Bài báo này trình bày một phần tử dầmcột có thể mô phỏng tác động bậc hai và sự chảy dẻo của kết cấu khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh. Hàm chuyển vị của cấu kiện dầmcột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp xỉ bằng hàm đa thức bậc năm thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện. Từ đó một ma trận độ cứng với các hàm ổn định có xét đến hiệu ứng cung được thiết lập để giả lập chính xác tác động bậc hai. Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo. Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu khung thép phẳng được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa trên thuật toán giải phi tuyến theo phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất và kết quả phân tích của nó được chứng minh là tin cậy qua các ví dụ số.
Trang 1PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG DÙNG HÀM CHUYỂN VỊ ĐA THỨC BẬC NĂM
NONLINEAR ANALYSIS OF PLANAR STEEL FRAMES USING FIFTH-ORDER POLYNOMIAL DISPLACEMENT FUNCTION
Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh, Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường
Bài báo này trình bày một phần tử dầm-cột có thể mô
phỏng tác động bậc hai và sự chảy dẻo của kết cấu khung thép
phẳng chịu tải trọng tĩnh Hàm chuyển vị của cấu kiện
dầm-cột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định
xấp xỉ bằng hàm đa thức bậc năm thỏa các điều kiện tương
thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện Từ
đó một ma trận độ cứng với các hàm ổn định có xét đến hiệu
ứng cung được thiết lập để giả lập chính xác tác động bậc hai
Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự
chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết
khớp dẻo Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu
khung thép phẳng được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình
MATLAB dựa trên thuật toán giải phi tuyến theo phương
pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư
nhỏ nhất và kết quả phân tích của nó được chứng minh là tin
cậy qua các ví dụ số
Từ khóa: Khớp dẻo, hiệu ứng cung, phân tích phi tuyến,
khung thép, hàm đa thức bậc năm
ABSTRACT
This paper presents a beam-column element capable of
modeling the second-order effects and the inelasticity of
planar steel frame structures under static loads The
displacement function of a beam-column member subjected to
axial forces and bending moments at the ends is
approximately assumed to be a fifth-order polynomial
function satisfying the compatible and equilibrium conditions
at the mid-length and ends of the member Then a stiffness
matrix with stability functions considering the bowing effect
is formulated in order to simulate the second-order effects
accurately The end plasticity factors are used to model the
gradual plastification of two end element sections by
plastic-hinge assumption A structural nonlinear analysis program of
steel frame structures is developed by MATLAB
programming language based on the arc-length method
combined with minimum residual displacement method and
its analysis results are proved to be reliable through some
numerical examples
Keywords: Plastic-hinge, bowing effect, nonlinear analysis,
steel frames, fifth-order polynomial function
ThS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm
Khoa Xây dựng & Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Tp.HCM
NCS, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa –
Đại học Quốc gia Tp.HCM
KS Lê Nguyễn Công Tín
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Công nghệ Tp.HCM
ThS Nguyễn Tấn Hưng
Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học
Bách khoa – Đại học Đà Nẵng
PGS.TS Ngô Hữu Cường
Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM; Email: ngohuucuong@hcmut.edu.vn
Trong phân tích phi tuyến kết cấu, phương pháp dầm-cột được xem là phương pháp đơn giản và hiệu quả trong việc mô phỏng tác động phi tuyến mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết cho phân tích thiết kế thực hành như đã được nghiên cứu
và phát triển bởi Lui & Chen (1986) [1], Liew và cộng sự (2000) [2], Kim & Choi (2001) [3], Ngo-Huu & Kim (2012) [4], Tuy nhiên, việc sử dụng hàm ổn định chính xác từ lời giải giải tích của cấu kiện dầm-cột gây khó khăn trong việc khai triển công thức trong quá trình thiết lập ma trận độ cứng phần tử Năm 1994, Chan & Zhou [5] đã đề xuất hàm chuyển
vị xấp xỉ đa thức bậc năm cho cấu kiện dầm-cột và thiết lập
ma trận độ cứng phần tử có xem xét tác động bậc hai bằng phương pháp thế năng toàn phần dừng Ưu điểm của việc sử dụng hàm này là sự đơn giản trong việc thiết lập công thức mà vẫn đảm bảo độ chính xác như hàm ổn định lượng giác truyền thống
Nghiên cứu này sử dụng dạng hàm chuyển vị đa thức bậc năm của Chan & Zhou [5] để xây dựng ma trận độ cứng phần
tử có xem xét tác động phi tuyến hình học theo lý thuyết dầm-cột Hiệu ứng cung được kể đến để xem xét sự thay đổi chiều dài phần tử do sự uốn cong của phần tử khi chịu lực Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được sử dụng để mô phỏng ứng xử phi tuyến vật liệu Để giải hệ phương trình cân bằng phi tuyến, phương pháp chiều dài cung (arc-length method) kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất (minimum residual displacement method) được lựa chọn để áp dụng do có tốc độ hội tụ cao Một chương trình máy tính được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để tự động hóa việc phân tích ứng xử phi tuyến của khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh
Kết quả phân tích được so sánh với kết quả các nghiên cứu trước đó chứng tỏ độ tin cậy của chương trình phát triển
2.1 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5
Xét phần tử dầm-cột đàn hồi chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu phần tử như trong Hình 1
θ1
θ2
F
M 2
M 1
L
∆(x) x
Hình 1 Phần tử dầm-cột điển hình
Phương trình vi phân của phần tử dầm-cột:
(1a)
Trang 2( ) ( ) ( )
(1b)
Áp dụng các điều kiện biên, ta được quan hệ giữa
mô-men và góc xoay:
θ θ
=
với s s1, 2 được gọi là các hàm ổn định Kết quả lời giải
giải tích của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s s1, 2
được trình bày như trong Bảng 1
Bảng 1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm
ổn định s s1, 2
( )x asin x bcos x
cx d
+ +
( )x asinh x bcosh x
cx d
+ +
1 2
1 cos sin cos 1
2 2cos sin
2 2cos sin
1 cos
2 2cos sin
2 2cos sin
c
λ λ λ θ λ λ θ
λ θ θ
λ λ λ
λ λ λ θ λ λ θ
=
=
=
= −
1 2
1 cosh sinh cosh 1
2 2cosh sinh sinh cosh sinh
2 2cosh sinh
1 cosh
2 2cosh sinh sinh cosh sinh
2 2cosh sinh
c
λ λ λ θ λ λ θ
λ θ θ
λ λ λ
λ λ λ θ λ λ θ
=
=
=
= −
2
1
2 2 cos sin
−
=
2 1 cosh sinh
2 2 cosh sinh
−
=
2
2
sin
2 2 cos sin
−
=
2 2
sinh
2 2 cosh sinh
−
=
EI
λ= cho cả hai trường hợp F ≤ 0 và F > 0)
Để đơn giản hóa các phép biến đổi toán học, hàm chuyển
vị ∆( )x được xấp xỉ bằng đa thức bậc 5:
∆ x =a x +a x +a x +a x +a x+a (3)
Các hệ số a i(i=0 ~ 5) được xác định từ việc cho hàm
chuyển vị giả thiết ở trên thỏa các điều kiện tương thích và
điều kiện cân bằng Các phương trình được trình bày như sau:
( )x x=0 0
( )x x L= 0
( )
1 0
x
∆
=
( )
2
x L
∆
= θ
2
1 2
2 2
L
x
L
=
(8)
3
3
dx
(9)
( )
2
0
x
= −
(10)
( )
2
x L
(11)
Từ các phương trình (6) đến (11) ta xác định được các hệ
số a i (i=0 ~ 5), từ đây ta xác định được các hàm ổn định
1, 2
s s theo q=λ2 như trong Bảng 2
Bảng 2 Lời giải của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định
1, 2
s s khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5
5 4 3 2
2 1 0
x a x a x a x
a x a x a
5 4 3 2
2 1 0
x a x a x a x
a x a x a
( )( )
( )( )
( )( )
( )
0
2
0
a
4 80
a a
a
a
q a
L q
θ
θ θ
=
=
= −
=
= −
+
=
−
( )( )
( )( )
( )( )
( )
0
2
0
a
4 80
a a
a
a
q a
L q
θ
θ θ
=
=
= −
=
= −
+
= +
2 1
4 3 256 3840
s
=
2 1
4 3 256 3840
s
=
2 2
s
=
2 2
s
=
Kết quả các hàm ổn định đề xuất và hàm ổn định truyền thống theo lời giải giải tích được trình bày như trong Hình 2 cho thấy hàm ổn định đề xuất có độ chính xác khá cao Với các hàm ổn định đề xuất, ta dễ dàng xác định được các đạo hàm của các hàm ổn định s s1′ ′, 2 trong các công thức tính toán nội lực nút phần tử ở phần sau
Hình 2 So sánh các hàm ổn định
Trang 32.2 Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử
Ta có:
2
2
0
1 2
2
L
δ
δ
∆
∫
(12)
Theo Oran [6], lực dọc được viết lại như sau:
A
L
Trong đó, b b1, 2là các hàm hiệu ứng cung được xác định
theo các hàm ổn định s s1, 2 và q=λ2như sau:
2
;
2
;
Sử dụng MAPLE, tác giả chứng minh được các quan hệ
sau:
s′= − b +b s′ = − b −b khi F ≤ 0 (15a)
s′= b +b s′ = b −b khi F > 0 (15b)
Gọi e 1 và e 2tương ứng là hệ số chảy dẻo mô tả mức độ
chảy dẻo ở hai đầu mút phần tử (0≤e e1, 2≤1); trong đó, e 1
và e 2 có giá trị bằng 1 nếu tiết diện vẫn còn hoàn toàn đàn hồi,
bằng 0 nếu tiết diện đã chảy dẻo hoàn toàn và có giá trị nằm
giữa 0 và 1 nếu tiết diện đang chảy dẻo Theo Liew và cộng sự
[7], quan hệ mô-men và góc xoay được viết lại như sau:
θ θ
Trong đó, các giá trị s1p,s2p,s3p được xác định theo các
hàm ổn đinh s s1, 2 và các hệ số e e1, 2:
Từ (13), (15a), (15b) lực dọc được hiệu chỉnh lại như
sau:
A
L
(Biểu thức lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “–“ khi F ≤ 0)
Với:
2
1 2 2 2 1
1
2 1 2 2
2
1 2 2 2 1
1
2s
;
2s
1
p
p
p
s s s s
s
s e e s
s s s s
s
(19)
2.3 M a trận độ cứng phần tử dầm-cột
Sơ đồ lực và chuyển vị đầu mút của phần tử dầm-cột
được trình bày như trong Hình 3
θ1
θ2
F
M 2
M 1
L
(M 1 + M 2 ) L
(M 1 + M 2 ) L
δ
F
u
u 6
u 3
z
z 6
z 3
Hình 3 Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột
Ta có quan hệ giữa các thông số hình học và các chuyển
vị đầu mút phần tử như sau:
(u4 u1)
u
L
u
L
Nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương và trong hệ tọa độ tổng thể:
T
Trong đó, [T] là ma trận chuyển của phần tử dầm-cột
khung phẳng
[ ]
c c T
c c
(25)
Ma trận độ cứng phần tử trong tọa độ địa phương và tọa
độ tổng thể được xác định như sau:
{ } { }
T
z k
u
∂
=
∂ hay ( ), ( ),
j i
z z
∂ ∂
= = =
[ ] [ ]T [ ]
Khai triển (26) bằng phần mềm MAPLE, ta xác định được ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử:
= +
Trong đó:
2
3
0
0
2
.
G
p
L
A I
L L
+
−
=
(29)
Trang 4( ) ( )
2
2 2
2
A
0
.
T L
L
θ
(30)
T = − s′θ +s′ θ T = − s′ θ +s′ θ khi F ≤ 0 (31a)
T = s′θ +s′ θ T = s′ θ +s′ θ khi F > 0 (31b)
Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đề xuất ở trên có xét
đến ảnh hưởng bậc hai và tác động phi tuyến vật liệu thông
qua các hàm ổn định s1p,s2p,s3pđã được hiệu chỉnh theo các
hệ số chảy dẻo và các góc xoay ở hai đầu phần tử
2.4 Phân tích phi tuyến vật liệu
Để kể đến ảnh hưởng của ứng suất dư trong mặt cắt tiết
diện dưới tác dụng của lực dọc, tác giả sử dụng khái niệm
mô-đun tiếp tuyến E t được đưa ra bởi Hội đồng nghiên cứu cột
của Hoa Kỳ (CRC – Column Research Council):
t
y
t
(32)
Bên cạnh đó, để kể đến tác động đồng thời của lực dọc
và mô-men uốn, đường cường độ Orbison [8] được sử dụng:
α= + + =
Theo Liew và cộng sự [7], hệ số chảy dẻo e được xác
định theo công thức e=h( )α =4α(1−α), với α là thông số
dẻo được tính theo độ lớn của lực dọc và mô-men ở hai đầu
mút cấu kiện
2.5 Thuật toán giải phi tuyến
Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp
chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ
nhất được Chan và Zhou [5] đề xuất để giải hệ phương trình
phi tuyến
Phương trình cân bằng gia tăng được trình bày như sau:
T
Trong đó: ∆P là véc-tơ lực không cân bằng, ∆u là gia
số chuyển vị, P∆ là véc-tơ song song với véc-tơ tải, ∆u là
véc-tơ chuyển vị kết hợp và ∆λ là hệ số điều chỉnh tải
Ở bước lặp đầu tiên, lấy ∆λ1 theo công thức của phương
pháp chiều dài cung:
{ } { }
1
T
arc length
λ
∆ =
(35)
Ở bước thứ 2 trở đi, ∆λi (i ≥ 2) được xác định từ điều
kiện chuyển vị dư nhỏ nhất:
0
T
i
λ
∂ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆
Đơn giản biểu thức (36), ta được:
{ } { }
T i
i
Một chương trình phân tích kết cấu được phát triển bằng MATLAB để áp dụng phân tích phi đàn hồi bậc hai cho khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Các kết quả phân tích được so sánh và đánh giá với kết quả của các nghiên cứu trước đó qua các ví dụ số sau
3.1 Cột hai đầu khớp
Cột thép hai đầu khớp chịu lực nén đúng tâm tại đầu cột với các thông số như trong Hình 4 được Ngo-Huu và Kim [4] phân tích bằng phương pháp khớp thớ trong các trường hợp có
và không có xét đến ảnh hưởng của ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện Ở ví dụ này, tác giả phân tích cột bằng 1 phần tử đề xuất
P
31 E = 200 GPa
σy = 250 MPa
ry = 51.2 mm
Hình 4 Cột hai đầu khớp
Kết quả đường cường độ cột theo (P P/ y) và
Bảng 3
Hình 5 Đường cường độ cột hai đầu khớp chịu lực dọc trục
tại đầu mút
3.2 Khung 2 tầng 1 nhịp
Khung 2 tầng 1 nhịp với các thông số như Hình 6 được Chan và Chui [9] phân tích đàn hồi và phi đàn hồi và được mô phỏng bằng một phần tử đề xuất cho một cấu kiện trong nghiên cứu này
Kết quả đường tải trọng – chuyển vị đỉnh ∆ trong phân tích phi tuyến đàn hồi và phi đàn hồi của khung được thể hiện
ở Hình 7 và Hình 8 Đường tải trọng – chuyển vị của chương trình đề xuất gần như trùng khớp với kết quả của Chan &
Trang 5Chui Giá trị tải giới hạn trong phân tích của khung được trình
bày ở Bảng 4 với sai số lớn nhất chỉ khoảng 2%
Bảng 3 Kết quả tỷ số tải tới hạn (P/P y) của cột hai đầu khớp
L (mm) λ c
(P/P y )
Euler
CRC Ngo-Huu & Kim Tác giả Sai số (%)
Có ƯSD
Không xét ƯSD
Có ƯSD
Không xét ƯSD
Có ƯSD
Không xét ƯSD
Có ƯSD
1141.97 0.25 16 0.9844 0.9870 0.9870 0.9960 0.9858 0.14
2283.95 0.50 4 0.9375 0.9870 0.9360 0.9960 0.9396 0.22
3425.92 0.75 1.7778 0.8594 0.9870 0.8610 0.9960 0.8604 0.12
4567.84 1.00 1.0000 0.7500 0.9880 0.7600 0.9825 0.7493 1.75 0.09
6851.90 1.50 0.4444 0.4444 0.4450 0.4450 0.4371 0.4371 1.64 1.64
9135.78 2.00 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2474 0.2474 1.04 1.04
11419.73 2.50 0.1600 0.1600 0.1600 0.1600 0.1587 0.1587 0.81 0.81
13703.67 3.00 0.1111 0.1111 0.1120 0.1120 0.1100 0.1100 0.99 0.99
15987.62 3.50 0.0816 0.0816 0.0820 0.0820 0.0817 0.0817 0.12 0.12
18271.56 4.00 0.0625 0.0625 0.0630 0.0630 0.0626 0.0626 0.16 0.16
20555.51 4.50 0.0494 0.0494 0.0500 0.0500 0.0498 0.0498 0.81 0.81
22839.45 5.00 0.0400 0.0400 0.0400 0.0400 0.0405 0.0405 1.25 1.25
20'
P
0.01P
0.02P
W14×48
W14×48
E = 29000 ksi
σ y = 36 ksi
∆
P
Hình 6 Khung 2 tầng 1 nhịp liên kết ngàm
Hình 7 Quan hệ tải trọng - chuyển vị đỉnh ∆với phân tích đàn
hồi
3.3 Khung 4 tầng 2 nhịp
Khung thép 4 tầng 2 nhịp với các thông số hình học như
Hình 9 được Kukreti và Zhou [11] phân tích bằng phương
pháp khớp dẻo hiệu chỉnh Mô-đun đàn hồi E = 200 GPa, ứng
suất chảy dẻo σy = 250 MPa, P = 60 kN và H = 31 kN Ở ví
dụ này, khung được mô phỏng bằng một phần tử đề xuất
Hình 8 Quan hệ tải trọng - chuyển vị đỉnh ∆ với phân tích phi
đàn hồi
Bảng 4 Kết quả tải giới hạn của khung 2 tầng 1 nhịp
9.15 m
9.15 m
W16×40 W16×40 W16×40 W16×40
2P
2P P
2P
2P P
2P
2P P
2P
E = 200 GPa
= 250 MPa
σy
W16×40 W16×40 W16×40
W16×40 H
H
H
H
P = 60 kN
H = 31 kN
Hình 9 Khung 4 tầng 2 nhịp
Hình 10 cho thấy quan hệ hệ số tải trọng – chuyển vị ngang ở đỉnh khung của tác giả rất sát với kết quả trước đó của Kukreti và Zhou Sai số giữa hệ số tải giới hạn λucủa hai phương pháp là 0.38% (λu (Kukreti & Zhou) = 1.831, λu (Tác
giả) = 1.838)
Hình 10 Quan hệ hệ số tải trọng - chuyển vị ngang đỉnh bên
phải khung 4 tầng 2 nhịp
Trang 63.4 Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp
Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp trình bày ở Hình 11 với tiết
diện các cấu kiện được trình bày như trong Bảng 5 được
Vogel [12] phân tích phi tuyến bằng cả hai phương pháp khớp
dẻo và phương pháp vùng dẻo Bài toán này được chọn làm cơ
sở để kiểm chứng các phương pháp phân tích đơn giản khác
Trong ví dụ này, do dầm chịu tải phân bố nên khớp dẻo có thể
hình thành ở các vị trí giữa dầm, tác giả khảo sát với 2 trường
hợp: chia dầm thành 2 phần tử, cột thành 1 phần tử đề xuất
(2B1C) và trường hợp chia dầm thành 4 phần tử, cột thành 1
phần tử đề xuất (4B1C)
H
IPE400
2
q2
H
IPE360
2
q2
H
IPE330
2
q2
H
IPE300
2
q2 IPE300
2
H = 10.23 kN
IPE240
1
q = 31.7 kN/m1
q = 49.1 kN/m2
H = 20.44 kN
E = 205 GPa
f = 235 MPa
ψ = 1/300y0
Hình 11 Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp
Bảng 5 Kích thước các cấu kiện khung Vogel 6 tầng 2 nhịp
Tiết
t f (mm)
d (mm)
t w (mm)
Kết quả chuyển vị ngang tại đỉnh bên phải so sánh với
kết quả của Vogel sử dụng phương pháp vùng dẻo thể hiện ở
Hình 12 Kết quả phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn
λucủa hai phương pháp là sát nhau với sai số 0.5% (λu (Vogel) =
1.111, λu (Tác giả) = 1.107) Với việc chia nhỏ dầm thành 4 phần
tử đề xuất, bài toán hội tụ về kết quả của phương pháp vùng
dẻo do Vogel phân tích
Hình 12 Quan hệ hệ số tải trọng - chuyển vị ngang đỉnh bên
phải khung Vogel 6 tầng 2 nhịp
Hàm chuyển vị xấp xỉ dạng đa thức bậc năm đã được áp dụng để thành lập ma trận độ cứng của phần tử dầm-cột có kể đến tác động phi tuyến hình học và vật liệu theo lý thuyết dầm-cột Ưu điểm của hàm này là tính đơn giản cho việc khai triển các công thức nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết của lời giải để có thể áp dụng trong phân tích thiết kế thực hành Kết quả của các ví dụ số chứng tỏ phương pháp đề xuất
và chương trình được phát triển có thể dự đoán khá chính xác ứng xử phi tuyến phi đàn hồi của cấu kiện và hệ kết cấu khung phẳng chịu tải trọng tĩnh
Tài liệu tham khảo
1 Lui, E.M., Chen, W.F (1986), Analysis and behaviour of
flexibly-jointed frames, Engineering Structures, 8(2),
107-18
2 Liew, J.Y.R., Chen, W.F., Chen, H (2000), Advanced
inelastic analysis of frame structures, Journal of
Constructional Steel Research, 55(1-3), 245-265
3 Kim, S.E., Choi, S.H (2001), Practical advanced
analysis for semi-rigid space frames, International
Journal of Solids and Structures, 38, 9111-31
4 Ngo-Huu, C., Kim, S.E (2012), Second-order
plastic-hinge analysis of space semi-rigid steel frames,
Thin-Walled Structures, 60(11), 98-104
5 Chan, S.L., Zhou, Z.H (1994), Pointwise equilibrating
polynomial element for nonlinear analysis of frames,
Journal of Structural Engineering, 120(6), 1703-17
6 Oran, C (1973), Tangent stiffness in plane frames, J
Struct Div., 99(6), 973-985
7 Liew, J.Y.R., White D.W., Chen W.F (1993),
Second-order refined plastic-hinge analysis for frame design Part I, Journal of Structural Engineering, 119(11),
3196-3216
8 Orbison, J.G., McGuire, W., Abel, J.F (1982), Yield
surface applications in nonlinear steel frame analysis,
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 33, 557-73
9 Chan, S.L., Chui, P.P.T (2000), Non-linear static and
cyclic analysis of steel frames with semi-rigid connections, Elsevier
10 Balling, R (2012), Computer Structural Analysis,
Lecture notes, Brigham Young University, Utah
11 Kukreti, A.R., Zhou, F.F (2006), Eight-bolt endplate
connection and its influence on frame behavior,
Engineering Structures, 28, 1483-93
12 Vogel, U (1985), Calibrating frames, Stahlbau, 10,
295-301
