ThÝ sinh chØ lµm mét trong 2 phÇn ; phÇn 1 hoÆc phÇn 2 Phần 1 Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn.. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh:.[r]
Trang 1đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .
Câu I Cho hàm số có đồ thị (C).
1
1 2
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II 1 Giải +>? 5 trình: x x x sin2x
2
1 cos 2 ) 2
cos 2 (sin
2 Giải hệ +>? 5 trình :
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y x x
Câu III 1.Tính tích phân sau:
2
0
3s inx cos
s inx cos 2
x
x
2 Cho 0 x y z: Chứng minh rằng
2
2
3
2
2
x y
x y
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt
là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
II, PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo >? 5 trình chuẩn )
Câu Va 1 Viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC với cỏc đỉnh:
A(-2;3),B( ;0), (2;0)
4
1
C
2. Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua điểm M(- -4; 5;3) và cắt cả hai
đường thẳng: ' : 2 3 11 0 và
d
ỡ + + = ùù
ớù - + = ùợ
'' :
-.Câu VIa Tìm m để +>? 5 trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
10x 28x4m(2x1) x2 1.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo >? 5 trình nâng cao )
Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần 4>R thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập +>? 5 trình các cạnh của hình vuông.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 >V 5 thẳng ( ) và ( ') có +>? 5 trình
4t' 2
t' 2 y
t' 2 -2 x :
; 4
2t -1 y
t 3 x
z z
Viết +>? 5 trình >V 5 vuông góc chung của ( ) và ( ')
Câu VIb Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tổng
1
2 3
2 2
x
x x y
khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất
******** Hết ********
đề chính thức
Trang 2năm 2010 Hướng dẫn chấm môn toán
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
1 2
x
1 Tập xác định: R\{1}
2 Sự biến thiên:
) 1 (
3 )
1 (
) 1 2 ( ) 1 ( 2 '
x x
x x
y
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞; 1) và (1;+∞)
Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
1 2 lim lim
1
x y
x x
1 2 lim lim
1
x y
x x
Do đó >V 5 thẳng x=1 là tiệm cận đứng
2
1
1 2 lim
x y
x x
Vậy >V 5 thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
* Bảng biến thiên:
- ∞
+ ∞ 2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam
1
3 2
; 0
0
x x
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3 2 ) (
) 1 (
3
0 0
2
x x
x x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A 0,25
Trang 3Câu Nội dung Điểm
1
6 2
;
1
0
x
B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S IAB = IA IB= (đvdt)
2
1
6 3 2 1 2 1
6 2
1
0 0
x
0,25
* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA=
IB (HS tự chứng minh)
3 1 1
2 1
6
0
0 0
x x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M 1 (1 3;2 3)
M 2 (1 3;2 3)
Khi đó chu vi AIB = 4 32 6
0,5
II.1 Giải phương trình lượng giác
x 2 sin 2
1 x cos 2 ) 2
x cos 2
x (sin
2
x cos 2
x sin 1 2
x cos 2
x sin
2
x sin 2
x cos 2
x sin 2
x cos x sin 2 x sin 2
1 1 2
x cos 2
x sin
3
0 2
3 2
x cos 2
x sin ) x sin 2 ( 2
x sin 2
x
2 2
3 4
x sin 2
3 4
2
x sin 2 2
3 2
x cos 2
x
nghiệm của phương trình là: x k2 k
2
0,5
II.2
Giải hệ +>? 5 trình:
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x y x
y y x
Trang 40,25
0,25
* Hệ +>? 5 trình >? 5 >? 5 với
0 22 )
2 (
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
x y x
y
Dat * Thay vào hệ +>? 5 trình ta có:
2
2 3
4
u v
u v u v
2 hoặc
0
u
v
0 2
u v
thế vào cách đặt ta >R các nghiệm của hệ là : 2; ; ;
3
x y
2 3
x y
2 5
x y
;
2 5
x
y
0,25
2
0
2 2 0 0
s inx cos 2
cos s inx
s inx cos 2
s inx cos 2
2 ln s inx cos 2 2 2
4
x
x x
dx x
c x
2
2 0
1
2 ln(1 2) ln(1 2)
dx x c
2 0
0,25
0,25
0,25
0,25
III.2 Cho 0 x y z: Chứng minh rằng
2
2
3
2
2
x y
x y
(1)
2
z y z x
x y
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
c
a c b c b c a c c ab ab c
0,25
0,25
1,00
Trang 5Câu Nội dung Điểm
Ta cú:
2 2
(3) 2
b c c b
c b c
ab
a c b c
Tương tự: 4
2
ab
b c a c
2
2c abc ab 5
Cộng (3); (4); (5) ta được: 2 đpcm
a c b c b c a c c ab ab c
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a 2z+y=2z+x=4x+2y
b x=y=2
5z
0,25
0,25
IV Tính thể tích khối chóp
S
A
C B
M
N I
K
Ta có các tam giác SMN và AMN cân tại S và A Gọi I là trung điểm của MN suy ra SI
MN và AI MN Do (SBC) (AMN) nên SI (AMN)
6
1 S
SI 3
1
VS.AMN AMN
1,00
Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI SK nên tam giác
ASK cân tại A Do đó
2
3 a AK
0,5 0,5
4
a MN 2
1 NI , 2
a BC 2
4
3 a 2
SA 2
SC
4
2 a 16
a 16
a 3 NI
SN SI
2 2 2
1,00
Trang 6VËy 4
10 a 8
a 4
a 3 SI
SA AI
2 2 2
96
5 a 2
a 4
10 a 4
2 a 6
1 V
3 AMN
.
0, 5
0, 5
Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c«ng thøc:
4
1 SC
SN SB
SM SA
SA V
V
ABC S
AMN
1,00
+ Ta cã: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS ph¶i chøng minh >R
0,25
Va 1.(1,0 điểm)
Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của
góc A
khi và chỉ khi
( ) ( )
2
2
2 2
9
4 4
2
9
3
4
d
DB AB
æ ö÷
ç ÷ + -ç
- çè ø÷
-+
+
Đường thẳng AD có phương trình:
2 3 3 6 3 9 1 ,
-và đường thẳng AC:
2 3 3 6 4 12 3 4 6 0
-Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó
hoành độ là
và bán kính cũng bằng b Vì khoảng cách từ I tới AC cũng
1 b
-phải bằng
b nên ta có:
Trang 7Câu Nội dung Điểm
( )
3 5 ;
4
3 1
2
-= Û - -= +
= ị =
Rừ ràng chỉ cú giỏ trị 1 là hợp lý Vậy, phương trỡnh của
2
b=
đường trũn
ỗ - ữ + -ỗ ữ =
2 (1,0 điểm)
Mặt phẳng P’ đi qua đường thẳng d’ cú phương trỡnh dạng:
( ) ( )
Để mặt phẳng này đi qua M, phải cú:
( 8 15 11) ( 5 6 7) 0
-Chọn m=1,n= -3, ta được phương trỡnh của P’:
2x+6z- =10 0.
Tiếp theo, đường thẳng d” đi qua A(2; 1;1- ) và cú vectơ chỉ
phương
Mặt phẳng P” đi qua M và d” cú hai vectơ chỉ
(2;3; 5)
m
-phương là
và hoặc Vectơ phỏp tuyến của P” là:
m
(6; 4; 2)
-
(3; 2; 1)
-
3; 5, 5; 2 2;3, (7; 13; 5)
2; 1 1;3 3; 2
pổỗ - - ửữ p
ỗ
Phương trỡnh của P”: 7(x+ -4) 13(y+ -5) (5 z- =3) 0
hay: 7x-13y- -5z 29=0
Rừ ràng đường thẳng d phải là giao tuyến của P’ và P” nờn cú
phương trỡnh:
2 6 10 0 .
x z
ỡ + - = ùù
ớù - - - = ùợ
VIa Tìm m để +>? 5 trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m( 2x+1) x2 1=10x2 x8 4
1,00
Nhận xét : 10x2 x8 4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)
0,25
Trang 8A>? 5 trình >? 5 >? 5 với : (2 ) 2 0
1
1 2 ( ) 1
1 2
2 2
x
x m x
x
Đặt t Điều kiện : -2< t Rút m ta có: m=
x
x
1
1 2
t
t 2
2 2
Lập bảng biến thiên của hàm số trên 2, 5 , ta có kết quả của m để +>? 5
trình có hai nghiệm phân biệt là: hoặc -5 <
5
12
0,75
Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4;
-2) ; P(2; 0); Q(1; -2) lần 4>R thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập +>? 5 trình
các cạnh của hình vuông trên.
1,00
+ Giả sử >V 5 thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n ( a ; b )
(a 2 + b 2 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:n 1( b ; a )A>? 5 trình AB có
dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0
ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5 Vb.1
a b
a b
b a
a b b
a
2 2 2
2
8:>V 5 hợp 1: b= -2a; A>? 5 trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
8:>V 5 hợp 2: b= -a Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x –y + 2= 0
AD: -x –y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
0,25
0,25
Cho (): ; (’)
4
2 1 3
z
t y
t x
u z
u y
u x
4 2 2
2 2
Viết +>? 5 trình >V 5 vuông góc chung của () và ( ’)
1,0 0 Vb
2
+ Gọi >V 5 vuông góc chung của () và ( ’ ) là d
Khi đó , ' ( 4 ; 2 ; 1 )
2
u u
u d
+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến: n 1 u , u d ( 2 ; 1 ; 10 )
Vậy +>? 5 trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi () là mặt phẳng chứa (’) và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
0,25
0,25
Trang 9Câu Nội dung Điểm
tuyến: n 2 u ' , u d ( 6 ; 18 ; 12 )
Vậy +>? 5 trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó >V 5 vuông góc chung của và ’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x – y + 10z – 47 = 0 và x + 3y – 2z + 6 =0
+Lập +>? 5 trình tham số của (d).(HS tự làm)
0,25
0,25
1 x
1 1 x y
1 x
1 lim )]
1 x 2 ( y [ lim
x
cận xiên y = 2x – 1
2 x x lim
; 1
x
2 x x lim
2 1 x
2 1 x
+) Gọi M (C)M x ;2x 1x 11,
0 0
0,25
Tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận của (C) là
1 x 5
1 1
x 1
2
1 1 x
1 1 x 2 x 1 x
d
0
0 2
2 0 0
0 0
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có
4 0
0
5
2 1 x 5
1 1 x 2
khi
4 5
2
d
4 0 0
0
5
1 1 x 1 x 5
1 1
0,25
5
2 1
; 5
1 1 M
; 5 5
2 1
; 5
1 1
4 4
4 4
Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn được điểm tối đa