Bước đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông (thể hiện qua dạy học hình học 10 THPT)

Trong thực tế, cách dạy học phổ biến hiện nay là giáo viên với tcách là ngời điều khiển đa ra kiến thức khái niệm, định lí rồi giải thích,chứng minh, sau đó đa ra một số bài tập áp dụng

Lời cảm ơn

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, giúp đỡ của Giáo s tiến sĩ

Đào Tam Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy

Trong quá trình làm luận văn tác giả còn đợc sự giúp đỡ của các thầy côgiáo trong tổ PPGD Toán - Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh Nhân dịp nàytác giả xin chân thành cảm ơn

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn động viên giúp đỡ tác giả cóthêm nghị lực, tinh thần để hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, xin đợc cảm ơn mọi tấm lòng u ái đã dành cho tác giả

phẩm chất khác của con ngời, để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội Nắm

đợc phơng pháp luận của phép duy vật biện chứng, điều đó giúp cho học sinhhiểu sâu đợc cội nguồn của Toán học, từ đó vận dụng tri thức khoa học rènluyện ý chí và năng lực sáng tạo, độc lập và phát hiện vấn đề trong cuộc sống

Trong thời đại khoa học phát triển nh vũ bảo hiện nay, ngời GV cầnphải ngày càng đổi mới trong cách dạy, HS cần đổi mới trong cách học mới

đáp ứng đợc xu thế đó Phải biết vận dụng đợc những quy luật cũng nh các cặpphạm trù của phép duy vật biện chứng vào giảng dạy mới có thể đáp ứngnhững nhu cầu cho học sinh trong thời đại ngày nay

1.1 Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII khẳng định: “ Phải đổi mớiphơng pháp Giáo dục  Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyệnthành nếp t duy sáng tạo cho ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiêntiến, hiện đại vào quá trình dạy học ”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếptục nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phơng pháp dạy

và học ”

Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)quy định: “ Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tựgiác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thứcvào thực tiễn ”

Nh vậy, đổi mới phơng pháp dạy học nói chung, phơng pháp dạy họcToán nói riêng, trong điều kiện hiện nay là hoàn toàn cần thiết, đó là vấn đề

mà Đảng, Nhà nớc và ngành Giáo dục đặc biệt quan tâm, nhằm phát huy cao

độ t duy tích cực và sáng tạo, năng lực hoạt động nhận thức độc lập, năng lựcsuy luận biện chứng học sinh để tạo nên những con ngời mới năng động, sángtạo, tự chủ, kĩ luật nghiêm,

1.2 Hiện nay vận dụng phơng pháp luận duy vật biện chứng cho họcsinh thông qua dạy học Toán là một đề tài tơng đối mới mẽ Khi bàn về vấn đềnày theo từng khía cạnh khác nhau đã đợc nhiều tác giả quan tâm, tiêu biểu đềcập trong các sách, tài liệu tham khảo, các bài báo sau: của tác giả GS.TS

Nguyễn Cảnh Toàn, “Tập cho học sinh giỏi làm quen dần với toán” trong

quyển sách GS đã sử dụng nhiều kiến thức toán học hiện đại, toán học cao

cấp Quyển “Phơng pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên

cứu toán học” cũng của GS dùng tham khảo cho giáo viên, học viên cao học,

nghiên cứu sinh Tác giả GS.TS Đào Tam quan tâm với khía cạnh “Một số cơ

sở phơng pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong dạy học toán ở ờng PT ” trong Nghiên cứu giáo dục số 09/1998 Ths Phạm Đình Khơng

tr-cũng quan tâm với vấn đề “Vận dụng cặp phạm trù nội dung hình thức để

h-ớng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt động giải toán”, tạp chí thông tin

khoa học KHGD số 106/2004

1.3 Trong thực tế, cách dạy học phổ biến hiện nay là giáo viên với tcách là ngời điều khiển đa ra kiến thức (khái niệm, định lí ) rồi giải thích,chứng minh, sau đó đa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắngtiếp thu nội dung khái niệm, định lí, hiểu chứng minh định lí và cố gắng vậndụng công thức để tính toán Rõ ràng với cách dạy và cách học nh vậy thìbản thân giáo viên cũng cha thấy thoả mãn bài dạy của mình, HS cũng thấycha hiểu đợc cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, theo kiểu

“thầy đọc trò ghi” làm cho các em ít có cơ hội phát triển t duy sáng tạo, ít có

cơ hội sáng tạo ra đợc cái mới

1.4 Hiện nay việc đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng Phổ thông trunghọc là phải làm cho HS làm chủ đợc khả năng tiếp thu, chủ động trong họctập Vì vậy để rèn luyện t duy toán học, khả năng tìm tòi ra cái mới thì việcvận dụng phơng pháp luận duy vật biện chứng, đóng vai trò hết sức quan trọngtrong dạy học Toán Việc vận dụng phơng pháp luận duy vật biện chứng trongquá trình dạy học cho HS là một quá trình lâu dài, kéo dài suốt cả quá trìnhhọc tập, với nhiều hình thức phong phú và mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản

đến phức tạp bằng việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù Nâng cao

đ-ợc chất lợng dạy học là vấn đề cấp bách trong giai đoạn hiện nay Vì vậy,chúng tôi chọn đề tài của mình là:

"Bớc đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của t duy toán học trong dạy học Toán ở trờng THPT(thể hiện qua dạy học Hình học 10 THPT) "

2 Mục đích nghiên cứu.

Nghiên cứu cơ sở lí luận về phép duy vật biện chứng, từ đó đa ra một số

biện pháp để “Bớc đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của t duy toán

học trong dạy học” và vận dụng các biện pháp để phát triển t duy cho học sinh

thông qua dạy học thể hiện qua dạy học Hình học 10.THPT nhằm góp phầnnâng cao chất lợng dạy học

3 Giả thuyết khoa học.

Trong quá trình dạy học Toán, nếu chú ý “Vận dụng một số quan điểm

biện chứng của t duy toán học ”, trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình

SGK Hình học 10 hiện hành, và nếu xây dựng đợc một hệ thống các biện pháp

s phạm vận dụng các quy luật, các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứngthì:

- Có thể rèn luyện phép biện chứng của t duy toán học cho HS

- Góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán ở trờng THPT, rèn luyệnkhả năng độc lập nghiên cứu, phát hiện và giải quyết vấn đề

4 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Nhiệm vụ đặt ra cho luận văn là:

4.1 Làm rõ phơng pháp luận phép duy vật biện chứng

4.2.Các quy luật và các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứng.4.3.Mối liên hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù

4.4.Sự cần thiết, sự có thể vận dụng các quan điểm biện chứng trongdạy học Toán

4.5.Một số biện pháp vận dụng các quan điểm biện chứng trong dạy họcToán

4.6.Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá mục đích, giả thuyếtkhoa học của đề tài

5 Phơng pháp nghiên cứu.

5.1 Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về phơng pháp dạy học Toán, một số tài liệutham khảo về việc vận dụng các quan điểm triết học duy vật biện chứng vàodạy học Toán, các cơ sở về tâm lý học, giáo dục học, sách giáo khoa, sáchgiáo viên, sách tham khảo về chơng trình Hình học (Hình học 10.THPT) ở phổthông hiện hành

- Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học phục vụ cho đề tài

- Nghiên cứu các công trình về các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đềtài (các luận án, luận văn, các chuyên đề )

5.2 Nghiên cứu thực tiễn:

Tìm hiểu về việc dạy và học hình học 10 ở trờng THPT qua dự giờ, điềutra, phỏng vấn giáo viên

5.3 Thực nghiệm s phạm:

- Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm

và các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tợng

- Đánh giá kết quả bằng phơng pháp thống kê trong khoa học giáo dục

Để xem tính khả thi và hiệu quả các biện pháp s phạm đề xuất

6 Đóng góp luận văn.

6.1 Về mặt lý luận:

- Xác định cơ sở khoa học phơng pháp luận duy vật biện chứng để làmsáng tỏ nội dung vận dụng các quan điểm biện chứng trong dạy học toán ở trờngphổ thông

- Xác định đợc các biện pháp dạy học nhằm rèn luyện các t duy cho họcsinh

7 Cấu trúc của luận văn.

 Mở đầu

- Lý do chọn đề tài

- Mục đích nghiên cứu

- Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giả thuyết khoa học

- Phơng pháp nghiên cứu

- Đóng góp luận văn

Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1.1 Phơng pháp luận duy vật biện chứng là gì

1.2 Các quy luật cơ bản và các cặp phạm trù triết học

1.3 Mối quan hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù

1.4 Các cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng các quan điểm biệnchứng cho học sinh

1.5 Thực trạng vận dụng các quan điểm biện chứng của t duy toán học

ở trờng phổ thông hiện nay

1.6 Kết luận chơng 1

Chơng 2: Các biện pháp nhằm góp phần vận dụng các quan

điểm biện chứng của t duy toán học cho học sinh qua dạy

học Hình học 10 THPT

2.1 Đặc điểm xây dựng chơng trình Hình học 10.THPT hiện hành.2.2 Một số căn cứ đa ra các biện pháp thực hiện

2.3 Một số biện pháp thực hiện

2.3.1 Biện pháp 1: Xem xét các đối tợng toán học một cách khách

quan, để tìm ra mối liên hệ giữa chúng

2.3.2 Biện pháp 2: Xem xét nhìn nhận các đối tợng toán học dới

nhiều góc độ khác nhau nhằm vận dụng linh hoạt các cặp phạm trùtrong dạy học Toán

2.3.3 Biện pháp 3: Xem xét các đối tợng toán học trong quá trình phát

triển Lịch sử toán

2.3.4 Biện pháp 4: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa

chúng trong các mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng

2.3.5 Biện pháp 5: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa

chúng theo quan điểm vận động biến đổi

2.3.6 Biện pháp 6: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa

chúng theo quan điểm lợng đổi chất đổi

2.3.7 Biện pháp 7: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa

chúng trong các mối liên hệ giữa nội dung và hình thức

2.3.8 Biện pháp 8: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa

chúng theo quan điểm đấu tranh giữa các mặt đối lập

2.4 Sự lựa chọn và phối hợp các biện pháp

Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1.1 Phơng pháp luận duy vật biện chứng là gì

“Thuật ngữ “phơng pháp” đợc bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp là Methodos,

theo nghĩa thông thờng là dùng để chỉ những cách thức, thủ pháp nhất định

đ-ợc chủ thể hành động sử dụng để thực hiện mục đích đặt ra Còn theo địnhnghĩa một cách khoa học thì phơng pháp là hệ thống những nguyên tắc đợcrút ra từ tri thức về các quy luật khách quan để điều chỉnh hoạt động nhậnthức và thực tiễn nhằm thực hiện mục đích nhất định” 43, tr.29 Vậy “Phơngpháp luận là lí luận về phơng pháp, là khoa học về phơng pháp Phơng phápluận giải quyết những vấn đề nh: phơng pháp là gì? Bản chất nội dung, hìnhthức của phơng pháp nh thế nào? Phân loại phơng pháp ra sao? Vai trò củaphơng pháp trong hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn của con ngời

nh thế nào? Do đó, có thể nói cách khác cụ thể hơn, phơng pháp luận là hệthống những quan điểm, những nguyên tắc xuất phát chỉ đạo chủ thể trongviệc xác định phơng pháp cũng nh việc xác định phạm vi, khả năng áp dụngmột cách hợp lí, có hiệu quả tối đa”43, tr 32 Do vậy, phơng pháp luận Toán

học có nhiệm vụ nêu ra những quan điểm, nguyên tắc chung chỉ đạo quá trìnhxác định và áp dụng các phơng pháp Toán cụ thể nh phơng pháp tiên đề, ph-

ơng pháp giả thiết –diễn dịch Do đó phơng pháp luận triết học duy vậtbiện chứng là phơng pháp luận chung nhất Nó khái quát những quan điểm,nguyên tắc chung nhất làm xuất phát điểm cho việc xác định các phơng phápluận khoa học chung, phơng pháp luận bộ môn và các phơng pháp hoạt động

cụ thể của nhận thức và thực tiễn trong mối quan hệ biện chứng khăng khítnhau

Theo Ănghen thì phép biện chứng có hai loại là biện chứng khách quan vàbiện chứng chủ quan, “biện chứng gọi là khách quan thì chi phối trong toàn

bộ giới tự nhiên, còn biện chứng còn gọi là chủ quan thì chỉ là sự phản ánh sựchi phối, trong toàn bộ giới tự nhiên, của sự vận động thông qua những mặt

đối lập, tức là những mặt, thông qua sự đấu tranh thờng xuyên của chúng và

sự chuyễn hoá cuối cùng của chúng từ mặt đối lập này thành mặt đối lập kia,với những hình thức cao hơn, đã quy định sự sống của giới tự nhiên 42, tr.160”

1.1.1 Khái niệm về t duy

Quá trình hoạt động nhận thức của con ngời là một trong những hoạt

động trọng tâm cơ bản nhất của con ngời, do đó nó cũng tuân theo cấu trúctổng quát của một hoạt động nói chung Quá trình nhận thức đợc phản ánhhiện thức khách quan bởi con ngời, là quá trình tạo thành tri thức trong bộ óccon ngời về hiện thực khách quan Nhờ có nhận thức, con ngời mới có ý thức

về thế giới; ý thức về cơ bản là kết quả của quá trình nhận thức thế giới Nhờ

đó, con ngời có thái độ đối với thế giới xung quanh, đặt ra mục đích vàdựa vào đó mà hành động Nhận thức không phải là một hành động tứcthời, giản đơn, máy móc và thụ động mà là một quá trình biện chứng,tích cực, sáng tạo Quá trình nhận thức đợc diễn ra theo con đờng từtrực quan sinh động đến t duy trừu tợng, rồi từ t duy trừu tợng đến thựctiễn Đó là quá trình nhận thức đi từ hiện tợng đến bản chất, từ bản chấtkém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn Vì vậy: “trong lí luận nhận thức,cũng nh trong tất cả lĩnh vực khác của khoa học, cần suy luận một cáchbiện chứng, nghĩa là đừng giả định rằng nhận thức của chúng ta là bất

di bất dịch và có sẵn, mà phải phân tích xem sự hiểu biết nãy sinh ra từ

thành đầy đủ hơn và chính xác hơn nh thế nào” Con ngời muốn nhậnthức đợc đầy đủ, sâu sắc và bền vững những tri thức của nhân loại thì

sự phát triển của t duy càng cao”

Theo từ điển triết học: “T duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất đợc tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới kháchquan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận T duy xuất hiện trong quá trìnhhoạt động sản xuất xã hội của con ngời và bảo đảm phản ánh thực tại mộtcách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại

t duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao

động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời Cho nên t duycủa con ngời đợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, vànhững kết quả của t duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho t duy lànhững quá trình nh trừu tợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên nhữngvấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết,những ý niệm Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào

đó Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của t duy đợc biểu hiện ởkhả năng của con ngời có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với

sự trình bày những quy luật tơng ứng Khả năng phản ánh thực tại một cáchgián tiếp của t duy đợc biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgíc, chứngminh của con ngời Khả năng này hết sức mở rộng khả năng nhận thức Xuấtphát từ chỗ phân tích những sự kiện có thể tri giác đợc một cách trực tiếp, nócho phép nhận thức đợc những gì không thể tri giác đợc nhờ các giác quan.Những khái niệm và những hệ thống khái niệm (những lí luận khoa học) ghilại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loài ngời và là điểm xuất phát để tiếp tụcnhận thức thực tại T duy con ngời đợc nghiên cứu trong những lĩnh vực khoahọc khác nhau và bằng những phơng pháp khác nhau” 37,tr 4

Từ những điều đó, ta thấy rằng nhận thức cảm tính có vài trò quan trọngtrong đời sống tâm lí của con nguời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt độngtâm lí cao hơn Tuy nhiên trong thực tế biến đổi thì cuộc sống xã hội luôn đặt

ra những vấn đề cấp bách và biến đổi khôn lờng Do đó con ngời không thểgiải quyết đợc nhiều vấn đề phức tạp đặt ra trong Toán học Muốn giải quyếtcác vấn đề nh vậy con ngời cần phải có nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí

tính mà ta còn gọi đó là t “ duy”

T duy đợc rất nhiều nhà tâm lí học nghiên cứu, một trong những nghiêncứu đầy đủ nhất về t duy đã đợc trình bày trong công trình của

X L Rubinstêin Theo ông thì “T duy- đó là sự khôi phục trong ý nghĩ củachủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các t liệucảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” 38, tr 8

Nh vậy t duy mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nókhông phải bằng chân tay, bằng hình tợng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và

đợc thể hiện qua ngôn ngữ Qua ngôn ngữ con ngời nhận thức những tìnhhuống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích,tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hóa, tổng quát hoá để đi đếnnhững khái niệm, định lí, phán đoán, để có đợc những sản phẩm của t duy

Từ đó ta thấy đợc rằng, t duy lúc nào cũng gắn kết với ngôn ngữ và đợc thựchiện trong ngôn ngữ cho nên nếu t duy không phát triển thì ngôn ngữ cũngkhông thể phát triển đợc Vì vậy nếu có t duy tốt đúng đắn thì có thể có triểnvọng để nắm vững ngôn ngữ tốt, trong sáng và rõ ràng từ đó phát triển đợc trítuệ của học sinh

Từ đó nhận thấy rằng, khách thể trong quá trình t duy đợc phản ánh dớinhiều mức độ khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộcvào chủ thể là con ngời Và t duy là quá trình phát triển năng động và sángtạo

Nhà tâm lí học CRUGLIĂC nói rằng: nhờ t“ duy mà có thể chuyển đợc những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tợng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai, Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện tợng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra đợc chúng T duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một cách có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu Tri thức và t duy gắn bó với nhau

nh sản phẩm đi đôi với quá trình ” 1, tr 65

Qua đó ta thấy rằng, một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kíchthích t duy con ngời tìm tòi cách giải quyết, thúc đẫy nhận thức để tiến lên thuthập các tri thức mới, từ đó làm cho t duy ngày một phát triển cao độ trongmối liên quan biện chứng với nhau

1.1.2 Đặc điểm của t duy

Trớc hết, cần hiểu rằng t duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con ngời

Do đó, t duy thuộc nấc thang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý tính Vìvậy t duy có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác Có thểthấy sự khác biệt đó qua những đặc điểm cơ bản sau:

T duy chỉ nảy sinh khi con ngời đứng trớc những hoàn cảnh có vấn

đề : không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh cũng đều gây ra t duy Trên

thực tế t duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề mà bằng vốnhiểu biết cũ ta không thể giải quyết đựơc nó Để nhận thức con ngời phải vợtqua khỏi phạm vi những hiểu biết cũ và đi tìm cái mới đạt mục đích mới.Những hoàn cảnh nh thế gọi là hoàn cảnh có vấn đề Theo thuật ngữ lí thuyếttình huống thì đó là sự mất cân bằng Hoàn cảnh có vấn đề sẽ kích thích conngời t duy Muốn vậy con ngời phải nhận thức đợc, ý thức đợc hoàn cảnh cóvấn đề nhận thức đợc mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể phải có nhucầu, nhu cầu nhận thức và đơng nhiên phải có những tri thức cần thiết có liênquan vấn đề, chỉ trên cơ sở đó thì t duy mới nảy sinh và diễn biến Một trongnhững ngời có nhiều công trình nghiên cứu nhiều nhất về t duy là X L.Rubinstein Ông đã nhấn mạnh rằng “t duy sáng tạo luôn đợc bắt đầu từ mộthoàn cảnh có vấn đề”

T duy có tính khái quát: khác với nhận thức cảm tính, t duy có khả năng

đi sâu vào sự vật, hiện tợng nhằm vạch ra những thuộc tính chung những mốiliên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng Vì thế t duy có tính khái quát

V I Lênin đã vạch rõ “cảm giác vạch ra cái hiện thực, t duy và từ vạch racái chung”(Bút kí triết học)

Nhờ phản ánh khái quát, các quy luật mà t duy giúp con ngời không chỉ

nhận thức thế giới mà còn có khả năng cải tạo thế giới

T duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con ngời phản ánh

trực tiếp sự vật, hiện tợng bằng giác quan của mình trên cơ sở đó cho ta hình

ảnh cảm tính về sự vật và hiện tợng đến t duy con ngời không nhận thức thếgiới một cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức thế giới một cách gián tiếp -nhận thức bằng ngôn ngữ, nhờ phơng tiện ngôn ngữ và khả năng phản ánhkhái quát; Con ngời có khả năng vạch ra các thuộc tính bản chất, các mối

quan hệ có tính quy luật Dự đoán đợc chiều hớng phát triển và diễn biến củachúng để nhận thức và cải tạo chúng

T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: “t duy và ngôn

ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau không tách rời nhau, nhng cũng không đồngnhất với nhau Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu

đạt kết quả của quá trình t duy” 38, tr 9.

Theo quan điểm của duy vật biện chứng thì t duy và ngôn ngữ có quan hệchặt chẽ với nhau nhng không đồng nhất với nhau Và nhờ có ngôn ngữ màngay từ đầu t duy đã xuất hiện

Nói nh vậy, khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề bằng cảm giác và trigiác con ngời không thể giải quyết đợc đòi hỏi con ngời cần phải t duy và quaquá trình gián tiếp bộ não của con ngời đợc khái quát lên thành các định lý,phán đoán rồi từ đó thể hiện qua ngôn ngữ Thế nhng những ngời không nói

đợc không có nghĩa là không có ngôn ngữ, điều đó không đúng mà ở họ cóthể hiện qua ngôn ngữ khác Chẳng hạn một ngời câm học có thể sử dụngngôn ngữ đó là biểu hiện bằng tay

Nh vậy, nét nỗi bật của t duy là quá trình t duy bao gồm nhiều giai đoạn

kế tiếp nhau đó là từ nhận thức vấn đề đến xuất hiện các liên tởng và qua quátrình t duy bộ não sàng lọc các liên tởng đó để hình thành nên các giả thuyết

từ đó kiểm tra giả thuyết để chính xác hoá nhằm phủ định hay khẳng định vấn

đề đó là để đi đến bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết Trong tất cả các bớc trên

t duy luôn luôn xuất hiện khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, và t duy có quan hệmật thiết với nhận thức cảm tính Theo X L Rubinstêin khẳng định: “nộidung cảm tính bao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm chổ dựacho t duy” Điều đó cũng cho ta nhận thấy rằng quá trình t duy luôn là mộthoạt động của trí tụê và diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành qua những thaotác nhất định và các thao tác đó tham gia vào một quá trình cụ thể nh: phântích, tổng hợp, so sánh,

Nh vậy, qua vấn đề trên ta nhận thấy t duy có tác dụng hết sức to lớntrong đời sống xã hội của con ngời Chúng ta dựa vào t duy để hiểu, nhận thứccác quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội và lợi dụng nó để phát triển xãhội Nói nh thế có nghĩa là nhờ có t duy mà xã hội loài ngời phát triển ngàymột cao Có những hiện tợng trớc đây con ngời không thể giải thích đợc khi t

duy cha phát triển, cho đến bây giờ t duy càng phát triển sự giải thích ấy càngngày, càng đợc sáng tỏ.

Nhà Toán học Liên xô cũ K K Plantônôv đã nêu lên các giai đoạn của tduy bằng sơ đồ sau đây

(dẫn theo 38,tr.10)

1.1.3 Sự phân loại t duy

Có nhiều cách phân loại t duy

Theo Phạm Minh Hạc, Sácđacôp M N có 3 loại t duy sau đây:

a/ T duy trực quan hành động: đó là loại t duy bằng các thao tác cụ thể tay

chân hớng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan

b/T duy trực quan hình tợng: là loại t duy phát triển ở múc độ cao hơn, ra đời

muộn hơn so với t duy trực quan hành động, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy màviệc giải quyết vấn đề dựa và hình ảnh sự vật, hiện tợng

c/T duy trừu tợng(t duy ngôn ngữ, lôgic): là loại t duy phát triển ở mức độ cao

nhất, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên cáckhái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ

làm phơng tiện 38, tr 11.

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Giải quyết vấn đề Hoạt động t duy mới

Vì t duy là một hình thức phản ánh gián tiếp nên nó gắn bó với ngôn ngữmột cách hữu cơ và không có ngôn ngữ thì không có t duy.

Theo A V Pêtrôvxki và L B Itenxơn, có 4 loại t duy đó là: t duy hìnhtợng, t duy thực hành, t duy khoa học và t duy lôgic Việc phát triển t duylôgic bao giờ cũng đợc coi là một nhiệm vụ quan trọng đặt ra hàng đầu trongquá trình dạy học Toán Nói đến t duy lôgic ngời ta nhấn mạnh t duy biệnchứng nghiên cứu t duy dới góc độ cách thức t duy nhận thức sự phát triển vàbiến đổi của các sự vật hiện tợng

Nh vậy, dựa trên cách chia đó ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các loại

t duy là có một mối quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp đến cao từ cái đơngiản đến phức tạp Từ những điều trông thấy đến những cái phải cần có t duycao độ Mối quan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng trong sự phát triểnxã hội loài ngời Sự phát triển từ thấp đến cao đó là một quá trình nhận thứccủa con ngời phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan Quá trìnhnhận thức bằng t duy diễn ra không đơn giản, thụ động, máy móc, Mà đó làmột quá trình phản ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con ngời năng độngsáng tạo, biện chứng Đó là quá trình đi từ cái cha biết, cha sâu sắc, từ cái biết

ít đến cái biết nhiều, từ nhận thức cảm tính đến nhận thức lí tính Vì vậy, quá

trình t duy con ngời nói chung diễn ra hai giai đoạn nhận thức cảm tính và

nhận thức lí tính và quá trính đó trải qua khi gặp tình huống có vấn đề.

Đó là hai giai đoạn khác nhau về chất, có đặc điểm và vai trò khácnhau về việc nhận thức sự vật khách quan Nhận thức cảm tính là phản

ánh trực tiếp, cụ thể, sinh động sự vật, còn nhận thức lý tính là phản

ánh gián tiếp, mang tính trừu tợng khái quát Nhận thức cảm tính đemlại những hình ảnh bề ngoài, cha thật sâu sắc về sự vật, còn nhận thức

lý tính phản ánh đợc mối quan hệ bên trong, bản chất, phổ biến, tất yếucủa sự vật Do đó nhận thức lý tính phản ánh sự vật sâu sắc hơn đầy đủhơn

Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhấtbiện chứng với nhau, liên hệ, tác động lẫn nhau, bổ sung, hỗ trợ chonhau, không tách rời nhau Chúng đều cùng phản ánh thế giới vật chất,

có cùng một cơ sở sinh lý duy nhất là hệ thần kinh của con ngời và đềucùng chịu sự chi phối của thực tiễn lịch sử - xã hội Nhận thức cảm tính

là cơ sở của nhận thức lý tính, không có nhận thức cảm tính thì không

có nhận thức lý tính Trái lại, nhận thức cảm tính mà không có nhậnthức lý tính thì không thể nắm bắt đợc bản chất và quy luật của sự vật,hiện tợng Trên thực tế, chúng thờng diễn ra đan xen vào nhau trongmỗi quá trình nhận thức Phép biện chứng khách quan của thế giới xungquanh ta đợc phản ánh vào phép biện chứng chủ quan đây là vấn đề có tínhchất nền tảng

1.1.4 T duy toán học

Cụm từ t “ duy toán học” đã đợc sử dụng một cách rất phổ biến, trong

dạy học, trong đánh giá kết quả học tập Tuy nhiên nhiều giáo viên cha hiểutờng minh khái niệm về t duy toán học mặc dầu đã ngầm quan tâm nhiều khíacạnh của nó trong dạy học Toán Dờng nh mọi ngời cũng chỉ dựa khả năngtoán học, sức học toán để rồi đánh giá về t duy toán học Đành rằng một họcsinh yếu về Toán thì không thể là tốt về t duy toán học nhng một học sinh có

kĩ năng giải Toán tốt cha hẳn đã là có t duy toán học tốt “T duy toán họckhông chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học củahọc sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có phơnghớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệthống các kiến thức và kỹ năng toán học”dẫn theo 38, tr 13 Cho đến nay córất nhiều tài liệu nghiên cứu khá đầy đủ về t duy toán học Tuy nhiên trongmột số tài liệu có nói đến thì cũng chỉ nói chung chung còn ở một mức độnhất định, và có nói kĩ thì cũng chỉ nói về một loại hình t duy cụ thể nào đó

mà thôi Cũng từ điều đó thì “t duy toán học đợc hiểu, thứ nhất là hình thứcbiểu lộ t duy biện chứng trong quá trình con ngời nhận thức khoa học toán họchay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác nh kỹ thuật, kinh

tế quốc dân Thứ hai, t duy toán học có các tính chất đặc thù đợc quy định bởibản chất của khoa học toán học bởi sự áp dụng các phơng pháp toán học đểnhận thức các hiện tợng thế giới hiện thực, cũng nh bởi chính các phơng thứcchung của t duy mà nó sử dụng Nội dung của t duy toán học là những t tởngphản ánh hình dạng không gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiệnthực” 8, tr 5 

Điều đó cho ta thấy rằng t duy biện chứng là loại t duy toán học quantrọng nhất, ta cũng cần hiểu t duy biện chứng là nh thế nào? Thuật ngữ t duybiện chứng xuất hiện nhiều lần trên các sách báo tạp chí và ấn phẩm khoa học,

tuy nhiên hầu nh cha có một tài liệu nào đa ra một định nghĩa tờng minh vềloại hình t duy này Có tài liệu thay vì định nghĩa t duy biện chứng thì lại nhấnmạnh vai trò của nó; có tài liệu không định nghĩa t duy biện chứng mà chỉ nóirằng t duy biện chứng dựa vào lôgic biện chứng, thực ra chẳng riêng gì t duybiện chứng mới dựa vào dựa vào lôgic biện chứng mà nói nh Ilencô “T duytoán học đáng giá nhất thiết phải là t duy biện chứng” Câu này có thể hiểu

nh sau mọi loại hình t duy toán học trong mình nó đều có hàm lợng của t duybiện chứng, tuy nhiên hàm lợng ấy chỗ này chỗ kia có thể khác nhau và cũngkhông nên hiểu rằng t duy biện chứng đủ để bao quát tất cả các tình huốngToán học mặc dù nó là cần thiết

“Nhà s phạm xô viết A X Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy học

và giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ đề racho con ngời trong một tơng lai không xa Để giáo dục đợc con ngời lao độngsáng tạo có năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phơng pháp dạy họctích cực nhằm phát triển những năng lực t duy một cách biện chứng, năng lựcxem xét các đối tợng và hiện tợng trong mối quan hệ qua lại, trong quá trình

vận động biến đổi, mâu thuẫn và phát triển của chúng.” 1, tr 65.

Tuy không đa ra định nghĩa rõ ràng nhng một số tác giả cũng đã có một

sự thống nhất nào đó về một số thành phần của t duy biện chứng; Đã đa ramột khái niệm về t duy biện chứng thật cụ thể và để đợc mọi ngời thừa nhận là

điều hết sức khó khăn Do vậy, nên tập trung vào những thành tố mà ngời ta

đã tơng đối thống nhất Mặt khác dành sự quan tâm cho những thành tố có dịpthể hiện nhiều trong Toán học Nói một cách khác có thể không nêu hết đợcmọi thành tố nhng cố gắng xem xét những thành tố phổ biến và việc bồi dỡngnhững thành tố đó cũng chính là góp phần bồi dỡng T duy biện chứng; việcnghiên cứu một loại hình t duy chỉ thực sự có ý nghĩa nếu nh nó có những ứngdụng trong giảng dạy Toán, chứ không phải là chỉ đa ra một cách hình thức;

Hai chữ biện chứng“ ” đã nói lên đợc rằng T duy biện chứng có tên gọi xuấtphát từ duy vật biện chứng Nói cách khác những nguyên lí, quy luật và phạmtrù của duy vật biện chứng đều có liên quan đến T duy biện chứng Từ đó ta

có thể hiểu t duy biện chứng nh sau:

- Theo cách hiểu thứ nhất, T duy biện chứng là phơng thức t duy thể hiện

trù của phép biện chứng duy vật vào quá trình xem xét và giải quyết cácvấn đề Toán học.

- Theo cách hiểu thứ hai, t duy biện chứng là những hoạt động trí tuệ

nhằm vận dụng các nguyên lí, các quy luật, các cặp phạm trù của phépbiện chứng vào việc nghiên cứu giải quyết các vấn đề Toán học

- Theo cách hiểu thứ ba, T duy biện chứng đợc đặc trng bởi sự thấu tóm

tính thay đổi, tính hai chiều, tính mâu thuẫn, tính thống nhất; Bởi mối liênquan và phụ thuộc tơng hổ của các khái niệm và quan hệ Toán học Ngoài

ra t duy một cách biện chứng còn ở chổ biểu hiện khả năng có đợc nhữngquan điểm không khuôn sáo, nhiều khía cạnh khi nghiên cứu các đối tợng

và các hiện tợng xảy ra, khi giải quyết các vấn đề T duy biện chứng còn

có nét đặc trng nữa là sự hiểu biết sự khác nhau giữa những kết luận luôn

đúng và có khả năng xảy ra là ở chổ thể hiện rõ duy nhất và đối lập trong

sự biểu hiện của hữu hạn và vô hạn

Trong ba cách hiểu trên, ta thấy rằng t duy biện chứng là loại t duy cókhả năng nhìn một đối tợng dới nhiều góc độ khác nhau một cách linh hoạt

và không máy móc; nhìn đối tợng Toán học trong những mối liên quan vàphụ thuộc lẫn nhau; khả năng phối hợp giữa suy đoán và suy diễn, khả năngnhìn đối tợng Toán học khác nhau dới một quan điểm thống nhất (trong sựvận động); khả năng nhận thức đợc tính khả biến của các tình huống Toánhọc và thể hiện một cách đúng đắn

Rõ ràng t duy toán học đơng nhiên phải là t duy biện chứng, bởi vì t duytoán học vận dụng vào việc giải quyết vấn đề thì nó cũng phải nhìn vấn đề dớinhiều góc độ khác nhau một cách linh hoạt, nó vẫn phải nhìn các đối tợng và

sự kiện toán học trong mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau, và nó phải phân tích

và tổng hợp suy đoán và suy diễn

1.1.5 Vai trò của t duy toán học

Từ vấn đề đợc hiểu về t duy toán học trên ta thấy rằng “t duy toán họckhông chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học củahọc sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có phơnghớng thì không thể đạt đựợc hiệu qủa trong sự truyền đạt cho học sinh hệ

thống các kiến thức và kỹ năng toán học” dẫn theo38, tr 13.

Nh vậy, t duy toán học đó là một quá trình phát triển từ thấp lên cao,việc giải quyết vấn đề thứ nhất và thứ hai có kết quả, thì sẽ dẫn tới việc giảiquyết công việc thứ ba Điều đó cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề đó làmột quá trình biện chứng Nó giúp ta hiểu đợc một cách đúng đắn và sâu sắcqua việc nhận thức kiến thức toán học T duy toán học không chỉ là thànhphần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn làthành phần mà thiếu nó thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụkiến thức toán học cho học sinh.

1.1.6 Một số quan điểm biện chứng của t duy toán học.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Triết học duy vật biện chứng thể hiệncác quy luật chung nhất của sự phát triển tự nhiên, xã hội và t duy của conngời Nó là cơ sở phơng pháp luận của mọi khoa học Và cũng theo Ông, thì

nó giúp ta hiểu đợc đối tợng và phơng pháp của khoa học toán học một cách

đúng đắn và sâu sắc giúp hình thành thế quan duy vật biện chứng của thế hệtrẻ Nó cung cấp cho ta phơng pháp nghiên cứu đúng đắn: xem xét nhữnghiện tợng giáo dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộclẫn nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, phát hiện những sự biến đổi số l-ợng dẫn tới những biến đổi về chất lợng

Từ đó cho ta thấy rằng phơng pháp luận của duy vật biện chứng đóngvai trò hết sức quan trọng trong Toán học Để đi đến cái mới trong Toán họcphải kết hợp đợc t duy lôgic và t duy biện chứng, cả t duy hình tợng cũng nh

t duy khác và nhiều phẩm chất khác của con ngời

Ta thấy rằng t duy là một vấn đề không thể không nhắc tới khi nói đếnToán học Vậy thì từ t duy ở đây có vai trò chủ đạo nh thế nào? Chính vì vậy

mà V I Lênin nói: “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng và từ đó trở

về thực tiễn - đó là con đờng biện chứng của nhận thức chân lí, nhận thức hiệnthực khách quan ” đã đợc đặc biệt trích dẫn trong nhiều công trình nghiên cứu

về tâm lí học s phạm và lí luận dạy học Còn theo các tác giả Phạm Văn Hoàn,Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình thì đối tợng và sự kiện Toán học với t

cách là t duy có tính hiện thực sâu vừa có tính trừu tợng cao Hai mặt “hiện

thực” và “trừu tợng” của chúng đối lập nhau nhng lại tồn tại trong mối quan

hệ biện chứng lẫn nhau phụ thuộc và tồn tại hữu cơ với nhau, mặt “hiện thực”

là nguồn gốc mặt “trừu tợng” là thể hiện nguồn gốc trên, chúng thống nhất với

nhau trong mối quan hệ vật ảnh ( mà cơ quan phản ánh là não ngời) Mặt

“hiện thực” gắn liền với cảm tính, cái riêng cái cụ thể còn mặt “trừu tợng” gắn

liền với cái lí tính, cái chung, cái trừu tợng Cho nên trong t duy toán họccũng phải đợc thể hiện mối quan hệ biện chứng giữa các cặp phạm trù: cáicảm tính và cái lí tính, cái riêng và cái chung, cái cụ thể và cái trừu tợng Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần có t duy biện chứng và đểnhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có t duy lôgic: nên t duy toán họccũng phải là sự thống nhất biện chứng giữa t duy lôgic và t duy biện chứng

14, tr 60-61

Vì vậy mà lôgic biện chứng nghiên cứu t duy dới góc độ cách thức t duynhận thức sự phát triển và biến đổi của các sự vật và hiện tợng Chúng ta biếtrằng dạy học Toán là dạy hoạt động toán học “Mỗi nội dung dạy học đềuquan hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Phát hiện đợc hoạt độngtiềm tàng trong một nội dung cụ thể là cụ thể hoá đựơc mục đích dạy học nộidung đó, chỉ ra đợc cách thực hiện mục đích này đồng thời vạch đợc một con

đờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợc những mục đích dạy họckhác Cho nên điều căn bản của phơng pháp dạy học là khai thác đợc nhữnghoạt động tiềm tàng nội dung để đạt đựoc mục đích dạy học Quan điểm nàythể hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơ giữa mục đích, nội dung và phơng pháp dạy

học” 38, tr 53

1.2 Các quy luật cơ bản và các cặp phạm trù triết học.

1 2.1 Các quy luật cơ bản của triết học duy vật biện chứng.

Hêghen khẳng định rằng “phép biện chứng là lí luận về mối liên hệ phổbiến, là môn khoa học về những quy luật phổ biến của sự vận động và pháttriển của tự nhiên, của xã hội loài ngời và của thế giới ”

V I Lênin nhấn mạnh: phép biện chứng là học thuyết sâu sắc nhất,không phiến diện về sự phát triển Những ngời theo quan điểm biện chứngxem thế giới nh là một chỉnh thể thống nhất các sự vật, các hiện tợng, và cácquy luật cấu thành thế giới đó vừa tách biệt nhau vừa có mối quan hệ qua lạithâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau

1.Từ việc nghiên cứu nguyên lí về mối liên hệ phổ biến của các sự vật

và hiện tợng chúng ta cần rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thứccũng nh trong hoạt động thực tiễn Với t cách là một nguyên tắc, phơng phápluận trong sự nhận thức các sự vật và hiện tợng quan điểm toàn diện đòi hỏichúng ta phải xem xét nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, các yếu

tố, các thuộc tính khác nhau của chính sự vật đó, mặt khác là trong mối liên

hệ qua lại giữa sự vật đó với các sự vật khác

Lênin viết: “muốn thực sự hiểu đợc sự vật cần phải nhìn bao quát và nghiêncứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của các sự vật

đó”

Tuy nhiên trong khi nêu yêu cầu để nhận thức đợc sự vật cần phải nghiêncứu tất cả các mối liên hệ thì V I Lênin cũng chỉ ra rằng: “chúng ta khôngthể làm đợc điều đó một cách hoàn toàn đầy đủ nhng sự cần thiết phải xemxét tất cả mọi mặt sẽ đề phòng cho chúng ta khỏi phạm sai lầm và sự cứngnhắc”

2 Nguyên lí về sự phát triển: ý nghĩa phơng pháp luận đó là tự nhiên, xãhội và t duy đều nằm trong quá trình vận động và phát triển không ngừng.Bản chất khách quan đó của quá trình đòi hỏi chúng ta để phản ánh đúng đắnhiện thực khách quan cần có quan điểm phát triển Điều đó có nghĩa là khixem xét các sự vật và hiện tợng phải đặt nó trong sự vận động và phát triển,

đồng thời phát hiện ra các xu hớng biến đổi chuyển hoá của chúng Lêninviết: “lôgíc biện chứng đòi hỏi phải xem xét sự vật trong sự phát triển, trong

sự tự vận động, và trong sự biến đổi của nó” Ănghen cho rằng, khi nghiêncứu các đại lợng biến thiên thì bản thân Toán học đã bớc vào lĩnh vực củaphép biện chứng rồi Newton nói rằng: “tôi xem những phần đờng cong rấtnhỏ là những đờng thẳng”(câu nói này tuy vi phạm luật đồng nhất và luật tựmâu thuẫn nhng nó phản ánh chân thực một hiện thực, giúp ta hiểu sâu mộtdạng vận động của vật chất) Quan điểm phát triển đòi hỏi không chỉ thấy sựvật nh là cái đang có mà còn phải nắm đợc khuynh hớng phát triển trong tơnglai của nó Ănghen viết: “phép biện chứng là phơng pháp mà điều căn bản là

nó xem xét những sự vật và những phản ánh của chúng trong t tởng trong mối

liên hệ qua lại lẫn nhau của chúng, trong sự ràng buộc, sự vận động, và sựphát sinh”

Các quy luật của phép biện chứng: quan điểm duy vật biện chứng chorằng mọi quy luật đều mang tính khách quan, các quy luật đợc phản ánhtrong các khoa học không phải là sự sáng tạo thuần tuý của t tởng Những quyluật do khoa học phát triển chính là sự phản ánh những quy luật hiện thực củathế giới khách quan và của t duy

Những quy luật phổ biến là những quy luật tác động trong mọi lĩnhvực tự nhiên, xã hội và t duy Những quy luật của phép biện chứng duy vậtchính là những vấn đề nh vậy

Với t cách là một khoa học, phép biện chứng duy vật nghiên cứu nhữngquy luật phổ biến tác động trong tất cả các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và t duycon ngời Các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật phản ánh sự vận

động, phát triển dới những phơng diện cơ bản nhất

Trong đời sống hàng ngày ngoài từ hiện tợng biến đổi trong xã hội, conngời dần dần nhận thức đợc một cách trật tự của thế giới khách quan, và mối

liên hệ có tính lặp đi lặp lại của các hiện tợng đó, tạo thành một “quy luật ”

V I Lênin viết “khái niệm quy luật là một trong những giai đoạn của sự nhậnthức của con ngời về tính thống nhất và về liên hệ, về sự phụ thuộc lẫn nhau

và tính chỉnh thể của quá trình thế giới” 3, tr 261

Với t cách là một khoa học, phép biện chứng duy vật nghiên cứu nhữngquy luật phổ biến tác động trong tất cả các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và t duycon ngời Các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật phản ánh sự vận

động, phát triển dới những phơng diện cơ bản nhất Mỗi quy luật của phépbiện chứng nghiên cứu những phơng diện, những góc độ khác nhau của quátrình vận động và phát triển của các sự vật và hiện tợng, đó là sự tác độngtổng hợp của tất cả những quy luật cơ bản do phép biện chứng duy vật trừu t-

ợng hoá, khái quát hoá tạo nên

1.2.1.1 Quy luật chuyển hoá từ những sự thay đổi về lợng thành những sự thay đổi về chất và ngợc lại.

Trớc hết ta cần nắm đợc khái niệm về chất“ ’’ và l “ ợng :” theo giáo

trình triết học Mác- Lênin, thì Chất“ ” là phạm trù triết học dùng để chỉ tínhquy định khách quan vốn có của sự vật, là sự thống nhất hữu cơ của những

thuộc tính làm cho sự vật là chính nó chứ không phải cái khác; L “ ợng” là

phạm trù triết học dùng để chỉ tính quy định vốn có của sự vật về mặt số lợng,quy mô, trình độ, nhịp điệu của sự vận động và phát triển cũng nh các thuộctính của sự vật 3, tr 264-266

Trong tự nhiên và trong xã hội có không ít sự vật mà xét riêng về cácyếu tố cấu thành chúng hoàn toàn đồng nhất nhng các sự vật đó lại khác nhau

về chất Ví dụ: kim cơng và than chì đều do các bon tạo thành thế nhng có sựkhác biệt căn bản về chất

Trong quá trình vận động và phát triển của sự vật chất và lợng đều biến

đổi nhng không phải bất kì sự thay đổi nào lợng cũng ngay lập tức làm thay

đổi về chất

Bất kì sự vật nào cũng là sự thống nhất giữa chất và lợng, sự thay đổidần dần về lợng vợt qua giới hạn của nó sẽ dẫn tới sự thay đổi về chất thôngqua “bớc nhảy” và chất mới ra đời dẫn đến sự thay đổi của lợng

Chẳng hạn nguyên hàm của hàm xm nói chung là

Ơclit là giới hạn của Hình học Lôpaxki khi bán kính dần tới không

Hàm số đồng biến trong khoảng này nhng lại có thể nghịch biến trongkhoảng kia, biện luận phơng trình và bất phơng trình thì tập nghiệm phụthuộc vào tham biến

Nh vậy sự thay đổi về chất dẫn đến sự thay đổi về lợng và ngợc lại, nóphụ thuộc vào sự thay đổi phơng thức liên kết giữa các yếu tố tạo thành sựvật Do đó trong quá trình hoạt động phải biết cách tác động vào phơng thứcliên kết giữa các yếu tố tạo thành sự vật trên cơ sở hiểu rõ bản chất, quy luậtkết cấu của sự vật đó

1.2.1.2 Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập

“Mặt đối lập là những mặt có những đặc điểm, những thuộc tính, nhữngtính quy định có khuynh hớng biến đổi trái ngợc nhau tồn tại một cách kháchquan trong tự nhiên, xã hội và t duy Sự tồn tại của các mặt đối lập là kháchquan và là phổ biến trong tất cả các sự vật”3, tr 275

Tất cả sự vật trên thế giới chúng ta đều chứa những mặt trái ngợc nhau,chẳng hạn nh trong sinh học thì có đồng hoá và dị hoá, trong hình học thì cóHình học Ơclit và Hình học phi Ơclit những mặt mâu thuẫn đó có mốiquan hệ biện chứng với nhau

Hêghen khẳng định: mâu thuẫn là nguồn gốc của tất cả của mọi vận

động và của tất cả mọi sức sống, chỉ trong chừng mực một vật chứa đựngtrong bản thân nó một mâu thuẫn thì nó mới vận động, mới có xung lực vàhoạt động Giữa các mặt đối lập bao giờ cũng có những nhân tố giống nhau.Chẳng hạn xét về nguyên liệu cấu thành cực bắc và cực nam của nam châm làgiống nhau Chủ nghĩa t bản và thời kì qúa độ lên Chủ nghĩa xã hội là hai xãhội đối lập, thế nhng trong cả hai xã hội đó đều tồn tại kinh tế thị trờng

Tóm lại có thể nêu thực chất quy luật thống nhất và đấu tranh giữa cácmặc đối lập: mọi sự vật và hiện tợng đều có những mâu thuẫn, những mặt,những khuynh hớng đối lập trong bản thân mình, các mặt, các khuynh hớng

đối lập đó nằm trong trạng thái qua lại tạo thành xung lực nội tại của sự vận

động, phát triển dẫn đến sự mất đi của cái cũ và sự ra đời của cái mới

Toán học phát triển theo quy luật thống nhất biện chứng giữa hai mặt

đối lập Hai mặt đối lập đó là: một mặt càng phát triển càng khái quát, càngtrừu tợng, mặt khác càng phát triển lại càng nâng cao thêm khả năng ứngdụng cụ thể, chẳng hạn từ Hình học Ơclit phát triển thành Hình học phi Ơclitquay trở lại ứng dụng cho lí thuyết tơng đối trong Vật lí

Nh vậy, việc nghiên cứu quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt

đối lập có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức và hoạt động thực tiễn, muốnphát hiện ra mâu thuẫn phải tìm ra trong thể thống nhất những mặt nhữngkhuynh hớng trái ngợc nhau, trong sự tác động qua lại giữa các sự vật và hiệntợng, mà nh V I Lênin đã viết “Sự phân đôi của cái thống nhất và sự nhậnthức của các bộ phận của nó, đó là thực chất của phép biện chứng ” 3, tr.281

1.2.1.3 Quy luật phủ định của phủ định

“Sự phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trìnhvận động và phát triển” 3, tr 275 Phủ định biện chứng nói lên một giai

đoạn, một nấc thang trong quá trình phát triển, với t cách là kết quả của phủ

định lần thứ nhất, cái mới cũng chứa đựng trong bản thân của mình xu hớngdẫn tới phủ định lần tiếp theo– phủ định của phủ định Chỉ có thông qua phủ

định của phủ định mới dẫn tới việc ra đời một sự vật, trong đó có sự lặp lạimột số đặc trng cơ bản của cái xuất phát ban đầu, nhng trên cơ sở cao hơn

đến đây một chu kì phát triển đợc kết thúc Khái quát một chu kì phát triển đótạo thành nội dung cơ bản của quy luật phủ định của phủ định

Sự phát triển biện chứng thông qua những lần phủ định biện chứng- nh trên

đã nói là sự thống nhất giữa loại bỏ kế thừa và phát triển Một lần phủ địnhbiện chứng đợc thực hiện sẽ mang tới những nhân tố tích cực mới Do đó, sựphát triển thông qua những lần phủ định biện chứng sẽ tạo ra xu hớng tiến lênkhông ngừng

Diễn tả quy luật phủ định của phủ định bằng đờng xoáy trôn ốc chính làhình thức cho phép biểu đạt rõ ràng nhất của các đặc trng của quá trình pháttriển biện chứng: tính kế thừa, tính lặp lại nhng không quay trở lại và tínhchất tiến lên của sự phát triển mỗi vòng mới của đờng xoáy trôn ốc thể hiệnmột trình độ cao hơn của sự phát triển, đồng thời dờng nh quay lại cái đã qua,dờng nh lặp lại vòng trớc, sự nối tiếp nhau của các vòng thể hiện tính vô tậncủa sự phát triển từ thấp lên cao

“Xoáy trôn ốc” cũng là một trong những hình thức trình bày các chủ đề

trong môn Toán của trờng phổ thông nghĩa là một vấn đề nào đó đợc lặp đi

lặp lại chứ không chỉ học một lần mà thôi, chẳng hạn khái niệm hàm số ở lớp

7 và khái niệm hàm số ở lớp 10, khái niệm phơng trình ở lớp 8 và khái niệmphơng trình ở lớp Trung học phổ thông, định nghĩa tỉ số lợng giác ở lớp 9 và

tỉ số lợng giác ở lớp 10 Cần phải hiểu rằng quy luật phủ định trong hoàncảnh này không có nghĩa là kiến thức lớp sau chống lại và mâu thuẫn với kiếnthức lớp trớc mà chỉ là chỉ là sự hoàn thiện, chính xác hoá và trừu tợng hoávới văn phong chặt chẽ và tờng minh hơn

Chúng ta có thể hiểu tinh thần cơ bản của quy luật phủ định của phủ định

nh sau: Quy luật này nói lên mối liên hệ, sự kế thừa giữa cái bị phủ định vàcái phủ định, do sự kế thừa đó phủ định biện chứng không phải là sự phủ địnhsạch trơn bác bỏ tất cả sự phát triển trớc đó, mà là điều kiện cho sự phát triển

nó duy trì và giữ gìn nội dung tích cực của các giai đoạn trớc lặp lại một số

đặc điểm cơ bản của cái xuất phát nhng trên cơ sở mới cao hơn

Do vậy, quy luật phủ định của phủ định nêu lên mối liên hệ, sự kếthừa, giữa cái khẳng định và cái phủ định cho sự phát triển, nó bảo tồn nộidung tích cực của các giai đoạn có trớc và bổ sung thêm những thuộc tínhmới làm cho sự phát triển có tính chất tiến lên, không phải theo đờng thẳng

mà theo đờng xoáy ốc“ ”

1.2.2 Các cặp phạm trù cơ bản của triết học duy vật biện chứng trong t duy toán học.

Mỗi bộ môn khoa học đều có các cặp phạm trù, các quy luật củamình Chẳng hạn trong vật lí học có các cặp phạm trù về khối lợng và nặng l-ợng, và kinh tế học có phạm trù hàng hoá và giá cả Các phạm trù không cósẵn trong bản thân con ngời một cách bẩm sinh và nó cũng không tồn tại sẵn

ở bên ngoài độc lập với ý thức của con ngời mà là đợc hình thành trong quátrình hoạt động nhận thức thế giới dựa trên các quy luật biện chứng Việc sửdụng các cặp phạm trù một cách linh hoạt trong quá trình dạy học sẽ gópphần tích cực vào hiệu quả dạy học và nâng cao chất lợng giảng dạy bộ mônToán trong nhà trờng phổ thông Để qua đó rèn luyện t duy toán học khảnăng tìm tòi ra cái mới trong mối liên quan biện chứng Các cặp phạm trù cơbản của phép biện chứng duy vật đó là:

1.2.2.1 Cặp phạm trù cái chung và cái riêng

Phạm trù cái riêng đợc dùng để chỉ một sự vật một hiện tợng một quátrình riêng lẻ nhất định, còn phạm trù cái chung đợc dùng để chỉ những mặt,những thuộc tính chung không những có ở một mặt kết cấu vật chất nhất định

mà còn đợc lặp lại trong nhiều sự vật hiện tợng hoặc quá trình riêng lẻ khácnữa

Theo quan điểm duy vật biện chứng thì cái chung chỉ tồn tại trong cáiriêng và thông qua cái riêng, chẳng hạn khi nói đến con cá có nhiều thuộctính cụ thể khác nhau, con này trắng con kia đen, con này mình dẹt con kiamình tròn Nhng dù có khác nhau đi chăng nữa thì con nào cũng là động vật

có xơng sống, sống ở dới nớc và thở bằng mang, bơi bằng vây Cái riêng chỉtồn tại trong mối liên hệ đa tới cái chung Về mặt phơng pháp luận, và cáichung chỉ tồn tại trong cái riêng cho nên chỉ có thể tìm cái chung trong cáiriêng chứ không thể ở ngoài cái riêng Để phát hiện cái chung cần xuất phát

từ những cái riêng, từ những sự vật hiện tợng và quá trình riêng lẻ chứ không

phải từ những ý kiến chủ quan của con ngời V.L.Lênin đã viết ng“ ời nào bắt tay vào những vấn đề riêng trớc khi giải quyết những vấn đề chung thì ngời

đó trên mỗi bớc đi không sao tránh khỏi vấp ngã những vấn đề chung đó một cách không tự giác ”

Liên hệ đến Toán học thì ta thấy rằng, việc dự đoán những quy luật xuấtphát từ việc xem xét những trờng hợp riêng là một thủ thuật ta rất hay dùng.Chẳng hạn nh trong Bài toán tìm quỹ tích, Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏnhất không sử dụng đến đạo hàm

Nh vậy cặp phạm trù “cái chung và cái riêng” so với phạm trù quy nạp

và suy diễn cũng có liên quan với nhau và nó rộng hơn Hơn nữa các phạm trùcủa phép biện chứng cũng không hoàn toàn độc lập Việc sử dụng cặp phạmtrù cái chung cái riêng đóng một vai trò hết sức quan trọng Bởi vì Toán học

là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung cái riêng Việc xâydựng chơng trình Toán học phổ thông rõ ràng là theo hớng dẫn dắt học sinh

từ những trờng hợp riêng rồi đến khái quát dần lên những cái chung

1.2.2.2 Cặp phạm trù phân tích và tổng hợp.

Phân tích và tổng hợp và hai thao tác t duy cơ bản mà mọi thao tác tduy khác đều có thể xem là những dạng xuất hiện (biến thể) khác của haithao tác này Phân tích là tách trong t tởng(một hệ thống thành những vật,tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ) Tổng hợp có ý nghĩa là liên kết(trong t tởng) những bộ phận thành một vật liên kết nhiều vật thành một hệthống Phân tích là chia một chỉnh thể thành nhiều bộ phận Còn tổng hợp lànhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mô tả đợc bức tranhtoàn cảnh của cả chỉnh thể, các mối quan hệ các bộ phận của chỉnh thể và củachỉnh thể với môi trờng xung quanh Phân tích và tổng hợp là hai hoạt độngtrí tuệ trái ngợc nhng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng làhai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình t duy Những hoạt động trí tuệ khác

đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp Có thể nói không mộtvấn đề tổng hợp (không tầm thờng) nào lại chẳng cần dùng đến phân tíchtrong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Chẳng hạn, ta dùng phân tích và tổng hợp xen kẽ để giải Bài toán sau

đây: “cho một tứ giác có hai cạnh đối diện bằng nhau Chứng minh rằng haicạnh này nghiêng đều trên đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh còn lại

Mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận của Bài toán này cũng rất khóvì trong giả thiết chỉ thấy những đoạn bằng nhau không tạo nên tam giác gì

có liên quan đến các góc nói đến ở phần kết luận

DEN = PMN = QNM và CFN = QMN = PNM Muốn chứng

C

F E M Q

Q’

P A

B

minh DEN = CFN ta phải chứng minh MN là đờng phân giác của góc

PMQ và PNQ, tức phải chứng minh rằng MPNQ là hình thoi Để dùng

đ-ợc giả thiết AD = BC, ta lấy đoạn AC (hay BD cũng đựơc) làm cầu nối và đểgắn với giả thiết M, N là trung điểm của AB, CD, ta lấy trung điểm Q’ của

AC; thế thì Q’N//AD, Q’M//AC Vậy Q’ Q nên

1.2.2.3 Cặp phạm trù quy nạp và suy diễn

Quy nạp là có nghĩa đi từ cái riêng đến cái chung, từ những chân lí riêng

lẻ đến cái khái quát lên thành một chân lí tổng quát Quy nạp có thể dẫn đếnmột kết luận sai và vì vậy trong Toán học không cho phép dùng quy nạp đểchứng minh (cần phải phân biệt với quy nạp toán học và quy nạp hoàn toàn) Nhng quy nạp có thể dùng rất nhiều nên dùng để phát hiện vấn đề, đểmày mò dự đoán, Ví dụ trong Bài toán quỹ tích thì vai trò của quy nạp, dự

đoán là cực kì quan trọng bởi vì dùng quy nạp để dựng lên một số điểm chạy

là có thể dự đoán đợc quỹ tích

Vai trò của suy đoán có tầm quan trọng rất lớn Đặc điểm của t duy toánhọc là sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn, ngời có nghiên cứu sâu sắc vềsuy đoán đó là G Polya viết “toán học là khoa học của suy diễn, nhng toánhọc trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức của nhân loại trong quátrình hình thành Bạn phải dự đoán đợc định lí trớc khi chứng minh nó Bạnphải dự đoán đợc ý của chứng minh trớc khi chứng minh chi tiết ”

1.2.2.4 Cặp phạm trù cụ thể và trừu tợng

V.I Lênin đã nói rằng, “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng và

từ đó trở về thực tiễn là con đờng nhận thức chân lí ” Đặc điểm của môn

Toán là tính trừu tợng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng Trừu tợng cũng cóthể trên các bình diện khác nhau, cái trừu tợng hôm nay có thể là cái cụ thểngày mai Trong Toán học thì Toán học càng triển bao nhiêu thì càng trừu t-ợng bấy nhiêu Càng trừu tợng thì Toán học ngày càng mạnh, đó sự phát triểncàng càng lớn mạnh nh hiện nay

Chẳng hạn, từ những hình ảnh về “hạt bụi”, “sợi dây mảnh căng thẳng”,

“mặt hồ khi lặng gió ” tiến lên xây dựng các khái niệm Toán học rất trừu tợng

nh điểm“ ”, đ “ ờng thẳng”, “mặt phẳng” Từ Hình học phẳng xây dựng trừu

t-ợng lên hình học không gian

Từ các số cụ thể tiến đến việc dùng chữ thay số: Các số đợc trừu xuất từnhững sự vật hiện tợng cụ thể Khi ngời ta quen dẫn với chúng thì chúng lạitrở thành cụ thể Từ những phép toán trên các số cụ thể ngời ta mới nhận xétthấy có những tính chất chung cho các phép toán cụ thể đó, để diễn tả nhữngquy luật chung đó Dĩ nhiên không thể chỉ dùng các kí hiệu để chỉ những số

cụ thể mà phải khái quát hoá bằng những kí hiệu có thể đại diện cho nhiều số

cụ thể và từ đó mới xuất hiện việc dùng các chữ số a, b, c, Nhờ đó có thể

dễ dàng viết ra các quy luật nh giao hoán, kết hợp

1.2.2.5 Cặp phạm trù nội dung và hình thức

Theo Triết học Mác-Lênin, Nội dung là tổng hợp tất cả những mặt,“

những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật Còn hình thức là phơng thức tồn tại và phát triển của sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tơng đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật đó”3, tr 84 Điều đó thấy rằng, bất kì một sự vật

nào cũng có hình thức bề ngoài của nó, song theo quan điểm biện chứng duyvật thì hình thức bên trong, cơ cấu bên trong là cực kì quan trọng nhất Nộidung là những mặt những yếu tố những quá trình tạo nên sự vật Nội dung vàhình thức không tồn tại tách rời nhau, nó có sự thống nhất biện chứng vớinhau Nội dung giữ một vai trò quyết định đối với hình thức trong quá trìnhvận động và phát triển của sự vật, và hình thức cũng có tác động sâu sắc tới

nội dung Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn “ nội dung có thể diễn tả bởi nhiều

hình thức phong phú nhng nh vậy không có nghĩa là tuỳ tiện khi suy nghĩ để

tìm ra những hình thức khác nhau của cùng một nội dung ”35, tr 84 Hình

thức có thể làm che lấp nội dung song bản chất của nó không thay đổi, khi cómâu thuẫn giữa nội dung và hình thức thì mâu thuẫn này sẽ kích thích việcnghiên cứu để làm rõ sự thống nhất

Chẳng hạn, mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức của đờng trung bình và ờng trung tuyến của tam giác và điều đó đã kích thích ta nghiên cứu đờngtrung bình của tứ giác và những nghiên cứu này làm rõ sự thống nhất

Nh vậy nội dung và hình thức luôn gắn bó, thống nhất với nhau trongquá trình vận động và phát triển của sự vật trong Toán học chúng ta cần phầntích rõ mối quan hệ biện chứng của chúng, cần tránh bệnh chủ nghĩa hìnhthức, không nhìn một bài toán dới danh nghĩa hình thức, mà chúng ta cầnnhìn nhận trong mối quan hệ qua lại giữa nội dung và hình thức để tìm ra bảnchất của nó

1.2.2.6 Cặp phạm trù vận động và đứng yên

Vận động“ ” chỉ mọi phép biến đổi còn Đứng yên“ ” chỉ mọi trạng tháikhông thay đổi Vận động và đứng yên ở đây không phải là sự vận động trongcơ học nh “chiếc ô tô chạy”, “chiếc máy bay bay trên bầu trời” mà vận động

đó là chịu thay đổi biến thiên, còn đứng yên chỉ mọi trạng thái không thay

đổi Dĩ nhiên qua đó ta thấy sự mâu thuẫn trong bản thân của chúng, nhngvận động và đứng yên cũng là sự thống nhất biện chứng về phơng diện một là

sự không thay đổi hai là sự thay đổi Nh vậy, trong thiên nhiên, trong xã hộicon ngời tuy rất phức tạp thì vận động luôn chứa đựng trong nó sự ổn định tức

là sự đứng yên, đó là sự thống nhất giữa vận động và đứng yên Nắm đợc cácquy luật này trong Toán học thì phạm trù này thờng thể hiện ra dới dạng bấtbiến Mọi định lí đều chứa cái bất biến trong cái vạn biến Chẳng hạn định lí

ba đờng trung tuyến đồng quy thì cái bất biến ở đây là sự “đồng quy” Còncái vạn biến là tam giác, ở đây là ý nói rất nhiều ta có thể lấy nhiều tam giácbất kì song chúng đều có tính chất ba đờng trung tuyến đồng quy; Mỗi hệ tiên

đề là một “bất biến” và các mô hình của hệ tiên đề đó là cái “vạn biến”

1.2.2.7 Cặp phạm trù tất nhiên và ngẫu nhiên.

Theo triết học Mác- Lênin, “tất nhiên (tất yếu) là cái do những nguyên

nhân cơ bản bên trong của kết cấu vật chất quyết định và trong những điều kiện nhất định nó phải xảy ra nh thế chứ không thể khác đợc Ngẫu nhiên là cái không do mối liên hệ bản chất, bên trong kết cấu sự vật, bên trong sự vật quyết định mà do các nhân tố bên ngoài, do sự ngẫu hợp nhiều hoàn cảnh bên ngoài quyết định Do đó nó có thể xuất hiện, có thể không xuất hiện, có thể xuất hiện nh thế này, hoặc có thể xuất hiện nh thế khác ” 3, tr 239.Tất nhiên và ngẫu nhiên đều tồn tại một cách khách quan và độc lập với ýthức của con ngời đều có vị trí nhất định đến sự phát triển của vật chất sự vật

đó Tất nhiên và ngẫu nhiên đều tồn tại nhng không tồn tại dới dạng thuần tuýbiệt lập, mà chúng có thể chuyển hoá cho nhau Nó không nằm ở trạng thái

cũ mà thay đổi cùng sự thay đổi của sự vật trong những điều kiện nhất định,

cái này cũng có thể trở thành cái kia và ngợc lại ” 3, tr 228 Sự thống nhấtbiện chứng của bản chất và hiện tợng là sự thể hiện bản chất luôn đợc thểhiện qua hiện tợng

1.2.2.8 Cặp phạm trù bản chất và hiện tợng.

Theo giáo trình triết học Mác- Lênin: “bản chất là tổng hợp tất cảnhững mặt, những mối liên hệ tất nhiên, tơng đối ổn định bên trong sự vật,quy định sự vận động và phát triển của sự vật Hiện tợng là biểu hiện ra bênngoài của bản chất” Theo quan điểm biện chứng thì bản chất là phần cơ bảnnhất, sâu xa nhất, bền vững nhất trong nội dung Bản chất có ý nghĩa quyết

định đối với sự vật, điều đó có nghĩa là nếu bản chất không còn thì không có

sự vật Còn hiện tợng là sự biểu hiện ra bên ngoài của bản chất, hiện tợngcũng là hình thức nhng có tính chất đặc trng và chỉ thật sự mất đi khi bản chấtkhông còn Song hiện tợng cũng có thể làm hiểu sai bản chất, che lấp bảnchất Chẳng hạn hiện tợng mặt trời lặn và mọc hàng ngày làm cho ngời ta cứngỡ tởng rằng mặt trời quay xung quanh trái đất khi khoa học cha phát triển

để giải thích điều đó Nh vậy sự biến thiên vạn hoá của bản chất và hiện tợng

N

A

B

cung AB, trung điểm I của

đoạn AB và hai dây cung

là vòng tròn lại đợc thay bằng một Elip Bài toán thứ hai này rõ ràng là cótính chất afin nghĩa là ta dùng bất kì phép biến đổi afin nào để biến đổi hình

vẽ thì ta vẫn có Bài toán ban đầu Nh vậy, Bài toán “con bớm” đã cho có bảnchất là một Bài toán afin nhng tính chất vòng tròn, cho thừa ra (vì chỉ cần tínhchất elip cũng đợc) đã che lấp mất bản chất đó ”35, tr.103

1.2.2.9 Cặp phạm trù chủ quan và khách quan.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn, “con ngời khi xây dựng lí luận đều căn cứvào thực tiễn đã đợc tích luỹ đến một giai đoạn Lịch sử nào đó và vì vậy líluận bao giờ cũng bị hạn chế lịch sử Lí luận đó hớng dẫn các hoạt động thựctiễn tiếp theo Các hoạt động này chỉ mang lại hiệu quả khi chủ quan phù hợpvới khách quan ”35, tr 113 Cũng theo tác giả, Muốn có sự phù hợp thì phải

có hai điều kiện:

“ - Một là, thông tin về thực tế khách quan (thiên nhiên, xã hội, con ngời)phải chính xác (nghĩa là chủ quan con ngời phải bảo đảm cân, đo, đong, đếm,

điều tra, thống kê, báo cáo, mô tả thật chính xác)

-Hai là, khi đã có thông tin thật chính xác về thực tế khách quan thì phải dùng

lí luận để xử lí các thông tin đó Nếu hoạt động thực tiễn không có hiệu quảhoặc hiệu quả thấp, thậm chí hiệu quả âm thì phải xem lại hoặc bản thânthông tin, hoặc lí luận đã dùng để xử lí thông tin hoặc cả hai.” 35, tr.113

Nh vậy lí luận do con ngời khái quát từ hoạt động thực tiễn ít nhiềumang tính chủ quan Sự thay đổi của khách quan có khi lờng trớc đợc, có khikhông, nên chủ quan con ngời cần phải khôn ngoan trong mọi tình huống đểchủ động, tránh sự bị động Mỗi con ngời trong một hoàn cảnh nào đó đều cóquyền tự do của mình song phải biết vận dụng quyền tự do đó nh thế nào đểvận dụng có hiệu quả, có lợi nhất Trong Toán học cần phát huy cao độ quyền

tự do đó trong nghiên cứu Toán học nhằm phát huy kiến thức toán học, tránh

đợc việc chủ quan duy ý chí dẫn đến sự thất bại đáng tiếc

1.3 Mối quan hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù đối với t duy toán học.

1.3.1 Quan hệ giữa cảm tính và lí tính trong t duy toán học.

Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trìnhthì vấn đề quan hệ giữa cảm tính và lí tính trong nhận thức nói chung và trong

t duy toán học nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng của phép biệnchứng Có rất nhiều quan điểm triết học khác nhau về mối quan hệ biệnchứng giữa chúng Con ngời chúng ta nhận thức thế giới bằng những kinhnghiệm có đợc trong cuộc sống trên cơ sở cảm giác và tri giác Cái mà conngời kế thừa về mặt sinh vật học không phải là t tởng bẩm sinh mà là bộ máyhoạt động cơ sở thần kinh dùng làm cơ sở sinh lí học của quá trình phản ánhthế giới khách quan

Những tài liệu của giác quan là kinh nghiệm của cảm tính, làm nềnmóng cho kinh nghiệm của chúng ta, nhng không phải là toàn bộ lâu đài củakiến thức T duy có liên hệ với kinh nghiệm cảm tính nhng khác về chất vớikinh nghiệm cảm tính, nó giúp ta đi sâu hơn vào bản chất của sự vật và hiện t-ợng; trong quá trình t duy con ngời sử dụng kinh nghiệm đã đợc đúc kết củaxã hội loài ngời Lí luận nhận thức của Lênin là lí luận cắt nghĩa đầy đủ mốiquan hệ biện chứng giữa nhận thức cảm tính và t duy Lênin cho rằng nhậnthức phát triển là do sự tác động lẫn nhau giữa ba yếu tố là trực quan sinh

động, t duy trừu tợng và thực tiễn Mỗi yếu tố đều cần thiết và đều mang lạicái mà yếu tố khác không thể đem lại đợc Sự tác động lẫn nhau đó quánxuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu đến cuối, đồng thời trong yếu tố đó

yếu tố thực tiễn là cơ sở và là yếu tố quyết định “Từ trực quan sinh động đến

t duy trừu tợng rồi từ t duy trừu tợng đến thực tiễn đó là con đờng biện chứng của sự nhận thức chân lí”.

Trong quá trình dạy và học môn Toán thì việc thấm nhuần các nguyên lígiáo dục của Đảng là học phải đi đối với hành, giáo dục kết hợp với lao độngsản xuất, nhà trờng phải gắn liền với xã hội Qua đó thấy rằng không chỉnhằm giáo dục theo nghĩa rộng mà còn là tạo ra tiền đề tâm lí thuận lợi choviệc nắm vững chính những kiến thức Toán học theo nghĩa hẹp: thực tế sảnxuất làm cho kiến thức có đợc về trực quan sinh động, thực hành làm chonhận thức lí thuyết sâu sắc hơn, và chỉ khi hoà mình vào cuộc sống xã hội conngời mới nãy sinh nguyện vọng, ý chí phấn đấu vơn lên nắm những kiến thứcmới mẽ trong cuộc sống

Việc hiện đại hoá chơng trình môn Toán ở trờng phổ thông thờng làmbộc lộ mâu thuẫn ra yêu cầu cao hơn về khả năng trừu hoá và trình độ hiện

đại phát triển ở học sinh Mặc dù đối tợng t duy trừu tợng hơn, nhng côngthức nhận thức khách quan mà V I Lênin nêu ra vẫn còn nguyên giá trị

Tính trực quan trong giảng dạy từ trớc đến nay vẫn là một yêu cầu cần

có tính nguyên tắc, nhng khái niệm trực quan còn đợc biểu hiện một cách đơngiản là đặt đối tợng nhận thức vào trờng của cảm giác hay tri giác Thực tiễngiảng dạy Toán học hiện đại làm bộc lộ rõ khía cạnh còn mơ hồ trên về trựcquan Việc giảng dạy không đòi hỏi dừng lại ở trạng thái tĩnh tại mà còn phảilàm nổi bật trạng thái động Không chỉ chú trọng tới những phần riêng rẽ màcòn phải làm nổi bật những phần tử ấy trong một tổng thể

1.3.2 Quan hệ giữa cụ thể và trừu tợng trong t duy toán học

Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia cốc, Trần Thúc Trình,Những đối tợng, những hiện tợng của thế giới hiện thực bao giờ cũng nằmtrong một mạng của sợi dây lên kết với nhau rất chằng chịt, trong đó có những

mối liên hệ với nhau rất vững chắc và bản chất, có những mối liên hệ ngẫunhiên, tạm thời và không bản chất Muốn nắm đợc quy luật chi phối và đối t-ợng và hiện tợng ấy cần phải tách khỏi những mối liên hệ ổn định và bản chấtkhỏi những mối liên hệ tạm thời và không bản chất Theo nghĩa chung nhất thìtrừu tợng hoá biểu thị khả năng vạch những mối liên hệ nào đó từ những mạngsợi dây liên kết chằng chịt các đối tợng và hiện tợng.

Những khái niệm, phán đoán riêng lẽ phản ánh mối liên hệ đợc tách ra

để xem xét, theo C Mác, chỉ là những kiến thức trừu tợng Cái trừu tợng với

C Mác đồng nhất với tính phiến diện Kiến thức cụ thể là một tập hợp hay nói

đúng hơn là một hệ thống những kiến thức trừu tợng Hệ thống trong toàn bộnhững kiến thức này vạch ra đợc những mối liên hệ có tính quy luật gồm cáchiện tợng ở đây, kiến thức cụ thể có nghĩa là kết quả, là sự nhận thức củatổng kết của nhận thức cái cụ thể sở dĩ là cái cụ thể vì nó tổng hợp của nhiều

sự quy định, nh vậy nó là sự thống nhất của nhiều mặt khác nhau Cho nêntrong t duy cái cụ thể biểu hiện là quá trình tổng hợp, là kết quả chứ khôngphải là điểm xuất phát, mặc dù có điểm xuất phát thực sự và do đó cũng là

điểm xuất phát của trực quan và của biểu tợng Trên con đờng thứ nhất toàn

bộ sự biểu tợng đã biến thành một sự quy định trừu tợng, trên con đờng thứ hainhững sự quy định trừu tợng lại dẫn tới sự mô tả lại cái cụ thể bằng con đờng

t duy

Nếu nh lí thuyết kinh nghiệm của sự trừu tợng hoá dừng lại ở con đờngthứ nhất, thì lí thuyết trừu tợng hoá biện chứng xây dựng trên quan điểm kếthợp cả hai con đờng Điều này đợc diễn tả trong công thức nổi tiếng của V I.Lênin “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng rồi từ t duy trừu tợng đếnthực tiễn đó là con đờng biện chứng của sự nhận thức chân lí”

Sự đối lập giữa cái cụ thể và cái trừu tợng lại có nghĩa tơng đối trongquá trình nhận thức: “Chúng ta bắt đầu nghiên cứu từ những cái hiện thực và

cụ thể, từ tiên đề thực tế”, nhng chúng ta lại đi từ trừu tợng đến cụ thể để “tduy quán triệt đợc cái cụ thể và mô tả lại cái cụ thể dới hình thái một cái xuthế trong t duy”

Khi nói về mối quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tợng trong quá trìnhsáng tạo Toán học, giáo s Nguyễn Cảnh Toàn viết “Trong quá trình giải quyết

một đề tài, những khái quát có tính chất lí luận thờng không ra đời một cách

đơn giản, có khi phải xem xét rất nhiều trờng hợp đặc biệt, cụ thể để rồi từ đólần mò dẫn ra cái trừu tợng, khái quát ”

Còn quan điểm của Đavđốp là quan điểm chỉ đạo những công trìnhnghiên cứu nâng cao khả năng tiếp thu những khái niệm Toán học trừu tợngcho học sinh cấp 1 đang tiến hành ở Viện Tâm lí học đại cơng Liên xô

“Trong giảng dạy Toán học việc tăng cờng khả năng cho học sinh vận dụngkiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn làbiện pháp phù hợp với quy luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể vàcái trừu tợng”

1.3.3 Quan hệ giữa cái chung và cái riêng trong t duy toán học.

Các chân lí toán học cũng nh chân lí thực nghiệm là sự phản ánh gần

đúng hiện thực; chúng luôn luôn cần đợc hoàn thiện để phản ánh chân thựchơn nhằm đáp ứng cao hơn nhu cầu thực tiễn của con ngời Cái thay đổi trongtoán học là sự thay đổi quan điểm từ đó nhìn nhận những kết quả đã thu đợcqua nhiều quá trình Từ sự thay đổi đó, các định lí Toán học đợc phát minh ravẫn đúng trong một chừng mực nào đó khi con ngời khám phá ra nó, vẫn luônluôn tồn tại mà không bị định lí khác thay thế; tuy nhiên từ vị trí cơ bản nhất,chúng trở thành cái quan trọng nhất, cái riêng trong hệ thống Toán học

Nh vậy, nhận thức đi từ cái riêng đến cái chung, rồi từ cái chung chuyễnhoá thành cái riêng, theo tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, TrầnThúc Trình cho rằng, xét đến phơng diện nào đó thì cái chung và cái riêngmâu thuẫn, nhng xét ở những phơng diện khác thì cái chung và cái riêng lạithống nhất: cái chung bao trùm lên cái riêng và cái riêng nằm trong cái chung,mỗi cái riêng có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung

nh vậy cũng ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làmcơ sở cho sự thống nhất giữa cái chung và cái riêng Từ một cái riêng nếu biếtnhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác nhau thì có thể khái quát thànhnhiều cái chung khác nhau, và đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại

đợc một cái riêng và cứ nh thế qua nhiều giai đoạn phát triển lên thành cáimới

Ví dụ: trong Hình học thì tam giác đều vừa là trờng hợp riêng của hình tứ

diện đều vừa là trờng hợp riêng của tam giác cân Xét về số chiều thì tam giác

đều và tứ diện đều là mâu thuẫn, nhng xét về tính chất là thì có tất cả các cạnhbằng nhau là thống nhất

Trong dạy học Toán, nếu ngời giáo viên nắm đợc mối quan hệ giữa cái chung

và cái riêng sẽ đem lại hiệu quả cao

1.3.4 Sự thống nhất của lôgíc biện chứng và lôgíc hình thức trong t duy

toán học.

Lôgic biện chứng nghiên cứu t duy dới góc độ cách thức t duy nhậnthức sự phát triển và biến đổi của các sự vật và hiện tợng Lôgíc biện chứngvới t cách là học thuyết triết học về những quy luật chung nhất của sự nảy sinh

và phát triển của t duy giúp chúng ta nắm đợc nội dung và sự vật Nhiệm vụchủ yếu của lôgic biện chứng là nghiên cứu các quy luật và các hình thức tduy biện chứng Nó đòi hỏi chúng ta phải tiến xa hơn nữa Theo tác giả M.Alêcxêep, muốn thực sự hiểu biết đợc một số đối tợng cần phải thâu tóm vànghiên cứu tất cả các đối tợng ấy, tất cả các mối liên hệ và “quan hệ gián tiếp”của nó nữa Chúng ta không bao giờ thực hiện đợc điều này một cách hoàntoàn

Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình

“lôgic hình thức nghiên cứu cơ cấu của các hình thức t duy, nó bỏ qua khôngnói tới sự nãy sinh và phát triển của các hình thức ấy Những quy luật của tduy do lôgic hình thức trình bày phản ánh những quan hệ đơn giản nhất của sự

vật phản ánh của yếu tố ổn định và bất biến tơng đối của sự vật, mặt hình thức

của sự vật” 14, tr 69 Nh vậy ta thấy rằng, nếu lôgic hình thức vạch ra những

cấu trúc của kiến thức thì lôgic biện chứng lại giải thích chân lí nh một quátrình, nh một kiến thức đợc nãy sinh Sự thống nhất trong sự vận động giữalôgic biện chứng và lôgíc hình thức trong nhận thức Toán học giữa lôcgic đểtrình bày Toán học và lôgic để nhận thức Mỗi sự vật đều có nội dung và hìnhthức của nó, nội dung đó là cơ sở là mặt chính của sự vật còn hình thức là mặtphụ để thể hiện sự tồn tại trong thế giới sự vật mà thôi Vì nội dung là nhữngyếu tố những quá trình tạo nên sự vật, còn hình thức là những hệ thống tạo nênmối liên hệ tơng đối bền vững giữa các yếu tố của nội dung, và giữa chúng có

một mối quan hệ biện chứng với nhau Điều đó có nghĩa không có lôgic hìnhthức thì không tồn tại lôgic biện chứng và ngợc lại Giữa chúng không tồn tạitách rời nhau, nhng không phải vì thế mà lúc nào giữa chúng cũng phù hợp vớinhau Tuy nhiên sự thống nhất ở đây luôn luôn là mặt tích cực, có vai tròquyết định trong sự vận động của sự vật và hiện tợng Nh vậy sự thống nhấtcủa chúng trong t duy toán học tạo nên sự vận động biến đổi không ngừng củacác sự vật và hiện tợng

1.4 Các cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng các quan điểm biện chứng cho học sinh.

Nghị quyết Trung ơng 2 khoá VIII quy định nhiệm vụ và mục tiêu giáodục nh sau: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựngnhững con ngời và thế hệ làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại,

có t duy sáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi ” Từ đó ta thấy rằng quan điểmbiện chứng của t duy góp phần quan trọng trong việc rèn luyện t duy toán học.Thật vậy, theo quan điểm biện chứng của t duy Toán học là khi xem xét sự vậtphải xuất phát từ chính bản thân của sự vật hiện tợng, phải xem xét sự vật mộtcách khách quan, phải hiểu rõ bản chất của sự vật Đây là cơ sở để nhận thức

sự vật một cách đúng đắn, qua đó học sinh có thể làm chủ đợc tri thức khoahọc, và thực hành giỏi Điều này đòi hỏi học sinh nắm thật vững các thuộctính bản chất khái niệm, giả thiết và kết luận của định lí, và điều kiện đã chotrong Bài toán; Cần nhìn nhận và xem xét một cách đầy đủ và tất cả các tínhchất phức tạp của sự vật, xem xét trong các mối quan hệ biện chứng (liên hệbên trong và liên hệ bên ngoài) trong tổng thể những mối quan hệ liên thuộc;Phải xem xét sự vật trong sự mâu thuẫn và thống nhất từ đó giúp học sinh họcToán một cách chủ động sáng tạo, khả năng phát hiện vấn đề và giải quyếtvấn đề

1.4.1 Nói về vai trò của Toán học trong nhận thức khoa học, P Ănghen đã

viết : Muốn nhận thức biện chứng và đồng thời duy vật về tự nhiên, cần hiểu“

biết toán học và khoa học tự nhiên” 28, tr 48 Theo đó, Toán học không chỉ

là một lĩnh vực nhất định mà còn là một phơng pháp là một dạng nhất địnhcủa nhận thức khoa học, nó góp phần xây dựng các lí thuyết khoa học

Còn A N Côgôrốp khẳng định: “Về nguyên tắc thì phạm vi ứng dụng

ph-ơng pháp toán học không hạn chế: tất cả các dạng vận động đều có thể nghiên cứu theo kiểu toán học” 28, tr 195.

Khác với phơng pháp biện chứng, nó giúp nghiên cứu những nhân tố của sự

ổn định, tính không đổi trong sự vận động không ngừng của những đối tợng

đ-ợc nghiên cứu Còn phơng pháp biện chứng hoạt động trong nhận thức nh là

sự vận động tới nhng kết quả khoa học mới Qua đó phát hiện ra những quyluật vận động của nó trong Toán học

1.4.2 Nh vậy, qua dạy học Toán cho học sinh phổ thông mà góp phần vậndụng các quan điểm biện chứng của t duy toán học Điều này không chỉ giúpcho học sinh học Toán và các môn học khác của học sinh đang còn học ở môitrờng phổ thông đạt kết quả cao mà còn tạo điều kiện cho học sinh t duy mộtcách biện chứng để vận dụng trong cuộc sống hàng ngày

14.3 Tuy nhiên, việc góp phần vận dụng các quan điểm biện chứng qua dạyhọc Toán không phải là trình bày trực tiếp, một cách tờng minh các quy luật,các cặp phạm trù của nó trong dạy học mà vấn đề ở đây là góp phần tạo nềntảng, tạo cơ sở cho học sinh hiểu các quy luật, các cặp phạm trù của triết họcthông qua dạy học Toán Đến một chừng mực nào đó, khi đã đủ chất học sinh

có thể vận dụng kiến thức đó vào trong cuộc sống

1.5 Thực trạng vận dụng một số quan điểm biện chứng của t duy toán học ở trờng PT hiện nay.

1.5.1 Tình hình vận dụng phép biện chứng của t duy toán học ở trờng phổ thông

Qua điều tra phỏng vấn một số giáo viên cũng nh quá trình tìm hiểu, dựgiờ của các giáo viên ở trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ an Chúng tôi nhậnthấy tình hình vận dụng và rèn luyện phép biện chứng của t duy toán học ở tr-ờng phổ thông nh sau:

a) Khi dạy các kiến thức Toán học, hầu nh các giáo viên chỉ trình bày, giớithiệu kiến thức có trong sách giáo khoa, mà không có giải thích cụ thể đểhọc sinh hiểu rõ bản chất của các hiện tợng toán học Do vậy làm các em