauss- Jordan như sau:

BƯỚC 4’: Biến đổi ma trận bậc thang thành ma trận bậc thang rút gọn

Ma tr ận bậc thang rút gọn là ma trận:

- Hàng toàn 0 đặt dưới cùng

- Hệ số chính là số đầu tiên khác 0 của mỗi hàng

Hệ số chính của một hàng luôn ở phía bên phải của hệ số chính hàng ngay trên nó

Hệ số chính các hàng bằng 1

- Ở cùng 1 cột, các hệ số khác hệ số chính đều =0

Lưu ý: Đối với ma trận vuông, biến đổi thành ma trận đơn vị

Ví dụ của ma trận bậc thang rút gọn:

i (1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0) ii Ma trận đơn vị (

1 0 0

0 1 0

0 0 1) iii (

1 2 5 0 0 0

0 0 0 1 7 0

Câu b:

Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên:

Định lý Krocnecker-Capelli về điều kiện có nghiệm :

Trường hợp 1: Nếu r(A) < r(𝐴̅) thì hệ vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu r(A) = r(𝐴̅)=n ( số ẩn) thì hệ có duy nhất nghiệm

Trường hợp 3: Nếu r(A) = r(𝐴̅)= k < n thì hệ (1) có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số

Ví D ụ 1: Biện luận m sao cho hệ phương trình sau vô nghiệm:

{ 𝟐𝒙𝟏+ (𝒎 + 𝟐)𝒙𝟐𝒙𝟏+ 𝒙𝟐+ 𝟐𝒙𝟑+ 𝟓𝒙𝟑= 𝟏 = 𝟏 𝒙𝟏+ (𝒎 + 𝟏)𝒙𝟐+ (𝒎 + 𝟐)𝒙𝟑 = 𝒎𝟐− 𝒎 + 𝟏

Ma trận hệ số : 𝐴 = (12 𝑚 + 21 25

1 𝑚 + 1 𝑚 + 2); Ma trận cột hệ số tự do: 𝐵 = (

1 1

m2− m + 1) ;

𝐴̅ = (𝐴|𝐵) = (12 𝑚 + 21 25

1 1

m2− m + 1)

→ (1 1 20 𝑚 1

1

−1

m2− m)

→ (1 10 𝑚 21

1

−1

−1 − m2+ m) Biện luận:

Nếu m=0 thì 𝐴̅ → (1 1 20 0 1

1

−1

−1) → (1 1 20 0 1|

1

−1)

Vậy r(A)=r(𝐴̅) =2<3 ( số nghiệm)  Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 ẩn

 Loại m=0

Nếu 1-m = 0  m=1 thì 𝐴̅ → (1 1 20 1 1

1

−1

−1)

Vậy r(A) < r(𝐴̅) (2 <3)  Hệ phương trình vô nghiệm

 Nhận m=1

Vậy với m=1 thì thỏa mãn đề bài

Ví Dụ 2: Thị trường có ba loại hàng hóa Hàm cung và hàm cầu của ba loại hàng trên l ần lượt là:

Q S1 =18P 1 – P 2 – P 3 – 45

Q S2 = -P 1 + 13P 2 – P 3 – 10

Q S3 = -P 1 – P 2 + 10P 3 – 15

Q D1 = -6P 1 + 2P 2 + 130

Q D2 =2P 1 –7P 2 + P 3 +220

Q D3 = 3P 2 – 5P 3 +215

Tìm điểm cân bằng thị trường

Gi ải

Điểm cân bằng thị trường thỏa mãn hệ phương trình: {𝑸𝑺𝟏𝑸𝑺𝟐 = 𝑸𝑫𝟏= 𝑸𝑫𝟐

Hệ phương trình  {−𝐏𝟏𝟖𝐏𝟏 + 𝟏𝟑𝐏𝟏 – 𝐏𝟐𝟐– 𝐏 – 𝐏𝟑𝟑 – 𝟒𝟓 = −𝟔𝐏 – 𝟏𝟎 = 𝟐𝐏𝟏𝟏 – 𝟕𝐏 + 𝟐𝐏𝟐 + 𝐏𝟐 + 𝟏𝟑𝟎𝟑 + 𝟐𝟐𝟎

−𝐏𝟏 – 𝐏𝟐 + 𝟏𝟎𝐏𝟑 – 𝟏𝟓 = 𝟑𝐏𝟏 – 𝟓𝐏𝟑 + 𝟐𝟏𝟓

{−3𝑃24𝑃1 + 20𝑃1 – 3𝑃22 – 2𝑃 – 𝑃3 = 1753 = 230

𝐴̅ = (𝐴|𝐵) = (−3 20 −224 −3 −1

175 230

230)

𝑑1↔𝑑3

→ (−1 −4 15−3 20 −2

230 230

175)

→ (−1 −40 32 −4715

230

−460

5695)

99

→ (

0 0 683532 |

230

−460 34175 8 )

Thấy r(A)= r(𝐴̅)=3 ( số ẩn)  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình{

−𝑃1 – 4𝑃2+ 15𝑃3 = 230

6835

{

−𝑃1 – 4𝑃2+ 15𝑃3 = 230

6835

{ 𝑃𝑃12 = 10 ⇒ 𝑄𝐷1 = 15 ⇒ 𝑄𝐷2= 𝑄𝑆1= 𝑄𝑆2= 100 > 0= 155 > 0

𝑃3 = 20 ⇒ 𝑄𝐷3 = 𝑄𝑆3 = 145 > 0

Vậy điểm cân bằng thị trường là (10, 15, 20)

Ví D ụ 3: Một bệnh nhân được chỉ định phải uống ba loại vitamin A, B, C với hàm lượng là 7, 4, 18 Có ba loại thuốc bổ nhãn hiệu X, Y, Z mà mỗi loại thuốc đều chứa các loại vitamin trên Biết rằng mỗi viên thuốc X chứa hàm lượng vitamin A, B, C l ần lượt là 1, 1, 3; mỗi viên thuốc Y chứa hàm lượng vitamin A,

B, C lần lượt là 1, 2, 4; mỗi viên thuốc Z chứa hàm lượng vitamin A, B, C lần lượt là 1, 0, 2

Tìm t ất cả cách kết hợp số viên thuốc X, Y, Z cần mua thỏa chỉ định

Gọi x, y, z lần lượt là số viên thuốc loại X, Y, Z (x, y, z ∈ 𝑁)

Ta có hệ phương trình

{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7𝑥 + 2𝑦 = 4

3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 18

𝐴̅ = (𝐴|𝐵) = (1 1 11 2 0

7 4

18)

→ (1 10 1 −11

7

−3

−3)

→ (1 10 1 −11

7

−3

1

0 1 −1|−3)7

Vì r(A)= r(𝐴̅)= 2 <3 ( số ẩn) nên hệ có vô số nghiệm

Nghiệm tổng quát :

𝐻ệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ ⇔ {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7 𝑦 − 𝑧 = −3 ⇔ {𝑥 = 10 − 2𝑧 𝑦 = 𝑧 − 3

Vì {𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0 nên {10 − 2𝑧 ≥ 0𝑧 − 3 ≥ 0 ⇔ 3≤ 𝑧 ≤ 5

Suy ra: z ∈ {3, 4, 5}

Các cách kết hợp của thuốc:

Câu c:

Hệ phương trình sau khi đã thế số như sau:

{ 29𝑥𝑥11+ 5𝑥2+ 𝑥2+ 𝑥+ 𝑥33 = 2 + 29= 2 + 5

29𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = 31 𝑥1+ 5𝑥2+ 𝑥3 = 7 𝑥1+ 𝑥2 + 2003𝑥3 = 2005

1 Phương pháp Gauss

Ma trận hệ số : 𝐴 = (29 11 5 11

1 1 2003); Ma trận cột hệ số tự do: 𝐵 = (

31 7

2005) ;

Ma trận cột ẩn số: X= (𝑥1𝑥2

𝑥3); Ma trận hệ số mở rộng: 𝐴̅ = (𝐴|𝐵) = (

31 7

2005)

𝑑2 ↔ 𝑑1

→ (29 11 5 11

7 31

2005)

→ (10 −144 −285 1

7

−172

−1

144 𝑑2→𝑑2

1

4 𝑑3→𝑑3

→ (

|

7 43 26 999 2 )𝑑→ (2+𝑑3→𝑑3

|

7 43 26 18025 36 )

𝑑3→1802536 𝑑3

→ (

1 5 1

0 1 367

0 0 1

|

7 43 26 1

) (****)

Biện luận nghiệm : r(A)= r(𝐴̅)= 3 (số ẩn)  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình  {

𝑥1+ 5𝑥2+ 𝑥3 = 7

𝑥2+367 𝑥3 =4326 𝑥3 = 1

 {𝑥𝑥21 = 1= 1

𝑥3 = 1

 X= (11

1)

2 Phương pháp Guass- Jordan

(****)

−7

36 𝑑3+ 𝑑2→𝑑2

→ (1 5 00 1 0

6 1

1)

→ (1 0 00 1 0

1 1

1)

 Suy ra {𝑥1𝑥2 = 1= 1

1 1

1)

CÂU 2:

Câu a:

2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 :

𝐴 = (𝑎𝑎1121 𝑎𝑎1222 𝑎𝑎1323

𝑎31 𝑎32 𝑎33)

Cách 1: Qui tắc tổng các đường chéo chính trừ tổng các đường chéo phụ

Bước 1: Ghép thêm 2 cột đầu vào phía sau ma trận

|A| = |𝑎𝑎2111 𝑎𝑎2212 𝑎𝑎2313

𝑎31 𝑎32 𝑎33|

𝑎11 𝑎12

Bước 2: Tổng các đường chéo chính – Tổng các đường chéo phụ

Đường chéo chính: đường dày hơn; đường chéo phụ: đường mỏng hơn

= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)– (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )

Ví D ụ: Tính | 𝟏𝟑 −𝟐 𝟑𝟏 𝟐

| 13 −2 31 2

−2 1 (*)= (1.1.1+ (-2).2.(-2)+ 3.3.1) – (3.3.1 + 1.2.3+ 3.1.(-2)) = 42

Cách 2: Sử dụng công thức tổng quát, với A=(aij)n là ma trận cấp n tùy ý:

- Tính theo dòng i

Det(A)= (-1)i+1ai1|Mi1|+ (-1)i+2ai2|Mi2|+…+ (-1)i+nain|Min|

- Tính theo cột j

Det(A)= (-1)1+ja1j|M1j|+ (-1)2+ja2j|M2j|+…+ (-1)n+janj|Mnj|

Trong đó, M ij là ký hi ệu của ma trận con cấp n-1 ứng với phần tử a ij , thu được từ A bằng cách b ỏ đi dòng i và cột j

Ví D ụ: Tính |A|= |𝒎 − 𝟏 𝟏𝒎 𝟏 −𝟏𝟎

Nhận thấy, nếu tính theo bất cứ dòng nào, ta đều phải tính 3 định thức con Vậy nên, ta dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức, từ đó chỉ cần tính 1 định thức con:

|𝑚 − 1 1𝑚 1 −10

1 1 𝑚 + 2| 𝑑̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ |1 ↔ 𝑑3 𝑚 − 1 11 1 𝑚 + 20

−(𝑚 − 1)𝑑1+ 𝑑2 → 𝑑2

̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿

|10 −𝑚 + 2 −(𝑚1 𝑚 + 22+ 𝑚 − 2)

0 −𝑚 + 1 −(𝑚2+ 2𝑚 + 1)| (−1)

= (-1) (-1)2.1 |−𝑚 + 2 −(𝑚2+ 𝑚 − 2)

−𝑚 + 1 −(𝑚2+ 𝑚 − 1)|

= (-1).[(-m+2)(-m2-2m-1) + (m2+m-2)(1-m)]= (-1)(-4)= 4

Vậy |A|=4

Câu b:

 Định nghĩa ma trận khả nghịch: Cho ma trận vuông A cấp n Nếu có ma trận vuông

B cấp n sao cho AB= BA= In, ma trận A sẽ được gọi là khả nghịch Khi đó, B được gọi là nghịch đảo của A

Ký hiệu: B= A-1

 Một phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận: sử dụng định thức

Với |A| (det (A)) ≠0  Anxn có ma trận nghịch đảo

Ví d ụ:

i Biện luận m để ma trận A=(𝒎 −𝟏𝟏 𝒎 −𝟏𝟏

Det (A) =|𝑚 −11 𝑚 −11

−1 1 𝑚| 𝑑̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ |1 ⟷ 𝑑2 𝑚 −11 𝑚 −11

𝑑1+ 𝑑3 → 𝑑3

−𝑚𝑑1+ 𝑑2 → 𝑑2

̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿

|10 −𝑚𝑚2− 1 𝑚 + 1−1

=(-1)(-1)2|−𝑚2− 1 𝑚 + 1

𝑚 + 1 𝑚 − 1|=(-1) [-(𝑚2+1)(m-1)-(m+1)2]

=m3+3m Thỏa mãn đề bài  det A = 0

 m3+3m= 0

 m=0 Vậy với m=0 thì A không khả nghịch

ii Kiểm tra tính khả nghịch của ma trận B=(

𝟑 −𝟔 𝟏 −𝟑

)

|B| =|

3 −6 1 −3

| −̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ ||23𝑑1+ 𝑑3 → 𝑑3

3 −6 1 −3

||

=(-1)2.3.|2 6 15 −23 4

2 6 6

|=3 [(2 −23.6 + 6.4.2+ 1.5.6)- (6.5.6+ 2.4.6+ 1.−2

3.2)]= -470

Vì |B| ≠0 nên ma trận B khả nghịch

Câu c:

Ví D ụ 1 (XA=B): Cho A= (𝟏𝟑 𝟐𝟏 −𝟏𝟏

XA=B

Có: XA=B  X=BA-1 (***)

|A|= |13 21 −11

1 −3 2 |= [1.1.2+ 2.1.1+ (-1).3.(-3)]- [2.3.2+1.1.(-3)+ (-1).1.1]= 5≠0

Suy ra: A khả nghịch

Cách 1 để tìm ma trận khả nghịch:

Có A-1= |𝐴|1 (

)

𝑇

=|𝐴|1 (

) Trong đó, Aij= (-1)i+j |Mij| gọi là phần bù đại số của phần tử aij

A11=(-1)1+1.| 1−3 2|1 = 2+3= 5

A13= (-1)1+3.|31 −3|1 = 3.(-3)-1.1= -10

A22= (-1)2+2.|1 −11 2 |= (1.2 – ( -1).1)=3

A31= (-1)3+1.|2 −11 1 |= 1.(2.1 – ( -1).1)=3

A33= (-1)3+3.|1 23 1|=(1.1-2.3)= -5

A-1= 1

5 (−15 −5 −103 5

𝑇

= 15 ( −55 −13 −43

=(

1 −15 35

−1 35 −45

−2 1 −1

)

(***)= (1 2 −1) (

1 −15 35

−1 35 −45

−2 1 −1

)

A12= (-1)1+2.|3 11 2|= - (3.2-1.1)= -5

A21= (-1)2+1.| 2−3 −12 |= ( 2,2 + 1.(3))=

-1

A23= (-1)2+3.|11 −3|2 = (-1)(1.(-3)-2.1)=5

A32= (-1)3+2.|1 −13 1 |= (-1)(1.1+1.3)= -4

Ví D ụ 2 (AXB=C): Cho A= (𝟐 −𝟑 𝟏𝟒 −𝟓 𝟐

𝟏 −𝟑 𝟎

Tìm ma trận X sao cho AXB=C

Ta có: AXB=C  X=A-1.C.B-1

|A|= |2 −3 14 −5 2

5 −7 3|= [(2.(-5).3 -3.2.5+ 1.4.(-7)] – [(-3).4.3+ 2.2.(-7)+ 1.(-5).5]= 1 ≠0

 A khả nghịch

|B|= |101 −3 02 7

10 7 8|= [ (1.2.8+ (-3).7 10+ 0.10.7] – [(-3).10.8+ 1.7.7+ 0.2.10]= -3 ≠0

 B khả nghịch

A11=(-1)1+1.|−5 2−7 3|= -5.3-2(-7)= -1

A13= =(-1)1+3.|4 −55 −7|= - (4 (-7)- (-5).5)= -3

A22=(-1)2+2.|2 15 3|= (2.3 – 1.5) = 1

A31=(-1)3+1.|−3 1−5 2|= (-3.2-1.(-5))= -1

A33=(-1)3+3.|2 −34 −5|= (2 (-5) – (-3).4)=2

A12=(-1)1+2.|4 25 3|= -1 (4.3 -2.5) = -1.2 = -2

A21=(-1)2+1.|−3 1−7 3|= -1 (-3.3-1(-7))=-1.(-2)=2

A23=(-1)2+3.|2 −35 −7|= -1 ( 2.(-7)- (-3).5)=-1.1=-1

A32=(-1)3+2.|2 14 2|= -1( 2.2 -1.4)= -1.0= 0

 A-1=1

B11=(-1)1+1.|2 77 8|= (2.8 -7.7) = -33

B13=(-1)1+3|10 210 7|= 10.7 -2.10= 50

B22=(-1)2+2| 1 010 8|= 1.8 – 0.10=8

B31=(-1)3+1|−3 02 7|= 1( -3.7- 0.2)= -21

B33=(-1)3+3| 1 −310 2 |= 1.2 –(-3).10 =32

B12=(-1)1+2.|10 710 8|= -1(10.8 -7.10)= -10

B21=(-1)2+1|−3 07 8|= -1( -3.8 – 0.7) = 24

B23=(-1)2+3| 1 −310 7 |== -1( 1.7- (-3).10)=-37

B32=(-1)3+2| 1 010 7|= -1 (1.7 – 0.10)= -7

 B-1=1

10 3

−8 3

7 3

−50 3

37 3

−32 3

)

X=A-1.C.B-1= (−1−2 21 −10

10 3

−8 3

7 3

−50 3

37 3

−32 3 )

= (11 914 12 139

10 3

−8 3

7 3

−50 3

37 3

−32 3 ) = (

−68 3

49 3

−38 3

−44 3

31 3

−20 3 )

Vậy X= (

−68 3

49 3

−38 3

−44 3

31 3

−20 3

)

Ví D ụ 3 (AX=B) Cho A= (𝟓 𝟕𝟐 𝟑); B= (𝟑 𝟖𝟐 𝟓) Tìm ma tr ận X sao cho AX=B

AX=B  X=A-1.B (*)

|A|= 5.3 – 2.7=1 ≠0 => A khả nghịch

A11=(-1)1+1.|3|=3

A21=(-1)2+1.|7|= -7

A12=(-1)1+2.|2|= -2

A22=(-1)2+2.|5|= 5

A-1=1

(*)= ( 3−2 −75 ) (3 82 5)=(−5 −114 9 )

Vậy X=(−5 −114 9 )

CÂU 3:

Câu a:

3 cách để xác định sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các họ vecto:

- Bằng định nghĩa

- Bằng định lý ( liên quan đến định thức)

- Bằng định lý (liên quan đến hạng của họ vecto)

i) Xác định sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các họ vecto

bằng định nghĩa:

Trong không gian vecto V, cho hệ vecto S= {u1,u2,…,un}

- Hệ vecto S gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ phương trình x1 u 1 + x 2 u 2 + … + x n u n =0

(vecto 0) có nghiệm duy nhất x1 =x 2 = …=x n =0 (nghiệm tầm thường)

- Hệ vecto S gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ phương trình x1 u 1 + x 2 u 2 + … + x n u n =0

(vecto 0) có nghiệm không tầm thường (x1 ;x 2 ;…;x n ) ≠(0,0,0,…,0)

Chú ý: Trong R2, 2 vecto cùng phương là 2 vecto phụ thuộc tuyến tính; 2 vector không cùng phương là 2 vector độc lập tuyển tính;

Trong R3, 3 vector đồng phẳng là 3 vector phụ thuộc tuyến tính, ba vector không đồng phẳng

độc lập tuyến tính

ii) Xác định sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các họ vecto

b ằng định lý ( liên quan định thức)

Trong không gian vector R n cho hệ vector có n vector {

𝑢1 = (𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛) 𝑢2 = (𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛)

… … … …

𝑢𝑛 = (𝑎𝑛1, 𝑎𝑛2, … , 𝑎𝑛𝑛) Thì A= (

) gọi là ma trận dòng tọa độ của hệ S

Khi đó:

 Hệ vector S độc lập tuyến tính  |A| ≠ 0

 Hệ vector S phụ thuộc tuyến tính  |A|=0

H ệ quả:

 Nếu trong hệ S có vecto- không thì hệ S phụ thuộc tuyến tính

 Nếu trong hệ S chứa 1 vecto là tổ hợp tuyến tính của các vecto khác trong S thì hệ S phụ thuộc tuyến tính

 Nếu trong hệ S có 1 bộ phận của hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ S phụ thuộc tuyến tính

iii) Xác định sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các họ vecto

bằng định lý ( liên quan đến hạng của 1 hệ vector) iii.1) H ạng của 1 hệ vecto

a) Định nghĩa:

Cho S là một họ vectơ trong không gian vectơ V Khi đó, hạng của S là số tối đa vectơ

độc lập tuyến tính có thể lấy ra từ họ S

Ký hiệu: rank(S) hoặc r(S)

b)

Nh ận xét: Nếu rank(S) = r thì trong S

có họ gồm r vector độc lập tuyến tính

và bất kỳ họ vector nào có nhiều hơn r vector trong S

đều phụ thuộc tuyến tính

iii.2) Định lý

S là một họ vecto trên không gian vecto V

Kí hiệu |S| để chỉ số phần tử của hệ S

Khi đó:

a) S độc lập tuyến tính  rank (S) = |S|

b) S phụ thuộc tuyến tính  rank (S) < |S|

c) Nếu S là hệ có m vecto đã cho tọa độ {

𝑢1 = (𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛)

𝑢2 = (𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛)

… … … …

𝑢𝑛 = (𝑎𝑛1, 𝑎𝑛2, … , 𝑎𝑛𝑛) Thì rank (S) = rank (

)

Nh ận xét: trong Rn hệ nào chứa nhiều hơn n vecto đều phụ thuộc tuyến tính

Ví d ụ 1: Trong R 3 , tìm điều kiện m để hệ sau phụ thuộc tuyến tính

S= { (m-2;3;2m+1),(4;m-6;2m-2)}

Đây là không gian R3 nên ta được sử dụng định lý liên quan đến hạng của hệ vecto để xác định sự độc lập/ phụ thuộc tuyến tính

Ma trận dòng của hệ tọa độ S: A= (𝑚 − 24 𝑚 − 6 2𝑚 − 2)3 2𝑚 + 1

𝑑2↔𝑑1

→ ( 4𝑚 − 2 𝑚 − 6 2𝑚 − 23 2𝑚 + 1)

4 𝑚2+ 2𝑚

−1

2 𝑚2+

7

2𝑚) Có: −1

4 𝑚2+ 2𝑚 = 0  m=8 hoặc m=0

Khi m=8, A → (4 2 140 0 −4)

 r(A)=2= số vecto trong hệ S

 hệ S độc lập tuyến tính

 Loại m=8

Khi m=0, A → (4 −6 −20 0 0 ) →(4 −6 −2)

 r(A)=1<2 (số vecto trong hệ S)

 hệ S phụ thuộc tuyến tính

 Nhận m=0

Vậy với m=0 thì thỏa đề

Ví dụ 2: Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các họ vecto sau:

U= {p 1 = 2x 2 -3x+1; p 2 =x 2 +2x}

Vì đây không phải không gian Rn, mà là không gian Pn[x] nên ta chỉ sử dụng được định nghĩa

để xét

Ta có:

ap1+bp2=0

 a(2x2-3x+1)+ b(x2+2x) =0