Luận văn Thạc sỹ Khoa học: Nghiên cứu didactic toán về mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp 12

Luận văn dùng thuật ngữ Phương pháp tọa độ để chỉ cách nghiên cứu hình học bằng phương pháp giải tích hoặc phương pháp vectơ - tọa độ, trình bày các khái niệm của lý thuyết Didactic mà chúng tôi dựa vào để phân tích quan hệ của thể chế (dạy học hình học ở lớp 12) đối với phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

—oOo—

VÕ HOÀNG NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA "PHƯƠNG PHÁP VECTƠ"

VÀ "PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số :60.14.10 Người hướng dẫn khoa học : TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

TP HỒ CHÍ MINH - 2002

Trước hết, cho tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô LÊ THỊ HOÀI CHÂU, khoa

Toán - Tin học Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Cô là người đã bỏ nhiều công

sức và thời gian để dìu dắt, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin cảm ơn Phòng KHCN.SĐH và Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã

tạo điều kiện cho tôi hoàn thành chương trình và các thủ tục bảo vệ luận văn

Cho tôi gửi lời cảm ơn đến các Bà : CLAUDE COMITI, ANNIE BESSOT, Thầy LÊ

VĂN TIẾN, Thầy ĐOÀN HỮU HẢI đã nhiệt tình giảng dạy và góp ý giúp tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn các anh, chị, em và các bạn trong lớp Didactic khóa 11 đã động viên

giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn Đặc biệt, cho tôi gửi lời cảm ơn đến anh HOÀNG HỮU VINH, em TÔ THỊ THANH HÀ, những người thân yêu đã luôn động viên, giúp đỡ tôi đi

đến kết quả cuối cùng

Chương I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA 1

I Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát 1

II Khung lý thuyết tham chiếu : 4

1 Quan hệ thể chế: 4

2 Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique) 6

III Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn 8

1 Nghiên cứu quan hệ thể chế 8

2 Nghiên cứu thực nghiệm 8

CHƯƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC 10

Mở đầu 10

I Phân tích chương trình học ở PTTH 11

I.1 Chương trình hình học PTTH năm 1989 11

I.2 Chương trình hình học PTTH chỉnh lí hợp nhất năm 1999 13

II Vectơ với tư cách là công cụ trong SGK hình học 10 15

II.1 Công cụ vectơ với việc trình bày các nội dung Hình học giảng dạy ở lớp 10 16

II.2 Các tổ chức toán học liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong Hình học 10 : 19

III Phương pháp Vectơ và phương pháp tọa độ trong hình học 12 24

III.1.Phân tích lý thuyết: Mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ 24 III.1.1.Chương I: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 25

III.1.2 Chương II: Phương pháp tọa độ trong không gian 29

III.2 Phân tích phần bài tập trong hình học lớp 12 32

III.2.1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa : 34

III.2.2 Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ để giải toán 38

Mở đầu 49

I Hai bài toán thực nghiệm : 50

1 Đề bài: 50

2 Các kiến thức liên quan : 50

3 Các biến Didactic ; 51

II / Phân tích A PRIORI bài toán 52

A Bài toán 1 52

B Bài toán 2 : 56

III./ Phân tích A POSTERIORI 60

A Bài toán 1 : 60

B Bài toán 2 : 61

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

Chương I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA

I Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát

Hình học sơ cấp có đối tượng nghiên cứu là các hình hình học Người ta có thể tiếp cận Hình học sơ cấp ít nhất bằng ba phương pháp khác nhau : phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ

Phương pháp tổng hợp là phương pháp nghiên cứu hình học trên cơ sở một hệ tiên đề

Ở đây các hình hình học được mô tả, biểu diễn bằng các hình vẽ Hình vẽ có một vai trò quan trọng vì nó là điểm tựa trực giác cho quá trình tìm tòi và thực hiện lời giải bài toán Thế nhưng, trong nhiều tình huống, một hình vẽ không thể biểu diễn tất cả các trường hợp của một hình hình học và vì thế lời giải bài toán có thể rất cồng kềnh, người ta phải xét nhiều hình vẽ khác nhau

Phương pháp giải tích : "Với phương pháp này, thông qua trung gian là một hệ tọa

độ, người ta thay thế các đối tượng hình học và quan hệ hình học bằng các đối tượng đại số

và quan hệ đại số Nói cách khác, người ta dịch các tính chất hình học thành những biểu thức

và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số và làm việc thuần túy trong lĩnh vực đại số Ở đây, tính toán đại số là hạt nhân của lời giải bài toán " (Lê Thị Hoài

Châu, 1997) Như thế phương pháp tọa độ cho phép đại số hóa hình học để tận dụng các kỹ thuật của đại số vào nghiên cứu Hình học

Phương pháp vectơ là phương pháp giải toán hình học bằng cách sử dụng vectơ ở đây, với việc định hướng các thực thể hình học, người ta đã xây dựng được các phép toán đại

số trên chúng và từ đó cũng đại số hóa hình học Nhưng, không như phương pháp giải tích, với phương pháp vectơ người ta vẫn ở lại trong phạm vi

hình học, và do đó có thể khai thác phương diện trực giác trong khi vẫn tận dụng được những phương tiện của đại số

Ngoài ra, như tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) đã nói : "Vì vectơ có thể được biểu diễn qua tọa độ, nên tồn tại một phương pháp thứ tư (lưỡng tính), mà chúng tôi gọi là

phương pháp vectơ - tọa độ Ở đây, người ta đặt vectơ vào một hệ tọa độ, và thực hiện các phép toán vectơ qua tọa độ của chúng "

Chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ "Phương pháp tọa độ" để chỉ cách nghiên cứu hình học bằng phương pháp giải tích hoặc phương pháp vectơ - tọa độ

'Trong lịch sử toán, Hình học giải tích ra đời trước khi xuất hiện ý tưởng xây dựng một hệ thống tính toán đại số trong nội tại hình học, ý tưởng dẫn đến sự hình thành nên lý thuyết vectơ vào nửa sau thế kỷ 19 [ ] Thế nhưng, xét về mặt toán học thuần túy thì bước chuyển từ hình học tổng hợp sang hình học vectơ không dựa vào hình học giải tích Người ta

có thể xây dựng Hình học giải tích và Hình học vectơ theo những cách thức hoàn toàn độc lập với nhau

Như vậy, không có gì bắt buộc phải tôn trọng trật tự niên đại trong dạy học : Phương pháp giải tích không phải một cái cầu buộc phải qua để chuyển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp vectơ và ngược lại"

(Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr 113 - 116)

Từ những phân tích trên, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã chỉ ra ba con đường có thể đi theo để đưa vào các phương pháp tiếp cận hình học sơ cấp Đó là :

* Phương pháp tổng hợp → phương pháp giải tích→ phương pháp vectơ

* Phương pháp tổng hợp → phương pháp vectơ → phương pháp giải tích

* Ngoài ra, như đã nói ở trên, phương pháp tọa độ và phương pháp vectơ liên thông với nhau qua trung gian là phương pháp vectơ - tọa độ Vì thế, việc dạy học hình học còn có thể được tiến hành theo con đường thứ ba là : phương pháp tổng hợp sau đó phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ được tiến hành song song

"Mặc dù cả ba con đường trên đều dẫn đến một hình học được đại số hóa, nhưng bản chất của chúng khác nhau Xét về phương diện sư phạm, thì bắt đầu bằng phương pháp vectơ hay phương pháp tọa độ sẽ tạo ra những điều kiện khác nhau cho việc học tập" (Lê Thị Hoài Châu, 1997)

Ở Việt Nam con đường được lựa chọn là :

Phương pháp tổng hợp → Phương pháp vectơ → Phương pháp tọa độ

Vấn đề đặt ra là sự lựa chọn đó có ảnh hưởng gì đến việc học tập phương pháp vectơ

và phương pháp tọa độ Nói cách khác, sự lựa chọn của thể chế dạy học ở Việt Nam sẽ tạo ra những thuận lợi hay khó khăn nào cho việc học tập hình học của học sinh

Để trả lời cho các câu hỏi trên, trước hết ta phải vạch rõ mối liên hệ giữa hai phương pháp này trong dạy học Hình học 12 sau đó tìm hiểu khả năng của học sinh trong việc sử dụng phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ để giải toán

Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi muốn tìm các yếu tố cho phép trả lời là:

H1: Trong thể chế dạy học hình học ở bậc PTTH của Việt Nam, phương pháp tọa độ

được đưa vào như thế nào ? Vectơ đóng vai trò gì đối với việc xây dựng các kiến thức cơ sở cho phương pháp tọa độ ?

H2: Liệu học sinh có khả năng huy động các kiến thức về phương pháp vec tơ và

phương pháp tọa độ để giải toán hình học hay không ?

Trả lời được các câu hỏi này, chúng tôi sẽ hiểu đầy đủ hơn ảnh hưởng của sự lựa chọn thể chế đối với việc học tập hình học, từ đó tìm cách cải tiến hoạt động dạy và học tạo điều kiện thuận lợi cho việc chiếm lĩnh phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ của học sinh

Công cụ lý thuyết của Didactic giúp chúng tôi thực hiện các công việc của đề tài là một số yếu tố của lý thuyết nhân chủng học, trong đó "quan hệ của thể chế đối với một tri thức" và "tổ chức toán học" là hai khái niệm quan trọng đối với nghiên cứu của chúng tôi

Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày sơ lược các khái niệm của lý thuyết Didactic mà chúng tôi dựa vào để phân tích quan hệ của thể chế (dạy học hình học ở lớp 12) đối với phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ

II Khung lý thuyết tham chiếu :

1 Quan hệ thể chế:

Theo Chevallard (1989):

"Một tri thức không tồn tại "lơ lửng" trong một xã hội rỗng : Mọi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, như là được cắm sâu vào một hoặc nhiều thể chế"

Cụ thể hơn, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế và một tri thức có thể sống trong nhiều thể chế khác nhau Để có thể sống trong một thể chế nào đó thì tri thức được nói đến phải tuân thủ theo một số ràng buộc của thể chế này Điều đó kéo theo việc là một tri thức có thể bị biến đổi theo thể chế, nếu không, nó không tồn tại trong thể chế đó

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựa trên ba thuật ngữ: các đối tượng O; các cá nhân X và các thể chế I Trong phạm vi của lý thuyết này, một đối tượng tri thức O được coi là tồn tại ngay khi một cá nhân hay một thế chế nhận biết nó như đã tồn tại Chính xác hơn, người ta nói rằng đối tượng O tồn tại đối với một thể chế I nếu như tồn tại một quan

hệ thể chế R(I, O) từ I đến O và đối tượng O tồn tại đối với một cá thể X nếu tồn tại một quan

hệ cá nhân R(X, O) từ X đến O

Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí của các thành tố trong thể chế Nếu là thể chế dạy học, người ta phải xem xét đến ít nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi hỏi người thầy giáo phải thực hiện Cũng thế quan

hệ thể chế đối với học sinh xác định mà thể chế đòi hỏi người học sinh thực hiện

Trong một thể chế dạy học, cái được thua của việc dạy học là một tri thức Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để nó trở nên phù hợp với quan hệ thể chế Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kì một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tượng thật sự là cái được thua của việc dạy học với những đối tượng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa, hay những đối tượng không hề là cái được thua của việc dạy học nhưng nó hiện diện ở đó) Theo quan điểm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế chiếm giữ một vai trò rất quan trọng trong các thể chế dạy học Điều này Chevallard cũng đã chỉ rõ :

"Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện

và những hiệu quả của nó Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt

Quan hệ thể chế I đối với tri thức O cho biết O xuất hiện ở đâu và như thế nào trong I,

O hoạt động như thế nào và giữ vai trò gì trong I

Đến đây, một vấn đề mới được đặt ra, đó là cần phải xây dựng một phương pháp phân tích các thực tiễn của thể chế Những phát triển mới đây của quá trình lý thuyết hóa nhằm giải quyết vấn đề này, trong đó khái niệm chìa khóa được đưa vào bởi Chevallard là khái niệm 'Tổ chức toán học" (Praxéologie mathématique) và tổ chức didactic (Praxéologie didactique)

Ở đây, để phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ phải sử dụng khái niệm "tổ chức toán học"

2 Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique)

Các hoạt động toán học là trường hợp đặc biệt của hoạt động xã hội, chúng được các nhà nghiên cứu mô hình hóa Ta hiểu : Mô hình là một giả thuyết của nhà nghiên cứu cho phép mô tả và giải thích thực tế Cơ sở của mô hình hóa dựa vào hai định đề cơ bản sau :

Đinh đề 1 : Mọi thực tế thể chế đều có thể phân tích được, theo những quan điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau, thành hệ thống các nhiệm vụ xác định

Định đề 2 : Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một kỹ thuật

Theo Chevallard một "tổ chức toán học" là một bộ tứ được hình thành từ:

1) Các kiểu nhiệm vụ T - hiện diện trong một thể chế nào đó

2) Kỹ thuật τ cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T

3) Công nghệ θ : văn bản lý giải cho kỹ thuật τ

4) Lý thuyết : công nghệ của công nghệ θ

Sự xuất hiện một praxéologie liên quan đến tri thức O cho phép thiết lập mối quan hệ

mà thể chế duy trì đối với O : "Quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí nhất định của thể chế, được định hình và đào luyện bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà các cá thể giữ vị trí này phải thực hiện bằng những kỹ thuật đã được xác định Như vậy, việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà một cá thể thường xuyên gặp dẫn đến thực hiện suốt đời trong những thể chế khác nhau mà nó là chủ thể lần lượt hoặc đồng thời Điều này sẽ làm hé lộ ra mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng được xét (Bosch et Chevallard, 1999, 85)

Cách tiếp cận chương tình và sách giáo khoa (SGK) theo quan điểm của lý thuyết nhân chủng học sẽ cho phép ta thấy được quan hệ của thể chế I đối với tri thức O : O xuất hiện ở đâu, như thế nào ? O có vai trò gì và O hoạt động như thế nào trong I ? v.v Nó cũng giúp chúng ta hiểu được cái mà thể chế đòi hỏi ở mỗi cá nhân (giáo viên và học sinh),hình dung được quan hệ của học sinh đối với tri thức O

Cụ thể hơn, cách tiếp cận này sẽ giúp ta vạch rõ sự lựa chọn thể chế và những điều kiện, những ràng buộc, những ảnh hưởng của sự lựa chọn đó đối với việc xây dựng hoặc làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức O

Đặt trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học, những câu hỏi nghiên cứu của chúng tôi có thể diễn đạt như sau :

- Trong chương trình và SGK hình học lớp 10 và lớp 12 phương pháp tọa độ được xây dựng như thế nào? Phương pháp tọa độ có quan hệ gì với phương pháp vectơ ?

- Liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ học sinh được yêu cầu thực hiện những kiểu nhiệm vụ nào ? Kiểu nhiệm vụ nào được gặp thường xuyên ?

- Sự lựa chọn của thể chế dạy học hình học ở Việt Nam sẽ có ảnh hưởng như thế nào đến khả năng sử dụng phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ của học sinh

III Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

1 Nghiên cứu quan hệ thể chế

Để trả lời cho những câu hỏi trên, trước hết chúng tôi phải nghiên cứu quan hệ thể chế đối với phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ Nghiên cứu thể chế sẽ được tiến hành qua việc phân tích chương trình và SGK hình học lớp 10 và 12 Nghiên cứu này cần phải chỉ rõ phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ được đưa vào chương trình và SGK như thế nào Trong sự lựa chọn của các tác giả chương trình và SGK chúng có mối quan hệ gì ? Người ta yêu cầu học sinh sử dụng chúng ở mức độ nào ?

Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra sự nối khớp của các kiến thức về phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ ở lớp 10 và lớp 12, xem xét ảnh hưởng của các phần đã có ở lớp 10 đối với việc học tập hình học ở lớp 12 Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp l0 và lớp

12

Nghiên cứu quan hệ thể chế này sẽ là nội dung của chương II

2 Nghiên cứu thực nghiệm

Trên cơ sở nghiên cứu quan hệ thể chế chúng tôi sẽ có thể đưa ra những giả thuyết về việc học tập phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ của học sinh lớp 12 Để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết này chúng tôi cần phải trở về với thực tế dạy học Nghiên cứu thực nghiệm sẽ cho phép hợp thức (hay loại bỏ) các giả thuyết đưa ra sẽ là nội dung của chương III

Nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi vạch rõ quan hệ cá nhân của học sinh đối với phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ Chúng tôi sẽ cố gắng tìm trong quan hệ thể chế những yếu tố cho phép giải thích quan hệ cá nhân này, vì hiển nhiên là quan hệ cá nhân, đối với một tri thức, không thể hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế

CHƯƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA

TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC

Mở đầu

Trong phạm vi lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình

và SGK hình học được dùng trong các trường PTTH Việt Nam về SGK, chúng tôi phân tích sách hình học 10 và hình học 12 Chúng tôi chọn bộ sách giáo khoa đã được thống nhất dùng trên toàn quốc kể từ năm học 2000-2001 Sách hình học 10 của tác giả Văn Như Cương và Phan Văn Viện, còn sách hình học 12 là của Văn Như Cương và Tạ Mân

Mục đích của chương này là chỉ rõ vai trò của vecơ đối với việc xây dựng các kiến thức cơ sở của phương pháp tọa độ trong hình học 12 Để thực hiện công việc này, trước hết chúng tôi tiến hành phân tích nội dung và cấu trúc của chương trình hình học quy định cho bậc PTTH Phân tích này sẽ chỉ rõ phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ xuất hiện ở đâu trong chương trình, chúng có vai trò gì và hoạt động như thế nào

Sau đó chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, cụ thể là chỉ ra sách giáo khoa thể hiện các nội dung quy định trong chương trình như thế nào ? Các nội dung liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ được đưa vào bằng cách nào ? Mức độ yêu cầu khi sử dụng chúng là gì Chúng tôi phân tích lý thuyết và bài tập Phân tích lý thuyết cần vạch rõ vai trò của vectơ trong việc xây dựng các kiến thức của phương pháp tọa độ Phân tích phần bài tập sẽ chỉ ra các tổ chức toán học liên quan đến việc sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ để giải toán Công việc này nhằm làm sáng tỏ quan hệ thể chế Cụ thể là chỉ ra được sự lựa chọn ở lớp 12 Hơn nữa, việc chỉ ra các mục đích yêu cầu, các tổ chức toán học giúp chúng tôi cách thức lựa chọn và xây dựng các bài toán thực nghiệm cũng như cho phép

I Phân tích chương trình học ở PTTH

I.1 Chương trình hình học PTTH năm 1989

Cuộc cải cách giáo dục bắt đầu thực hiện vào năm 1990 đã làm biến đổi sâu sắc chương trình hình học PTTH với việc đưa vào phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ Để chuẩn bị cho cuộc cải cách đó, năm 1989 chương trình mới được ban hành Sau mười năm thực hiện, từ những ghi nhận về thực tế giảng dạy và học tập người ta đã chỉnh lý chương trình 1989 Về cơ bản, chương trình chỉnh lý năm 1999 không có gì thay đổi lớn so với chương trình cũ Vì thế, trong phần này, trước hết chúng tôi sẽ phân tích chương trình 1989, sau đó xem xét chương trình mới để chỉ rõ những thay đổi đã được đưa ra

Theo chương trình 1989 việc học hình học ở bậc PTTH được chia làm 3 giai đoạn : Giai đoan 1 : (Hình học 10)

Ở giai đoạn này, học sinh được một khái niệm mới, vectơ, sau đó là các phép toán vectơ Hiển nhiên, trước hết vectơ được nghiên cứu với tư cách là đối tượng toán học Tiếp đến, vectơ được sử dụng làm công cụ để nghiên cứu các hệ thức lượng, các phép dời hình và phép đồng dạng Nhờ sử dụng vectơ mà các định lý, các công thức ở những chương này được chứng minh một cách gọn gàng hơn nhiều so với phép chứng minh bằng phương pháp tổng hợp Chẳng hạn vectơ được dùng để chứng minh định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin trong tam giác; các công thức về diện tích, độ dài trung tuyến của tam giác,v.v Vectơ còn được dùng để xây dựng khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn và chứng minh một số tính chất của phép dời hình, phép vị tự

Như vậy, ở giai đoạn này bước đầu học sinh được làm quen với một phương pháp

giảng dạy nhằm cung cấp một công cụ mới để nghiên cứu hình học đã được nói rõ : Việc đưa

vectơ vào giảng dạy là "một thay đổi cơ bản của chương trình Một công cụ mới - công cụ vectơ- được đề cập đến ở đây Đó là công cụ để xây dựng một phương pháp toán học mới, phương pháp vectơ, một trong những phương pháp cơ bản của toán học " (Văn Như Cương,

Tóm lại, ở giai đoạn này người ta sử dụng phương pháp tổng hợp để nghiên cứu hình học không gian

Như chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, sự lựa chọn của các tác giả chương trình là lấy phương pháp vectơ - tọa độ làm cái cầu để đưa vào phương pháp giải tích trên cơ sở các kiến thức về vectơ

Như thế, với khái niệm tọa độ của vectơ, người ta chuyển các phép toán vectơ được định nghĩa bằng những phép dựng hình học trước đây thành phép toán trên các tọa độ (các số) của chúng, để rồi xây dựng phương pháp tọa độ Chẳng hạn, thông qua các khái niệm vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, người ta lập được phương tình tổng quát cũng như phương trình tham số của đường thẳng và mặt phẳng Điều này chứng tỏ vectơ và công cụ vectơ đóng một vai trò quan trọng trong chương trình

I.2 Chương trình hình học PTTH chỉnh lí hợp nhất năm 1999

Về cơ bản, so với chương trình 1989 thì chương trình năm 1999 không có gì thay đổi Tuy nhiên, chương trình lần này, như quan điểm của Bộ Giáo Dục và Đào tạo, có giảm tải

Cụ thể là :

"Không thay đổi chương trình cải cách giáo dục năm 1989 Giảm tải, nghĩa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội dung quá phức tạp hoặc xét thấy không cần thiết"

(Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10 - tr.5)

Đối với lớp 10, chương trình 1989 yêu cầu học sinh phải "nắm vững các phép toán vectơ và vận dụng vào việc chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn "

(SGV - Trần Văn Hạo, 1990, tr.54) Trong chương trình 1999 cũng giống như chương trình

1989, ở đây, Hình học 12 cũng gồm có 3 phần cơ bản là phương pháp tọa độ trong mặt

Chương I, được dành cho việc nghiên cứu các nội dung liên quan đến đường thẳng, đường tròn, elip, hypebol, parabol bằng phương pháp tọa độ Như thế, ở đây học sinh được tiếp cận một phương pháp mới: phương pháp tọa độ Sau đó, vectơ và các phép toán vectơ được mở rộng vào không gian Euclide 3 chiều, làm cơ sở cho việc trình bày phương pháp tọa

độ trong không gian Hình học không gian đã được nghiên cứu ở lớp 11 bằng phương pháp tổng hợp, đến lớp 12 được nghiên cứu bằng phương pháp mới là phương pháp tọa độ Các nội dung chính của phần này liên quan đến đường thẳng trong không gian, mặt phẳng và mặt cầu

Cụ thể, người ta đưa vào phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, vị trí tương đối của các đường thẳng, các mặt phẳng, một số công thức tính khoảng cách và góc

Theo chúng tôi, người ta đã cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản làm cơ sở cho phương pháp tọa độ Thế nhưng, sử dụng phương pháp này để nghiên cứu hình học như thế nào (cụ thể hơn là để giải những dạng toán nào) thì chương trình chưa xác định một cách

rõ ràng

Như vậy, về cơ cấu, ta thấy các chương trình 1989 và 1999 hầu như giống nhau Cùng nội dung, cùng thứ tự trình bày các vấn đề Cụ thể, hình học lớp 10 nghiên cứu vectơ, các phép toán vectơ, rồi hệ thức lượng trong tam giác, đường tròn và cuối cùng là phép biến hình Lớp 11 hoàn toàn dành cho nghiên cứu Hình học không gian bằng phương pháp tổng hợp Ở Hình học lớp 12, người ta đưa vào phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian

Giống như ở chương trình 1989, trong chương trình năm 1999, người ta cũng lấy các

Tuy nhiên, yêu cầu sử dụng vectơ để giải toán đã được giảm nhẹ trong chương trình

mới Vấn đề này đã được giải thích trong tài liệu hướng dẫn giảng dạy như sau : Trong

chương trình cũ có đặt vấn đề dùng "phương pháp vectơ" để nghiên cứu hình học bên cạnh

phương pháp tiên đề và phương pháp tọa độ "Phương pháp vectơ, như chúng ta đã biết, tỏ ra khá hiệu lực trong khá nhiều bài toán, liên quan đến các vấn đề như: ba điểm thẳng hàng,

bốn điểm đồng phẳng, hai đường thẳng song song hoặc vuông góc, trọng tâm tam giác, tâm

tỉ cự của hệ điểm Tuy nhiên để có thể áp dụng phương pháp đó một cách thành thạo là

chuyện không đơn giản, và kinh nghiệm 10 năm vừa qua cho thấy đa số học sinh rất khó

khăn trong việc tiếp thu và sử dụng phương pháp đó " (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 12

- Tr 73)

Vấn đề đặt ra là chương trình 1999 được thể hiện trong SGK như thế nào ? Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên

II Vectơ với tư cách là công cụ trong SGK hình học 10

Chúng tôi sẽ xem xét ở đây cuốn SGK Hình học 10 của tác giả Văn Như Cương - Phan Văn Viện Đây là cuốn SGK được viết theo chương trình 1999 và kể từ năm 2000 đã được dùng trong tất cả các trường PTTH Việt Nam (không giống giai đoạn 1990 - 2000, tồn tại ba bộ SGK toán PTTH, kể từ năm 2000, cả nước dùng chung một bộ sách)

Với SGK này chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu vai trò của vectơ trong việc xây dựng các nội dung hình học được đưa vào chương trình, tức là xét vectơ với tư cách là công cụ để xây dựng, chứng minh các công thức, định lí được đề cập đến trong Hình học 10 Mặt khác, chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các tổ chức toán học liên quan đến phương pháp vectơ và phương

II.1 Công cụ vectơ với việc trình bày các nội dung Hình học giảng dạy ở lớp 10

Về vấn đề này, tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10 có ghi : "Phương pháp véctơ được dùng để [ ] chứng minh các hệ thức lượng cũng như tính chất của các phép dời hình và phép đồng dạng Có thể nói rằng công cụ vectơ được áp dụng khá triệt để trong chương trình lớp 10" (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, Tr 12, 13)

Nhằm mục đích này, ngay trong chương I, người ta đã đưa vào một số kiến thức cơ sở của phương pháp tọa độ Các nội dung được đề cập gồm : khái niệm trục, hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Tọa độ của điểm, của vectơ đối với trục và hệ trục Ở đây, vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của nó, các phép toán vectơ được thực hiện trên tọa độ các vectơ

Việc chứng minh định lý cosin trong tam giác dựa vào kiến thức về bình phương vô hướng, tích vô hướng, quy tắc ba điểm của vectơ, tức là : ⃗⃗⃗ = | ⃗ |

giáo khoa triệt để lợi dụng lợi thế này của vectơ Chẳng hạn để chứng minh tính bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ qua phép đối xứng trục, nếu dùng phương pháp tổng hợp ta phải chỉ ra rất nhiều trường hợp khác nhau Nhưng việc sử dụng vectơ mang tính chất khái quát và gọn gàng hơn nhiều (không cần phân chia trường hợp) Rõ ràng công cụ vectơ ở đây

Như vậy, trong SGK Hình học 10, tính công cụ của vectơ thể hiện khá rõ qua việc xây dựng các phần của lý thuyết Phần tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ ra vai trò của vectơ trong các tổ chức toán học ở Hình học 10

II.2 Các tổ chức toán học liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong Hình học 10 :

Ở đây chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức toán học để xem xét khía cạnh công cụ của vectơ được khai thác như thế nào trong SGK Hình học 10 Chúng tôi sẽ vạch rõ các tổ chức toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ được đưa vào SGK Các bài tập chúng tôi sử dụng ở đây là các bài tập nằm trong chương I (HH10) và các bài tập trong §3 chương II Ngoài ra còn có các bài tập làm thêm ở chương I và chương II có mặt trong sách bài tập Hình học 10 Chúng tôi tách các bài tập thành hai loại Loại thứ nhất là những tổ chức toán học nhằm củng cố các công thức, định nghĩa đã học liên quan đến phương diện đối tượng của vectơ Nói một cách cụ thể, những kiểu nhiệm vụ thuộc các tổ chức toán học này được đưa ra nhằm giúp học sinh hiểu khái niệm vectơ, phương, hướng của vectơ, cách dựng một vectơ bằng một vectơ cho trước, và rèn luyện kỹ năng biến đổi các biểu thức vectơ, xét sự bằng nhau giữa các vectơ Loại thứ hai liến quan đến phương diện công cụ của vectơ, tức là sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ để giải toán Nói chính xác thì đó là phương pháp vectơ - tọa độ, nhưng vì theo cách dùng từ của chúng tôi, phương pháp tọa độ gồm cả phương pháp vectơ - tọa độ và phương pháp giải tích nên ở đây chúng tôi có thể nói là phương pháp tọa độ

Các kiểu nhiệm vụ thuộc loại thứ nhất:

T1 : Chứng minh một đẳng thức vectơ (9 bài) Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này ta sử dụng các phép biến đổi vectơ, kết hợp các tính chất của phép toán liên quan vectơ, qui tắc 3 điểm, qui tắc hình bình hành

Ví dụ : Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng :

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

T2 : Xác định một điểm thỏa mãn một điều kiện cho trước (6 bài) Để giải quyết các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này ta vận dụng các phép toán cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ với một số và các tính chất của chúng

Ví dụ : Cho ∆ABC Xác định điểm M sao cho: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

T3 :Tính tích vô hướng Kiểu này chỉ có 1 bài trong SGK Hình học 10 và chỉ cần dùng định nghĩa tích vô hướng để tính

Ví dụ : Cho ∆ABC vuông tại A, AB = a; BC = 2a Tính ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Các kiểu nhiệm vụ sử dụng vectơ để giải toán :

T4 : Chứng minh hai điểm trùng nhau (3 bài) Phương pháp giải : Để chứng minh A≡B ta chỉ ra ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

Ví dụ : Chứng minh ∆ABC và ∆A'B'C có cùng trọng tâm khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +

a) Chứng minh rằng AA', BB', CC' đồng qui tại một điểm N

b) Chứng minh rằng khi M di động, MN luôn đi qua trọng tâm G của ∆ABC

T6 : Chứng minh sự vuông góc (2 bài) : Sử dụng phép biến đổi vectơ và tích vô hướng của hai vectơ để chứng minh 2 đường thẳng vuông góc

Ví dụ: Cho ∆ABC có góc A nhọn Ở miền ngoài ∆ABC vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi I là trung điểm BC Chứng minh rằng AI DE

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương pháp vectơ - tọa độ :

• Kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương diện đối tượng của vectơ:

T7 : Viết tọa độ của một vectơ đã được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của 2 vectơ đơn vị trên hai trục (1 bài) Để giải quyết nhiệm vụ này ta cần sử dụng kết quả : ⃗ = (x;y) ⃗ = x + y

Ví dụ : Viết tọa độ của các vectơ ⃗ = - 5 ; ⃗ = 3

T8 : Tìm tọa độ của một vectơ (1 bài) Ở đây ta cần dùng công thức tọa độ của các phép toán vectơ

Ví dụ : Cho 2 vectơ ⃗ = (1; -2) ; ⃗ = (0;3) Tìm tọa độ vectơ = 2 ⃗ - 3 ⃗

T9 : Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước (5 bài) Dùng định nghĩa, kết hợp các tính chất của các hình đã biết để tìm tọa độ của một điểm

Ví dụ : Cho A (0, 4); B(4; 6); C (6; 2) Tìm tọa độ của D sao cho ABCD là hình vuông

• Kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương diện công cụ của vectơ

T10 :Chứng minh ba điểm thẳng hàng và tìm tỉ số của điểm chia đoạn thẳng (2 bài) Kiến thức cần thiết để giải là 2 vectơ cùng phương Phép toán trên tọa độ của vectơ

Ví dụ : Cho A (-1; 1); B (1; 3); C (-2; 0) Chứng minh A, B, C thẳng hàng, tìm tỉ số

mà điểm A chia đoạn thẳng BC

T11 :Tính độ dài đoạn thẳng (2 bài) Kiến thức cần thiết: độ dài AB là độ dài của vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗

Ví dụ : Cho A (4; 6); B (5; 1); C (1; -3) Tính chu vi tam giác ABC

T12 :Chứng minh hai vectơ vuông góc (1 bài) Sử dụng tích vô hướng và biểu thức tọa độ của nó

Ví dụ : Cho điểm A (1; 1); B (2; 4); C (10; -2) Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại A T13 :Tính cosin của góc trong tam giác (1 bài) Để giải quyết nhiệm vụ này ta tính tích vô hướng của 2 vectơ sau đó chia cho tích độ dài của chúng

Ví dụ : Cho điểm A (1; 1); B (2; 4); C (10; -2) Tính cosin B và cosin C

Các kiểu nhiệm vụ này được tổng hợp theo bảng thống kê sau :

Kiểu nhiệm

vụ

Số bài tập

Kiểu nhiệm

vụ

Số bài tập

vectơ để giải toán không được xem là một mục đích quan trọng Chủ yếu người ta quan tâm đến các công thức, định lí cơ bản Một số kiểu sử dụng vectơ để giải toán xuất hiện rất ít Kiểu nhiệm vụ T5 (chứng minh ba đường thẳng đồng qui, đường thẳng đi qua một điểm cố định) Chỉ có một bài và nó được đưa vào ở phần bài tập làm thêm, mà trong thực tế thì các bài tập trong phần làm thêm không được xem là bài tập bắt buộc, chỉ dành cho học sinh khá tham khảo

Kiểu nhiệm vụ T6 (chứng minh sự vuông góc của hai đường thẳng): Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện ở một ví dụ và một bài tập làm thêm, kỹ thuật mong muốn được sử dụng ở đây là chứng minh tích vô hướng của hai vectơ (chỉ phương) bằng 0 Để có được điều đó sẽ phải biến đổi các biểu thức vectơ có chứa tích vô hướng

Kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương pháp vectơ - tọa độ không nhiều, chỉ có 13 bài

Ở các bài tập này chủ yếu người ta yêu cầu học sinh sử dụng trực tiếp định nghĩa, công thức, chưa thực sự rèn kỹ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ Điều đó có thể thấy rõ ở chỗ hầu hết (13/13) các bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ tọa độ Số bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học không có

Ở đây, chúng tôi cũng lưu ý rằng, so với SGK 1990 thì SGK lần này trình bày đã khác nhiều Trước đây, sau mỗi bài học, SGK thường đưa ra một phần gọi là "cách giải một số dạng toán thường gặp" và trong mỗi dạng toán đó, SGK trình bày thành 2 phần : phương pháp giải toán và các ví dụ minh họa SGK năm 2000 không trình bày tường minh các kỹ thuật giải như vậy Mặt khác, trong SGK năm 1990 số lượng bài tập nhiều hơn và có nhiều bài tập khó hơn

Tóm lại, trong hình học lớp 10, vectơ được vận dụng khá triệt để, nhằm trình bày và chứng minh các vấn đề của chương hệ thức lượng và phép biến hình

Tuy nhiên trong phần bài tập, thì người ta lại không coi trọng yêu cầu sử dụng vectơ (có hay không có tọa độ) để giải toán Hầu hết các bài toán chỉ nhằm vận dụng trực tiếp các định nghĩa, công thức, định lí Rất ít bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học mà có thể giải được dễ dàng bằng cách sử dụng công cụ vectơ

III Phương pháp Vectơ và phương pháp tọa độ trong hình học 12

Với SGK lớp 12, chúng tôi cũng xét những vấn đề tương tự như SGK Hình học 10 Ở đây, chúng tôi sẽ phân tích một cách chi tiết vai trò của vectơ với việc xây dựng các kiến thức

cơ sở của phương pháp tọa độ Việc phân tích các tổ chức toán học trong SGK Hình học lớp

12 cũng sẽ được thực hiện cụ thể và chi tiết ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi sẽ thống

kê số lượng câu bài tập, xét xem các kiến thức cần thiết để giải quyết kiểu nhiệm vụ đó đã được đưa vào ở đây như thế nào Các ví dụ minh họa cho mỗi kiểu nhiệm vụ cũng sẽ được giới thiệu

III.1.Phân tích lý thuyết: Mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ Trước hết, như trên đã nói, SGK Hình học 10 đã đưa vào một số kiến thức đầu tiên làm cơ sở cho việc xây dựng phương pháp tọa độ Tuy nhiên, ở lớp này sử dụng phương pháp tọa độ chưa được coi là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh Các phần còn lại của

phương pháp tọa độ sẽ được học ở lớp 12, như chương trình cũng đã chỉ rõ : "Nội dung chương trình Hình học 12 là phương pháp tọa độ trên mặt phẳng và trong không gian Việc trình bày Hình học theo tinh thần của phương pháp tiên đề đã được tiến hành từ lớp 6 đến

lớp 11 Phương pháp tọa độ được bắt đầu ở lớp 10 nhưng chỉ mới giới thiệu tọa độ của vectơ

và của điểm, và các công thức liên quan mà thôi " (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 12 -

trang 71)

SGK Hình học 12 thể hiện khá rõ tinh thần này Trước hết, chúng tôi nhắc lại rằng: thuật ngữ phương pháp tọa độ dùng để chỉ phương pháp vectơ - tọa độ và phương pháp giải tích Đó là phương pháp sử dụng hệ tọa độ làm trung gian để chuyển các bài toán hình học thành bài toán đại số

SGK Hình học 12 gồm có hai chương, ở đây chúng tôi lần lượt phân tích các nội dung của hai chương này Ở mỗi chương chúng tôi sẽ phải chỉ ra các yêu cầu đối với học sinh khi

sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ để giải toán

III.1.1.Chương I: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ở chương này, trước hết người ta nhắc lại một số công thức định lý mà học sinh đã được học ở Hình học 10, không trình bày lại các chứng minh Các nội dung đó là : khái niệm trục, tọa độ của vectơ và của điểm đối với trục Khái niệm hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc, tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ trục, tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số cho trước

Về định nghĩa tọa độ của vectơ đối với trục, sách định nghĩa dựa vào điều kiện cùng phương của hai vectơ Để đưa vào khái niệm tọa độ của một vectơ đối với hệ trục, người ta dựa vào định lý về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo cơ sở và Ngoài ra sách giáo khoa còn nhắc lại công thức tính tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k≠1

(xM = và yM = )và biểu thức tọa độ của tích vô hướng ( ⃗ ⃗ = a1b1 + a2b2 với ⃗ = (a1; a2) và ⃗ = ( b1; b2))

Mục đích của việc nhắc lại này là cho học sinh ôn tập các kiến thức đã được học ở lớp

10 Học sinh học những kiến thức này đã từ khá lâu và sau một thời gian dài không sử dụng,

nên có thể quên Cũng vì vậy mà sách giáo viên có yêu cầu "giáo viên cần đi chậm và thực hành nhiều trên lớp bằng các ví dụ cụ thể "

Trong phần dưới chúng tôi sẽ tiến hành xem xét các nội dung mới được đề cập trong chương I và phân tích cách thức đưa vào từng nội dung đó

a Những vấn đề liên quan đến đường thẳng

Người ta dựa vào các kiến thức về vectơ để đưa vào những vấn đề liên quan đến đường thẳng như phương trình tổng quát, phương trình tham số Muốn thế đầu tiên phải dựa vào khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng Với các khái niệm đó,

ta thấy điểm M thuộc đường thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) và có vectơ pháp tuyến ⃗ = (A;B) nếu

và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 Từ đẳng thức này người ta thiết lập ra được phương trình tổng quát của đường thẳng Cũng như thế, M thuộc đường thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) có vectơ chỉ phương ⃗ = (a; b) nếu và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗ từ đó lập được phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xét theo số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính (chính là các phương trình tổng quát của các đường thẳng đã cho) Ở đây người ta không cần lấy vectơ là vai trò trung gian nữa Thậm chí, dựa vào định thức thành lập

từ các hệ số của phương trình người ta có thể biết được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Nói cách khác, người ta đã hoàn toàn chuyển sang phạm vi của phương pháp giải tích

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng lại được xây dựng nhờ vào các kiến thức vectơ Chẳng hạn, để lập công thức tính khoảng cách từ một điểm M0 (x0;y0) đến đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 người ta làm như sau :

Khoảng cách từ M0 đến A là độ dài đoạn thẳng

M0H (H là hình chiếu vuông góc của M0 lên A) Do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

cùng phương với vectơ pháp tuyến ⃗ nên Do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t ⃗

Vì vậy:

M0H = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |t ⃗ | = | t | | ⃗ |

Đến đây ta đi tính |t | thì sẽ có công thức để tính M0H

Việc tính góc giữa hai đường thẳng được đưa về việc tính cosin của nó thông qua tích

vô hướng dưới dạng tọa độ của hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó

b Các đường bậc hai:

SGK đưa vào các đường bậc hai là đường tròn, elip, hypebol, parabol Phương trình của chúng được thiết lập mà không cần có sự can thiệp trực tiếp của vectơ, vì ở đây người ta dựa vào công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (tất nhiên, trước đây công thức này đã được chứng minh nhờ vào bình phương vô hướng của vectơ)

Điều đáng lưu ý là trong chương I có nhiều vấn đề lý thuyết đưa ra nhưng có rất ít các

- Một ví dụ tìm tâm, bán kính đường tròn khi có phương trình của nó

Như vậy có hai ví dụ cho các đường bậc hai và hai ví dụ cho phần phương trình đường thẳng Đối với các đường bậc hai, vấn đề xác định tâm, bán kính của đường tròn khi

đã cho phương trình của nó, hoặc dựa vào định nghĩa đường conic để viết phương trình của

nó

Chúng ta hãy xem xét 2 ví dụ trong phần đường thẳng

Ví dụ 1 : (Hình học 12 - trang 15) : Các cạnh của tam giác ABC có phương trình: AB

= 2x + 3y - 5 = 0; BC: x - 2y + 1 = 0; CA : -3x + 4y -1 = 0

Viết phương trình đường cao AH của tam giác đó

SGK đưa ra lời giải như sau :

Đường cao AH thuộc chùm đường thẳng tâm A là giao điểm của hai đường thẳng AB

và CA, nên AH có phương trình: λ(2x+3y-5)+ μ(-3x+4y-l) = 0

Ta cần xác định λ và μ để AH vuông góc với BC Một vectơ pháp tuyến của AH là ⃗ = (2 - 3 ; 3 + 4 ) còn một vectơ pháp tuyến của BC là ⃗⃗⃗ = (1; -2) Ta phải có ⃗ ⃗⃗⃗ =0 hay 2λ - 3μ - 2(3λ + 4μ ) = 0

⇔ -4λ-11μ = 0

Ta có thể lấy λ = 11; μ = - 4 Suy ra AH có phương trình: 34x+17y- 51=0

Ví dụ 2 : (trang 19) Giả sử hai đường thẳng cắt nhau :

∆1 :A1 x + B2 y+ C1 = 0

∆1: A2 x + B2y + C2 = 0 Viết phương trình phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆'

Bài giải (SGK)

Điểm M (x; y) nằm trên phân giác khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến ∆1 và đến ∆2

III.1.2 Chương II: Phương pháp tọa độ trong không gian

Các nội dung chủ yếu được trình bày trong SGK là vectơ các phép toán vectơ trong không gian, sau đó là phần hệ tọa độ cùng các nội dung liên quan đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Mở đầu là việc đưa vào khái niệm vectơ trong không gian và các phép toán vectơ Khái niệm vectơ và các phép toán trên đó được định nghĩa hoàn toàn giống như ở lớp 10, tức

là khái niệm vectơ và các phép toán (cộng các vectơ, trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một

số, tích vô hướng của hai vectơ) được định nghĩa như trong mặt phẳng

Sau đó, tương tự như trong mặt phẳng, để định nghĩa khái niệm tọa độ của một vectơ người ta đưa vào định lí về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo cơ sở

Định lí: Nếu ba vectơ ⃗ , ⃗ , không đồng phẳng thì với mọi vectơ ⃗ ta đều có sự phân tích duy nhất là ⃗ = k ⃗ + l ⃗⃗⃗ + m (k, l, m ∈ R)

Đến đây, các khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ trục được xây dựng hoàn toàn tương tự trong mặt phẳng Ví dụ các phép toán cộng các vectơ, phép trừ hai vectơ dựa vào tọa độ, biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong phần vectơ trong không gian, SGK đã đưa ra 4 ví dụ điển hình nhằm ôn lại các kiến thức đã có trong mặt phảng áp dụng vào không gian

Ví dụ thứ nhất : (trang 53) G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

+ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ nhằm chuyển một điều kiện hình học thành một điều kiện về vectơ, hay chính xác

hơn là chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ

Ví dụ thứ hai : (trang 54) Liên quan đến một bài toán phát biểu ở dạng hình học tổng hợp, nhưng có thể giải được phương pháp vectơ (chứng minh sự vuông góc của hai đường thẳng bằng cách tính tích vô hướng bằng 0)

Tương tự như vậy ở ví dụ thứ 3 vấn đề cũng là dùng vectơ để giải toán hình học

Ví dụ 4 giải quyết bài toán chứng minh 3 vectơ đồng phẩn (ở đây người ta chứng minh một vectơ được biểu thị tuyến tính qua 2 vectơ còn lại)

Như vậy, phương pháp vectơ đã được dùng để giải vài bài toán hình học không gian

để giải các bài toán hình học không gian Tuy nhiên phương pháp này không được xem là nội

dung quan trọng của chương trình : "Chúng ta sẽ không đi sâu vào vấn đề vận dụng vectơ để giải các bài toán hình học, tuy nhiên các bài tập trong mục này sẽ giúp cho học sinh vận

dụng các kiến thức về vectơ vào một số bài toán quen thuộc " (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy

toán 12 - trang 84)

So với các bộ SGK trước năm 2000, SGK này có đưa vào một khái niệm mới, đó là khái niệm tích có hướng (tích vectơ) của hai vectơ

Cho ⃗ = (x1; y1; z1 ) ; ⃗ (x2; y2; z2 ) Tích có hướng của hai vectơ ⃗ và ⃗ là một vectơ

có tọa độ là :

Các công thức về khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai vectơ cũng được thiết lập như trong mặt phẳng, tức là được tính thông qua tọa độ các vectơ

Các vấn đề liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng: Người ta sử dụng phương

pháp vectơ - tọa độ để xây dựng phương trình của mặt phẳng và đường thẳng Cụ thể là điểm

M thuộc mặt phẳng (α) đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) có vectơ pháp tuyến là ⃗ = (A; B; C) khi

và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 Từ đẳng thức này này ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng, Về đường thẳng, người ta cũng dựa vào kiến thức về hai vectơ cùng phương để lập nên phương trình tham số, từ đó suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian Cụ thể, điểm M thuộc đường thẳng ∆ qua M0 (X0; Y0) có vectơ chỉ phương ⃗ = (a; b; c) khi và chỉ khi vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương với ⃗ hay ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗ từ đây lập được phương trình tham số

của đường thẳng

Vấn đề xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng dựa vào việc xét tỉ lệ các hệ số trong phương trình tổng quát của chúng Cũng như trong mặt phẳng, khi một phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập thì người ta chỉ cần dựa vào đó để giải các bài toán liên

quan đến chúng Phương pháp vectơ bị "lãng quên ", đọng lại sẽ là những công thức của hình

học giải tích

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được tìm theo cách tương tự như trong mặt phẳng Các công thức tính góc cũng được xây dựng thông qua trung gian là vectơ

Vấn đề phương trình mặt cầu, vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu không cần vai trò trung gian của vectơ

Như vậy, phần lớn các công thức được đề cập trong chương II đều được xây dựng nhờ vào các kiến thức vectơ

Kết luận :

Qua việc phân tích các nội dung lý thuyết được trình bày trong SGK lớp 10 và lớp 12, chúng tôi có thể kết luận được rằng : phương pháp vectơ được đưa vào ở lớp 10, và chủ yếu được sử dụng để xây dựng các kiến thức của các chương còn lại của Hình học 10 Sau đó phương pháp vectơ trong không gian có đề cập ở Hình học 12, nhưng ở đây người ta cũng chỉ dừng lại việc sử dụng chúng để xây dựng các kiến thức cơ sở của phương pháp tọa độ trong không gian

Khái niệm tích có hướng là một khái niệm của phương pháp vectơ tọa độ Đến lượt

nó, nó là công cụ khá hữu hiệu để giải quyết các bài toán: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian và các công thức tính diện tích tam giác, thể tích hình hộp, hình chóp

III.2 Phân tích phần bài tập trong hình học lớp 12

Mục đích của phần này là chúng tôi tiến hành phân tích các kiểu nhiệm vụ chính được đưa vào trong phần bài tập của sách giáo khoa và phần làm thêm trong sách bài tập Hình học

12

Trong các bài tập, mỗi bài có thể có nhiều câu nhỏ a, b, và có thể mỗi câu nhỏ như thế còn có các ý nhỏ Trên cơ sở thống kê toàn bộ bài tập có trong phần lý thuyết cũng như

395 câu nhỏ và phân chia chúng thành 20 kiểu nhiệm vụ chủ yếu khác nhau Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ chúng tôi sẽ thống kê số lượng câu bài tập, các kiến thức cần thiết để giải và cuối cùng là ví dụ minh họa

Trong phần này chúng tôi phân các kiểu nhiệm vụ ra thành hai loại:

Loại một : Từ kiểu nhiệm vụ T1 đến kiểu nhiệm vụ T8 : các kiểu nhiệm vụ này dùng

để nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa Chúng là nền tảng cơ sở cho việc sử dụng phương pháp tọa độ sau này

Loại hai: Các kiểu nhiệm vụ còn lại Các kiểu nhiệm vụ này là dùng phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ để nghiến cứu hình học

III.2.1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa :

Kiểu nhiệm vụ

Số lượng bài tập

Kiến thức cần thiết để giải quyết bài toán Ví dụ minh họa

VD BT SGK

BT làm thêm

T1: Tìm tọa độ của một vectơ,

một điểm

♦ Tọa độ của vectơ :

♦ Tọa độ của điểm : Tọa độ của M là tọa độ của vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

G là trọng tâm Tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ phương trình 3 ẩn số

-Tìm tọa độ vectơ ⃗⃗⃗ =2 ⃗ + ⃗ - 4 với

- Cho M (x; y) Tìm M1 đối xứng với

M qua Ox

- Cho ∆ABC có A (xA; yA; zA); B (xB;

yB; zB); C(xC;yC; zC ) Tìm tọa độ trong tâm G của ∆ABC

- Cho A (2; -1; 7); B (4; 5; -2) Tìm tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phang Oyz

- Tìm giao điểm của đường thẳng x =

T 2 : Viết phương trình của

đường thẳng

4 68 3 ♦ Đường thẳng trong mặt phẳng :

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng qua một điểm và có vectơ pháp tuyến đã biết

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương đã biết

♦ Đường thẳng trong không gian : + Biết một điểm đi qua và một vectơ chỉ phương

+ Biết hai mặt phẳng nhận nó làm giao tuyến

- Viết phương ưình tổng quát các đường cao của ∆ABC với A (4; 5); B (-6; -1) và C (1; 1)

- Viết phương trình tham số đường thẳng d : + d đi qua A (1; 5) và B (-2; 9)

+ d qua A (4; 3; 1) và song song với đường

- Viết phương trình đường tròn qua điểm M(2; 1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

- Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C và xác định tâm bán kính của nó, với A(6;-2;3) B (0; 1;6);C(2; 0;-1)

T 4 : Viết phương trình chính

tắc của các đường conic

(Elip, Hypebol, Parabol)

0 10 0 ♦ Viết phương trình chính tắc của

elip cần biết tiêu điểm và tâm sai hoặc tiêu điểm, độ dài một trục

♦ Viết phương trình chính tắc của Hypebol cần biết tiêu điểm và tâm sai hoặc tiêu điểm, độ dài một trục

- Viết phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm

F 1 (-√ ; 0) và điểm M ( 1; √ ) nằm trên elip

- Viết phương trình chính tắc của Hypebol có tiêu cự bằng 2√ và một