Bồi dưỡng kỹ năng giải toán theo hướng phát triển tư duy thuật toán và phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phương trình, bất phương trình

Một số biện pháp nhằm góp phần bồi dỡng kỹ năng giải Toán theo hớng phát triển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học nội dung phơng trình, bất phơng t

- -BỒI DƯỠNG KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN

TƯ DUY THUẬT GIẢI VÀ PHÁT HUY TÍNH

SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG

QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGHÀNH SƯ PHẠM TOÁN

Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Thuận

Sinh viên thực hiện: Trần Thị Thái Hòa

Vinh, 2009

Tác giả trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Phơng pháp giảng dạy Toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu; các Thầy, Cô giáo trong Tổ Toán, Trờng THPT Hơng Sơn, Hà Tĩnh đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành Khoá luận

Sự quan tâm, giúp đỡ của gia đình và bạn bè là nguồn động viên, cổ vũ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện đề tài

Vinh, tháng 05 năm 2009

Tỏc giả Trần Thị Thái Hoà

Mục lục

Trang

Mở đầu 1

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 4

1.1 T duy T duy toán học 4

1.2 T duy thuật giải 5

1.3 T duy sáng tạo 6

1.4 Vai trò và mối quan hệ giữa t duy thuật giải, t duy sáng tạo trong giải Toán .9

Chơng 2 Một số biện pháp nhằm góp phần bồi dỡng kỹ năng giải Toán theo hớng phát triển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo cho học sinh thông

qua dạy học nội dung phơng trình, bất phơng trình 11

2.1 Khái niệm kỹ năng 11

2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh 13

2.3 Một số nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải cho học sinh 17

2.4 Phơng hớng chủ yếu bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho học sinh .19

2.5 Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh các kỹ năng thành phần khi giải phơng trình, bất phơng trình 21

2.6 Biện pháp 2: Truyền thụ cho học sinh những tri thức phơng pháp về t duy thuật giải và t duy sáng tạo trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động 37

2.7 Biện pháp 3: Xây dựng quy trình dạy học phơng trình, bất phơng trình theo hớng phát triển t duy thuật giải và t duy sáng tạo 46

2.8 Biện pháp 4: Sử dụng hợp lý hình thức dạy học phân hoá 53

Chơng 3 Kiểm nghiệm s phạm 58

3.1 Mục đích kiểm nghiệm 58

3.2 Nội dung kiểm nghiệm 58

3.3 Đánh giá kết quả kiểm nghiệm 62

3.3.1 Đánh giá định tính 62

3.3.2 Đánh giá kết quả định lợng 62

3.4 Kết luận về sự kiểm nghiệm 63

Kết luận 64

Tài liệu tham khảo 65

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay là hớng vàoviệc tổ chức cho ngời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực,chủ động và sáng tạo Cố Thủ tớng Phạm Văn Đồng đã nhiều lần căn dặn thầy giáo, côgiáo: “ phải nhắc lại nghìn lần ý muốn lớn của chúng ta trong giáo dục là đào tạo những thế hệ trẻ thông minh sáng tạo ” .

Theo A A Stôliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học “ ” Trong môn Toán ở

trờng phổ thông, có nhiều tình huống điển hình nhng có thể xem giải Toán là hình

thức chủ yếu của hoạt động Toán học, bởi vì các bài tập toán là một phơng tiện rất hiệu

quả và không thể thay thế đợc - thông qua đó học sinh thực hiện những hoạt động nhnhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phơng pháp, những hoạt động toánhọc phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệchung và những hoạt động ngôn ngữ giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy,hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn cuộc sống

Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiẻu biết củangời giải toán Có ngời mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách khác, trong khi cóngời lại có thể tìm đợc cách giải rất nhanh Vậy đâu là bí quyết cho kĩ năng giải toánnhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng nh thế nào, theo hớng nào? Những con

đờng mà ngời giải toán có thể trải qua để đi đến các lời giải thoả đáng là gì? Do vậy,bồi dỡng kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, nóphải đợc tiến hành có kế hoạch, thờng xuyên, bền bỉ, liên tục qua tất cả các lớp

Phơng trình và bất phơng trình có vị trí quan trọng trong chơng trình môn ToánTHPT Kiến thức và kĩ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp.Những kiến thức về phơng trình và bất phơng trình còn là chìa khoá để giải quyết

nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học Vìvậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phơng trình, bất phơngtrình một cách đầy đủ theo quy định của chơng trình, việc bồi dỡng kỹ năng giải phơngtrình và bất phơng trình cho học sinh có ý nghĩa trong việc nâng cao chất lợng dạy họcnhiều nội dung môn Toán ở trờng THPT.

Đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về giải Toán và kỹ năng giải Toán Những côngtrình này đều khẳng định sự cần thiết phải bồi dỡng kỹ năng giải toán Dựa trên nhữngkết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề bồi dỡng kỹ năng giải toán theohớng t duy thuật giải và t duy sáng tạo

Vì những lí do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Bồi dỡng kỹ năng giải Toán theo hớng phát triển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phơng trình, bất phơng trình ”

2 Mục đích, nhiệm vụ và phơng pháp nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hoá một số vấn đề về t duy thuật giải, t duy sáng tạo, về kỹ năng và

kỹ năng giải Toán của học sinh Trung học phổ thông

- Xây dựng một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng giải Toán theo hớngphát triển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạyhọc phơng trình, bất phơng trình

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đợc mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa họcsau:

- T duy thuật giải, t duy sáng tạo là gì và vì sao nó cần phát triển ở học sinhtrong môn Toán?

- Để phát triển t duy thuật giải, t duy sáng tạo cho học sinh cần có những định ớng s phạm nào?

h Có thể xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm nhằm góp phần rèn luyện

kỹ năng giải Toán theo hớng phát triển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo chohọc sinh đợc không?

- Kết quả kiểm nghiệm nh thế nào?

2.3 Phơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu, tham khảo các tài liệu, giáo trình,sách giáo khoa, sách giáo viên, … và các tài liệu liên quan khác và các tài liệu liên quan khác

- Điều tra quan sát: Khảo sát thực tiễn ở trờng phổ thông, dùng các phơng pháp

hỗ trợ nh: Quan sát, ghi chép, thăm dò ý kiến giáo viên

- Kiểm nghiệm s phạm: Tổ chức kiểm nghiệm s phạm để xem xét tính khả thi vàhiệu quả các biện pháp đã đề xuất

3 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng đợc một số kỹ thuật và biện pháp thích hợp trong quá trình dạy

học về Phơng trình và Bất phơng trình, thì có thể rèn luyện đợc kỹ năng giải Toán theohớng phát triển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo cho học sinh, góp phần nângcao chất lợng dạy học Toán ở trờng Trung học phổ thông

4 Những đóng góp của khoá luận

- Về mặt lý luận: Góp phần hệ thống hoá, làm sáng tỏ một số vấn đề về t duythuật giải, t duy sáng tạo và kỹ năng giải Toán trong dạy học

- Về mặt thực tiễn: Xây dựng một số biện pháp có tác dụng bồi dỡng kỹ nănggiải Toán, đáp ứng đợc yêu cầu đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay

5 Cấu trúc khóa luận

Khoá luận, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chơng:Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chơng 2: Một số biện pháp góp phần bồi dỡng kỹ năng giải Toán theo hớng pháttriển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy họcphơng trình, bất phơng trình

Chơng 3: Kiểm nghiệm s phạm

Chơng 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 T duy T duy toán học

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ngời cha biết Nhiệm vụ của cuộcsống và hoạt động thực tiễn đòi hỏi con ngời phải hiểu biết cái cha biết đó ngày mộtsâu sắc, đúng đắn và chính xác, phải vạch ra những cái bản chất những quy luật tác

động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là t duy

T duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất những mối liên hệ

và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan

mà trớc đó ta cha biết (theo Tâm lý học đại cơng – Nguyễn Quang Uẩn)

Theo Từ điển Triết học, “t duy là sản phẩm cao nhất của vật chất đợc tổ chức

một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực của thế giới khách quantrong các khái niệm, phán đoán, lí luận T duy xuất hiện trong quá trình sản xuất xãhội của con ngời và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp và phản ánh những

mối liên hệ hợp quy luật T duy chỉ tồn tại trong những mối liên hệ không thể tách rờikhỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời chonên t duy của con ngời đợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và nhữngkết quả t duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho t duy là những quá trình nhtrừu tợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cáchgiải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm, kết quả của quá trình tduy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.

Từ đó ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của t duy:

- T duy là sản phẩm của bộ não con ngời và là quá trình phản ánh tích cực củathế giới khách quan

- Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiện quangôn ngữ

- Bản chất của t duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tợng đợc phản

ánh với những hình ảnh nhận thức đợc qua khả năng hoạt động của con ngời nhằmphản ánh đối tợng

- T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong t duy đợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tínhnày đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời

Nh vậy, t duy giúp con ngời nắm đợc bản chất và quy luật vận động của tự nhiênxã hội và con ngời, t duy có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm tính làm cho

nó có ý nghĩa hơn trong cuộc sống, t duy vận dụng những cái đã biết để đề ra giải phápgiải quyết những cái tơng tự, do đó tiết kiệm dợc công sức

T duy toán học đợc hiểu là quá trình nhận thức toán học, phản ánh những thuộctính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các đối t -ợng toán học mà trớc đó ta cha biết Sản phẩm của t duy toán học là những tính trừu t-ợng cao, có tính khoa học, tính lôgic chặt chẽ, các tri thức có mối quan hệ mật thiết và

hỗ trợ lẫn nhau, đợc biểu đạt bằng ngôn ngữ viết (kí hiệu, biểu thức, công thức, … và các tài liệu liên quan khác.)

1.2 T duy thuật giải

T duy thuật giải (thể hiện trong môn Toán) là hình thức biểu lộ của t duy biệnchứng trong quá trình con ngời nhận thức khoa học Toán học, hay thông qua hình thức

áp dụng Toán học vào các khoa học khác

T duy thuật giải là một loại hình thức t duy toán học Nó là phơng thức t duybiểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:

T1 Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải.

T2 Phân tích một quá trình hoạt động những thao tác đợc thực hiện theo một trình tự xác định.

T3 Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tợng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tợng.

T4 Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.

T5 Phát hiện thuật giải tối u để giải quyết công việc.

Trong đó T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, T2 - T5 thể hiện năng lựcxây dựng thuật giải

Khái niệm t duy thuật giải đợc xác định nh trên là hoàn toàn phù hợp với nhữngkết quả nghiên cứu về văn hoá hình thành thuật giải Tác giả B V Mônakhôv (trong

cuốn Hình thành văn hoá thuật giải cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn

Toán) đã nêu lên những thành phần văn hoá thuật giải bao gồm :

- Hiểu bản chất thuật giải và những tính chất của nó, hiểu bản chất ngôn ngữ làphơng tiện biểu diễn thuật giải

- Nắm vững các phơng tiện và phơng pháp biểu diễn thuật giải

- Hiểu tính chất thuật giải của các phơng pháp toán học và các ứng dụng củachúng, nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông

- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử

Nh vậy, phát triển t duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần hìnhthành và phát triển văn hoá thuật giải cho học sinh Từ khái niệm về t duy thuật giải tathấy rằng để phát triển t duy thuật giải cho học sinh trong dạy học Toán, giáo viên phải

tổ chức điều khiển các hoạt động t duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp họcsinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển t duy thuật giải cho học sinh

Các nhà nghiên cứu đa ra rất nhiều quan điểm khác nhau về t duy sáng tạo Theo

I Ia Lecne có hai kiểu t duy cá nhân: một kiểu gọi là t duy tái hiện hay tái tạo, kiểukia gọi là t duy mới hay sáng tạo

Theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của t duy sáng taọ thì đó là t duytạo ra cái mới T duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới và các phơngthức hoạt động

Theo Giáo s Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán lànhững điều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khácnhau của t duy sáng tạo Tính sáng tạo của t duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cáimới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mớikhông có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thờng nảy sinh bắt nguồn từ cái cũ, nhng vấn

đề là nhìn cái cũ nh thế nào Các khái niệm nhóm, vành, trờng chẳng qua là một sựtrừu tợng hoá, khái quát hoá những đối tợng, những quan hệ và những tính chất đã thấytrên một số tập hợp số Nhng rõ ràng việc đi từ khái niệm tập hợp số tới khái niệmnhóm, vành, trờng là một sự sáng tạo lớn Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩrất táo bạo nhng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận chứ không phải nghĩ liều làm liều”

Tóm lại t duy sáng tạo là t duy tạo ra những tri thức mới về thế giới và các

ph-ơng thức hành động Trong dạy học toán ở trờng phổ thông, biểu hiện sáng tạo của họcsinh là khả năng tiếp thu nhanh chóng kiến thức mới, nắm vững một cách sâu sắc vàtoàn diện kiến thức cũ, biết vận dụng một cách linh hoạt, mềm dẻo vào việc giải quyếtcác vấn đề mới, trên cơ sở đó biết tìm tòi và đi đến những cái mới hơn, toàn diện hơn

Theo G Pôlya “Giải các bài toán là một hoạt động sáng tạo, còn việc tìm ra lờigiải là một quá trình phát minh Hãy học sáng tạo và phát minh trong quá trình giải cácbài toán”

Khi nghiên cứu về cấu trúc của t duy sáng tạo, các nhà tâm lý học đã đa ra một

số đặc trng cơ bản sau:

1.3.1 Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của t duy là năng lực dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ nàysang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác t duy này sang thao tác t duy khác, vận dụnglinh hoạt các hoạt động toán học nh phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, … và các tài liệu liên quan khác vàcác phơng pháp suy luận nh quy nạp, suy diễn, tơng tự, … và các tài liệu liên quan khác., dễ dàng chuyển từ giảipháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hớng suy nghĩ khi gặp trở ngại Tínhmềm dẻo của t duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng nhanh chóng trật tự của hệ thốngtri thức, chuyển từ góc độ quan điểm này sang góc độ quan điểm khác; định nghĩa lại

sự vật hiện tợng, gạt bỏ sơ đồ t duy có sẵn và xây dựng phơng pháp t duy mới, tạo ra sựvật mới trong những quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật

và điều phán đoán

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn là một yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo Nó đợc thể hiện rõnét ở hai đặc trng sau:

- Một là, tính đa dạng của cách xử lý giải Toán

- Hai là, xem xét đối tợng dới những khía cạnh khác nhau, một cái nhìn sinh

động từ nhiều phía đối với sự vật hiện tợng chứ không phải là cái nhìn bất biến, phiếndiện cứng nhắc

Nói đến tính nhuần nhuyễn của t duy là nói đến năng lực tao ra một số lợng nhất

định các ý tởng, năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng

lẻ của các tình huống hoàn cảnh đa ra giả thuyết mới

1.3.3 Tính độc đáo

Theo định nghĩa chung nhất của t duy sáng tạo thì đó là t duy tạo ra cái mới, cáimới cả vật chất lẫn tinh thần Sự mới mẻ là tiêu chí rõ nhất của t duy sáng tạo Tính

độc đáo của t duy thể hiện ở:

- Những khả năng tìm ra giải pháp hay, lạ tuy đã biết những giải pháp khác

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ bên trong những sự kiện bên ngoài tởng nhkhông có liên hệ gì với nhau

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, cha tối u từ đó có nhucầu cấu trúc lại tạo ra cái mới

Dạy học giải Toán là một hoạt động đầy tiềm năng để hình thành và phát triểnnăng lực giải Toán cho học sinh Dựa vào kinh nghiệm vốn có của mình học sinh huy

động kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo liên quan đến bài toán cần giải quyết Sàng lọc lựachọn những kiến thức thích hợp để xây dựng kế hoạch giải toán Đó là hoạt động tíchcực, tự giác, chủ động của học sinh hoặc có sự tác động s phạm của giáo viên Giáoviên định hớng cho học sinh làm quen với cách thức suy nghĩ đã sử dụng để xây dựng

kế hoạch giải toán và học sinh thực hiện cách giải bằng cách phát hiện và giải quyếtvấn đề

Quá trình giải Toán không chỉ dừng lại ở những bài toán có tính chất thuật giải

mà còn hớng cho học sinh suy nghĩ đến những bài toán mới, cách giải mới

Phát triển t duy thuật giải trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt và nội dungphơng trình, bất phơng trình chứa đựng khả năng to lớn về phát triển t duy thuật giải

Đồng thời, phát triển t duy thuật giải là mục đích của việc dạy học Toán ở trờng phổthông Thật vậy:

- T duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các

kĩ năng toán học

- T duy thuật giải phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ (nhphân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khái quát hoá, ) cũng nh những phẩm chất trí tuệ(nh tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo)

- T duy thuật giải giúp học sinh hình dung đợc quá trình tự động hoá diễn ratrong các lĩnh vực khác nhau của con ngời, trong đó có lĩnh vực xử lí thông tin

Khi học sinh giải Toán, đối với các bài toán có thể giải bằng thuật giải thì tínhsáng tạo đợc thể hiện ở việc lựa chọn thuật toán, tìm kiếm hoặc bổ sung các thuật toánmới, tìm ra các ứng dụng của thuật toán trong tin học, máy tính … và các tài liệu liên quan khác một bài toán cụ thể

có thể giải đợc bằng một phơng pháp cụ thể nhng trong từng bứơc lại có sự sáng tạohình thành các ý tởng mới, độc đáo, khác lạ làm cho tiến trình giải toán ngắn gọn hơn

Phát triển t duy thuật giải gắn liền với phát triển t duy sáng tạo Đây là mối quan

hệ biện chứng thể hiện quy luật tính thống nhất trong các mặt đối lập trong tiến trình

đi đến kết quả tối u

Trong số những mục đích của dạy học thì việc phát triển năng lực t duy sángtạo, năng lực tự giải quyết vấn đề cho học sinh là những mục đích rất quan trọng Tuynhiên các năng lực trên chỉ đợc phát triển nếu liên hệ với một thuật giải, một quy trìnhnào đó quen thuộc Tính sáng tạo “nằm ngay trong” tính thuật giải Nếu hiểu thuật giải

là thực hiện tổ hợp các thao tác T1- Tn theo một trình tự nhất lôgic xác định để đi đến

kết quả Tn thì tính sáng tạo thể hiện ở những bớc chuyển tiếp Ti- Ti-1 và ở việc từalgôrit tổng quát để lựa chọn một algôrit cụ thể.

1.5 Kết luận Chong 1

Trong Chơng 1, Khoá luận đã hệ thống một số vấn đề về t duy thuật giải, t duysáng tạo, nêu lên vai trò và mối quan hệ giữa t duy thuật giải, t duy sáng tạo trong giảiToán, qua đó thấy rằng: Quan niệm về t duy toán học cũng nh sự phân loại chúng cònkhá đa dạng Phát triển t duy toán học nói chung, các loại hình t duy khác nói riêng lànhiệm vụ rất quan trọng, nó vừa là mục đích, vừa là phơng tiện của dạy học môn Toán

ở trờng phổ thông

Chơng 2 Một số biện pháp nhằm góp phần bồi dỡng kỹ năng giải toán theo hớng phát triển t duy thuật giải

và phát huy tính sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học nội dung phơng trình, bất phơng trình 2.1 Khái niệm kỹ năng

Theo Tâm lí học lứa tuổi và Tâm lí học s phạm của A V Pêtơrôpxki thì: “Kỹ

năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp, … và các tài liệu liên quan khác.) để giảiquyết một nhiệm vụ mới”

Tâm lý học đại cơng của Nguyễn Quang Uẩn cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử

dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để pháthiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lýluận hay thực hành xác định”

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu

nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó trong thực tế”

Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm vụ mới.Trong thực tế dạy học học sinh thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm,cách thức, phơng pháp, … và các tài liệu liên quan khác.) vào giải quyết các bài tập cụ thể Học sinh thờng khó tách

ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tợng nhận thức, không phát hiệnnhững thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tợng

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc tính bảnchất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định Do đó cần lựa chọnnhững thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành động, để hành động biến đổi

đối tợng đạt mục tiêu Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹnăng) tuỳ thuộc vào khả năng nhận dạng bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong dữ liệu đã

cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giảibài toán đã cho.

Ví dụ 2: Giải phơng trình

26 15 3  x2 7 4 3  x 2 2 3x1Cần phải quan sát phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phơng trình, từ đóphát hiện đợc mối quan hệ bản chất của bài toán

2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ thông thì việc truyền thụkiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện đợc phảidựa trên mục đích này Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không đợc củng cố, mởrộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các nghành khoa học khác, nếu không chútrọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tơng ứng

Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là mộtyêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành Sự hình thành kỹ năng đó

là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏnhững thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với nhữnghành động cụ thể

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm,

định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việcgiải bài tập

Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách cho học sinh (Theo phát

biểu của GS Nguyễn Cảnh Toàn) Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải Toán chohọc sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy Toán, giúphọc sinh hiểu sâu sắc kiến thức Toán trong trờng phổ thông, đồng thời rèn luyện cho

học sinh các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó bồi dỡng các phẩm chất trí tuệ,phát triển năng lực giải Toán cho học sinh.

Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tácnhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập trong nhiệm vụ

và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đờng khác nhau nh:

Con đờng thứ nhất: Sau khi cung cấp truyền thụ cho học sinh vốn tri thức cần

thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức

độ tăng dần

Con đờng thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trng, từ đó có thể định hớng một số

dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó

Con đờng thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận

- Kỹ năng vận dụng Toán học vào những môn học khác nh Vật lý, Hoá học, … và các tài liệu liên quan khác

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống

Ví dụ 3: Giải phơng trình

 2  2   2  2 

x  x x  x  x  x x  xKhi gặp bài toán này thông thờng học sinh nhân các số hạng với nhau, sau đó

đơn giản rồi giải, nh vậy sẽ rất phiền phức Chịu khó suy nghĩ, chú ý đến đặc điểm

ph-ơng trình, các hệ số có mặt ở hai vế phph-ơng trình, dùng phph-ơng pháp xác định hệ số đểgiải

Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tích đặc điểmphơng trình Phơng trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thành tỉ lệ:

Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:

1

503

Nh vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng bài toán.

Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn sâu trongbài toán

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹnăng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dỡng t duy toán học cho họcsinh

2.3 Một số nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải cho học sinh

Để dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải đảm bảo chất lợng và đạt hiệuquả cần phải dựa trên một số nguyên tắc sau:

Nguyên tắc 1: Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải đáp ứng đợc

mục đích của việc dạy, học Toán ở nhà trờng phổ thông.

Mục đích của việc dạy học Toán ở nhà trờng phổ thông là: giúp học sinh lĩnhhội và phát triển một hệ thống kiến thức, kĩ năng, thói quen cần thiết cho cuộcsống,cho học tập Hình thành và phát triển các phẩm chất t duy (t duy lôgic, t duy thuậtgiải, t duy trừu tợng, … và các tài liệu liên quan khác.) cần thiết của một con ngời có học vấn trong xã hội hiện đại.Góp phần quan trọng trong việc hình thành thế giới quan khoa học Toán học, hiểu đợcnguồn gốc thực tiễn của Toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hoávăn minh nhân loại cũng nh những tiến bộ của khoa học kĩ thuật

Để đạt đợc những mục đích to lớn đó, những năm gần đây ngành Giáo dục -Đàotạo liên tục đổi mới chơng trình sách giáo khoa, phơng pháp dạy học Do đó dạy họctheo hớng phát triển t duy thuật giải là một trong những phơng pháp dạy học đáp ứng

đợc mong muốn đó

Nguyên tắc 2: Dạy học theo hớng phat triển t duy thuật giải phải dựa trên định

hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay.

Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho ngời học đợchọc tập trong hoạt động và bằng hoạt động: tự giác tích cực và sáng tạo (hoạt động hoángời học) Phù hợp với định hớng đổi mới đó có thể trình bày một số xu hớng dạy họckhông truyền thống nh : dạy học giải quyết vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tìnhhuống, dạy học theo thuyết kiến tạo, dạy học chong trình hoá, dạy học với công cụmáy tính điện tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động, … và các tài liệu liên quan khác.

Vì vậy, dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải dựa trên định hớng đổimới phơng pháp dạy học hiện nay

Nguyên tắc 3: Dạy học theo hớng phat triển t duy thuật giải phải đảm bảo sự

tôn trọng kế thừa và phát triển tối u chơng trình sách giáo khoa hiện hành.

Chơng trình và sách giáo khoa môn toán đợc xây dựng trên cơ sơ kế thừa nhữngkinh nghiệm ở trong và ngoài nớc theo một hệ thống nhất quán về phơng diện toán họccũng nh về phơng diện s phạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trongnhiều năm và đợc điều chỉnh nội dung cũng nh chơng trình nhiều lần sao cho phù hợpvới thực tiễn giáo dục ở nứơc ta

Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải đảm bảo sự tôn trọng kế thừa

và phát triển tối u chơng trình sách giáo khoa hiện hành

Nguyên tắc 4: Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải góp phần đắc

lực hình thành nhân cách con ngời ở thời đại mới.

Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con ngời phải năng động, tự chủ, sáng tạo kỉluật biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc xã hội Do đó, dạy học theo h ớng phat triển

t duy thuật giải góp phần quan trọng trong việc phát triển nhân cách ngời học Cùngvới việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng toánhọc, dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải còn có tác dụng góp phần phát triểnnăng lực trí tuệ chung nh phân tích tổng hợp, trừu tợng hoá, khái quát hoá… và các tài liệu liên quan khác và nhữngphẩm chất của ngời lao động mới nh: tính cẩn thận, chính xác tính kỉ luật, tính phêphán, tính sáng tạo, bồi dỡng óc thẩm mĩ cho học sinh

Nguyên tắc 5: Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải phát huy tính

tích cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi trờng giáo dục

và thực tiễn học sinh.

Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học đảm bảo sự

thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể đợc thực hiện dựa trên Lý

thuyết về vùng phát triển gần nhất của L X Vgôtxki.

Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh đợc tri thức rèn luyện đợc kĩ năng, kĩxảo nhng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triểncủa học sinh Hơn nữa, trong quá trình dạy học những yêu cầu phải hớng vào vùngphát triển gần nhất tức là phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới thời điểm đó,không thoát ly cách xa trình độ này, nhng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấuvơn lên thì mới thực hiện đợc nhiệm vụ đặt ra

Nguyên tắc 6: Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải kết hợp chặt

chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính trật tự với tính linh hoạt và sáng tạo.

Để đào tạo những con ngời có đầy đủ các phẩm chất của ngời lao động mới đòihỏi trong quá trình dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải bên cạnh cho học sinhtập luyện tốt các hoạt động t duy thuật giải cần làm cho học sinh biết cách tìm tòi,sáng tạo thông qua việc khai thác ứng dụng của một số nội dung kiến thức hay nhữngbài tập đòi hỏi tính linh hoạt, tính tích cực trong t duy của học sinh

2.4 Phơng hớng chủ yếu bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho học sinh.

2.4.1 Bồi dỡng t duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác.

Việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh cần đợc tiến hành trong mối quan hệhữu cơ với các hoạt động trí tuệ nh: phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự, trừu tợnghoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá; trong đó phân tích và tổng hợp đóng vaitrò nền tảng

Để bồi dỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của t duy, học sinh cần đợc luyệntập thờng xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đốitợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, trong những mối liên hệ khác nhau Trên cơ sở sosánh các trờng hợp riêng lẻ, dùng phép tơng tự để chuyển từ trờng hợp riêng này sangtrờng hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tợng hoá, làm rõ mốiquan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm đợc bằng đặc biệt hoá và

hệ thống hoá, ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạo khảnăng tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm

ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau,khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dỡng tínhnhuần nhuyễn cũng nh tính độc đáo của t duy

2.4.2 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tởng mới.

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phơng pháp tập dợt nghiên cứu, trong đógiáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thứcmới Chú ý thờng xuyên tập dợt cho học sinh suy luận có lý (thông qua quan sát, sosánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tơng tự, … và các tài liệu liên quan khác.) để có thể tự mình tìm tòi, dự

đoán đợc những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn

đề, dự đoán đợc các kết quả, tìm đợc hớng giải của một bài toán, hớng chứng minhmột định lý Nói cách khác là tăng cờng cả hai bớc suy đoán và suy diễn trong quátrình dạy Toán

Về thực hành dạy toán, cần coi trọng các bài tập trong đó cha rõ điều phải chứngminh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

2.4.3 Chú trọng bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dỡng từng yếu tố của t duysáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nội dungcác vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lạivấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các kháiniệm, các mệnh đề, tránh đợc lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sángtạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của t duy sáng tạonh: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát đểkhắc phục “tính ỳ” (hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới);những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phơngpháp này sang phơng pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch

đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tởng ngợc xảy ra

đồng thời với các liên tởng thuận; những bài toán “không theo mẫu mực”., không đa

đ-ợc về các loại toán bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chơng trình… và các tài liệu liên quan khác

2.4.4 Bồi dỡng t duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dỡng t duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thờng xuyên hếttiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quátrình dạy học, trong nội khoa cũng nh các hoạt động ngoại khoá Cần tạo cho học sinh

có dịp đợc rèn luyện t duy sáng tạo trong việc toán học hoá các tình huống thực tế,trong việc viết báo toán với những đề toán tự sáng tác, những cách giải mới, những kếtquả mới khai thác từ các bài tập đã giải

2.5 Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh các kỹ năng thành phần khi giải phơng trình, bất phơng trình

Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức, từng nộidung môn học Nhng tựu trung lại cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng cơ bảnnh: Kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay, kỹ năng xử sự(theo cách phân loại của De Ketele) Đây là những kỹ năng không chỉ đợc rèn luyệnkhi giải phơng trình, bất phơng trình mà còn đợc rèn luyện trong suốt chơng trình phổthông, ở tất cả các nội dung, tất cả các môn học Tất nhiên sự phân chia này chỉ có tíchchất tơng đối, khi dạy học ta thờng rèn luyện kỹ năng ở dạng “phức hợp” tức là trênmột nội dung kiến thức cụ thể, ta không chỉ rèn luyện một kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vìmột kỹ năng có thể là hỗn hợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản

Chẳng hạn, kĩ năng vẽ đồ thị bao gồm cả kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt độngchân tay và kỹ năng xử sự Vì để vẽ đợc đồ thị ngời ta không những cần phải biết vẽ

nh thế nào? (kỹ năng nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ đợc đồ thị (kỹnăng hoạt động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự) Đối với chủ

đề phơng trình, bất phơng trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thànhphần thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng Có thể kể ra một số kỹ năngthành phần sau:

- Nhận dạng bài toán thông qua thiết lập sự tơng ứng giữa các số hay thamsốtrong bài toán (tham số thực) với các tham số cho trong kiến thức lý thuyết về dạng ph-

b. Giải và biện luận phơng trình

- Yêu cầu học sinh xác định dạng phơng trình, các hệ số a, b, c của phơng trìnhtrong trờng hợp m 3? Cách giải?

- Đa ra các câu hỏi gợi ý nh :

Hỏi: Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai khi nào?

Hỏi : Phơng trình (1) suy biến khi nào? Giải phơng trình trong trờng hợp này?

Sự thay đổi của tham số có thể kéo theo về sự thay đổi về số nghiệm của ph ơngtrình, có thể sự thay đổi của tham số trong một khoảng nào đó không làm thay đổi về

số nghiệm mà chỉ có thể thay đổi về giá trị nghiệm

Bên cạnh việc tập luyện cho học sinh áp dụng thành thạo một quy tắc tổng quátnào đó áp dụng cho mọi bài toán cùng loại, cần lựa chọn một số bài toán dựa vào sựphân tích tính đặc thù riêng có thể giải đợc bằng phơng pháp riêng đơn giản hơn khi ápdụng giải theo quy tắc tổng quát

Chẳng hạn, sau khi học công thức giải phơng trình bậc hai và sau khi cho họcsinh luyện tập áp dụng công thức đó, ta cho học sinh giải phơng trình:

A = 0 hoặc B = 0, để có ngay nghiệm 1 2

Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng

ph-ơng trình mẫu đó là:

- Nắm vững quy tắc giải.

- Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định.

- Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học.

Nh vậy, nếu phơng trình cho ở dạng mẫu mực, cơ bản học sinh chỉ cần nhậndạng, chọn cách giải ứng với mỗi dạng phơng trình Nhng có những phơng trình mớichỉ nhìn qua học sinh cha nhìn ra dạng chuẩn mực thì cần biến đổi đơn giản (có thể)

đa về dạng chuẩn mực đã học Chẳng hạn nh các bài toán phơng trình quy về phơngtrình bậc nhất, bậc hai, … và các tài liệu liên quan khác

Ví dụ 6: Giải phơng trìnhcos 2x3sin 2x2

Mới nhìn qua bài toán này học sinh cha thấy ngay dạng đã học, nhng chỉ cầnbiến đổi lợng giác đơn giản nhờ nhớ lại công thức cos2a 1 2sin2a thì lại có thể đa

về dạng đã học

Cần đa ra những bài toán mà khi giải học sinh không chỉ cần vận dụng một dạngphơng trình mẫu mà phải vận dụng kết hợp các dạng phơng trình mẫu mới giải đợc.Bên cạnh các dạng toán đã có sẵn thuật giải nh SGK đã trình bày, cần trình bày chohọc sinh thói quen tự tìm tòi các dạng phơng trình, bất phơng trình từ bài toán cụ thể,

đề xuất bài toán tổng quát, xây dựng quy tắc làm Vì việc nêu ra tất cả các dạng phơng

trình mẫu là điều không thể thực hiện đợc, hơn nữa làm nh vậy sẽ tạo ra “sức ỳ ” cho

học sinh

Ví dụ 7: Giải phơng trình

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9Hớng dẫn học sinh giải:

ở bài toán này, chắc chắn ý định khai triển vế trái, biến đổi da phơng trình vềdạng: ax4bx3cx2dx e 0(a0), rồi thực hiện giải Nh vậy học sinh sẽ gặpnhiều khó khăn vì học sinh mới chỉ học giải phơng trình trùng phơng

- Hãy nhận xét các hệ số có mặt trong các thừa số ở vế trái?

1 + 7 = 3 + 5 = 8

- Hãy đa ra cách biến đổi thích hợp để các biểu thức gần nhau hơn!

ở vế trái, ghép các thừa số thứ nhất và thừa số thứ t, thừa số thứ hai và thừa sốthứ ba ta đợc:



  Điều kiện

24

Thật vậy: Vì x 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên chia cả hai vế

Trở về giải x ta đợc: 1 2

2

x 

Tổng quát hoá dạng toán? Có thể nêu ra cách giải cho toán này đợc không?

Căn cứ vào mối quan hệ giữa các hệ số của phơng trình cụ thể trên

28

, có thể tổng quát hoá bài toán:

Giải phơng trình ax4bx3cx2dx e 0 với giả thiết

2

d e b

2.5.2 Rèn kỹ năng biến đổi phơng trình

Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ vấn đề quan trọng của việc rèn luyện kỹ năngbiến đổi phơng trình, hầu nh khi tiến hành giải phơng trình, ngời ta thờng tìm cáchbiến đổi phơng trình đó về phơng trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phơng trình

đã biết cách giải, có thể biến đổi phơng trình đó về phơng trình tơng đơng với phơngtrình đã cho hoặc là phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho Lu ý rằng quá trình

biến đổi phơng trình, bất phơng trình là một quá trình mang tính “động” Trong quá trình “động” đó ta khai thác yếu tố “tĩnh” để đạt đợc mục đích (là tìm nghiệm) Cái

thay đổi trong phơng trình, bất phơng trình là hình thức, là dạng, là loại phơng trình vàbất phơng trình Mục đích của sự biến đổi là giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữbất biến tập nghiệm hay kiểm soát đợc sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu

có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại đợc các nghiệm đã bị gạt

bỏ trong quá trình biến đổi

Khi đã đa đợc phơng trình đã cho về các dạng phơng trình mẵu thì sự tơng ứngxuất hiện giữa dạng phơng trình với các kỹ thuật tính toán, biến đổi tập nghiệm chúngtôi đã trình bày ở trên đợc thể hiện

Câu hỏi đặt ra: Hãy xét mối quan hệ giữa các phơng trình trong quá trình biến

đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của các phơng trình đó thay đổi ra sao?

Muốn vậy, học sinh phải xác định đợc các phép biến đổi sử dụng khi “biến đổi”.

nắm vững các loại phép biến đổi hệ quả và nắm vững các kiến thức đã học, dù khôngliên quan trực tiếp đến biến đổi phơng trình Chẳng hạn: Với 0 a 1 thì a p a q 

p q còn nếu a  1 thì a pa q với mọi giá trị của pvà q

Từ đó, ta biết đợc quan hệ giữa các phơng trình:

(1) (2) (3) (4) (5)Dựa vào sơ đồ trên học sinh dễ dàng biết đợc diễn biến của các tập nghiệm, do

đó kết luận đợc: Nếu thay phơng trình (1) bởi phơng trình (5) thì có thể vừa thừanghiệm vừa thiếu nghiệm Vậy khắc phục điều đó ra sao?

- Thử các giá trị 1 và 2 vào phơng trình (1) loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có),thấy chỉ một giá trị 1 thoã mãn (khắc phục thừa nghiệm)

- Thử các giá trị của x làm cho cơ số luỹ thừa nhận giá trị 1, khắc phục thiếunghiêm do việc biến đổi từ (1) sang (2) ta đợc x 3 thoã mãn (1)

Kết luận: Phơng trình đã cho có hai nghiệm là x 1 và x 3

Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi nói chung, kỹ năng biến đổi phơng trình nóiriêng, đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm chắc các khái niệm cơ bản và kiếnthức cơ sở, coi trọng học các khái niệm, hiểu rõ những điều cốt lõi của khái niệm, hiểu

đợc cách vận dụng chúng để giải bài tập và đề phòng những sai lầm thờng gặp Chẳnghạn, giá trị tuyệt đối của số thực x là x  , giá trị tuyệt đối của số thực 0 x phải dựa

vào quan hệ của nó với số không để biện luận Do đó khi gặp phơng trình, bất phơng

trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, hớng suy nghĩ cơ bản khi làm loại toán này là khử dấugiá trị tuyệt đối Muốn vậy, cần phải dựa vào ý nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu, phơngpháp cụ thể là phơng pháp điểm không.

Tuy nhiên, khi tìm giá trị tuyệt đối phải đề phòng vận dụng khái niệm một cáchhình thức dẫn đến sai lầm có tính lý thuyết nh: Giải và biện luận phơng trình x3 m

thì không phải là chia ra ba trờng hợp x > 0, x 0 và x < 0 để biện luận mà phải căn

cứ theo x> 3, x 0 và x < 0 để giải ở đây học sinh đã hiểu một cách máy móc, hìnhthức dẫn đến sai lầm trong phân chia trờng hợp và sai lầm không tránh khỏi khi biến

đổi phơng trình, bất phơng trình

Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng “biến đổi” dựa vào hằng đẳng thức, định nghĩacòn rèn kỹ năng “biến đổi” dựa vào các quy tắc, tính chất, định lý, … và các tài liệu liên quan khác có điều kiện kèmtheo mà điều kiện đó có ý nghĩa quan trọng quy định tính đúng – sai của hằng đẳngthức đó

x x

Nh vậy, lời giải trên thực hiện không đúng Sai lầm từ phép biến đổi:

1( 3)

3

x x

x





(x3)( 1)x không phải là phép biến đổi tơng đơng.

Hỏi: Khắc phục điều đó nh thế nào?

Hớng 1: Khắc phục sai lầm do biến đổi

Thực hiện phép biến đổi tơng đơng:

Đối chiếu với điều kiện x 1 ta đợc nghiệm x  1 13

Kết luận phơng trình có hai nghiêm là : x  1 5 và x  1 13

Hớng 2: Khắc phục sai lầm do biến đổi bằng cách thay đổi cách chọn ẩn phụ.

khi x  3  0khi x  3 > 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm x  1 13 và x  1 5

Từ bài toán cho thấy sai lầm trong biến đổi do không suy xét vấn đề một cáchkín kẽ, nghiêm ngặt, áp dụng hời hợt, phiến diện có ảnh hởng tiêu cực đến quá trìnhgiải toán phơng trình, bất phơng trình

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thống kê một số các phép biến đổi đồng nhấtthức cơ bản, thờng gặp đối với từng mảng kiến thức đợc học Đồng thời nhấn mạnh,khắc sâu điều kiện cần để xảy ra phép biến đổi đồng nhất đó Chẳng hạn, nêu các phépbiến đổi đồng nhất khi biến đổi phơng trình vô tỷ:

( ) ( )( ) ( )

khi f(x)  0