Hướng dẫn giải các bài toán trắc nghiệm ứng dụng đạo hàm trong thực tế ở các đề thi đại học nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 Hình 2.. Bồi dưỡng năng lực giải toán ch

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Hình 1 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC

NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG

LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12

Hình 2 Người thực hiện: Vũ Thị Quyền

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

MỤC LỤC Trang

1.Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trang vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18

3.Kết luận, kiến nghị 19

3.1.Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Mạng internet

[2] Tự làm,tự nghiên cứu

[3] Trích đề minh họa THPT Quốc Gia,năm 2017

[4] Trích đề thi chính thức THPT Quốc Gia,năm 2018

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ

CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Vũ Thị Quyền

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên- Tổ Toán Trường THPT Vĩnh Lộc,

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1. Phương pháp xác định tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Sở GD & ĐT Thanh Hóa

C 2003 - 2004

2. Phương pháp mới để giải các

bài toán liên quan đến so sánh

một số với các nghiệm của

tam thức bậc 2 trong chương

trình Giải tích Lớp 12

Sở GD & ĐT Thanh Hóa

C 2009 - 2010

3. Bồi dưỡng năng lực giải toán

cho học sinh trong dạy học

Toán ở trường THPT qua

việc rèn luyện kỹ năng giải

phương trình và bất phương

trình vô tỉ

Sở GD & ĐT Thanh Hóa

đồ tư duy hệ thống kiến thức

và phân dạng bài tập về

khoảng cách

Sở GD & ĐT Thanh Hóa

5 Kĩ thuật biến đổi sự phụ

thuộc nhiều điểm thành một

điểm để giải quyết một lớp

bài toán cực trị hình học lớp

10

Sở GD & ĐT Thanh Hóa

1 MỞ ĐẦU 1.1.Lý do chọn đề tài

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượngđến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống.Trongnhững năm gần đây ,theo xu thế mới trong kì thi THPT Quốc gia đối với bộ mônToán, số lượng các câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày càng nhiều Điềunày gây ra những khó khăn nhất định cho các em học sinh khi làm bài thi mônToán, kể cả những học sinh khá, giỏi Bởi lẽ, ngoài việc nắm chắc các kiến thứcmôn Toán cùng với các môn học khác, học sinh cần phải biết mô hình hóa toánhọc đối với các bài toán thực tế để đưa bài toán thực tiễn về bài toán toán học

mà trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, số lượng các bài tập mang tínhvận dụng thực tiễn đang còn rất hạn chế

Với mục đích giúp học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với với cuộcsống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức Toán ởtrường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các emgiải quyết các vấn đề, tình huống trong thực tế, vì vậy việc tăng cường ứng dụngtoán học trong giảng dạy toán ở trường THPT là một vấn đề có ý nghĩa lý luận

và thực tiễn sâu sắc

Từ năm học 2016-2017, sự thay đổi hình thức thi THPT Quốc gia mônToán từ tự luận sang trắc nghiệm là một trong những bước ngoặt quan trọngtrong cải cách giáo dục Việt Nam Nội dung ma trận đề thi minh họa đã đượcxác định, kiến thức được đề cập đến tất cả các phần trong sách giáo khoa, vì vậyđòi hỏi học sinh cần nắm vững tất cả các phần kiến thức cơ bản trong chươngtrình, trong đó có toán ứng dụng thực tế Đó là một lớp bài toán mang tính thựctiễn rất gần gũi và thiết thực trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta

Trong quá trình giảng dạy tại nhà trường nhận thấy học sinh còn ngại tiếpcận và thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội các bài toán về ứng dụng thực

tế, đề bài loại toán này thường dài , thường trừu tượng Nhiều học sinh khônghiểu được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của khái niệm Toán học và yếu về kiếnthức liên môn từ đó dẫn đến việc khi làm các bài tập toán ứng dụng, cảm thấylúng túng và không định hướng được phương pháp giải,không biết hướng vậndụng

Do đó cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học cácbài toán ứng dụng thực tế , giúp học sinh thích nghi với sự thay đổi của việc cảicách trong giáo dục, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói riêng

và chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của sự nghiệpgiáo dục trong tình hình mới Học sinh thấy được việc học Toán không chỉ làcác kiến thức hàn lâm xa vời mà còn có rất nhiều ứng dụng khác nhau trong đờisống thực tế, từ đó các em có thêm động lực, niềm đam mê môn học để chinhphục các đỉnh cao trong các kì thi và ngược lại học Toán không phải chỉ để thi

mà học để biết áp dụng vào thực tiễn cuộc sống hàng ngày Trên tinh thần đó,cùng với một số kinh nghiệm của bản thân, tôi đưa ra sáng kiến :

“HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO

NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 ’’ với mong muốn giúp

học sinh nắm vững phương pháp, biết vận dụng tốt các kiến thức đã học, sẽ luôn

tự tin với dạng toán ứng dụng thực tế và không còn cảm thấy khó khăn khi giảilớp các bài toán hay này Hy vọng đề tài giúp ích một phần nào đó cho quý thầy

cô trong quá trình công tác

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Lớp các bài toán có liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong Hình học, Vật lý,Hóa học, Sinh học, Tin học và các bài toán xuất phát từ nhu cầu thực tiễntrong đời sống hàng ngày

Nội dung chương trình được giảng dạy trong trường phổ thông

1.4.Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài này, phương pháp chủ yếu được sử dụng là phương pháp thống kê,

lựa chọn những bài toán hay, độc đáo, có cùng phương pháp giải sau đó phân

tích, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm nổi bật phương pháp, từ đó rút

ra kết luận

Nghiên cứu bằng lí luận: Nghiên cứu các giáo trình về phương pháp dạyhọc Toán ở trường phổ thông, tài liệu hướng dẫn đổi mới phương pháp dạy học,các sách giáo khoa, sách tham khảo, báo Toán học và tuổi trẻ, các đề thi,

Nghiên cứu bằng thực nghiệm: Thông qua việc dạy và học phần đạo hàm lớp

12 ở các năm giảng dạy của bản thân và tổng kết các kinh nghiệm giảng dạycủa các đồng nghiệp

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộphương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá ở các trường phổ thông theo địnhhướng phát triển năng lực của học sinh trên tinh thần đổi mới căn bản và toàndiện giáo dục và đào tạo Xuất phát từ mục tiêu dạy học phát triển năng lực, đòihỏi học sinh phải tăng cường vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thựctiễn

Việc hình thành cho học sinh kĩ năng giải toán và vận dụng thực tế khôngchỉ mang lại cho học sinh có một cái nhìn tổng quát về ặt phương pháp đối vớimột dạng toán nào đó à còn giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét trongtừng tình huống cụ thể Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học đứctính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì vượtkhó, tính kế hoạch, kĩ năng phân tích, tổng hợp của sự vật, hiện tượng

Sáng kiến kinh nghiệm với đề tài :“HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN

TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 ’’ Với phương pháp dạy như vậy nhằm giúp các em học sinh có

thể hiểu vấn đề một cách sâu sắc và có thể nhìn một bài toán dưới nhiều góc độkhác nhau nên dễ dàng suy luận để chuyển các bài toán lạ về bài toán quenthuộc Hơn nữa với cách dạy đó, làm cho học sinh thấy được sự phong phú trongviệc sử dụng các kiến thức liên quan Chính vì thế mà các em không cảm thấynhàm chán, từ đó các em hào hứng và say mê hơn trong khi học tạo tâm lí thoảimái nhẹ nhàng trong mỗi tiết học, đó là tiền đề tốt để học sinh tiếp thu bài, rènluyện kỹ năng, nâng cao hiệu quả dạy và học

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Kĩ năng giải toán và trình bày bài giải còn yếu

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1.Đặt vấn đề

2.3.1.1 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Để tìm hiểu các ứng dụng của đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu một cách

thấu đáo về khái niệm của đạo hàm Bài toán cơ bản là nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, một thuộc về lĩnh vực Hình học và một đến từ Vật lí.

● Đối với bài toán hình học: xác định tiếp tuyến của một đường cong.

Nếu như trước đây, nhiều bài toán của Đại Số chỉ có thể được giải quyết nhờ vào công cụ và phương pháp của Hình học, thì kể từ thế kỉ XVI, với hệ thống kí

hiệu do Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số đã tách khỏi Hình học,

phát triển một cách độc lập với những phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận

thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã khai thác

nó vào nghiên cứu Hình học bằng việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự ra

đời của Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong được đặt ra Tuy nhiên bài toán này chỉ được các nhà toán học thời kì trước giải quyết đối với một số đường đặc biệt (đường tròn, đường Conic, ) bằng công

cụ của hình học cổ điển nhưng với hàng loạt

những đường cong mới xuất hiện, bài toán xác

định tiếp tuyến tuyến của một đường cong đòi

hỏi một phương pháp tổng quát hơn

Khái niệm tiếp tuyến lúc này được hiểu

theo những quan niệm mới như là vị trí “tới

hạn” của cát tuyến hay đường thẳng trùng với

một phần vô cùng nhỏ với đường cong tại tiếp

điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” này

mà hệ số góc k của tiếp tuyến với đường cong

 

yf x được định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày

nay) bởi biểu thức

● Đối với bài toán vật lí: tìm vận tốc tức thời.

Thừa nhận rằng có thể xem vận tốc tức thời

tt

v của vật thể có phương trình chuyển động là sS t là giới hạn của vận tốc trung bình trong khoảng thời gian t ;tt   khi  t 0, Newton (1643 – 1727)

cũng đã đi đến biểu thức xác định v tt (có cùng bản chất với biểu thức hệ số góc của tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày nay ta viết là:

Ngoài ra, ta cũng có thể bắt gặp một số khái niệm khác của đạo hàm như

“đạo hàm - tốc độ biến thiên của hàm số” hay “đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số”.

Từ đây ta đưa ra định nghĩa của đạo hàm:

2.3.1.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a; b, x oa; b , x o  x a; b

Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn)  o   o

2.3.1.3 Các bài toán ứng dụng đạo hàm trong thực tế

Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến việc sự dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:

Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng

toán thường gặp là gì ? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài toán mà họ đã đặt ra ?

Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo của hàm số thì trước

tiên ta phải “thiết lập được hàm số” Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô

hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có

thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống

và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn

chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như

sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta

thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến (Ở đây

trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tình huống 1 biến).

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết

bài toán hình thành ở bước 2 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa

Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa được trình bày theo các chủ đề ứng dụng đạo hàm:

● Trong Hình học (bài toán 1 đến bài toán 3 )

x b

a

● Trong Vật lý (bài toán 4 đến bài toán 5).

● Trong Kinh tế (bài toán 6 ).

● Trong Đời sống và các lĩnh vực khác (bài toán 7 đến bài toán 8) 1.Trong hình học :

Bài toán 1 Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a b´ với a b< Người

ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhậtkhông có nắp Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp

đó có thể tích lớn nhất ? [2]

 Phân tích:

● Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vuông cắt đi Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x Do khi đó 1 cạnh của tấm nhôm sau khi bị cắt trở thành a 2x 0 x a

● Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm

nhôm còn lại là b 2x 0   Đến đây ta cần thiết lập

công thức tính thể tích khối hộp V x a  2x b   2x

● Bài toán trở thành tìm  

0 2

● Bài toán trở thành tìm  

0 2

suy ra 0 x1x2

Bình luận :Qua bài toán này ta cần lưu ý:

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng Chúng ta

không nên chỉ ghi x 0  theo cách hiểu số đo đại số là một số

Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này không thể giải quyết tiếp được Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.

Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V ' x   0 cũng như lập bảng biến thiên của V x  không hề đơn giản chút nào, đòi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt trong biến đổi đại số.

Bài tập tương tự 1: Cho một tấm nhôm

Bài tập tương tự 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở

bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh

bằng x cm  , rồi gập tấm nhôm như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khôngnắp Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn nhất

Bình luận: ngoài cách giải dùng “công thức giải nhanh” đã thiết lập Ta thấy

rằng còn có thể xét các trường hợp của đáp án để tìm lại số đo các kích thước hình hộp từ đó tính thể tích so sánh và tìm ra kết quả.

Bài toán 2 Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và

mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4 m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc củacột đỡ

A xấp xỉ bằng 5 4902, m B.xấp xỉ bằng 5 602, m

C xấp xỉ bằng 5 5902, m D.xấp xỉ bằng 6 5902, m

[1]

 Phân tích:

● Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau Để xác định

được độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC

theo hướng nào ? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp Đối với hình vẽ

trên và các quan hệ về cạnh , ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng

thứ nhất là phân tích AC AB2 BC2 và hướng thứ hai là ACAMMC