[r]
Trang 1II/Bài tập:
Dạng 1: Lớp các bài toán chọn
1/ Bài toán lập số:
Một số cần lu ý khi giải bài toán lập số:
-Quan tâm đến điều kiện các chữ số có khác nhau hay không ?
-Đối với tập số có xuất hiện số cần u tiên chọn trớc
Bài 1 : Cho các số :1,2,3,4,5,6 Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn ĐK:
a Có 5 chữ số
b Có 6 chữ số khác nhau
c Có 4 chữ số khác nhau chẵn
Giải:
a Giả sử số cần tìm có dạng : a1a2a3a4a5
Chọn a❑1từ tập số đã cho có 6 cách chọn
ứng với mỗi cách chọn đó có 6 cách chọn a❑2Tơng tự có 6 cách chọn a❑3a4a5a6
Theo quy tắc nhân có :5❑6cách chọn các số thoả mãn yêu cầu
b Số các chữ số cần tìm là số hoán vị của 6 pt :P❑6=6! =720(số)
c Giả sử số cần tìm có dạng : a1a2a3a4
-Chọn a❑4chẵn có 3 cách chọn
-Số cách chọn các số còn lại là:A❑53 =5.4.3 =60
-Theo quy tắc nhân có :3.60 =180 (số)
Bài 2 : Cho các số từ 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn điều kiện:
a Số có 5 chữ số khác nhau
b Số có 4 chữ số khác nhau ,chẵn
c Số có 5 chữ số khác nhau nhất thiết có mặt số 3.
d Số có 8 chữ số thoả mãn số 1 có mặt 2 lần các số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài giải:
a Số các chữ số cần tìm là : 6.A❑64=2160 (số)
b Giả sử số cần tìm có dạng : a1a2a3a4
TH1: a❑1 là số 0 thì các số cần tìm là :A❑63 =120 (số)
TH2: a❑4chẵn khác 0 :Có 3 cách chọn
Chọn a❑1 khác 0 có 5 cách chọn ,chọn a❑2a❑3 có A❑62 cách
Vậy có tất cả là 3.5.A❑62=450 (số)
Theo quy tắc cộng có :120+450 =570 (số)
c Theo phần a có 2160 số có 5 chữ số khác nhau (gồm 2 loại :có số 3 và không có số 3 ) Trong đó số không có mặt chữ số 3 là 5.A❑54 =600 (số)
Vậy số có 5 chữ số khác nhau có mặt số 3 là :2160-600 = 1560 (số)
a Vì số 1 có mặt 2 lần nên ta có thể viết lại tập số dới dạng:0,1❑a,1❑b,2,3,4,5,6 Lập số có 8 chữ số khác nhau từ tập số trên có :7.P❑7=35280 (số)
Trong các số trên do 2 số 1❑a,1❑b trùng nhau nên mỗi số trên bị lặp lại 2 lần Vậy số các số cần tìm là :35280:2 =17640 (số)
Bài 3 :Từ các số 1,2,3,4,5 Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau ?
Tính tổng các số đó ?
Bài giải :
Số các chữ số cần tìm là A❑54 =120 (số)
Tính tổng :(sử dụng phơng pháp ghép cặp )Ghép 120 số thành 60 cặp sao cho tổng
mỗi cặp là 6666 (VD 1234 +5432 =6666 ) lu ý với mỗi số có một số tơng ứng Vậy tổng các số đó là :6666.60 =399960
Trang 2Bài 4: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau ?
Tính tổng các số đó
Giải :-Số các số cần tìm là 6 A❑63 =720 (số)
-Tính tổng : Cộng theo cột
hàng đơn vị : chữ số 1 có mặt 5.A❑52 lần (là các số dạng a1a2a31)
Tơng tự số 2,3,4,5,6 có mặt 5.A❑52 lần
Vậy tổng hàng đơn vị là :(1+2+3+4+5+6).A❑52.5 =21.5 A❑52=105 20 =2100
Tơng tự hàng trục ,trăm có tổng là :21000,210000
hàng nghìn : chữ số 1 có mặt A❑63 lần
Tơng tự các số 2,3,4,5,6 ,có mặt A❑63 lần
Vậy tỏng cần tìm là:252.000 +21.000+21.000+2100=2.753.100
Bài 5 :Cho A={0 ;1 ;2;3 ;4 ;5; 6 ;7}; Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên :
a/ Có 4 chữ số ? ( Đáp số 7.8.8.8 =3584).
b/ Có 4 chữ số nhau ? (ĐS : 7.A❑72 )
c/ Chẵn có 3 chữ số nhau ?
d/ Lẻ có 5 chữ số ?
e/ Lẻ có 5 chữ số và chứa số 0 ?
g/ Chẵn có 3 chữ số nhau không có mặt chữ số 0 và 1 ?
Bài giải :
Phần c/ TH1 : a1a2a3 có a❑3=0 ⇒ có 1 cách chọn a❑3
a❑1 : có 7 cách chọn
a❑2: có 6 cách chọn
Vậy : có 42 cách
TH2: a❑3 0 ⇒ chọn a❑3: có 3 cách chọn
a❑1 : có 7 cách chọn
a❑2: có 6 cách chọn
Vậy :có 42 +108 =150 cách
Phần d/ Gọi số cần tìm là: a1a2a3a4a5 , a❑5 lẻ {1 ;3;5 ;7} a❑1 0
a❑5: có 4 cách chọn
a❑1: có 7 cách chọn
a❑2: có 8 cách chọn
a❑3: có 8 cách chọn
a❑4; có 8 cách chọn
Vậy có 4.7.8.8.8=14336 (số)
Phần e / * Số lẻ có 5 chữ số là 14336 số
* Số lẻ có 5 chữ số không chứa số 0 ⇒a1a2a3a4a5{1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 ;7}
⇒có 4 cách chọn a❑5
Các số còn lại là 7.7.7.7 ⇒4.7.7.7.7 =9604 (số)
Vậy số lẻ có 5 chữ số và chứa số 0 là :(số lẻ 5 chữ số – số lẻ 5 chữ số không chứa số 0) =14.336 -9.604 =4732
Phần g / Số cần chọn là a1a2a3 , a❑3 chẵn {2 ;4 ;6} ai {2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7} a❑1a2≠ a3
- a❑3 : có 3 cách
- a❑1: có 5 cách
- a❑2: có 4 cách Vậy : có 3.4.5 =60 (số)
Bài 4 : Từ các số 0;1;2;3;4 có thể lập đợc :
Trang 3a/Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
b/ Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau ?
Bài giải:
a/ Gọi số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là a1a2a3a4
a❑1≠
¿
¿
0 có 4 cách chọn
các số còn lại có A❑43=24
Vậy có 4.24 =96 (số)
b/ Gọi số tự nhiên lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau là a1a2a3a4 ,ai 0 , 4
a❑4 : Có 2 cáchchọn
a❑1≠
¿
¿
0 : Có 3 cách chọn
a❑2 : Có 3 cách chọn
a❑3 : Có 3 cách chọn
Vậy có tất cả có: 3.2.2 =36 cách
Dạng2 :Bài tập tổ hợp.
Bài 1: Trong một hộp có 7 quả cầu xanh ,5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng ,các quả cầu đều khác nhau
Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp
Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 mầu ?
Bài giải :
TH1: 2 xanh ,1 đỏ ,1 vàng ⇒ C❑72 C51 C41 =420
TH2: 1 xanh ,2 đỏ ,1 vàng ⇒C❑71 C52 C41 =280
TH3: 1 xanh ,1 đỏ ,2 vàng ⇒C71 C51 C24 =210
Vậy số cách chọn là 420+280+210 =910
Bài 2: Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ Thầy giáo chọn ra 5 em tham dự lễ mít tinh
tại trờng yêu cầu có cả nam lẫn nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài giải :
TH1 : 1 nam ,4 nữ ⇒C71
C64
TH2 : 2 nam ,3 nữ ⇒C72 C63
TH3: 3 nam ,2 nữ : ⇒C73 C62
TH4: 4 nam ,1 nữ : ⇒C74.C61
Vậy theo quy tắc nhân có 18.900 cách
Bài 3 : Có 1 hộp đựng 2 viên bi đỏ ,3 viên bi trắng ,5 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp
đó
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ cả 3 mầu ?
Bài giải :
TH1 : Cả 4 viênbi đều vàng :C❑54=5
TH2 : Cả 4 viênbi đều đỏ hoặc trắng: C❑54=5
TH3 : Cả 4 viênbi đều đỏ hoặc vàng: C❑74=35
TH4 : Cả 4 viênbi đều vàng hoặc trắng : C❑84=70
Vậy : Theo quy tắc nhân có 115 cách
Trang 4Dạng 3: Giải phơng trình ,bất phơng trình tổ hợp Những điểm cần lu ý:
+ Điều kiện của ẩn
+ Các công thức tổ hợp.
Bài 1: Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức :
C❑14k +C14k +2=2 C14k +1
Giải :
Ta có : C❑14k +C14k +2=2 C14k +1 (0k ≤ 12; k ∈ N¿
⇔ 14 !
k !(14 − k )!+
14 !
(k +2)!(12− k )!=
2 14 !
(k +1)!(13 −k )!
⇔ 1
(14 − k )!(13 −k )+
14 !
(k +1)(k +2)=2
1 (k +1)(13− k )
⇔ (k+1)(k+2)+(14-k)(13-k)=2(k+2)(14-k)
⇔ k❑2-12k+32 =0
⇔ ¿¿ Thoả mãn điều kiện ban đầu
Bài 2 : Tìm các số nguyên dơng thoả mãn phơng trình :
C❑x1+6 Cx2+6 C3x=9 x2− 14 x
Giải :
Ta có C❑x1+6 Cx2+6 C3x=9 x2− 14 x (xN ; x ≥ 3¿
⇔ x+3x❑2− 3 x +x3− 3 x2+2 x=9 x2−14 x
⇔ x(x❑2− 9 x+14¿=¿0 ⇔
x=0 (loại) x=2(loại) x=7 (nhận)
¿{ {
¿
¿
Bài 3: Giải phơng trình: P❑2x2− P3x=8 (1)
Giải : P❑2=2! và P❑3=3! =1.2.3=6
Do đó (1) 2x❑2-6x-8=0 x=-1 ; x=4
Bài 4:
Giải phơng trình : 2A❑x2+50= A2 x2 (1) (2x ∈ N) (1)
Giải : Ta có (1) ⇔ 2 x !
(x − 2)+50=
(2 x)!
(2 x −2) (2) Vì x=2 khônh thoả mãn (2) do đó :
(2) ⇔ 2(2x-1)x+50 =(2x-1)2x
⇔ 2x❑2 =50 ⇔x❑2=25 ⇔x=5
Bài 5 : Giải phơng trình : C❑x1+C x2+C3x=7
2x (1)
Giải :
Ta có xN ; x ≥ 3
(1) ⇔ x !
1!(x −1)+
x !
2 !(x −2)!+
x !
3 !(x −3)!=7 x
⇔ x+1
2(x −1)+
1
6(x −2)(x − 1) x −
7 x
2 =0
Trang 5⇔ x[16(x −2)(x − 1)+
1
2(x −1)−
5
2] =0 ⇔ (x-2)(x-1)+3(x-1) -15 =0
⇔ x❑2 =16 ⇒ x=4 (®pcm).
Bµi 6 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : P❑n+3=720 An5P n − 5
Gi¶i :
Ta cã : P❑n+3=720 An5P n −5 ⇔ (n+3)!=720 n !
(n −5)!(n −5)! n5
⇔ (n+3)!=720 n!
⇔ (n+1)(n+2)(n+3) =720
⇔ n=7 (víi n nguyªn d¬ng ).
Bµi 7 : Gi¶i ph¬nh tr×nh :
C❑x x −1+C x x −2 C x x −3+ +Cx x− 10=1023 (1)
Gi¶i:
Ta cã xN ; x ≥ 10
(1)⇔ C❑x x+C x x −1 C x x− 2
+ .+C x x− 10=1024 ⇔ C❑x0C1x
+C x x− 2+ +C10x =1024 NhËn xÐt r»ng : C❑100 C101
+C102
+ .+C1010=1024 VËy ta suy ra x =10
Bµi 8 : Gi¶i ph¬ng tr×nh :
A x +1 y+1 P x − y
P x −1 =72
Gi¶i:
§iÒu kiÖn x,y N ; x>y Ta cã: A x +1
y+1
P x − y
P x −1 =72
⇔A❑x+ 1 y+1+P x− y=72 Px −1
⇔ (x+ y)!
(x − y )!(x − y )!=72(x − 1)!
⇔ x(x-1)-72=0
⇔ x❑2+x-72=0
⇔ x=8; yN , y<8
VËy x=8, y N , y ≤ 7
Bµi 9 : §Þnh x vµ y sao cho : C❑x+ 1 y :C x y +1 :C x y −1=6 :5 :2
Gi¶i : Ta cã : C❑x+ 1 y :C x y +1 :C x y −1=6 :5 :2
⇔
C x+1 y
C x y +1=
6 5
C x+1 y
C x y − 1=
6 5
¿{
Trang 6⇔
(x +1)( y+1)
(x − y )(x − y +1)=
6 5
x+1
y =3
¿{
¿
¿
⇔
x=3 y −1
3 y ( y −1)
(2 y − 1)2 y=
6 5
¿{
¿
¿
⇔
x=8 y=3
¿{
¿
¿
Các bài tập tơng tự:
Bài 1: Giải pt : A❑x2.C x x −1=48 Đáp số : x=4
Bài 2: Giải pt: A x4
A x +13 −C x x− 4=
24
23 Đáp số: x=5
Bài 3: Giải pt : P x+2
A x −1 x − 4 P3=210 Đáp số: x=5
Bài 4: Giải pt : C❑x+ 10 x+ 4 =C 2 x− 1 x+10 Đáp số: x=5
Bài 5: Giải pt : P❑x10+72=6( Ax2+2 P x) Đáp số :x=3; x=4
Bài 6: Giải pt : A❑x10+A x9=9 Ax8 Đáp số :x=11
Bài 7: Giải pt : P n
P n+1 C n +2 n − 1
=1
2 (ĐK n1⇔n ∈ N❑) Đáp số : n=1 Bài 8 : Giải bất pt : C❑n −14 − C3n− 1 −5
4 A n −2
2
<0 , n ∈ N
Giải : Ta có : C❑n −14 − C3n− 1 −5
4A n −2
2 <0 ⇔ (n −1)!
4 !(n −5)! −
(n− 1)!
3 !(n− 4)! −5¿ ¿
⇔ (n-4)(n-1)!-4(n-1)!-30(n-2)<0 , n 5 , n ∈ N
⇔ (n-2)! [(n− 4)(n− 1)− 4(n− 1)−30] , n 5 , n ∈ N
⇔ n❑2− 9 n− 22<0⇔5n ≤ 11, n∈ N
⇔ n=5,6,7,8,9,10
Bài 9 : Giải bất phơng trình : A n − 44
(n+2)!<
15 (n −1)!
Giải :
Điều kiện ⇔
n+4 ≥ 4
n −1 ≥ 0
¿{
¿
¿
⇔ n1
Ta có : A n+ 44
(n+2)!<
15 (n −1)! ⇔ (n+4)!
n !(n+2)!<
15 (n −1)!
⇔(n+5)(n− 4)
n ! <
15 (n −1)! ⇔(n+3)(n+4)
Từ đó :
(n+3)(n+4) <15n ⇔n❑2-8n +12 <0
⇔ 2<n<6 so với điều kiện n1 ta có (n=3)v (n=4) v(n=5)
Bài 10 : Giải bất phơng trình :
Trang 7C n − 1 n − 3
A n+14 < 1
14 P3 §K :n 3 §¸p sè :n>6
Bµi 11 : Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :
2C❑x+ 12 +3 A2x<30 §¸p sè x=2.
Bµi 12 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
2 A x y+5 C x y=90
5 A x y −2 C x y=80
¿{
¿
¿
⇔
A x y=20
C x y=10
¿{
¿
¿
⇔
x !
(x − y )!=20
x !
y !(x − y)!=10
¿{
¿
¿
⇔
y !=2
x !
(x − y )!=20
¿{
¿
¿
⇔
y=2 x=5
¿{
¿
¿
D¹ng 4: C«ng thøc nhÞ thøc newton
A/ Lý thuyÕt :
+/Sù khai triÓn nhÞ thøc (a+b)❑n
+/ TÝnh chÊt cña khai triÓn
B/ Bµi tËp :
Bµi 1 : Cho d¹ng ®a thøc P(x) = (1+x)❑9
+¿
Cã d¹ng khai triÓn lµ P(x) = a❑0+a1x+ a2x2+ +a14x14
H·y tÝnh hÖ sè a❑19
Gi¶i : Ta cã : (1+x)❑9=C90
+C91x+C92x2
+C93x3
+ +C99 cã hÖ sè cña x❑9 lµ C❑99 T¬ng tù khai triÓn :
(1+x)❑10 cã hÖ sè cña x❑9lµ C❑109
(1+x)11 cã hÖ sè cña x❑9lµ C❑11
9
(1+x)❑12 cã hÖ sè cña x❑9lµ C❑129
(1+x)❑13 cã hÖ sè cña x❑9lµ C❑139
(1+x)❑14 cã hÖ sè cña x❑9lµ C❑149
VËy : a❑9=C99+C109 +C119 +C129 +C139 +C149 =1+10+55+220+715+2002=3003
a❑9 =3003
Bµi 2 : §a thøc P(x) =(1+x) +2(1+x)❑2
+3¿
§îc viÕt díi d¹ng lµ P(x) = a❑0+a1x+ a2x2+ +a20x20
H·y tÝnh hÖ sè a❑19
Gi¶i : Ta cã 15(1+x)❑15=15(1+C❑151 x +C152 x2
+C153 x3
+ .+C1515x15
¿
16(1+x)❑16 =16(1+C❑161 x +C162 x2+C163 x3+ +C1616x16¿
20(1+x)❑20 =20(1+C❑201 x +C202 x2+C203 x3+ +C2020x20¿
VËy : a❑15=15+16 C161 +17 C172 +18 C183 +19 C194 +20C205
Trang 8=15+16 +17.17 16
1 2 +
18 18 17 16
1 2 3 +19
19 18 17 16
1 2 3 4 +20
20 19 18 17 16
1 2 3 4 5 =400995
Bài 3: Khai triển :
P(x)=(1+x)❑12
+¿
Theo nhị thức Newton Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x❑8.
Bài giải : Ta có (1+x)❑12 có hệ số của x❑8là C❑124
(1+x)❑13 có hệ số của x❑8là C❑135
(1+x)❑14 có hệ số của x❑8là C❑146
(1+x)❑15 có hệ số của x❑8là C❑157
(1+x)❑16 có hệ số của x❑8là C❑168
(1+x)❑17 có hệ số của x❑8là C❑179
Do đó trong khai triển tổng S ,ta có hệ số của số hạng x❑8là:
C❑124 + C❑135 + C❑146 + C❑157 + C❑168 + C❑179 =72710
Bài 4 : Trong khai triển (3x −
3
x)12 Tìm hệ số của số hạng chứa x❑4
Giải :
Trong khai triển nhị thức (3x −
3
x)12ta có số hạng thứ (k+1) với 0k ≤ 12 là :
T❑(k +1)=C❑12k (3x)12 −k¿
Do đó nếu số hạng thứ (k+1) chứa x❑4thì phải có :
x❑12− 2 k
=x4⇔12+2 k −4 ⇔k =4
Nếu số hạng thứ (k+1) chứa x❑4là số hạng thứ 5
Ta có T=3❑−4 C124 x4= 1 12 !
81 4 ! 8 ! x
4
=5 x4 Vậy hệ số của số hạng chứa x❑4 là 5
Bài 5: a.Xác định hệ số thứ nhất ,thứ 2 ,3 trong khai triển (x3
+ 1
x2)n
b/ Cho biết tổng 3 hệ số nói trên là 11.Tìm hệ số của x❑2
Giải :
a/ Ta có C❑n0=1 , Cn1=n ,C n2=n(n− 1)
2 b/ Theo giả thiết : 1+n+n(n+1)
⇔ n❑2+n-20 =0 ⇔n=4
Hạng tử thứ k+1 của khai triển là :C❑n k¿, x❑5 k −2 n
=x2
Cho 5k-2n =2 ⇔k= 2n+ 2
2 4+2
Vậy hệ số của x❑2 là C❑62=6
Bài 6: Cho nhị thức (2x-3)❑12
a/ Tìm số hạng tổng quát của khai triển ?
b/ Tìm số hạng chính giữa của khai triển ?
c/ Tìm hệ số nhị thức của số hạng thứ 5 ?
d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x❑8?
Giải :
a/ T❑k+1=C n k¿ , k{0 ;1 ;2;3, ;12}
b/ n=12 ⇒ Số các số hạng của nhị thức là 13 ⇒Số chính giữa là số thứ 7 ⇒k=6
Trang 9⇒T❑7=C126
¿
c/ Hệ số nhị thức của số hạng thứ 5 là C❑124 =495
d/ Hệ số của số hạng chứa x❑8là (Theo phần a ) T❑5=C124 ¿
Vậy: Hệ số của số hạng chứa x❑8là 10.264.320
Bài 7 : Tìm số hạnh không chứa x trong khai triển (1x+√x)12
Giải : Có T❑k+1=C12k (1x)12 − k.(√x)k=C12k x −12+ k x
1 2
=C12k x
−24+ 3 k
2
Số hạng không chứa x ⇔ −24+3 k
Vậy : Số hạnh không chứa x trong khai triển là T❑9=495
Bài 8 : Hãy tìm trong khai triển nhị thức (x3
+ 1
x3)18số hạng độc lập với x
Giải : Giả sử trong khai triển nhị thức (x3
+ 1
x3)18
Số hạng thứ (k+1) với 0 k ≤ 18 là :T❑(k +1)=C18k ¿
Nếu T❑k+1 không chứa x (độc lập đối với x ) thì
Ta có : 54-6k =0 ⇔k =9
Vậy trong khai triển của nhị thức đã cho ,số hạng độc lập đối với x là số hạnh thứ 10 , nên ta có :T❑10=C189
Bài 6 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của (x +1
x)❑12
Giải : Khai triển (x +1
x)❑12 =C❑12
0
x12+C121 x111
x+ +C12
k
x 12− k 1
x k+
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển đó là : C❑12k x 12− k 1
x k=C12
k
x 12 −2 k
Số hạng này không phụ thuộc x khi : 12-2k =0 ⇔ k=6
Vậy số hạng thứ 7 của khai triển ,không phụ thuộc vào x và có giá trị là : C❑126 =924
Dạng 5: CM đẳng thức tổ hợp
1/ Chứng minh nhờ khai triển Newton
Cần thuộc các công thức và sử dụng thành thạo ký hiệu n!=(n-1)!n=(n-2)!(n-1).n!,
Bài 1 : Chứng minh rằng : ¿ =2❑n
Giải :
Ta có (1 −1
3)n=C n0−1
3C n
1
+ 1
32C n
2
+ ¿
Suy ra : 3❑n
(1 −1
3)n=3n(23)n=2n Vậy : ¿ =2❑n
Bài 2 : Chứng minh rằng : C❑n0+6 C n1+62C n2+63C n3+ +6n C n n=7n
Giải :
Trang 10Ta có: :(1+x)❑n=C n0
+C n1x+C n2x2
+ .+C n n x n Cho x=6 ta có : C❑n0+6 Cn1+62C n2+63C n3+ +6n C n n=7n
Bài 3: Chứng minh rằng:
4❑n C n0−4 n −1 C n1
+4n − 2 C n2− .¿
Giải : Ta có : (2x-1)❑n=C n0(2 x )-C❑n1¿
Cho x=2 ta có 3❑n=4n C n0− 4 n − 1 C n1
+4n −2 C n2− +(−1)C n n (1)
Ta lại có :(1+x)❑n=C n0
+C n1x+C n2x2
+ .+C n n x n Cho x=2 ta có : 3❑n=C n0+2Cn0+22C n2+ +2n C n n (2)
Từ (1) và (2) ta có :
4❑n C n0−4 n −1 C n1+4n − 2 C n2− .¿
2.Chứng minh nhờ công thức: C❑n k=C n −1 k +C n− 1 k− 1
Bài 1: Cho k và n là 2 số tự nhiên sao cho 3 k ≤ n
CMR: C❑n k+3 Cnk − 1+3 Cn k −2+C n k −3=C n+3 k
Giải : Ta có : C❑m k=C m −1 k +C m −1 k −1
Ta có : C❑n+3 k =C n +2 k +C n +2 k −1=(C n+1 k +C n+1 k −1)+(C n+1 k −1+C n+1 k− 2)
=C❑n+1 k +2 Cn +1 k − 1+C n+ 1 k −2
=C❑n k+C n k− 1+2(C n k− 1+C n k − 2)+C n k− 2+C n k − 3
=C❑n k+3 C n k − 1+3 Cn k −2
+C n k −3 (đpcm) 2.Chứng minh nhờ đạo hàm :