Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh lớp 11 trường THPT (thể hiện qua dạy học hình học không gia

MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN 5 1.1. Tính kế thừa 5 1.2. Hoạt động nhận thức 10 1.3. Các cơ sở khoa học 18 1.4. Kết luận chương 1 21 CHƯƠNG 2: CÁC BIỆN PHÁP VẬN DỤNG TÍNH KẾ THỪA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở TRƯỜNG THPT 22 2.1. Các định hướng Từ cơ sở đó đề ra các biện pháp sư phạm nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập Toán 22 2.1.1. Định hướng 1 22 2.1.2. Định hướng 2 23 2.1.3. Định hướng 3 25 2.1.4. Định hướng 4 28 2.1.5. Định hướng 5 28 2.2. Các biện pháp sư phạm nhằm tổ chức hoạt động nhận thức Toán học cho học sinh trên cơ sở vận dụng tính kế thừa 31 2.2.1. Biện pháp 1 31 2.2.2. Biện pháp 2 46 2.2.3. Biện pháp 3 53 2.2.4. Biện pháp 4 64 2.2.5. Biện pháp 5 82 2.3. Kết luận chương 2 86 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87 3.1. Mục đích thực nghiệm 87 3.2. Nội dung thực nghiệm 87 3.3. Tổ chức thực nghiệm 87 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 90 KẾT LUẬN 92

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện naynhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của họcsinh, đòi hỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyếtnhiệm vụ nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên Vì vậy, việcgiáo dục Toán học ở trường THPT đặt ra yêu cầu đối với người học phải cónền tảng tri thức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụngvào học tập và đời sống Chúng ta biết rằng, không một tri thức, kiến thứcmới hay một công trình khoa học mới nào bắt đầu từ chỗ hoàn toàn trống rỗng

về kiến thức Mỗi tri thức mới hay một công trình khoa học phải thừa kế cáckết quả nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học rất xa khác nhau Hầu nhưhàng loạt phương hướng nghiên cứu mới và các bộ môn khoa học mới xuấthiện chính là kết quả kế thừa lẫn nhau giữa các bộ môn khoa học

Liên quan đến tính kế thừa trong dạy học Toán, đã có một số luận án,luận văn, các công trình nghiên cứu khoa học của các tác giả đề cập đến vấn

đề này Chẳng hạn, luận án Tiến sỹ Giáo dục học của Nguyễn Ngọc Anh

(1999): "Khai thác ứng dụng của phép tính vi phân để giải các bài toán cực

trị có nội dung liên môn và thực tế, nhằm chủ động góp phần rèn luyện ý thức

và khả năng ứng dụng Toán học cho học sinh lớp 12 THPT" [1], các công trình

nghiên cứu của GS.TS Đào Tam (1998): "Bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở

THPT: Năng lực huy động kiến thức khi giải các bài toán" [20], "Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ thông qua việc khai thác các phương pháp khác nhau giải các dạng toán Hình học ở Trường THPT" [21].

Dù khai thác theo định hướng nào, các tác giả đều có quan điểm chungtrên tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy theo Lý thuyết kiến tạo, tức là:học sinh phải huy động kiến thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giảiquyết vấn đề dưới sự hướng dẫn, gợi động cơ của giáo viên

Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

"Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt

động nhận thức cho học sinh lớp 11 trường THPT (Thể hiện qua dạy học Hình học không gian)".

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

2.1 Xác định vai trò, ý nghĩa của việc "vận dụng tính kế thừa đối với

hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua việc giải bài tập Toán".

2.2 Đề ra một số biện pháp thực hiện điều đó

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

3.1 Nghiên cứu một số vấn đề lý luận về tính kế thừa, vận dụng tính kế thừa

trong hoạt động nhận thức.

3.2 Xác định rõ những cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng tính kế

thừa trong dạy học Toán.

3.3 Xác lập những định hướng cơ bản làm cơ sở cho việc xây dựng thựchiện các biện pháp sư phạm

3.4 Xây dựng một số biện pháp thực hiện vận dụng tính kế thừa trong

dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh.

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở bám sát vào chương trình và sách giáo khoa Hình học 11 hiện

hành nếu người thầy giáo biết quan tâm, khai thác và vận dụng tính kế thừa

trong dạy học giải bài tập Toán thì sẽ tổ chức tốt hoạt động nhận thức cho học

sinh và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường THPT

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học Toán, các cơ sở vềTâm lý học, Giáo dục học, Triết học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sáchtham khảo về chương trình Hình học không gian ở trường phổ thông

- Nghiên cứu các bài báo về khoa học Toán học phục vụ cho đề tài.

- Nghiên cứu các công trình, các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài(luận án, luận văn, khoá luận tốt nghiệp, các chuyên đề, công trình nghiên cứukhoa học )

5.2 Thực nghiệm sư phạm:

- Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm

và các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng

- Đánh giá kết quả định tính, định lượng bằng phương pháp thống kêtrong khoa học giáo dục

6 ĐÓNG GÓP LUẬN VĂN

6.1 Về mặt lý luận:

- Làm rõ các cơ sở khoa học, xác định rõ vai trò và vị trí của việc vận

dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh.

6.2 Về mặt thực tiễn:

- Xây dựng được một số biện pháp dạy học để sử dụng tính kế thừa

nhằm tăng cường hiệu quả hoạt động nhận thức của học sinh.

- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên ở cáctrường THPT

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3chương:

Chương 1: Một số vấn đề về cơ sở lý luận

1.1 Tính kế thừa

1.1.1 Các khái niệm về tính kế thừa

1.1.2 Ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa

1.1.3 Tính kế thừa trong hoạt động dạy Toán

1.2 Hoạt động nhận thức

1.2.1 Khái niệm

1.2.2 Một số thao tác tư duy của hoạt động nhận thức

1.2.3 Vai trò của tính kế thừa với tổ chức hoạt động nhận thức cho họcsinh

1.3 Các cơ sở khoa học trong việc vận dụng tính kế thừa trong dạy họcToán ở Trường THPT nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh1.3.1 Cơ sở thực tiễn

1.3.2 Cơ sở Triết học

1.3.3 Dựa vào xu hướng đổi mới phương pháp giảng dạy

1.3.4 Cơ sở Tâm lý - Giáo dục học

CHƯƠNG 1:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 TÍNH KẾ THỪA

1.1.1 Khái niệm về tính kế thừa

Nghiên cứu khoa học là một quá trình xâm nhập vào thế giới của những

sự vật, hiện tượng mà con người chưa biết Vì vậy, quá trình nghiên cứu khoahọc là một quá trình sáng tạo luôn luôn hướng tới những phát hiện mới hoặcsáng tạo mới Nhưng không có một công trình nghiên cứu khoa học nào lạibắt đầu từ chỗ trống không hoàn toàn về mặt kiến thức Mỗi công trình nghiêncứu phải kế thừa các kết quả nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học rất khácnhau Chẳng hạn, khi nghiên cứu Kinh tế học, Marx đã kế thừa những kiếnthức về mô hình Hình học để thiết lập mô hình Toán học của quá trình tái sảnxuất xã hội [8, tr.15]

Vậy tính kế thừa là gì?

Theo Từ điển Tiếng Việt, kế thừa có nghĩa là: Thừa hưởng, giữ gìn và

tiếp tục phát huy [17, tr.187].

Theo một số tác giả khác: Tính kế thừa hiểu là: "Mối quan hệ giữa các

hiện tượng trong quá trình phát triển khi cái mới thay cho cái cũ, bảo toàn

nó một số yếu tố nào của nó" [26].

Ví dụ 1: Khái niệm hình bình hành được phát triển thành khái niệm

hình hộp: Khái niệm cạnh đối được phát triển thành mặt đối và bảo toàn tínhsong song Các cạnh đối là "đoạn" được phát triển thành "hình bình hành" vàbảo toàn tính bằng nhau

Khái niệm hình chữ nhật: được định nghĩa thông qua khái niệm hìnhbình hành bảo toàn hai yếu tố là hai cặp cạnh song song và hai cặp cạnh đốibằng nhau

Tính kế thừa còn hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:

- Tính kế thừa xem như là mối liên hệ giữa các phân môn riêng biệt

trong quá trình dạy học Toán, Vật lý và Toán, Toán và Họa hình, Hình học

và Đại số, Toán THCS và Toán THPT [26].

- Đó có thể là sử dụng các kiến thức có trước khi nghiên cứu các kiến

thức sau trong cùng một môn học [26].

Ví dụ 2: Chương Véctơ và Chương Quan hệ vuông góc [4].

Từ khái niệm tích vô hướng ta có: Đường thẳng a vuông góc với đườngthẳng b khi và chỉ khi tích vô hướng của hai véctơ chỉ phương của hai đườngthẳng bằng 0 Hoặc là mặt phẳng () vuông góc với mặt phẳng () khi và chỉkhi tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến m và n tương ứng của hai mặtphẳng đó bằng 0

- Tính kế thừa cũng có thể xem là yêu cầu nhất quán đối với việc chuyển

kiến thức từ cấp học này đến cấp học khác, lớp này đến lớp khác [26].

Ví dụ 3: Ở lớp 9 các em đã được học về khảo sát hàm số bậc hai có dạng:

y = ax2 Lên lớp 10, các em được khảo sát lại hàm số bậc hai: y = ax2 và trên cơ

sở các bước khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2, người taxây dựng các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.Theo Giáo sư, Tiến sỹ khoa học Nguyễn Cảnh Toàn đã đề cập đến tính

kế thừa thông qua sự phân tích quy luật "Phủ định của phủ định" của Triết học duy vật biện chứng Ông cho rằng: "Không bao giờ có cái "mới toanh" theo nghĩa không dính dáng gì tới cái "cũ" Cái "mới" bao giờ cũng từ cái "cũ" mà ra, các

nhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng lên vai những nhà phát minh thế

hệ trước, kế thừa các thành quả của họ" [24, tr.54] và " hữu hạn lắm mới cókết quả mới trước đó chưa ai biết nhưng tầm quan trọng thì nhỏ bé và tínhkhái quát của nó thấp " [23, tr.55]

1.1.2 Ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa

- Tính kế thừa đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học nóichung và nghiên cứu phương pháp dạy học nói riêng Nói như vậy bởi vì một

người nghiên cứu chân chính không bao giờ đóng cửa cố thủ trong những "kho

tàng" lý luận "riêng có", "của mình" mà bài xích sự thâm nhập cả về lý luận và

phương pháp luận từ các lĩnh vực khoa học khác Hàng loạt phương phápnghiên cứu mới và các bộ môn khoa học mới xuất hiện chính là kết quả kếthừa lẫn nhau giữa các môn khoa học

- Việc nghiên cứu tính kế thừa cũng góp phần quan trọng trong việc pháptriển năng lực trí tuệ chung như: tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng khônggian, tư duy logic và tư duy biện chứng; rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bảnnhư phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát hoá; các phẩm chất tư duy nhưlinh hoạt, độc lập, sáng tạo Những điều nói trên được thể hiện qua việc giáoviên làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những thao tác như: xéttương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen Mọi kiến thức thu nhận được đềuphải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ khôngphải tự nhiên mà có

- Ngoài ra chúng ta có thể vận dụng tính kế thừa trong các hoạt độnghướng đích gợi động cơ, tạo tiền đề xuất phát trong quá trình dạy học Hoạtđộng hướng đích, gợi động cơ sẽ có hiệu quả nếu giáo viên làm cho học sinhthấy được mối liên hệ giữa mục đích đặt ra với tri thức mà học sinh đã có.Còn những tiền đề xuất phát đề cập ở đây là những kiến thức, kỹ năng đặc thùliên quan trực tiếp đến nội dung sắp học đến Có thể thực hiện tốt chức năngnày theo quy trình sau:

Thứ nhất, giáo viên nắm vững tri thức cần truyền thụ (kiến thức, kỹnăng, phương pháp)

Thứ hai, giáo viên cần thiết phải biết những kiến thức, kỹ năng cần thiết

có được học sinh ở mức độ nào

Cuối cùng, tái hiện những kiến thức kỹ năng và phương pháp cần thiết

đó bằng hai cách: Tái hiện tường minh (tức là cho học sinh ôn tập trước khidạy nội dung mới) và tái hiện ẩn tàng (cho ôn tập ở những chỗ thích hợp)[25]

1.1.3 Tính kế thừa trong trong hoạt động dạy toán

Toán học là môn học có tính trừu tượng cao Nó được thể hiện ngay trong

định nghĩa của Ănghen về Toán học: “Toán học là khoa học nghiên cứu về các

quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan” [13, tr.43].

Môn Toán được đặc trưng bởi tính hệ thống logic chặt chẽ của nó, tuy cónhiều vấn đề còn thừa nhận, có những chứng minh chưa thật chặt chẽ do đặcđiểm tâm lý nhận thức của học sinh Nhưng nhìn chung các kiến thức trongmôn Toán từ lớp 1 tới lớp cuối trường phổ thông đều có tính hệ thống, logiccủa nó; kiến thức học trước là cơ sở cho kiến thức học sau; khái niệm học sau

là được minh họa, định nghĩa thông qua các khái niệm học trước; từ các mệnh

đề này suy ra các mệnh đề khác một cách tuần tự Tất cả các kiến thức Toánhọc ở trường phổ thông được sắp xếp như những mắt xích liên kết với nhaumột cách chặt chẽ tạo thành những những mạch xuyên suốt chương trình

Tri thức mới với ý nghĩa đúng đắn của nó, chỉ thực sự được hoà nhập vớivốn hiểu biết của học sinh khi nó được xây dựng trên cơ sở tri thức vốn cócủa học sinh Cũng chính vì vậy mà khi bàn về cách tìm tòi lời giải các bài

toán, G Polya thường nhấn mạnh câu hỏi “Bạn có biết bài toán nào giống nó

không?” [13, tr.55] Cũng theo G Polya: “Thực tế khó mà đề ra một bài toán hoàn toàn mới, không giống một chút nào với các bài toán khác, hay là không

có một điểm nào chung với một bài toán trước đây đã giải" [13, tr.55] Nếu

như có một bài toán như vậy nó tất yếu đã giải được Thực vậy, khi giải mộtbài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả,phương pháp hay là kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó Hiểnnhiên, những bài toán ta dùng tới phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có.Việc trả lời câu hỏi của G Polya thực chất liên hệ tới tính kế thừa trong giảibài tập Toán Mục đích của câu hỏi trên đây để học sinh hoạt động huy độngkiến thức có từ trước và quy lạ về quen

Nhà Toán học A Ia Khinshin lại cho rằng có thể dùng tính kế thừa để

ôn tập trong quá trình dạy học Bởi vì theo ông ôn tập ở đây nhằm củng cố để

dẫn tới kiến thức mới, có thể ôn tập theo từng chủ đề, phân mục để củng cốlại các kiến thức cơ bản là nền tảng cho việc xây dựng kiến thức mới hoặc vậndụng tính kế thừa để xây dựng tính đồng tâm, xoáy trôn ốc trong dạy học.Tất nhiên sự kế thừa trong Toán học đó là theo khuynh hướng chọn lọc,phát triển để đi lên Một lý thuyết mới ra đời khi lý thuyết cũ bất lực trongviệc giải quyết các vấn đề lý luận hay thực tiễn mới đặt ra Lý thuyết mới nàyvừa kế thừa những mặt tích cực của lý thuyết cũ, vừa phủ định những mặt tiêucực của lý thuyết cũ, theo nghĩa là nó giải quyết được những yêu cầu mới mà

lý thuyết cũ tỏ ra bất lực Nếu có tính kế thừa mà không có tính phủ địnhnhững mặt tiêu cực, mặt bất lực thì khoa học Toán học không thể tiến lênđược vì những mặt tiêu cực hạn chế vẫn ở nguyên tại đó, không giải quyếtđược [24, tr.199] Chẳng hạn: Về sự hình thành và phát triển của các tập hợpsố

Sự phát triển các tập hợp số không phải do lý trí chủ quan của các nhàToán học mà do nhu cầu thực tế trong đời sống hay nhu cầu của việc pháttriển kiến thức trong nội bộ Toán học

Tập hợp số được đưa ra đầu tiên là tập số tự nhiên: N =  0; 1; 2; 3; Tập hợp N các số tự nhiên tồn tại mâu thuẫn, các mâu thuẫn đó thể hiệnbắt nguồn từ thực tế cuộc sống, chẳng hạn sử dụng số tự nhiên chưa phản ánhđược các hiện tượng thực tế của thế giới khách quan như: lãi và lỗ, đi tiến và

đi lùi, nhiệt độ nóng và lạnh v.v Trên tập hợp các số tự nhiên phép trừkhông luôn luôn thực hiện được: 5 - 3 = 2; 3 - 5 = ?

Sự mở rộng tập số tự nhiên N sang tập các số nguyên Z hay nói cáchkhác tập hợp Z các số nguyên ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn củatập hợp N các số tự nhiên

Tuy nhiên, trong tập hợp Z các số nguyên xuất hiện những mâu thuẫnmới sau đây:

Trước hết chỉ sử dụng số nguyên chưa phản ánh được các hiện tượngthực tế của thế giới khách quan như: do lũ lụt phải chia lại đất đai hay chia số

cá đánh bắt được, chia số con mồi săn bắt được, chia quà cho các em nhỏ

Từ các phép chia trên dẫn tới thương không là số nguyên Đây cũng chính làmâu thuẫn trong nội bộ Toán học của số nguyên: phép chia không luôn luônthực hiện được: 8: (- 4) = -2; (-7) : 3 = ?

Đứng trước yêu cầu đó, tập hợp các số hữu tỷ Q ra đời nhằm giải quyếtnhững mâu thuẫn của tập hợp các số nguyên Z

Nhưng tập hợp Q các số hữu tỷ lại xuất hiện những khó khăn mới: khôngđáp ứng được nhu cầu của phép đo đạc hay tính toán tồn tại những đoạn thẳng

có độ dài không là số hữu tỷ Chẳng hạn đo độ dài đường chéo hình vuông cócạnh bằng 1, hoặc phép khai căn của một số không âm không luôn luôn thực

hiện được: Q

3

29

4



 nhưng 2 Q

Sự mở rộng từ tập hợp Q sang tập hợp R hay tập hợp R các số thực rađời nhằm giải quyết các mâu thuẫn của tập hợp Q các số hữu tỷ

Tuy nhiên tập hợp R các số thực xuất hiện các mâu thuẫn mới: phépkhai căn không luôn luôn thực hiện được, chẳng hạn, căn của một số âmnhư:  2 ?

Và tập hợp các số phức ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tậphợp R các số hữu tỷ, như vậy ta đã tìm được căn bậc hai của các số âm

Việc học tập của học sinh có kết quả trong một tiết học thường đòi hỏinhững tiền đề nhất định về trình độ kiến thức, kỹ năng sẵn có của người học.Vận dụng tính kế thừa trong dạy Toán chính là giáo viên hướng dẫn, gợi mở

cho học sinh khả năng huy động kiến thức để giải đáp nguồn gốc một khái

niệm, các cách hình thành định lý, hoặc giải các bài tập Toán; tập cho học

sinh biết "quy lạ về quen" trong quá trình giải bài tập Toán Dạy học Toán luôn

phải gắn liền với sự kế thừa và phát triển xây dựng kiến thức mới

Ngày nay, tuy khoa học Toán học ngày càng phát triển và mở rộng hơnrất nhiều nhưng chúng vẫn được xây dựng dựa trên các tập hợp số và các kháiniệm Toán học cơ bản.

1.2 HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC

1.2.1 Khái niệm

Hoạt động nhận thức (HĐNT) là một trong những hoạt động của conngười, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc tổng quát của một hoạt động nóichung, HĐNT là quá trình phản ánh hiện thực khách quan Nhờ có nhận thức

mà con người mới có ý thức về thế giới, nhờ đó con người có thái độ với thếgiới xung quanh, đặt ra mục đích và đưa nó vào đó mà hoạt động Nhận thứckhông phải là một hành động tức thời, giản đơn, máy móc, thụ động mà làmột quá trình biện chứng, tích cực, sáng tạo Quá trình nhận thức diễn ra theocon đường từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừutượng đến thực tiễn Đó cũng là nhận thức đi từ hiện tượng đến bản chất, tùbản chất kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn

1.2.2 Một số thao tác tư duy đặc trưng của hoạt động nhận thức

Phân tích: là tách một hệ thống thành những sự vật, tách một sự vật

thành những bộ phận riêng lẻ

Tổng hợp: là liên kết những bộ phận thành một sự vật, liên kết nhiều sự

vật thành một hệ thống

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại

là hai mặt của một quá trình thống nhất Những hoạt động trí tuệ khác đềudiễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp

Chẳng hạn như xét định lý về trọng tâm của tam giác; trong SGKHình học 10 trình bày theo phép tổng hợp như sau: "G là trọng tâm tamgiác ABC thì GA  GB  GC  0 Với điểm 0 bất kỳ, ta có GAOA OG;

OGOB

GB   ; GC OC OG

Vậy OA OGOBOGOC OG 0 hay 3OGOAOBOC"

Trong chứng minh trên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phân tích đilên như sau: G là trọng tâm tam giác ABC  GAGBGC 0

 OA OGOB OGOC OG 0  3OGOAOBOC

Tương tự: là một dạng của suy luận qui nạp, là suy luận trong đó từ chỗ

hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận các đối tượng nàygiống nhau ở một số dấu hiệu khác A và B cũng có dấu hiệu a, b, c, d, A códấu hiệu riêng i thì B cũng có dấu hiệu i

Trừu tượng hoá: là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm

không bản chất (đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đâymang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hoạt động)

Khái quát hoá: là chuyển thể từ một tập hợp đối tượng sang một tập

hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chungcủa các phần tử trong tập hợp xuất phát Như vậy, ta thấy rằng trừu tượng hóa

là điều kiện cần của khái quát hoá Chẳng hạn, khi dạy định lý trọng tâm tamgiác [7, tr.15], có thể cho các em hiểu khái quát hóa như sau:

+ Với 2 điểm A, B ta có I duy nhất sao cho: IAIB 0

+ Với 3 điểm A, B, C ta có G duy nhất sao cho: GAGB GC 0.+ Với 4 điểm A, B, C, D ta có duy nhất điểm G sao cho:

0GDGC

GB

Điểm I hay điểm G duy nhất nói trên gọi là trọng tâm của đoạn thẳnghay của tam giác, tứ giác

Tuy nhiên đối với học sinh khá - giỏi có thể mở rộng như sau: Cho n điểm

A1, A2 , An tồn tại duy nhất điểm G sao cho: GA1 GA2  GAn 0 Gđược gọi là trọng tâm của hệ n điểm

1.2.3 Vai trò của tính kế thừa đối với việc tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh

Như chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ratrên những bình diện khác nhau Có những khái niệm Toán học là kết quả của

sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có những kháiniệm nảy sinh do sự trừu tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được trướcđó

Dạy học giải bài tập Toán là điều kiện quan trọng để thực hiện tốt cácmục tiêu dạy học, là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạyhọc Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh có thể xem việc giải toán làhình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Các bài toán là phương tiện khôngthể thay thế trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết cácbài toán thực tế Vì vậy, việc tổ chức giải các bài toán có hiệu quả sẽ gópphần quan trọng đối với chất lượng dạy toán Dạy học giải bài tập Toán khôngchỉ dừng lại ở mức độ hướng dẫn học sinh trình bày đúng đắn, đầy đủ và cócăn cứ chính xác lời giải, mà phải biết cách hướng dẫn học sinh thực hànhgiải bài tập theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải, tập cho học sinhkhả năng độc lập giải quyết vấn đề

Việc vận dụng tính kế thừa trong quá trình dạy học Toán học nói chung

và giải bài tập Toán nói riêng nhằm giúp học sinh khắc sâu các định lý, cáckhái niệm Toán học, giúp các em nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơbản vững chắc Trên cơ sở đó phát huy được khả năng tư duy của các em, rènluyện năng lực huy động kiến thức để giải quyết những tình huống có vấn đề

Vận dụng tính kế thừa trong giải bài tập Toán còn góp phần phát triển

tư duy cho học sinh: các em biết cách phát triển các bài tập trong sách giáokhoa phổ thông, biết tổng quát hoá, đặc biệt hoá, quy lạ về quen một bài toánhoặc có thể đề xuất một bài toán tương tự Thông qua dạy học bài giải tập

toán rèn luyện cho học sinh thói quen cũng như khả năng độc lập phát hiện vàgiải quyết các vấn đề có liên quan Từ đó giúp tư duy logic, tư duy sáng tạocủa các em từng bước phát triển, năng lực các em được nâng cao.

Trong thực tiễn dạy học, tính kế thừa đối với hoạt động nhận thức đượcthể hiện qua:

* Các hoạt động gợi động cơ hình thành định lý và giải bài tập Toán

Từ các khái niệm, định lý cơ bản đã học xây dựng các quy trình giải bài toánHình học không gian điển hình

* Khả năng huy động kiến thức cơ bản là các khái niệm, định lý trongsách giáo khoa để giải toán, từ đó hình thành, hệ thống phương pháp giải cácdạng toán điển hình, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trongchừng mực có thể làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã học.Học sinh có thể phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, phát triển một định lý, tínhchất nào đó Tất cả những thao tác tư duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu

và mở rộng kiến thức cho học sinh, giúp các em nhìn các khái niệm, định lýToán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao hoạtđộng nhận thức cho các em

Ví dụ 1: Khái niệm và phương pháp chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng

hàng

Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu chúng nằm trên một đường thẳng.Các cách chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng:

- Chứng minh A, B, C cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

- Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh tạo bởi đường thẳng qua A, B,

C bằng nhau

- Chứng minh đường thẳng AB và đường thẳng AC cùng song song vớimột đường thẳng nào đó

- Chứng minh AB  k.AC, với k  0

sự vật phải xuất phát từ chính bản thân sự vật trong cả quá trình phát triển của

nó, phải xem xét đầy đủ mối liên hệ bên trong của sự vật đó, phải nhận thức

sự vật trong sự phát triển trong sự tự vận động của nó Chính vì thế khi xemxét bài toán, học sinh cần phải xem xét một cách đầy đủ toàn diện với tất cảcác mối quan hệ bên trong bên ngoài, giữa cái chung cái riêng, giữa cái cụ thểvới cái trừu tượng Trên cơ sở đó, dùng phép tương tự hoặc tổng hợp đểchuyển cái riêng thành cái chung, cái cụ thể thành cái trừu tượng… và ngượclại Từ đó hình thành cho các em cái nhìn đầy đủ hơn về lịch sử hình thànhcũng như quá trình phát triển của Toán học

Ví dụ 2: Quá trình hình thành và phát triển của hệ trục tọa độ Đecac

(Descartes) vuông góc ở trường phổ thông:

Người phát minh ra hệ trục tọa độ là Rene' Descartes (1596 - 1650) mộtnhà Triết học kiêm Vật lý và Toán học người Pháp

Để thực hiện từng bước phù hợp với trình độ nhận thức học sinh ở mỗilớp trong từng bậc học, SGK trình bày theo thứ tự:

Để xác định vị trí của một điểm hoặc một véctơ trong không gian, người

ta thường dùng hệ trục tọa độ Đecac vuông góc trong không gian

Đó là một hệ gồm ba đường thẳng

x'Ox, yOy', z Oz' vuông góc với nhau từng

đôi một, trên đó lần lượt chọn các véctơ

đơn vị: e1 OE1,e2 OE2,e3 OE3

Ba đường thẳng ấy gọi là ba trục tọa

độ Trục x'Ox gọi là trục hoành, trục y'Oy

gọi là trục tung và trục zOz' gọi là trục cao

Điểm O gọi là gốc tọa độ (hình 1.1)

độ Afin Phát triển theo các môn học: Số học, Đại số và Hình học Ích lợi củaviệc phát triển này, thể hiện mối quan hệ giữa Số học, Đại số và Hình học:Đại số hóa Hình học, tạo ra công cụ khá đắc lực để giải các bài toán Hình họcnhư: phương pháp véctơ, phương pháp tọa độ

Ví dụ 3: Tính thể tích của tứ diện ABCD cho biết AB = CD = a;

A

F

NC

BM

y'

z

E3

x'

E2E

1

yO

Hình 1.1

Những nếu học sinh biết đặt tứ

diện ABCD (nội tiếp) trong hình hộp

a2  2  2 ; y =

2

bc

a2  2  2 ; z =

2

ac

là tổ hợp các bài toán phẳng

Ví dụ 4: Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, đi qua trung điểm một cạnh

của tứ diện ABCD và vuông góc với cạnh đối diện thì đồng quy [20]

Để giải bài tập trên, chúng ta quan tâm giải bài tập Hình học phẳng liên

quan: "Ba đường cao của tam giác đồng quy", khi giải bài toán này cần xem

các đường cao qua trung điểm của các đoạn AA, BB, CC và vuông góc vớicạnh đối diện BC, CA, AB; theo cách giải có thể chuyển sang cách giải củabài tập không gian như sau:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA; O là tâm đường trònngoại tiếp tam giác ABC; G là trọng tâm của tam giác ABC; H là giao điểmcủa OG và đường cao AA1 khi đó:

Hình 1.2

GOM  GHA vì

2

1GA

Khi đó, học sinh có thể giải bài toán ở ví dụ 4 bằng cách tương tự Gọi

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, O thuộc mặt phẳng trung trực của cạnh CD quatrung điểm N Mặt phẳng qua trung điểm M của AB vuông góc với CD tại I.Mặt phẳng (OMI) cắt mặt phẳng qua M vuông góc với CD và mặt phẳngtrung trực của CD theo hai giao tuyến song song MI và ON Trọng tâm G của

tứ diện ABCD là trung điểm của MN, OG cắt MI tại H GON = GHM 

H là điểm đối xứng của O qua G Có nghĩa là mọi mặt phẳng qua trung điểmmột cạnh và vuông góc với cạnh đối diện qua H (hình 1.4)

1.3 CÁC CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ĐỂ HÌNH THÀNH CÁC ĐỊNH HƯỚNG DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH KẾ THỪA ĐỂ TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH

1.3.1 Cơ sở thực tiễn

Qua thực tế dạy học, chúng tôi thấy:

* Học sinh chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức mới nếu như có nền tảngkiến thức cơ sở vững vàng và khả năng huy động kiến thức đó để giải thíchhoặc chứng minh, tìm tòi kiến thức mới

A

CB

N

M

O

G H

Hình 1.4

* Học sinh khi giải toán thường dựa trên “sự bắt chước” hay nói cách

khác theo ngôn ngữ Toán học đó là xem bài toán đó tương tự như một bài

toán đã giải Các em quan sát, thu nhận và bắt chước giáo viên đã giải bài

toán đó như thế nào và thực hành lại một cách có chọn lọc Giáo viên muốnphát triển khả năng giải các bài tập Toán của học sinh thì phải tạo hứng thúcho học sinh, đảm bảo cho học sinh nhiều điều kiện học hỏi (bắt chước) vàthực hành

* Kiến thức Toán học được trình bày một cách có logic và hệ thốngchặt chẽ từ lớp 1 đến lớp 12 Kiến thức trước là nền tảng của kiến thức sau.Kiến thức sau là sự mở rộng của kiến thức trước Nhưng đa số các em cònlúng túng trong việc ứng dụng khai thác, mở rộng, phát triển các kiến thức.Điều này hạn chế không nhỏ tới việc huy động vốn kiến thức của học sinh,ảnh hưởng đến việc rèn luyện tư duy, khả năng thu nhận kiến thức cũng như

sự hiểu biết thế giới quan khoa học của học sinh

1.3.2 Cơ sở Triết học

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quátrình phát triển Một vấn đề được gợi cho học sinh hứng thú học tập, tự giácđộc lập tìm tòi và khám phá, chính là mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức mớivới kiến thức và kinh nghiệm sẵn có Tình huống này phản ánh một cáchlogic và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinhnghiệm cũ với yêu cầu tìm hiểu, giải thích sự kiện mới, tư duy mới hay đổimới tình thế hoặc bài toán nào đó Và thế cứ mỗi lần mâu thuẫn xuất hiện rồiđược giải quyết thì hiểu biết của học sinh lại tiến thêm một bước theo một quy

luật gọi là “phủ định của phủ định” Như thế có nghĩa là nói có “mâu thuẫn”

xuất hiện tức là có một sự bất lực nào đó của kiến thúc hiện có trước nhiệm

vụ giải quyết hay giải thích một sự việc hay hiện tượng nào đó; như vậy là sựvật hay hiện tượng này phủ định kiến thức hiện có Trước tình hình đó yêucầu học sinh phải tìm cách giải quyết hay giải thích sự vật hiện tượng đó

Nghiên cứu khoa học sẽ đưa đến những kiến thức mới cho phép giải quyết sựvật hay giải thích hiện tượng Những kiến thức này, ban đầu tưởng như mâuthuẫn với kiến thức cũ (phủ định lần 1) nhưng sau khi đã hiểu sâu nó, lại thấythống nhất với kiến thức cũ, trùm lên kiến thức cũ Sự thống nhất này phủđịnh kết quả của lần phủ định trước (cho rằng lý thuyết mới trái với lý thuyếtcũ) Qua hai lần phủ định ta được ta được một lý thuyết mới trùm lên lýthuyết cũ, mở rộng lý thuyết cũ Vì vậy kết quả của sự phát minh sáng tạotrong lĩnh vực khoa học cơ bản bao giờ cũng là kế thừa có mở rộng của mộtkiến thức cơ bản nào đó.

Ta có thể khẳng định các quy luật của phép biện chứng duy vật đã kếtluận: cái mới bao giờ cũng là kế thừa và mở rộng cái cũ Không có cái mớinào tách rời cái cũ Tuy nhiên kiến thức mới phải kế thừa kiến thức cũ mộtcách có chọn lọc, phát triển thì khoa học mới ngày càng tiến lên và trình độnhận thức của học sinh mới ngày càng nâng cao

1.3.3 Dựa trên các quan điểm đổi mới phương pháp giảng dạy

Trong những năm gần đây, khối lượng trí thức khoa học tăng lên một cáchnhanh chóng Theo các nhà khoa học cứ tám năm nó lại tăng lên gấp đôi.Thời gian học tập ở trường phổ thông lại có hạn Để hoà nhập và phát triểnvới xã hội, con người phải tự học tập, trau dồi tri thức các kỹ năng kỹ xảo biếtứng dụng các kiến thức tích luỹ trong nhà trường vào cuộc sống Đứng trướctình trạng đó, các nhà Tâm lý sư phạm, các nhà Giáo dục trên thế giới vàtrong nước đã có những đóng góp tích cực vào công cuộc đổi mới phươngpháp dạy học theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo Lý thuyết kiến tạo(LTKT) là về việc học và pháp huy tối đa vai trò tích cực và chủ động củangười học trong quá trình học tập Đối với hoạt động dạy học Toán, LTKTquan niệm quá trình học toán là: học trong hoạt động, học là vượt qua chứngngại, học qua sự tương tác xã hội, học thông qua hoạt động giải quyết vần đề.Tương thích với quan điểm này về quá trình học tập; LTKT quan điểm về

quá trình dạy học là quá trình giáo viên chủ động tạo ra các tình huống họctập giúp học sinh thiết lập các tri thức cần thiết; là quá trình giáo viên kiếntạo bầu không khí trí thức và xã hội tích cực giúp người học tự tin vào bảnthân và tích cực học tập; là quá trình giáo viên phải luôn giao cho học sinhnhững bài tập giúp họ tái cấu trúc tri thức một cách thích hợp; là quá trìnhgiáo viên giúp học sinh xác nhận tính đúng đắn của các tri thức vừa kiến tạo[10].

Từ quan điểm trên, có thể thấy rằng không có một phương pháp dạy học

"kiến tạo", mà LTKT là một lý thuyết mang tính định hướng, dựa vào đóngười giáo viên lựa chọn và sử dụng một cách có hiệu qủa các phương phápdạy học mang tính kiến tạo Nhưng dù theo phương pháp dạy học nào, giáoviên cũng phải dựa trên vốn nền tảng kiến thức cơ bản của học sinh, kinhnghiệm dạy học của giáo viên, trình độ tiếp nhận tri thức mới của học sinh

1.3.4 Cơ sở Tâm lý - Giáo dục học

Toán học là môn học có tính hệ thống và tuần tự một cách chặt chẽ.Kiến thức Toán học chỉ có thể hiểu kỹ và vững chắc nếu như học sinh nắmchúng một cách có hệ thống, có thể vận dụng chúng một cách linh hoạt vàcũng từ đó mà có cơ sở để rèn luyện tư duy, thế giới quan khoa học, nâng caokhả năng nhận thức của học sinh Vì thế trong quá trình dạy học, giáo viênphải làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa những kiến thức của bài toántrước với các bài toán sau, các bài trong chương, các chương trong giáo trình

và giáo trình này với các giáo trình khác Theo phương châm tư tưởng của

Chủ tịch Hồ Chí Minh: “Từ gốc đến ngọn, từ gần đến xa, từ dễ đến khó, chớ

có tham mau, tham nhiều trong cùng một lúc” [12, tr.148].

Xét về mặt tâm lý học, học sinh chỉ có thể lĩnh hội được những kiếnthức mới vừa với sức của các em với sự nỗ lực trí tuệ nhất định, phù hợp vớitrình độ phát triển trí lực, tâm lý và trình độ tư duy Các em dễ nhận ra vấn đề

mới trong điều quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết,suy đoán các đối tượng có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhấtđịnh chứ không phải đoán mò, từ những biểu tượng của những đối tượng đãbiết có thể hình thành sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biếthoặc chưa có trong đời sống.

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương này, luận văn đã phân tích, làm rõ các vấn đề sau:

- Khái niệm tính kế thừa

- Ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa

- Tính kế thừa trong dạy học Toán

- Khái niệm hoạt động nhận thức và các thao tác tư duy đặc trưng củahoạt động nhận thức

- Vai trò của tính kế thừa với tổ chức hoạt đông nhận thức cho học sinh

- Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các định hướng dạy học

CHƯƠNG 2:

CÁC BIỆN PHÁP VẬN DỤNG TÍNH KẾ THỪA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TỔ CHỨC

HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH

2.1 CÁC ĐỊNH HƯỚNG - TỪ CƠ SỞ ĐÓ ĐỀ RA CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN.

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn phân tích ở chương 1, tư tưởng các biệnpháp có điểm tựa trên các định hướng sau:

2.1.1 Định hướng 1: Dạy học Hình học 11 theo định hướng vận dụng tính

kế thừa nhằm tổ chức HĐNT cho HS trước hết phải đảm bảo các nguyên tắc dạy học toán đặc biệt là nguyên tắc tính hệ thống và tính tuần tự.

Các nguyên tắc dạy học toán là những luận điểm cơ bản làm cơ sở choviệc dạy học môn Toán Các nguyên tắc dạy học Toán liên quan chặt chẽ với

vị trí, nhiệm vụ dạy học Toán, với các quy luật hoạt động nhận thức Toán họccủa học sinh và với đặc điểm môn Toán

Trong dạy học Toán, cần thiết phải đảm bảo nguyên tắc tính hệ thống vàtính tuần tự Các kiến thức muốn được hiểu một cách thấu đáo thì phải đượcsắp xếp có thứ tự và tuần tự từng bước đưa vào hoạt động nhận thức của họcsinh Đặc biệt là trong môn Toán - môn học có tính hệ thống chặt chẽ - kiếnthực Toán học chỉ có thể hiểu kĩ và vững chắc nếu như học sinh nắm đượcchúng một cách có hệ thống và cũng có kiến thức Toán học mới có cơ sở đểrèn luyện tư duy, thế giới quan khoa học Vì thế khi dạy học Toán, cần xácđịnh vị trí của bài học trong toàn chương, trong toàn bộ giáo trình, trong hệthống chương trình Toán để thấy các mối liên hệ giữa những kiến thức củabài đó với nhau, với những kiến thức của bài trước và của các bài sau [12,tr.147]

2.1.2 Định hướng 2: Dạy học Hình học 11 theo định hướng vận dụng tính

kế thừa nhằm tổ chức HĐNT cho HS phải bám sát, khai thác tiềm năng SGK phổ thông.

SGK Hình học được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệmtiên tiến ở trong nước và ngoài nước, theo một hệ thống quan điểm nhất quán

về phương diện Toán học cũng như phương diện sư phạm, đã thực hiện thốngnhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được chỉnh lý nhiều lần chophù hợp với thực tiễn giáo dục ở nước ta

Vì thế khi dạy học theo định hướng vận dụng tính kế thừa nhằm tổ chứcHĐNT cho HS muốn thực hiện tốt thì phải bám sát khai thác một cách tối ưuvào nội dung chương trình SGK Đó có thể là:

- Khai thác các định nghĩa, định lý, các bài tập trong SGK, thông qua đóhọc sinh có thể kiến tạo những bài tập mới, phương pháp giải toán mới

- Phát huy tối đa hiệu quả, ưu điểm các phương pháp giải toán trongSGK, hình thành các kỹ năng giải các dạng bài tập Toán

- Chú ý khai thác các kiến thức ở các lớp dưới, các phương pháp giải chocùng một dạng toán

- Xây dựng các quy trình giải các dạng toán điển hình, từ đó đề ra các bàitập gốc là cơ sở cho việc xây dựng các bài toán nâng cao

Một khi học sinh đã có kiến thức vững chắc, có các kỹ năng giải cácdạng bài tập thì sẽ có niềm tin, hứng thú trong học Toán

Ví dụ 2.1 Khái niệm giao tuyến cả hai mặt phẳng có thể áp dụng để

chứng minh ba điểm thẳng hàng: "Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khichúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt () và ()"

Bài toán 2.1 Cho hình chóp S.ABCD Gọi O là giao điểm hai đường

chéo của đáy ABCD Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại A',B', C', D' A'C' cắt C'D' tại I Chứng minh rằng S, I, O thẳng hàng [15, tr.12]

Xây dựng lời giải:

Giáo viên: Ngoài các cách

chứng minh ba điểm thẳng hàng

trước đây, còn có cách nào khác?

Học sinh: S, I, O thuộc giao

tuyến của hai mặt phẳng phân

Ví dụ 2.2 Công thức tính diện tích một hình phẳng S' = S.cos có thể

dùng để tính góc của nhị diện (hoặc góc của hai mặt phẳng)

Bài toán 2.2 Cho tứ diện gần

đều ABCD Tính góc phẳng của nhị

O

IA'

Giáo viên: Hãy xác định dạng bài

toán?

Học sinh: Là bài toán tính góc

nhị diện của hai mặt phẳng

Giáo viên: Có bao nhiêu cách tính góc nhị diện?

Học sinh: Có hai cách: - Gắn vào tam giác nào đó

- Sử dụng định lý hình chiếu

Giáo viên: Hãy giải bài toán trên qua hai cách đó

Giải:

Cách 1: Gọi I là trung điểm của CD, H là chân đường cao kẻ từ A

xuống (BCD) Do AH = AC = AD nên H là tâm của tam giác đều BCD

Ta có: HI  CD và AI  CD nên góc phẳng của nhị diện (A, CD, B)

là  = AIH Gọi a là cạnh của tứ diện ABCD, ta có:

3a.3

HI



Cách 2: Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống (BCD).

Do AH = AC = AD nên H là tâm của tam giác đều BCD

Trong đó  là góc phẳng nhị diện (A, CD, B)

Từ (1) và (2) suy ra: cos =

31

2.1.3 Định hướng 3: Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập

nhằm tổ chức HĐNT cho HS phải tạo môi trường học tập có tính cởi mở

và hợp tác.

Lý thuyết kiến tạo đặc biệt quan tâm đến việc tạo lập các môi trường họctập cho học sinh Theo quan điểm của Lý thuyết kiến tạo là môi trường học tậpđược thiết lập để nó chứa đựng các nhiệm vụ học tập nhưng không làm chongười học cảm thấy bị áp lực, giúp học sinh tự tin vào bản thân và thấy đượcquyền bình đẳng trong học tập, được trao đổi thông tin với bạn học và đưa ra

ý kiến của bản thân họ Kết quả một giờ học không chỉ được đánh giá ở việchọc sinh thu nhận được khối lượng tri thức phong phú, sâu sắc mà quan trọnghơn là khả năng vận dụng những tri thức đó vào tình huống cụ thể Chỉ khinào học sinh biết biến hoá, nhào nặn những tri thức đã thu nhận được, biếtđiều khiển sử dụng nó, giải quyết tốt một vấn đề thì khi đó học sinh mới thực

sự hiểu thấu đáo vấn đề và làm chủ tri thức của mình

Ví dụ 3.1 Từ kết quả: "Trong hình hộp, tổng bình phương tất cả các

đường chéo của hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó".

Bài toán 3.1 Gọi độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp a,

b, c, O là tâm của hình hộp Chứng minh rằng tổng các bình phương cáckhoảng cách từ một điểm bất kỳ trong không gian đến 8 đỉnh của hình hộpbằng 2(a2 + b2 + c2) + 8MO2

Xây dựng lời giải:

A

1

OD

1

a

b

Hình 2.3

= 2(a2 + b2 + c2) + 8MO2

Đến đây, học sinh có thể phát hiện thêm:

Tổng bình phương các khoảng cách từ điểm M bất kỳ trong không gianđến 8 đỉnh hình hộp đạt giá trị nhỏ nhất bằng hai 2(a2 + b2 + c2) khi điểm Mtrùng với O

Từ đó học sinh có thể nêu ra bài toán mới: "Trong tứ diện, tổng bình

phương chiều dài các cạnh của một hình tứ diện bằng 4 lần tổng bình phương khoảng cách giữa các trung điểm của các cạnh đối của tứ diện".

Ví dụ 3.2 Từ các công thức tính thể tích các hình đã biết như hình hộp,

lăng trụ, hình chóp để tính thể tích đa diện bất kỳ, ta bổ sung vào đa diện cáckhối để tính thể tích để được một khối dễ tính thể tích

Bài toán 3.2 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a,

cạnh bên l Gọi I, J lần lượt là trung điểm A'B', A"C' Tính thể tích hình đadiện A'IJ.ABC

Xây dựng lời giải:

B

IB'

E

Hình 2.4

Kéo dài BI, CJ chúng sẽ cắt nhau

tại E trên AA' Dễ dàng chứng minh

1 - l2.4

3a3

=

16

3a l3

2.1.4 Định hướng 4: Trong quá trình dạy học theo định hướng vận dụng

tính kế thừa tổ chức HĐNT cho học sinh cần chú ý phát triển tư duy Hình học cho các em thông qua các hoạt động kiến tạo tri thức.

Tư duy Hình học mang những nét đặc trưng quan trọng và cơ bản của tưduy Toán học và còn có những đặc điểm sau: việc phát triển tư duy Hình họcluôn gắn với khả năng phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duyHình học luôn gắn với việc phát triển của phương pháp suy luận; việc pháttriển tư duy Hình học ở cấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển tư duy Đại số.Như vậy, để nâng dần các cấp độ tư duy trong dạy học Hình học không gian,việc dạy học phải được chú ý vào:

- Phát triển trí tưởng tượng không gian bằng cách: giúp học sinh hìnhthành và tích luỹ các biểu tượng không gian một cách vững chắc, biết nhìn

nhận các đối tượng Hình học ở các không gian khác nhau; biết đoán nhận sựthay đổi của các biểu tượng không gian khi thay đổi một số dữ kiện.

- Phát triển năng lực hình thành và chứng minh các định lý Hình họcđồng thời với việc rèn luyện năng lực suy luận logic của học sinh

2.1.5 Định hướng 5: Khai thác triệt để các kiến thức, kỹ năng đã có của

người học liên quan đến vấn đề cần dạy.

Thực hiện định hướng này nhằm vào các mục đích sau:

a) Tạo lập các tình huống học tập:

Lý thuyết kiến tạo (LTKT) cho rằng trong quá trình học tập, học sinh phải

phát huy tối đa vai trò tích cực và chủ động LTKT cho rằng: "Tri thức phải

được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể của nhận thức chứ không phải được thu nhận một cách thụ động từ thầy giáo" Đồng thời nó nhấn mạnh tầm

quan trọng của các tri thức đã có, niềm tin và các kỹ năng mang tính cá nhânlàm dậy các kinh nghiệm của việc học Sự kiến tạo tri thức mới như là sự kếtnối những vấn đề đã học với những thông tin mới và sự hăng hái trong học tập.Giáo viên dạy theo quan điểm kiến tạo luôn có thái độ tích cực đối vớicác kiến thức và kinh nghiệm đã có của người học (có thể đó là quan điểm sailầm hoặc không đầy đủ) bởi vì nó là một tiên đề quan trọng giúp HS tạo lậpcác tình huống học tập [10]

Ví dụ: Khi dạy nội dung: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong

không gian ta, có thể tạo lập một tình huống dạy học như sau:

Trong không gian cho hai đường thẳng bất kỳ a và b, hãy chỉ ra các vị trítương đối của hai đường thẳng đó?

Học sinh sẽ dễ dàng trả lời như sau: a // b, a cắt b tại O, a  b Đây là cáckiến thức học sinh đã được học trong Hình học phẳng Khi đó giáo viên đưa

ra tình huống

Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa cáccặp đường thẳng sau: AD và BC; AA' và A'B', AC và BD, A'D' và BB'.

Từ việc trả lời được các câu hỏi

trên học sinh thấy được nhu cầu cần bổ

sung kiến thức cho bản thân và học

sinh thấy được: Với hai đường thẳng

bất kỳ trong không gian thì điều đầu

tiên cần phải xem xét đó là chúng có

đồng phẳng hay không? Và từ đó, giáo

viên đưa ra khái niệm hai đường thẳng

chéo nhau và hai đường thẳng song

song trong không gian

b) Loại bỏ các kiến thức sai lầm của học sinh:

Người học sinh được trang bị kiến thức mới khi họ có thể loại bỏ hoàntoàn các quan niệm sẵn có không còn phù hợp nữa Có hai nguyên nhân là trithức cũ không đủ để loại bỏ những quan niệm sai lầm đó, hoặc giáo viên chưachú trọng đến điều này Người giáo viên cần có thái độ tích cực với các quanniệm sẵn có này của người học, cần tạo điều kiện để học sinh bộc lộ nhữngquan điểm sai lầm hoặc không đầy đủ và làm chúng trở thành điểm nhấn khidạy các kiến thức mới hoặc củng cố bài, từ đó giúp học sinh hoàn thiện nhữngquan niệm chưa đầy đủ hoặc loại bỏ quan niệm sai lầm của họ

Ví dụ: Sau khi học xong khái niệm hai đường thẳng song song trong

không gian, ta xét định lý: Nếu hai đường thẳng a // c và b // c thì a // b Mộthọc sinh đã trình bày cách chứng minh định lý đó như sau:

Nếu a và b không song song thì a phải cắt b tại điểm O nào đó Như vậy

ta có: a, b phân biệt; O  a và a // c, O  b và b // c (vô lý) Vậy a // b

Hình 2.5

Từ cách chứng minh này của học sinh, ta thấy các em vẫn chưa hoàntoàn loại bỏ được sai lầm: nếu hai đường thẳng phân biệt không song song thìphải cắt nhau (thực ra chúng còn có thể chéo nhau).

Chính vì vậy, khi dạy học theo định hướng vận dụng tính kế thừa để tổchức HĐNT, giáo viên phải biết kế thừa để đưa khoa học Toán học phát triển

đi lên chứ không phải dậm chân tại chỗ

2.2 CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRÊN CƠ SỞ VẬN DỤNG TÍNH KẾ THỪA.

Từ các định hướng trên, chúng tôi quan tâm các biện pháp sau:

2.2.1 Biện pháp 1: Gợi động cơ cho việc hình thành định lý và định hướng

giải các bài tập Toán

Biện pháp này được xây dựng dựa trên quan điểm lý luận về kiến tạokiến thức Học sinh phát hiện kiến thức mới dựa trên cơ sở vốn có đó là cáckiến thức cũ, vốn kinh nghiệm đã có Làm cho việc học của học sinh trở nên

tự giác hơn, tích cực hơn và chủ động sáng tạo hơn

a) Gợi động cơ cho việc hình thành định lý:

Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạtđộng và của đối tượng hoạt động Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu

sư phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ

là sự an bài, đặt vấn đề một cách hình thức

Ở những lớp dưới, thầy giáo thường dùng những cách như: cho điểm,khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình để gợi động cơ Càng lênlớp cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giácngộ chính trị ngày càng được nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từnội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, tráchnhiệm đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi bắt đầu dạy một trithức nào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì thế có thể phân biệt gợiđộng cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc

Nhằm phát huy tác dụng kích thích, thúc đẩy hoạt động học tập, cần phảiphối hợp những cách gợi động cơ khác nhau, cách nọ bổ sung cho cách kia[14, tr.142]

Đối với việc dạy học định lý Toán học, người ta phân biệt hai conđường: con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Hai con đườngnày được minh họa bằng sơ đồ sau:

Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn

Qua sơ đồ trên cho thấy, dù đi theo con đường nào chúng ta cũng phảichú ý tới bước gợi động cơ cho việc hình thành định lý Việc gợi động cơ choviệc hình thành định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặctrong nội bộ Toán học [13, tr.383]

Dưới đây chúng ta xét cụ thể một số ví dụ thông qua dạy học các định lý

về hai đường thẳng chéo nhau quan hệ vuông góc:

Ví dụ 1: Gợi động cơ cho việc hình thành định lý đường vuông góc chung

của hai đường thẳng chéo nhau:

Gợi động cơ v phát bià phát bi ểu vấn đề

Dự đoán v phát bià phát bi ểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý

Chứng minh định lý Phát biểu định lý

Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt

ra

Củng cố định lý

"Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một đường thẳng  cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy Đường thẳng  đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b" [4, tr.80].

Để dạy học định lý này, đầu tiên chúng ta có thể gợi động cơ cho họcsinh như sau:

- Hai đường thẳng song song luôn luôn

có đường vuông góc chung

 Xét mô hình hình lập phương

ABCD.A'BCD'

Nếu ta xem a là đường thẳng đi qua B',

C', b là đường thẳng đi qua A', A Khi đó

đường thẳng  đi qua A', B' cắt và vuông góc

với cả hai đường thẳng a, b tại A' và B' (hình

2.6)

 Xét ba đường thẳng x, y, z đôi một

vuông góc và cắt nhau tại O Tìm các đường

thẳng đó lần lượt lấy các điểm A, B, C khác

O Khi đó các đường thẳng AB và z chéo

nhau Hãy dựng một đường thẳng cắt và

vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau

nói trên? Đó chính là đường thẳng d qua O

và d vuông góc AB

 Xét mô hình trực quan mô tả hai đường chéo bất kỳ: đường thẳng thứ

ba cắt và vuông góc làm bằng các thanh thép (hoặc nhôm) được hàn kết vớinhau

Từ các trường hợp riêng hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc vớinhau và xét mô hình trực quan để học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát về

sự tồn tại và duy nhất đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳngchéo nhau.

Ví dụ 2: Xét định lý mở đầu về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

"Nếu đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì  vuông góc với mọi đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P)" [4, tr.59].

Tạo tình huống: Chúng ta có thể dùng các mô hình (có thể làm bằng tấmbìa nhỏ và các dây thép nhỏ) và gợi ý cho học sinh như sau:

Vật liệu: Hai thanh thép (hoặc nhôm) mảnh, thẳng được hàn kết với nhau

ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa vào thanh thép thứ ba vuông góc vớihai thanh nói trên; chúng mô tả các đường thẳng a, b cắt nhau và đường thẳngthứ ba vuông góc với hai đường thẳng kia

thứ ba xuyên qua hai thanh thép a, b và

đồng thời xuyên qua tấm gỗ được giữ

chặt Thanh thép thứ tư được đặc trưng cho đường thẳng  với a, b được cắmxuyên qua tấm ván Khi đó, đường thẳng thứ ba nói trên mô tả đường ' songsong  (hình 2.8)

Khi đó xét đường thẳng c bất kỳ đặt nằm trên tấm ván và cho học sinhnhận xét độ lớn các góc:

Hình 2.8

+ Góc giữa c và ' khi c không song song với a và b.

Trong trường hợp cuối, học sinh có thể kết luận góc (c, ') bằng baonhiêu, giáo viên hướng dẫn đặt đầu thanh thép sát và vị trí giao của hai thanh

a, b nằm trên mặt phẳng (P) sao cho c' // c Học sinh trực giác phán đoán độlớn góc (c', ') bằng 90o

Từ việc xem xét trên, giáo viên cho học sinh phán đoán mệnh đề về gócgiữa đường thẳng c bất kỳ thuộc (P) và đường thẳng ', có nghĩa là góc giữa c

và : "Nếu đường thẳng  vuông góc với hai đường cắt nhau a, b thuộc mặt

phẳng (P) thì  vuông góc với mọi đường thẳng c thuộc (P)".

Ví dụ 3: Gợi động cơ phát hiện định lý: "Nếu mặt phẳng () chứa hai

đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng () cho trước thì mặt phẳng () và () song song với nhau" [4, tr.33].

Tạo tình huống: Hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (hình 2.9a) làmbằng bìa hoặc gỗ mỏng được cắt thành hai nửa ((hình 2.9b) và (hình 2.9c)) vàchúng có thể gắn kết lại bằng những nam châm mỏng

Giáo viên cho học sinh quan sát (hình 2.9a) và nhận xét mặt phẳng(ABCD) song song với mặt phẳng (A1B1C1D1) Cho học sinh nhận xét tiếp cáccặp đường thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB, CD) đều có tính chất cắt nhau vàsong song với mặt phẳng (A1B1C1D1) Giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh:

"Cần bao nhiêu cặp đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 D 1 )?".

"Hãy quan sát hai hình được cắt ra: ở (hình 2.9b) chỉ có hai đường BA', BC' cắt nhau song song với mặt phẳng (B 1 C' 1 A' 1 ) và (hình 2.9c) chỉ có cặp đường thẳng (DA", DC") mỗi đường song song với mặt phẳng (A" 1 C" 1 D 1 ) Tuy nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A 1 BC 1 ); (A' 1 B 1 C' 1 ) song song với nhau và (DA"C"), (D 1 A" 1 C" 1 ) song song với nhau".

Từ các tình huống trên đề xuất học sinh phát biểu điều kiện để mặtphẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nhằm phát hiện định lý

b) Gợi động cơ định hướng giải bài tập:

Trong quá trình dạy học tìm phương pháp chung giải toán cần có nhữnggợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải.Việc gợi động cơ định hướng giải các bài tập Toán thường được xẩy ra thôngqua việc sử dụng các quy trình giải các dạng toán điển hình hoặc sử dụng cácbài tập gốc Thông qua các quy trình hoặc các bài tập gốc, giáo viên hướngdẫn học sinh giải bài toán theo quy trình hoặc tương tự bài tập gốc

Sau đây là một bản gợi ý về căn bản dựa theo Polya được tác giả Nguyễn

Bá Kim đề cập trong "Phương pháp dạy học môn Toán", chúng ta có thể áp

dụng các bước 1, 2 để gợi động cơ định hướng giải bài tập

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.

* Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điềukiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

* Hãy vẽ hình Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp

* Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điềukiện đó thành công chức hay không?

D1

* Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc cócùng cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?

* Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng mộtđịnh lý nào đó không?

* Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể

sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụngphương pháp giải bài toán đó Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thìmới áp dụng được bài toán đó hay không?

* Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khácnữa? Quay về những định nghĩa

* Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán

có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trườnghợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán haykhông? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìmđược xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn cóthể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìmhay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cầnthiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?

* Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiệnhay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

* Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗibước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán haykhông?

* Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếpngay kết quả không?

* Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ralời giải ngắn gọn và hợp lý nhất [13, tr.420-422]

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng cần quan tâm cho học sinhbiết kiến thức nào là cơ sở và kiến thức nào có thể để học sinh tự học hoặc tựsuy luận được trên cơ sở kiến thức đã được lựa chọn truyền thụ cho học sinh.Hoặc giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán gốc đểcủng cố các khái niệm, định lý Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sứcquan trọng và ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bàitập gốc còn góp phần định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất làcác dạng toán có quy trình giải Việc thực hiện quy trình trong dạy học toánkhông những hướng cho học sinh tới tư tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiệncho sử dụng mềm mại, uyển chuyển các phương pháp dạy học khác nhau, dựavào những kiến thức cần truyền đạt để dạy học sinh tưởng tượng, phát triểntrực giác Toán học, giúp học sinh phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo.Chúng ta hãy xét các ví dụ sau:

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD thuộc mặt phẳng (P) Gọi S là điểm

không thuộc mặt phẳng (P) Các điểm M, N lần lượt là trung điểm các đoạn

AB và SD Xác định giao tuyến của các mặt phẳng

là đường thẳng AB

- Hãy vận dụng quy trình trên để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SMN) và (P)?