minh r»ng diÖn tÝch hai tam gi¸c ADE vµ ABC b»ng nhau. Trªn tia AB lÊy mét ®iÓm C n»m ngoµi ®êng trßn. Qua M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA, MB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MA vµ K lµ giao ®iÓm cña BI[r]
Trang 1Chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1 Hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A và
B Gọi EF là một tiếp tuyến chung của chúng và AB cắt EF
tại I
a) Chứng minh rằng hai tam giác IEA và IBE đồng dạng
b) Chứng minh I là trung điểm EF
c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua I Chứng minh tứ giác
AECF nội tiếp đợc
Bài 2 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và một đờng thẳng d
vuông góc với AB tại H, M là một điểm di động trên nửa
đ-ờng tròn Đđ-ờng thẳng d giao với MA, MB lần lợt tại C, D
a) Chứng minh HC.HD = HA.HB
b) Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua H Chứng minh tứ giác
ACDB’ nội tiếp
c) Khi M di động trên đờng tròn (O) tâm I của đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ADC chạy trên đờng nào?
Bài 3 Cho đờng tròn tâm O và một điểm C ở ngoài đờng
tròn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF, và cát tuyến CMN tới
đ-ờng tròn Đđ-ờng thẳng nối C với O cắt đđ-ờng tròn tại hai điểm
A và B Gọi I là giao của AB với EF Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đờng tròn
b) AIM = BIN
Bài 4 Cho tam giác ABC với đờng cao AH Gọi E, F theo thứ
tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC Giao
của EF với AB, AC theo thứ tự là K, I Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AEHI, AFHK nội tiếp
b) BI và CK là các đờng cao của tam giác ABC
Bài 5 Cho hai đờng tròn (O), (O1) cắt nhau tại A, B Các tiếp
tuyến tại A của (O), (O1) cắt (O1), (O) lần lợt tại các điểm E,
F Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO1I là hình bình hành và OO1//BI
b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O1 cùng thuộc một đờng
tròn
c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB Chứng minh tứ
giác AECF nội tiếp
Bài 6 Cho đờng tròn (O) và hai tiếp tuyến SA, SB của đờng
tròn Kẻ dây cung BC Đờng kính vuông góc với dây AC cắt
BC tại I Chứng minh:
a) Bốn điểm S, A, I, B nằm trên một đờng tròn
b) Tứ giác SAOI nội tiếp
c) SI //AC
Bài 7 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) Tia
phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn (O) tại P
Kẻ đờng kính PQ Các tia phân giác của các góc ABC và ACB cắt AQ theo thứ tự tại E, F Chứng minh:
a) PC2 = PI.PA
b) Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn
Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và hai tiếp
tuyến Ax, By của nó Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại C (C khác A, B) cắt Ax, By lần lợt tại E, F Chứng minh rằng:
a) EO vuông góc với OF
b) Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB
c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác EOF tiếp xúc với AB
Bài 9 Cho tam giác cân ABC (CA = CB), I là trung điểm của
AB Đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại A cắt CI tại H và C a) Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC
b) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua AC Chứng minh rằng B’ cũng thuộc đờng tròn (O)
c) Chứng minh điều ngợc lại rằng nếu H là trực tâm của tam giác cân ABC thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB
Bài 10 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và C, D là hai điểm
trên đó AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn lần lợt tại E, F
a) Chứng minh ABD = AFB, ABC = AEB
b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp
c) Gọi I là trung điểm của FB, chứng minh rằng DI là tiếp tuyến của nửa đờng tròn
d) Giả sử CD cắt Bx tại G, phân giác của góc CGE cắt AE,
AF lần lợt tại N, M Chứng minh tam giác AMN cân
chuyên đề: Đ ờng tròn
Trang 2Bài 11 Tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) và E là
điểm chính giữa cung AB Hai dây EC, ED cắt AB theo thứ tự
tại P, Q Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I Các dây
BC và ED kéo dài cắt nhau tại K Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CDIK nội tiếp
b) Tứ giác CDQP nội tiếp
c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA tại A
Chứng minh hai đờng thẳng song song hoặc vuông góc
Bài 13 Tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) Các đờng
phân giác trong của các góc B, C lần lợt cắt đờng tròn tại E,
F Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt tại H, I K là giao điểm
của CF và BE
a) Chứng minh các tam giác FKB và EAK cân
b) Chứng minh tứ giác FIKB nội tiếp Từ đó suy ra IK // AC
c) Có nhận xét gì về tứ giác AIKH?
Bài 14 Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông
góc với nhau tại I Chứng minh rằng:
a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa độ dài CD
b) Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuông góc với
AD
Bài 15 Cho đờng tròn đờng kính BC Một điểm P ở ngoài
đ-ờng tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài đđ-ờng
tròn Giao của PB, PC với đờng tròn lần lợt là M, N Giao của
AN với đờng tròn là E Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đờng tròn
b) EM vuông góc với BC
Bài 16 Tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) có hai
đ-ờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I Gọi E, F, G, H
lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng
minh:
a) EFGH là hình chữ nhật
b) GIEO là hình bình hành
c) Hình chiếu của I trên các cạnh và trung điểm của các cạnh
của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đờng tròn
Bài 17 Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong một
đ-ờng tròn (O), ngoài ra ACB = 450 Các đờng cao AA’, BB’
của tam giác cắt nhau tại H và cắt đờng tròn lần lợt tại P, Q
Hai đờng thẳng AQ và BP giao nhau tại S
a) Chứng minh PQ là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Chứng minh ACBS là hình bình hành
c) Chứng minh các tam giác ASH và APQ bằng nhau
d) Nếu tam giác ABC có góc B tù thì các kết quả trên còn
đúng không? Chứng minh các điều đó
Bài 18 Cho tam giác ABC, có góc A nhọn, nội tiếp đờng
tròn tâm O, bán kính R Hai đờng cao BI và CJ lần lợt cắt đ-ờng tròn tại I’,J’
a) Chứng minh IJ // I’J’
b) Chứng minh OA IJ
c) Cho B, C cố định, A di chuyển trên cung lớn BC của đờng tròn (O) Chứng minh bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIJ không đổi
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 19 Cho hình thang ABCD (AD là đáy lớn, BC là đáy
nhỏ) nội tiếp trong đờng tròn tâm O Các cạnh bên AB và CD cắt nhau tại E; các tiếp tuyến tại B và D của đờng tròn (O) cắt nhau tại F K là giao điểm của BF và ED
a) Chứng minh rằng tứ giác BEFD nội tiếp
b) Chứng minh EF // BC
c) Khi nào thì tứ giác AEFD là hình bình hành Khi đó hãy chứng minh EC.EK = ED.CK
d) Vẽ hình bình hành BDFP Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BFP cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai Q Chứng minh rằng
D, P, Q thẳng hàng
Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), với trực
tâm H Kéo dài AH cắt đờng tròn ở E Kẻ đờng kính AOF a) Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân
b) Chứng minh BAE = CAF c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh H, I, F thẳng hàng
Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Bài 21 Hai đờng tròn (O), (O’) cắt nhau tại A và B Đờng
thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự tại E, F Chứng minh
a) Tứ giác CFED nội tiếp
b) AB là phân giác góc FBE
c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy
Trang 3Bài 22 Cho hai đờng tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại
A (R > R’) Đờng nối tâm OO’ cắt đờng tròn (O) và (O’) theo
thứ tự tại B và C (B và C khác A) EF là dây cung của đờng
tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt
đ-ờng tròn (O’) tại D
a) Tứ giác BECF là hình gì?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng
c) CF cắt đờng tròn (O’) tại G Chứng minh ba đờng EG, DF
và CI đồng quy
d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’)
Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn
Bài 23 Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C Vẽ hai
nửa đờng tròn đờng kính AB và BC (về cùng phía so với AC)
Trên đờng thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho
ADC = 900 Giao của DA, DC với hai nửa đờng tròn là E, F
Chứng minh rằng:
a) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn
b) Tứ giác AEFC nội tiếp đợc
Bài 24 Hai đờng tròn (O; R) và (O’;R’) cắt nhau tại A, B
Đ-ờng thẳng AO cắt (O), (O’) lần lợt tại C, E; đĐ-ờng thẳng AO’
cắt (O), (O’) lần lợt tại D, F Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
b) Tứ giác ODEO’ nội tiếp đợc
c) A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Nếu DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn thì
AB=R=R’
Cho trớc hai đờng tròn tiếp xúc nhau
Bài 25 Hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại A Một
đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C Tiếp
tuyến tại A với cả hai đờng tròn (O1), (O2) cắt BC tại I
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Chứng minh O1IO2 = 900
c) Các tia BA và CA cắt (O2) và (O1) lần lợt tại D, E Chứng
minh rằng diện tích hai tam giác ADE và ABC bằng nhau
Chứng minh điểm cố định
Bài 26.Cho đờng tròn (O) và dây cung AB Trên tia AB lấy
một điểm C nằm ngoài đờng tròn Từ điểm chính giữa P của
cung lớn AB kẻ đờng kính PQ, cắt dây AB tại D Tia CP cắt
đờng tròn tại điểm thứ hai I Các dây AB và QI cắt nhau tại K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đợc
b) Chứng minh CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB
d) Cố định A, B, C Chứng minh rằng khi đờng tròn (O) thay
đổi nhng vẫn đi qua A, B thì đờng thẳng QI luôn đi qua một
điểm cố định
Bài 27 Cho một đờng tròn (O) bán kính R và một đờng thẳng
d cắt (O) tại C, D Một điểm M di động trên d sao cho MC >
MD và ở ngoài đờng tròn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA,
MB Gọi H là trung điểm của CD và giao của AB với MO,
OH lần lợt là E, F Chứng minh rằng:
a) OE.OM = R2 b) Tứ giác MEHF nội tiếp
c) Đờng thẳng AB đi qua điểm cố định
Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt.
Bài 28 Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn (O) kẻ các tiếp
tuyến MA, MB với đờng tròn Gọi I là trung điểm của MA và
K là giao điểm của BI với đờng tròn Tia MK cắt đờng tròn (O) tại C
a) Chứng minh các tam giác MIK và BIM đồng dạng
b) Chứng minh BC song song với MA
c) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB Chứng minh rằng khoảng cách HA không phụ thuộc vị trí của M
d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AMBC là hình bình hành
Bài 29 Trong đờng tròn (O) nội tiếp một tam giác ABC với
trực tâm H, M là một điểm bất kì trên cung BC không chứa A a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành b) Gọi các điểm đối xứng của M qua AB, AC lần lợt là N, E Chứng minh các tứ giác AHBN, AHCE nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
Quỹ tích Bài 30 Hai đờng tròn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A
và B Đờng thẳng d đi qua A cắt các đờng tròn (O) và (I) lần lợt tại P, Q Gọi C là giao điểm của hai đờng thẳng PO và QI
Trang 4a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp.
b) Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm
của EF Khi đờng thẳng d quay quanh A thì K chuyển động
trên đờng nào?
c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất
Chứng minh quan hệ về đại lợng
Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, với trực tâm
H Vẽ hình bình hành BHCD Đờng thẳng qua D và song
song với BC cắt đờng thẳng AH tại E
a) Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng
tròn
b) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng
minh BAE = OAC và BE = CD
c) Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng AM cắt OH tại G
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 32 Cho dây cung BC cố định trên đờng tròn (O;R) Điểm
A chuyển động trên cung lớn BC ( A khác B, C) Hai đờng
cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng CE.CB = CF.CA
b) Đờng thẳng AE cắt đờng tròn (O) tại H’ Chứng minh H và
H’ đối xứng nhau qua BC
c) Gọi hình chiếu của O trên BC là I Chứng minh tỉ số AH
OI
không đổi
d) Chứng minh H chạy trên một cung tròn cố định
Bài 33 Hai đờng tròn (O;R) và (O’;R) cắt nhau tại A và B.
Đờng vuông góc với AB tại B cắt đờng tròn (O) và (O’) lần
l-ợt tại C và D Một đờng thẳng d qua B cắt (O) và (O’) lần ll-ợt
tại E và F
a) Chứng minh tam giác ACD cân
b) Chứng minh AE = AF
c) Gọi K là giao của CE và DF Chứng minh tứ giác AEKF
nội tiếp đợc
d) Khi d quay quanh B thì trung điểm I của EF chuyển động
trên đờng nào?
Bài 34 Cho đờng tròn (O) bán kính R và một dây cung AB =
R√2, C là một điểm thay đổi trên cung lớn AB Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC Các đờng thẳng AH, BH cắt đờng
tròn (O) lần lợt tại M, N Giao của AN với BM là P
a) Chứng minh MN là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Chứng minh CO // PH
c) Gọi L là giao của AB với MN Chứng minh rằng:
CHP = ALM và hiệu AOM - ALM không phụ thuộc vào vị trí của C
Bài 35 Tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) có AC >
AB Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC, P là giao điểm của AB và CD Tiếp tuyến của đờng tròn tại C cắt tiếp tuyến của đờng tròn tại D và cắt AD lần lợt tại E, Q
a) Chứng minh DE // BC
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đợc
c) Chứng minh DE // PQ
d) Chứng minh rằng nếu F là giao điểm của AD và BC thì
1
CE=
1
CQ +
1 CF
Bài 36 Cho đờng tròn đờng kính AB và một điểm C trên AB.
Trên đờng tròn lấy một điểm D và I là điểm chính giữa của cung nhỏ DB, IC cắt đờng tròn tại E, DE cắt AI tại K
a) Chứng minh tứ giác AKCE nội tiếp
b) Chứng minh CK vuông góc với AD
c) Kẻ Cx // AD cắt DE tại F Chứng minh tứ giác CBEF nội tiếp
d) Chứng minh CF = CB
Toán cực trị Bài 37 Xét tam giác ABC có các góc B, C nhọn Các đờng
tròn đờng kính AB và AC cắt nhau tại điểm thứ hai H Một
đờng thẳng d bất kì qua A lần lợt cắt hai đờng tròn nói trên tại
M, N
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC
b) Tứ giác BCNM là hình gì?
c) Gọi P,Q lần lợt là trung điểm của BC, MN Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc một đờng tròn
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Bài 38 Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một
đ-ờng thẳng biến thiên qua A cắt (O) và (O’) theo thứ tự tại C
và D Gọi P và Q là hình chiếu của O và O’ trên CD
a) Xác định vị trí của CD để CD có độ dài lớn nhất
b) Gọi E là giao của OC và O’D Chứng minh rằng tứ giác OO’EB nội tiếp đợc trong đờng tròn
Trang 5c) Khi CD quay quanh A thì trung điểm I của PQ chuyển
động trên đờng nào?
Bài kiểm tra Bài 39 Cho tam giác ABC (AC > AB, BAC > 900); I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB, AC Các đờng tròn đ-ờng kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đđ-ờng tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F
a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE
Bài 40 Cho đờng tròn (O) bán kính R, một dây AB cố định
(AB < 2R) và một điểm M bất kì trên cung lớn AB (M khác
A, B) Gọi I là trung điểm của dây AB và (O’) là đờng tròn qua M, tiếp xúc với AB tại A Đờng thẳng MI cắt (O), (O’) lần lợt tại các giao điểm thứ hai là N, P Chứng minh rằng: a) IA2 = IP.IM
b) Tứ giác ANBP là hình bình hành
c) IB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBP d) Khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một cung tròn cố định