Tiểu luận chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán suy luận tương tự trong dạy toán trung học nghiên cứu phương pháp tạo độ trong không gian

Nghiên cứu của Kyung Hwa Lee, Min Jung Kim, Gwi Soo Na, Dae Hee Han và Sang Hun Song 2007 tập trung thảo luận hai vấn đề: làm thế nào để các HS lớp 6 và lớp 8 có năng khiếu toán học sử

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Việc sử dụng suy luận tương tự vào dạy học được nhiều nhà giáo dục trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Khi gặp một tình huống mới, học sinh (HS) có xu hướng so sánh, đối chiếu

nó với các vấn đề tương tự trước đó, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề Việc sử dụng suy luận tương tự (SLTT) trong quá trình dạy học (DH) đòi hỏi HS phải hoạt động dựa trên kiến thức cũ để tự mình khám phá ra các kiến thức mới Vì vậy, HS

là người chủ động, tích cực để hình thành các giả thuyết mới Quá trình này thúc đẩy phát triển tư duy vì nó đòi hỏi người học phải biết suy xét, phân tích, so sánh, đối chiếu, khái quát hóa các kiến thức; từ đó, khuyến khích lòng ham mê học tập và

là động lực để phát huy tư duy độc lập, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo của HS

SLTT có vai trò quan trọng trong DH khoa học nói chung và DH toán nói riêng SLTT có thể được dùng để xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết trong DH khám phá, dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS, dùng trong giải bài tập toán,… Vì vậy, việc nghiên cứu về tương tự, SLTT và sử dụng SLTT vào

DH đã được nhiều tác giả quan tâm

 Ở thời kì cổ đại, theo [66], Aristote đã xem xét SLTT là cách suy luận dựa

trên những điểm giống nhau hay tương tự giữa hai vật Ông đã đưa ra tương tự dựa trên nguyên nhân, dấu hiệu, các đại diện và tương tự dựa trên tính tỷ lệ

 Ở thời kì trung đại, theo [67], khi các trường Đại học đầu tiên (Bologna,

Paris, Oxford) được thành lập, các nghiên cứu về SLTT cũng tăng lên và được xem xét thành ba loại chính:

Thứ nhất, theo ý nghĩa gốc Hy Lạp, SLTT liên quan đến so sánh hai tỷ lệ hoặc một mối quan hệ giữa hai điều

Thứ hai, SLTT theo thuộc tính

Thứ ba, SLTT được sử dụng bởi các nhà thần học, là mối quan hệ giống nhau giữa Thiên Chúa và các sinh vật

 Ở thời kì hiện đại, những nghiên cứu về tương tự và SLTT được phát triển

mạnh mẽ SLTT không chỉ là suy luận giữa các tỷ số hay mối quan hệ giữa hai điều

có đặc điểm tương tự mà nó là một tương ứng giữa hai cấu trúc được ràng buộc bởi nhiều yếu tố

G Polya (1977) đã nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong toán học và cho rằng SLTT có thể cung cấp nguồn cho các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất,

ý tưởng giải quyết vấn đề Theo [23, tr 24-50], ông đã giới thiệu SLTT cùng mối liên hệ của nó với khái quát hóa, đặc biệt hóa trong giải quyết các vấn đề toán học

Dedre Gentner (1983) đã đưa ra lý thuyết cấu trúc tương ứng (Structure - Mapping) nhằm mục đích nắm bắt các quy trình tâm lý thực hiện SLTT Lý thuyết

này cho rằng “SLTT là một tương ứng từ một cấu trúc (nguồn) đến một cấu trúc khác (đích)” [43]

Hassan Hussein Zeitoun (1984) đã đưa ra mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching) Theo [52], mô hình GMAT nhấn mạnh sự cần thiết

lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh giá những tác động của SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS

Theo [59], Tom Murray, Klaus Schultz, David Brown và Jonh Clement (1990) đã thiết kế một chiến lược giảng dạy sử dụng SLTT để khắc phục quan niệm sai lầm bằng cách khơi gợi trực giác chính xác hiện có và mở rộng những trực giác bằng cách khuyến khích những suy nghĩ tương tự

Shawn M Glynn (1994) đề xuất mô hình TWA (Teaching With Analogies)

Theo [58], mô hình này đã nêu ra một quy trình DH với SLTT một cách rõ ràng bao gồm 6 bước

Holyoak (1997) phát triển nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong giải quyết vấn đề và cho rằng quá trình lập tương ứng cần hướng đích: sự gắn kết của SLTT phụ thuộc vào cấu trúc thống nhất, ngữ nghĩa và mục đích Vì vậy, giữa nguồn và đích cần có càng nhiều mối quan hệ, thuộc tính giống nhau càng tốt và nó giúp giải quyết vấn đề gần.[70]

Lindsey E Richland, Keith J Holyoak và James W Stigler (2004) đã nghiên cứu xem xét các vấn đề: HS - GV tham gia, nguồn tương tự, xây dựng mục tiêu và bối cảnh xuất hiện tương tự Những dữ liệu từ 103 tương tự xuất hiện trong 25 lớp 8 học toán được chọn ngẫu nhiên ở Mỹ cho thấy rằng các GV thường xuyên sử dụng tương tự như các cơ chế hướng dẫn để dạy các khái niệm Xây dựng nguồn và mục tiêu cũng liên quan đến tương tự đáp ứng nhu cầu học tập của HS dưới sự kiểm soát

và giúp đỡ của GV [49]

Leslie Jill Atkins (2004) đã tập trung vào việc HS tạo ra tương tự trong khoa học và cung cấp một mô hình cho sự hiểu biết này Tác giả cung cấp bằng chứng về

phân loại tương tự và các cơ sở của tương tự, từ đó cho rằng tương tự được tạo ra dựa vào lược đồ và các mô hình nhận thức [48]

Theo [40], Harrison và Coll (2007) đưa ra một hướng dẫn GV cách phân tích một tương tự trước và sau khi DH với SLTT: mô hình FAR (Focus-Action-Reflection)

Nghiên cứu của Kyung Hwa Lee, Min Jung Kim, Gwi Soo Na, Dae Hee Han

và Sang Hun Song (2007) tập trung thảo luận hai vấn đề: làm thế nào để các HS lớp

6 và lớp 8 có năng khiếu toán học sử dụng quy nạp, tương tự và hình ảnh trong quá trình giải quyết công việc của các em và vai trò của quy nạp, tương tự và hình ảnh trong việc khám phá toán học [47]

Alison Pease, Markus Guhe và Alan Smaill (2009), khám phá nguồn gốc và

sự phát triển các giả thuyết của Descartes – Euler và những thảo luận hình học (sự giống nhau giữa hai chiều và ba chiều, SLTT trong toán học của G Polya) thông qua các SLTT đã được sử dụng để phát minh ra và phân tích phỏng đoán [41]

 Ở Việt Nam, có nhiều nghiên cứu về SLTT và ứng dụng của nó trong DH

được giới thiệu bởi các tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Đào Tam, Nguyễn Phú Lộc, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải,…

Tác giả Hoàng Chúng (1994) đã định nghĩa SLTT “là suy luận căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó” [5, tr 87-88], cùng sơ đồ, ví dụ minh

họa và các điều kiện đảm bảo độ tin cậy của SLTT

Tác giả Đoàn Hữu Hải (2001) đã chỉ ra “những qui tắc đặt tương ứng về sự tương tự dựa trên các phương diện cấu trúc; sự tương tự giữa các khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan đến các đối tượng cơ bản và những quan hệ cơ bản và sự tương tự giữa các tính chất của những hình dạng thông thường”[8]

Tác giả Nguyễn Bá Kim (2004) xem xét SLTT là một cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề trong DH phát hiện và giải quyết vấn đề [13, tr.209]

Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2004) đã giới thiệu việc khai thác phép SLTT vào

DH hình học không gian: thứ nhất là sự tương tự tính chất của hình học phẳng và hình học không gian; thứ hai là dùng tương tự trong cách giải quyết hai bài toán khi

có sự tương tự về các yếu tố cho trong giả thiết và kết luận (theo [4, tr 212-216])

Tác giả Lê Văn Tiến (2005) đã đưa ra một ví dụ sử dụng SLTT giữa tam giác vuông và tứ diện vuông [34]

Tác giả Đào Tam (2007) đã nhấn mạnh cần “chú trọng cho HS thao tác tư duy tương tự hóa giữa việc DH hình học phẳng và hình học không gian” [29, tr.63]

và chỉ ra các sai lầm khi sử dụng SLTT Đối với nội dung PPTĐ, tác giả đã phân tích đặc điểm và chỉ ra sự tương tự giữa các kiến thức trong mặt phẳng và trong không gian

Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2010) đã đề cập cơ sở lý thuyết về SLTT, hai loại SLTT theo quan hệ và theo thuộc tính Bên cạnh đó, theo [18, tr 64-69] và [20, tr 81-82], tác giả Nguyễn Phú Lộc đã đề cập hai mô hình TWA và FAR sử dụng SLTT vào DH khám phá các khái niệm cấp số nhân, đạo hàm và giới hạn dãy số

Tác giả Từ Đức Thảo (2011) đề cập việc tìm ra các quy luật, tính chất liên quan đến elip, hyperbol, parabol bằng cách sử dụng SLTTvới các quy luật liên quan đến đường tròn [33]

Tác giả Bùi Phương Uyên (2012) đã vận dụng mô hình TWA vào DH các

khái niệm trong chương PPTĐ trong không gian và thực nghiệm kiểm chứng [38]

Tác giả Dương Hữu Tòng (2013) nghiên cứu cách sử dụng SLTT để xây dựng nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dùng trong giải các bài tập liên quan đến chủ đề phân số [37]

1.2 Mối quan hệ tương tự giữa phương pháp tọa độ trong không gian và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là “một phương pháp tư duy mới, tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu các hình hình học qua phương trình của chúng Việc đưa kiến thức vectơ PPTĐ vào chương trình hình học đã giúp HS tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại có thêm những phương tiện mới để suy luận một cách có cơ sở khoa học mà hoàn toàn không dựa vào trực giác” (dẫn theo [4,

tr.120]) PPTĐ là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông hiện nay PPTĐ chiếm một phần ba nội dung hình học trong chương trình sách giáo khoa (SGK) toán lớp 10 và lớp 12 hiện nay Đây cũng là một nội dung quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi đại học, cao đẳng (chiếm 1/5 khối lượng trong các đề thi) Vì vậy, cần giúp cho HS nắm vững các khái niệm, định lý

và vận dụng tốt vào giải các bài tập PPTĐ là một yêu cầu cần thiết hiện nay

Các SGK hiện nay trình bày chủ yếu một hệ tọa độ là hệ tọa độ Descartes vuông góc trong cả mặt phẳng lẫn không gian vì nó là hệ tọa độ thông dụng nhất và cho phép giải quyết cả những bài toán aphin lẫn những bài toán mêtric SGK Hình

học 10 đề cập đến một số nội dung quan trọng: Phương trình tham số (PTTS), phương trình (PT) chính tắc, phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng, PT theo đoạn chắn, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, PT đường tròn, các đường conic, Trong không gian, nội dung của PPTĐ bao gồm: PTTQ của mặt phẳng, vectơ pháp tuyến (VTPT), cặp vectơ chỉ phương (VPCP), vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, PTTS của đường thẳng, PT mặt cầu, Điều này cho thấy rằng có nhiều khái niệm ở chương PPTĐ trong không gian là những vấn đề tương tự như đã xét đối với các khái niệm ở chương PPTĐ trong mặt phẳng Hơn thế nữa, ở hai chương PPTĐ trong mặt phẳng và trong không gian, rất nhiều dạng bài tập có nội dung và cách giải hoàn toàn tương tự nhau Vì thế, giáo viên (GV) cần giúp cho HS thấy được sự tương tự giữa các nội dung trong PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian Điều này được tác giả Lê Thị Hoài Châu chỉ rõ :

“Khi dạy PPTĐ trong không gian cần phải liên hệ với PPTĐ trong mặt phẳng, chỉ cho

HS thấy sự tương tự, sự khái quát hóa từ mặt phẳng lên không gian: PTTQ, VTPT, cặp

VTCP, vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, góc

giữa hai mặt phẳng là những vấn đề tương tự như đã xét với đường thẳng trong mặt

phẳng” [4, tr 142]

Như đã phân tích, DH với SLTT có vai trò quan trọng trong quá trình DH toán bởi nó không chỉ giúp HS có cơ hội ôn tập kiến thức cũ mà còn giúp phát huy tính tích cực của HS trong việc khám phá kiến thức mới Bên cạnh đó, các nội dung trong chương PPTĐ trong gian có nhiều điểm tương tự với các nội dung trong chương PPTĐ trong mặt phẳng Tuy nhiên, hiện nay chưa có nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này Vì vậy, DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian bằng việc sử dụng SLTT với các nội dung ở chương PPTĐ trong mặt phẳng là một vấn đề mới Từ đây đặt ra cho chúng tôi bốn nghi vấn sau:

- Thứ nhất, các tác giả SGK Hình học hiện hành có sử dụng SLTT để trình

bày các nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian hay không?

- Thứ hai, từ việc sử dụng SLTT trong các SGK, GV toán THPT và SV sư

phạm toán có lựa chọn sử dụng SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian như là một chiến lược nhằm phát huy tính tích cực của HS hay không?

- Thứ ba, HS mắc phải những loại sai lầm nào khi sử dụng SLTT trong quá

trình học tập ở chương PPTĐ trong không gian?

- Thứ tư, làm thế nào để phát huy tính hiệu quả khi DH với SLTT ở chương

PPTĐ trong không gian?

Từ những nghi vấn trên đây, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án:

“Suy luận tương tự trong dạy học môn Toán trung học phổ thông:

Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian”

2 Phạm vi lý thuyết và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi về tương tự, SLTT và DH với SLTT Bên cạnh đó, một số công cụ lý thuyết của didactic toán được vận dụng trong luận án là:

- Thuyết nhân học trong didactic toán: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học

- Hợp đồng DH trong nghiên cứu sai lầm của HS

- Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các tình huống DH

Mục đích của đề tài là tìm hiểu về khái niệm tương tự, SLTT, vai trò, vị trí của nó và các ứng dụng của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian Từ những nghi vấn ban đầu, chúng tôi đã cụ thể thành các câu hỏi nghiên cứu sau:

Câu hỏi nghiên cứu 1: Mối tương quan tương tự giữa PPTĐ trong mặt phẳng

và PPTĐ trong không gian ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào trong chương PPTĐ trong không gian tương tự các kiểu nhiệm vụ trong PPTĐ trong mặt phẳng?

Có những kết luận gì về thực trạng sử dụng SLTT trong SGK Hình học hiện nay?

Câu hỏi nghiên cứu 2: Sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT trong chương

PPTĐ trong không gian ở các SGK đối với việc thực hành giảng dạy của GV toán THPT và SV năm cuối ngành sư phạm toán ra sao?

Câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp phải những sai lầm nào khi sử dụng SLTT vào

giải bài tập chương PPTĐ trong không gian?

Câu hỏi nghiên cứu 4: Những biện pháp nào để phát huy tác dụng tích cực

của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian? Làm thế nào để kiểm chứng tính hiệu quả của các biện pháp này?

3 Phương pháp nghiên cứu

Để tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi được nêu ở trên, chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan niệm về

tương tự, SLTT và các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết cho đề tài

- Phương pháp phân tích nội dung: phân tích các SGK Hình học hiện hành

được thực hiện nhằm tìm hiểu các SLTT được sử dụng như thế nào trong SGK và đặc biệt ở chương PPTĐ trong không gian

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

 Tìm hiểu thực tiễn DH sử dụng SLTT trong chương PPTĐ trong không gian của GV và SV sư phạm Toán

 Tìm hiểu những sai lầm của HS liên quan đến SLTT khi học tập các kiến thức trong chương PPTĐ trong không gian

- Nghiên cứu và phát triển: đề xuất những giải pháp tổ chức DH sử dụng

SLTT vào DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: triển khai thực nghiệm kiểm chứng

tính hiệu quả của các tình huống DH sử dụng SLTT đã đề xuất

- Phương pháp thống kê toán học: phân tích các dữ liệu nghiên cứu

Quá trình nghiên cứu của chúng tôi được mô tả ở hình 1

Hình 1 Sơ đồ quá trình nghiên cứu của luận án

4 Giới hạn của đề tài

Ở đây, chúng tôi lựa chọn một phép suy luận được sử dụng nhiều trong quá trình học tập, khám phá kiến thức mới của HS: SLTT Phép suy luận này được nghiên cứu trong quá trình DH toán ở trường THPT và được vận dụng vào DH các

NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

THU THẬP DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU

PHÂN TÍCH DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU

TỔNG HỢP VÀ TƯỜNG THUẬT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các SLTT trong SGK Hình học (câu hỏi nghiên cứu 1)

Nghiên cứu thực tiễn DH sử

dụng dụng SLTT của GV và

SV (câu hỏi nghiên cứu 2)

Nghiên cứu sai lầm của HS khi

sử dụng SLTT (câu hỏi nghiên cứu 3)

Nghiên cứu giải pháp sử dụng SLTT vào DH và thực nghiệm kiểm chứng (câu hỏi nghiên cứu 4)

NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN

NGHIÊN CỨU CƠ SỞ LÝ THUYẾT

nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian Hơn nữa, trong luận án chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu những SLTT chuyển từ mặt phẳng sang không gian

Để nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT ở SGK đối với việc thực hành giảng dạy của GV và SV, chúng tôi dựa trên cơ sở so sánh các SLTT được trình bày trong các SGK Hình học 12 hiện hành (cơ bản và nâng cao) với cách sử dụng SLTT trong các tiết dạy của GV toán THPT và giáo án của SV sư phạm toán

Về đối tượng khảo sát, chúng tôi chỉ tiến hành khảo sát đối với GV và HS các trường THPT ở các tỉnh đồng bằng sông Cửu Long, SV ngành Sư phạm toán trường Đại học Cần Thơ

5 Giả thuyết khoa học

Các giả thuyết sau đây có được từ việc nghiên cứu cơ sở lý luận, nghiên cứu nội dung SGK và thực trạng DH với SLTT Việc kiểm chứng tính đúng đắn của chúng được thực hiện trong chương 5 và chương 6 của luận án

H1: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể tổ chức DH giúp HS khám phá tri thức toán học ở chương PPTĐ trong không gian

H2: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể giúp HS tìm tòi lời giải cho các bài toán ở chương PPTĐ trong không gian

H3: Trong học tập chương PPTĐ trong không gian, HS sẽ gặp phải những sai lầm khi giải bài tập toán do sử dụng SLTT

6 Đóng góp chính của luận án

6.1 Về mặt lý luận

- Tổng hợp quan điểm của nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai trò và ứng dụng của nó trong quá trình DH, cách phân loại về SLTT và các mô hình DH sử dụng SLTT như: mô hình GMAT, mô hình TWA, mô hình FAR,…

- Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH

- Đề xuất sáu giải pháp nhằm phát huy tác dụng tích cực của SLTT vào DH

- Đề xuất cách vận dụng SLTT vào sáu quy trình DH cơ bản: quy trình DH khám phá khái niệm; quy trình DH khám phá định lý, quy trình DH giải bài toán; quy trình dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước khi giảng dạy; quy trình phân tích và phát hiện sai lầm; quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT

6.2 Về mặt thực tiễn

- Phân tích các tương tự và SLTT được sử dụng trong các SGK Hình học hiện hành ở chương PPTĐ trong không gian

- Làm rõ những ảnh hưởng của cách trình bày các SLTT ở SGK đến việc DH

sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian của GV ở trường phổ thông hiện nay và SV năm cuối ngành sư phạm toán

- Chỉ ra một số sai lầm của HS do sử dụng SLTT khi giải bài tập ở chương PPTĐ trong không gian

- Các giải pháp và các quy trình DH với SLTT góp phần nâng cao hiệu quả quả DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian nói riêng và DH môn toán nói chung

7 Những điểm cần bảo vệ

- Những quan niệm về tương tự, SLTT và vai trò của nó trong DH

- Những SLTT được sử dụng trong các SGK hiện hành và thực trạng DH với SLTT của GV, SV sư phạm toán trong chương PPTĐ trong không gian

- Một số kết quả về nghiên cứu sai lầm của HS khi sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian

- Các giải pháp sư phạm và các quy trình DH phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian và kết quả thực nghiệm kiểm chứng

8 Cấu trúc của luận án

Tương ứng với mục đích và nhiệm vụ đặt ra, ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được trình bày theo 6 chương như sau:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương 2 Phương pháp và thiết kế nghiên cứu

Chương 3 Nghiên cứu SLTT trong chương PPTĐ trong không gian

Chương 4 Nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng SLTT

Chương 5 Nghiên cứu thực tiễn về sai lầm của HS khi sử dụng SLTT

Chương 6 Giải pháp phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH toán và thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tôi phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan

niệm của các nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai trò của SLTT trong DH toán và các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết cho đề tài

1.1 Khái niệm tương tự và suy luận tương tự

1.1.1 Tương tự là gì?

Từ tương tự có nguồn gốc từ “αναλογια”, một từ toán học của Hy Lạp Từ này

có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số [20, tr 81- 82]

Theo G Polya (1997), tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Những đối tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ được quy định là những đối tượng tương tự Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan

hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng Theo [23, tr.24 -26], tam giác trong mặt phẳng tương ứng tứ diện trong không gian Trong mặt phẳng, hai đường thẳng không tạo nên một hình giới hạn, còn ba đường thẳng tạo nên một tam giác Trong không gian, ba mặt phẳng không tạo nên một vật giới hạn, còn bốn mặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện Quan hệ của tam giác với mặt phẳng cũng như quan hệ của tứ diện với không gian bởi chúng đều được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản

Trong một định nghĩa của Hassan Hussein Zeitoun [50, tr.164-177], tương tự được dựa trên bốn thành phần cụ thể là “nguồn”, “đích”, “tương đồng” và “dị biệt”

“Đích” là các vật không quen thuộc, các vật trừu tượng để được học Nó có thể là một khái niệm, nguyên tắc, quy luật, lý thuyết hay vấn đề công việc cần được giải quyết Khái niệm “nguồn” là các vật cụ thể, quen thuộc, thu được từ xung quanh hoặc từ một tình huống trong môi trường Nó được sử dụng để tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của khái niệm đích Khái niệm “nguồn” cũng đại diện cho tương tự và ngược lại Thuật ngữ “tương đồng” đề cập đến những điểm tương đồng chia sẻ giữa các tính năng tương ứng của khái niệm nguồn và khái niệm đích Thuật ngữ “dị biệt” được sử dụng để chỉ bất kỳ hình thức khác biệt hoặc không tương đồng giữa các tính năng của khái niệm nguồn và đích

Theo định nghĩa của Duit và Glynn, một tương tự biểu thị sự tương đồng giữa hai lĩnh vực có liên quan đến đặc tính cụ thể [63]

Theo Gentner (1983), T và S tương tự với nhau hay ta nói “T giống S” xác

định một tương ứng từ S đến T [43] S được gọi là nguồn và là một kiến thức đã biết, T được gọi là đích và là đề tài được học Như vậy, Gentner xem tương tự là

một tương ứng từ nguồn đến đích (một dấu hiệu giống nhau giữa nguồn và đích) Thông thường, nguồn là một phần đã được biết đến, trong khi đích là một phần có thể suy ra hoặc phát hiện Sự tương tác của nguồn và đích tạo ra một cấu trúc mới

mở rộng vượt ra ngoài trước kinh nghiệm đã có

Trong luận án này, chúng tôi lấy quan niệm về tương tự của G Polya làm cơ

sở lý thuyết

1.1.2 Suy luận tương tự là gì?

Theo từ điển Bách khoa toàn thư [62], SLTT là phương pháp luận xác định

sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những đối tượng không đồng nhất với nhau

Trong logic học, tác giả Hoàng Chúng (1994) định nghĩa SLTT là suy luận căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó [5, tr 87- 88]

Sơ đồ: - Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e

- Đối tượng A có thuộc tính f

Có thể: B cũng có thuộc tính f

Ví dụ : - Trái đất và sao Hỏa có một số thuộc tính chung: là hành tinh của mặt trời,

đều có không khí, đều có nước, đều có khí hậu tương đối ôn hòa

- Trên trái đất có sự sống

Có thể, trên sao Hỏa cũng có sự sống

SLTT, theo Hativah (2000) [53, tr 163-165], được định nghĩa như là “sự so sánh giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau ở vài khía cạnh thích hợp” Vật làm cơ sở cho tương tự, là phần tử để so sánh, được gọi là

nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặc được học nhờ sử dụng SLTT được gọi là đích Sử dụng SLTT là một quá trình liên quan đến sự trao đổi giữa nguồn và đích

Theo quan điểm tương ứng - cấu trúc (structure – mapping), Gentner (1983)

cho rằng SLTT là một tương ứng từ một cấu trúc (nguồn) đến một cấu trúc khác (đích) và đưa ra mô hình của SLTT như sau (xem hình 1.1):

Năm 1983, Holyoak và các cộng sự đã nghiên cứu vai trò của SLTT trong giải quyết vấn đề Holyoak xác định SLTT là quá trình lập tương ứng giữa nguồn và đích theo hướng đạt được mục tiêu (xem hình 1.2)

SLTT là một loại hình của phép suy luận quy nạp, không phải là một suy luận chứng minh, nên những kết luận dự kiến chỉ là giả thuyết, thực tế đúng đắn của chúng không được bảo đảm mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt Vì vậy, khi đánh giá một SLTT cần chú ý: cho dù những kết luận dự kiến có cấu trúc nhất quán

đi nữa, tính đúng đắn của đích vẫn có thể khác so với các kết luận dự kiến Một tiêu chí khác được áp dụng trong giải quyết vấn đề là liệu các kết luận của SLTT có liên quan đến mục tiêu hiện tại hay không Một SLTT có cấu trúc suy luận đúng, nhưng vẫn không liên quan đến mục tiêu Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho vấn đề mục tiêu [65]

Trong luận án, chúng tôi xem xét SLTT là phép suy luận từ những đặc điểm chung của nguồn và đích, rút ra những đặc điểm chung khác của chúng Để đạt

Nguồn Đích

Cấu trúc Cấu trúc

đã biết được suy ra

Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc tương ứng của SLTT [43]

Giải quyết vấn đề

Nguồn

Đích

- Suy luận

thiết lập lại lập tương ứng

đánh giá

Hình 1.2 Mô hình học tập bằng SLTT của Holyoak [51]

được hiệu quả khi sử dụng SLTT đòi hỏi một sự hiểu biết đúng đắn về lĩnh vực nguồn Do đó, kiến thức mà HS đã học đóng một vai trò quan trọng trong sự hiểu

biết đúng đắn về các khái niệm mới Hơn nữa, việc sử dụng SLTT còn phù hợp với

quan điểm học tập kiến tạo; có nghĩa là, học tập là một quá trình hoạt động xây dựng kiến thức mới dựa trên cơ sở kiến thức đã có Nói cách khác, học tập về cơ bản có liên quan với xây dựng tương đồng giữa những ý tưởng mới và những ý tưởng hiện có

1.1.3 Suy luận tương tự dưới góc độ triết học và tâm lý học

a Dưới góc độ triết học, SLTT là suy luận dựa trên việc phân tích những cái

riêng để tìm ra các thuộc tính, đặc điểm chung, từ đó suy ra các thuộc tính chung khác của chúng Bên cạnh đó, SLTT cũng yêu cầu phải chỉ ra những đặc điểm khác nhau hay cái đơn nhất của các cái riêng Quá trình này tuân theo quy luật của phép duy vật biện chứng [15]

b Dưới góc độ tâm lý học, theo Helmar Gust và các cộng sự [52], SLTT là

một loại suy luận áp dụng giữa các hình mẫu hoặc các trường hợp cụ thể, mà những

gì được biết đến về một hình mẫu này được sử dụng để suy ra thông tin mới về hình mẫu khác

Trực giác là yếu tố cơ bản của SLTT khi có sự tương đồng trên các tình huống khác nhau Trong nhận thức khoa học, với một tình huống hiện tại, gợi nhớ

là quá trình nhắc lại về một tình huống đã biết Khi hai tình huống hiện diện trong trí nhớ, lập tương ứng có thể xảy ra Hình 1.3 minh họa quá trình thực hiện SLTT

và liên quan đến khả năng nhận thức

Hình 1.3 SLTT trong quá trình nhận thức (theo [52])

 Trí nhớ (Memory): Thông tin được lưu trữ trong bộ nhớ và có thể xuất hiện lại

trong các trường hợp nhất định Khi tiếp xúc với những tình huống mới (có chứa

Gợi nhớ Lập tương ứng Chuyển đổi

Đầu vào:

Nguồn và

đích

Đầu ra: Suy luận tương tự

Học tập bằng trừu tượng Học tập bằng chuyển đổi

những chi tiết khác so với kinh nghiệm đã có), quá trình gợi nhớ lại những thông tin tương tự đã biết sẽ xảy ra

 Suy luận (Reasoning): SLTT là một loại hình suy luận quy nạp Đó là áp dụng

các đặc điểm, quy tắc từ nguồn, suy luận rút ra những đặc điểm, quy tắc của đích Khả năng đúng đắn của SLTT càng cao khi có càng nhiều điểm tương đồng giữa nguồn và đích

 Học tập bằng chuyển đổi (Learning by transfer): Học tập bằng chuyển đổi

được thực hiện bằng cách chuyển các quy tắc, đặc điểm của nguồn thành các quy tắc, đặc điểm của đích Quá trình lập tương ứng liên kết giữa nguồn và đích tạo ra một quan hệ tương tự giữa chúng

 Học tập bằng trừu tượng (Learning by abstraction): Học tập bằng trừu tượng

được thực hiện bằng việc xác định cấu trúc chung của nguồn và đích một cách tổng quát Sau đó, khái quát và sàng lọc các đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích để xác định nguyên tắc chung áp dụng trong nhiều trường hợp

 Sáng tạo (Creativity): Sáng tạo là tạo ra một ý tưởng, hành động, hoặc đối

tượng mới có giá trị SLTT có thể được xem như là một cách để sáng tạo, vì chúng

có thể đưa ra các tri thức mới thông qua một tri thức tương tự đã biết

1.1.4 Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận tương tự

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của DH toán là rèn luyện cho HS các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so sánh, phân tích, tổng hợp Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo của bản thân các em không những trong học tập môn toán mà còn các môn học khác Chúng còn là cơ sở ban đầu để hình thành những phẩm chất trí tuệ cho HS SLTT rất phổ biến và có mối liên hệ mật thiết, khăng khít với các thao tác tư duy này Khi gặp một vấn đề mới, người ta có xu hướng so sánh, đối chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó So sánh là thành tố tiên phong của SLTT SLTT có thể coi là yếu tố tiền đề của bước khái quát hoá vì để khái quát hoá người ta phải chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát

a Phân tích

Theo triết học, phân tích là phương pháp phân chia cái toàn bộ ra thành từng phần để đi sâu nhận thức các bộ phận Về mặt tâm lý, phân tích là một quá trình

dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau Phân tích các thuộc tính và thành phần giúp HS tập trung vào những chi tiết và cấu trúc của sự vật; từ đó, HS có thể hiểu được sâu sắc hơn bản chất kiến thức, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề (theo [17, tr 42])

Phân tích là cơ sở của SLTT Phân tích giúp nhận ra được các đặc điểm quan trọng của các đối tượng đang xem xét để có thể rút ra các điểm giống nhau và khác nhau của chúng

để tìm ra những chỗ mà sử dụng SLTT cho kết quả không đúng, hay những điểm dị biệt của hai đối tượng

c Khái quát hóa

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính nhất định, những quan hệ chung nhất định Quá trình này bao gồm việc quan sát, phân tích tìm các mối quan hệ giữa các đối tượng để chỉ ra các đặc điểm chung có tính khái quát [17, tr 57-59]

SLTT lại được xem là tiền đề của khái quát hóa Từ những đặc điểm chung của các đối tượng tương tự nhau, chúng ta có thể dễ dàng tìm kiếm những kết luận mới có tính khái quát

1.1.5 Các loại suy luận tương tự

a Theo Hativah (2000) [53], có thể xem xét ba loại SLTT sau:

 SLTT với nguồn và đích trong miền giống nhau: Loại SLTT này so sánh đối với hai hiện tượng, hai khái niệm trong cùng một lĩnh vực Chẳng hạn, trong hình học, nguồn của PT mặt cầu là PT đường tròn

 SLTT với nguồn và đích trong miền khác nhau: Loại SLTT này so sánh những khái niệm được hình thành từ các miền khác nhau, các lĩnh vực khác nhau

Ví dụ, trong Đại số, đồ thị hàm số yaxb có đặc điểm tương tự với đường thẳng

có PT AxBy C 0 trong Hình học

 SLTT với nguồn dựa vào kinh nghiệm của HS: Loại SLTT này so sánh hiện tượng hoặc khái niệm mới có đặc điểm tương tự với những gì mà HS đã biết trong cuộc sống Ví dụ, trong Vật lý, dòng electron đi từ nơi có hiệu điện thế cao đến nơi

có hiệu điện thế thấp giống như dòng nước chảy từ chỗ cao đến chỗ thấp là hiện tượng quen thuộc trong cuộc sống; mặt nước trong cốc nước hình trụ đặt nghiêng là nguồn cho khái niệm elip trong Hình học

Cách phân loại này chú ý đến việc xem xét nguồn và đích có cùng thuộc một miền hay nằm trong các miền khác nhau, đối tượng nguồn có quen thuộc với HS, là những kiến thức từ cuộc sống hay đã được học Điều đó giúp chúng ta dễ dàng phân tích các đặc điểm của nguồn và tạo liên kết của nguồn và đích

b Theo Helmar Gust và các cộng sự (2008) [52], có 3 cách phân loại SLTT và được chia theo mục đích sử dụng:

 Đầu tiên, SLTT có hình thức nói chung (A: B) :: (C: X), trong đó A, B, C là những biểu hiện từ cùng một miền Loại này là đặc trưng cho bài kiểm tra trí thông minh nơi đối tượng phải tiếp tục một chuỗi các hình hình học hoặc các số và các điều kiện ràng buộc Trong một số trường hợp, A và B thành lập một mối quan hệ trong nguồn cần được áp dụng cho một khái niệm C của đích để có được kết quả X

trong đích Ví dụ, tìm X cho SLTT: tam giác: trọng tâm :: tứ diện: X

 Thứ hai, SLTT là suy đoán Người ta mô tả một tên miền mới (đích) không chỉ quy định cụ thể bởi cấu trúc chung của một miền đã biết (nguồn), mà còn bởi chuyển giao thông tin và giải thích từ nguồn đến đích

 Thứ ba, SLTT để giải quyết vấn đề: có thể được sử dụng để giải quyết một vấn đề bằng cách chuyển một giải pháp tốt từ nguồn đến đích Một ví dụ liên quan đến loại suy luận này là cách điều trị khối u bằng cách chiếu nhiều tia cường độ thấp theo các hướng khác nhau đến khối u cùng lúc và chiếm pháo đài bằng cách chia quân đội thành các nhóm nhỏ đi theo các con đường khác nhau để đến pháo đài

cùng một lúc

c Theo Nguyễn Phú Lộc (2010), mô hình của SLTT được mô tả theo hình 1.4:

Hình 1.4 Mô hình của SLTT (theo Nguyễn Phú Lộc, 2010)

- A và B có các dấu hiệu P1, P2, ,Pn

- A có dấu hiệu Pn+1

B có dấu hiệu Pn+1?

Các dấu hiệu biểu thị thuộc tính hay quan hệ của A và B; từ đó, ta có hai loại SLTT sau đây:

 SLTT theo thuộc tính: dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính

 SLTT theo quan hệ: dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ

Cách phân loại SLTT này phù hợp với quan điểm của logic học về SLTT

d Theo Orgill (2013) và Yener (2012), khi nghiên cứu các SLTT được trình bày

trong các SGK có các cách phân loại sau (xem bảng 1.1):

Bảng 1.1 Phân loại SLTT trong nghiên cứu SGK (theo [55], [60])

Mối quan hệ

tương tự giữa

nguồn và

đích

Cấu trúc: các khái niệm nguồn và đích chia sẻ những tương đồng về tính

năng bên ngoài hoặc đặc điểm của đối tượng

Chức năng: các khái niệm nguồn và đích chia sẻ những cấu trúc quan hệ,

trong đó chức năng hoặc hành vi của nguồn và đích là giống nhau

Cấu trúc – chức năng: các khái niệm nguồn và đích chia sẻ cả những đặc

điểm về cấu trúc và chức năng

Hình thức

trình bày

Bằng lời nói: Tương tự được thể hiện trong văn bản dạng lời nói

Bằng lời nói - hình ảnh: SLTT được thể hiện bằng lời nói và hình ảnh của

Đơn giản: một câu đơn giản rằng nguồn tương tự với đích

Phong phú: phát biểu với những giải thích, lập tương ứng giữa nguồn và đích

Mở rộng: suy luận với những tương ứng rõ ràng hoặc được tác giả sử dụng

nhiều lần trong cùng quyển sách

Hạn chế của

SLTT

Phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT

Không phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT

Như vậy, mỗi cách phân loại đều dựa trên một tiêu chí khác nhau và thể hiện được ưu điểm của nó Trong chương 3 của luận án, chúng tôi có thực hiện một nghiên cứu để phân loại các SLTT được sử dụng ở SGK Hình học THPT Vì vậy, cách phân loại trong bảng 1.1 sẽ được sử dụng ở chương 3

1.1.6 Những điều kiện đảm bảo độ tin cậy của suy luận tương tự

Theo [5, tr.87-88], những điều kiện để đảm bảo độ tin cậy của SLTT bao gồm: Các đối tượng so sánh có càng nhiều thuộc tính giống nhau, các thuộc tính giống nhau càng phong phú và số lượng các thuộc tính bản chất giống nhau càng nhiều thì mức độ chính xác của kết luận càng cao

Ở bảng 1.2, số thuộc tính, đặc điểm giống nhau giữa nguồn và đích ít nên SLTT về cách giải của bài toán đích là mức độ chính xác chưa cao Trong cách giải này, cần bổ sung thêm điều kiện trực tâm H phải thuộc mặt phẳng (ABC) để tìm tọa độ H

Bảng 1.2 Ví dụ về SLTT có ít thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích

Bài toán Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ trực tâm

H của tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm đó

Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ trực tâm

H của tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm đó

PT chứa x, y Giải hệ tìm được tọa độ H

Suy luận tương tự: Gọi ( ; ; ) H x y z là tọa độ

trực tâm  ABC Từ AH BC  0,

BH AC suy ra hệ 2 PT chứa x, y, z

(chưa tìm được tọa độ H)

Suy luận tương tự trong bảng 1.3 đáng tin cậy hơn vì có nhiều thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích Do vậy, SLTT về cách giải ở bảng 1.3 cho kết quả đúng

Bảng 1.3 Ví dụ về SLTT có nhiều thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích

Bài

toán

Trong mặt phẳng Oxy, viết PTTQ của

đường thẳng  qua điểm A và song song

với đường thẳng d:Ax By C 0

(với A d)

Trong không gian Oxyz, viết PTTQ của mặt

phẳng ( ) qua điểm A và song song với mặt phẳng (P): Ax ByCz D 0,

Đường thẳng  đi qua điểm A Mặt phẳng ( ) đi qua điểm A

Điểm A không thuộc d Điểm A không thuộc (P)

 song song với d ( ) song song với (P)

Ax ByCzD'  0 (**) Thay tọa độ điểm

A vào (**) tìm D’, suy ra PTTQ của ( )

1.2 Vai trò của suy luận tương tự trong dạy học

SLTT từ lâu đã đóng một vai trò trọng yếu trong học tập toán học và giải quyết vấn đề Có nhiều suy luận của con người liên quan đến SLTT và được thực hiện bằng cách sử dụng các lược đồ từ cuộc sống hàng ngày Do đó, SLTT là một khía cạnh tự nhiên và phổ biến của nhận thức con người G Polya đã nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong toán học và đã chứng minh được rằng SLTT có thể cung cấp một nguồn màu mỡ của các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng

giải quyết vấn đề Tuy nhiên, các nghiên cứu gần đây chú ý nhiều hơn đến vai trò của SLTT trong học tập, nghiên cứu khoa học và đặc biệt là việc học tập các khái

niệm toán học của trẻ em [65]

SLTT đóng vai trò quan trọng không chỉ trong ngôn ngữ mà còn trong khoa học, triết học và khoa học nhân văn SLTT đóng một vai trò quan trọng trong giải quyết vấn đề như, việc ra quyết định, nhận thức, trí nhớ, sáng tạo, cảm xúc, giải thích và thông tin liên lạc Khả năng sử dụng một tương tự giữa nguồn và đích có một cấu trúc tương đồng có thể nâng cao hiệu quả và năng suất giải quyết vấn đề SLTT liên quan đến việc xây dựng mối liên hệ giữa các thành phần trong nguồn và các thành phần trong đích và hình thành giải pháp từ nguồn để phù hợp với yêu cầu của đích

GV thường xuyên sử dụng SLTT để giải thích khái niệm cho HS Các SLTT được xem như là mô hình ban đầu, hoặc thể hiện các đặc điểm đơn giản của các khái niệm khoa học GV thường sử dụng SLTT và không biết họ đang sử dụng

chúng một cách tự động Bất cứ khi nào họ bắt đầu một lời giải thích với “Nó giống như ”, “Nó tương tự như ”, hoặc “Hãy nghĩ về nó theo cách này ”, “Hoàn toàn tương tư, ta có…” khi đó họ đang sử dụng một SLTT để giải thích một khái

niệm cho HS của mình SLTT có thể đóng một vai trò quan trọng trong việc giúp

HS xây dựng kiến thức riêng của họ, một quá trình phù hợp với quan điểm học tập kiến tạo SLTT có thể giúp HS xây dựng cầu nối giữa các khái niệm, những gì quen thuộc với những gì mới Từ đó giúp HS hình dung những khái niệm mới, phức tạp, khó hiểu Tuy nhiên, SLTT cũng mặt hạn chế: nó có thể thúc đẩy sự hiểu biết, nhưng nó cũng có thể dẫn với quan niệm sai lầm

Như vậy, SLTT có nhiều ứng dụng rộng rãi trong đời sống cũng như trong khoa học Trong DH toán ở trường phổ thông, theo tác giả Nguyễn Phú Lộc [20], SLTT có các ứng dụng: xây dựng một nghĩa nào đó cho tri thức, xây dựng giả thuyết, sửa chữa sai lầm của HS Bên cạnh đó, theo các tác giả L Gick và J Holyoak [51] có một ứng dụng khác của SLTT là dùng để giải quyết vấn đề, mà cụ thể trong DH toán thì có thể dùng SLTT để giải bài tập toán cho HS

1.2.1 Dùng SLTT để xây dựng ý nghĩa của tri thức

Trong quá trình DH để giúp HS hiểu được các khái niệm khoa học, GV thường sử dụng SLTT Chẳng hạn, con mắt giống máy quay phim, trái tim giống

như một máy bơm, dòng điện giống dòng nước, hay màng tế bào tương tự như một hàng rào liên kết với chuỗi cửa tuần tra bởi các nhân viên bảo vệ,… Trong toán học,

theo [20, tr 81- 82], một dãy số có giới hạn là a thì các số hạng có khuynh hướng tập trung quanh a giống như trên đoạn đường quy định xe ô tô chỉ chạy với vận tốc

giới hạn là 40 km/h thì tốc độ các xe ô tô đến đoạn đường này hầu hết gần 40 km/h;

đồ thị hàm số gián đoạn giống như tuyến đường giao thông có cây cầu bị gãy;…

1.2.2 Dùng SLTT để xây dựng giả thuyết

Trong DH môn toán, chúng ta có thể sử dụng SLTT theo thuộc tính hay tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng để đưa ra giả thuyết, sau đó tiến hành chứng minh hay bác bỏ [20, tr 82- 83] Chẳng hạn, GV có thể sử dụng SLTT theo thuộc tính để giúp HS đưa ra dự đoán như sau (xem bảng 1.4):

Bảng 1.4 Dùng SLTT đưa ra giả thuyết trong công thức tính khoảng cách từ 1 điểm

đến mặt phẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến

đường thẳng  bằng độ dài đoạn thẳng

MH, với H là hình chiếu vuông góc của

chứng minh suy diễn hay thực tiễn khẳng định thì mới biết được đúng hay sai

1.2.3 Dùng SLTT trong giải bài tập toán

Trong toán học, nhiều dạng bài tập chúng ta có thể sử dụng các phương pháp tương tự để giải Đặc biệt, đối với PPTĐ trong không gian cũng có nhiều dạng bài tập có thể sử dụng phương pháp tương tự như trong PPTĐ trong mặt phẳng

Ví dụ: Xét hai bài toán sau:

Bài toán 1: Viết PT đường tròn (C) có tâm I(1,3) và đi qua A(3,1) [25, tr.95]

Bài giải

RIA     Vậy PT đường tròn (C):   2 2

1.2.4 Dùng SLTT để dự đoán, ngăn ngừa và sửa chữa sai lầm của HS

Sai lầm của HS trong quá trình học tập là không thể tránh khỏi Theo thuyết kiến tạo, sai lầm tạo ra sự mất cân bằng trong nhận thức của HS và tạo ra thế cân bằng mới Việc nhận ra và sửa chữa sai lầm của HS đóng vai trò quan trọng bởi việc

ý thức được đặc trưng của sai lầm chính là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức

mà GV muốn xây dựng cho HS

Trong quá trình học toán, HS có thể mắc phải sai lầm do nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra như: tính toán sai, vô ý, không nắm vững khái niệm, tính chất,… Một trong những cách giúp HS sửa chữa các sai lầm được Clement và Brown

(1990) phát triển là chiến lược “Bringing Analogies” Theo [59, tr.79-101], chiến

lược này giúp HS mở rộng đúng trực giác với các tình huống đích mà họ có quan niệm sai lầm Sau khi HS phân tích tình huống đích cho biết sự tồn tại của sai lầm,

GV khơi gợi các tình huống nguồn Chiến lược Bringing Analogies đưa HS đến

hiểu biết về mối quan hệ tương tự giữa tình huống đích và các tình huống nguồn này bằng cách phân tích tại một số điểm mà HS đã cho câu trả lời mâu thuẫn Kết quả của xung đột nhận thức sẽ thúc đẩy HS thay đổi nhận thức và điều chỉnh những quan niệm sai lầm

Phương pháp tiếp cận này phù hợp với mô hình kiến tạo trong DH Học tập theo quan điểm kiến tạo là hoạt động của HS dựa vào kinh nghiệm của bản thân, huy động chúng vào quá trình tương tác với các tình huống, tiêu hóa chúng và rút ra

điều cần hình thành DH theo quan điểm kiến tạo không phải là truyền tải kiến thức toán học mà là tạo tình huống cho HS thiết lập các cấu trúc cần thiết [30, tr.21-22]

Tương tự như vậy, chiến lược Bringing Analogies cũng cho rằng việc học không

phải là một quá trình thụ động cho phép thông tin đến được bộ nhớ trong não bộ, nhưng là một quá trình hoạt động cố gắng để duy trì trạng thái cân bằng trong một

môi trường thay đổi Hơn nữa, chiến lược Bringing Analogies cũng tương đồng với

phương pháp giảng dạy của Socrates trong đó nó liên quan đến lý luận từ một số trường hợp cụ thể và hướng dẫn chủ yếu là đặt ra từ các câu hỏi trái ngược với thông tin truyền đạt

Bên cạnh đó, sai lầm còn xuất hiện khi một kiến thức cũ từng tỏ ra hiệu quả nhưng trong một tình huống mới thì không còn đúng nữa Cụ thể, trong quá trình giải bài tập toán, HS đã từng thành công khi sử dụng các chiến lược giải này ở bài toán nguồn; tuy nhiên, khi vận dụng SLTT để suy ra các chiến lược tương tự cho bài toán đích lại dẫn đến sai lầm.Chẳng hạn, khi tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC trong mặt phẳng, HS sử dụng hai điều kiện AH BC BH, ACthì tìm được

tọa độ H Tuy nhiên, khi tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC trong không gian, nếu sử dụng cách giải tương tự thì chưa tìm được tọa độ H mà phải bổ sung thêm điều kiện điểm H thuộc mặt phẳng (ABC).

1.3 Các mô hình sử dụng suy luận tương tự trong quá trình dạy học

Hiện nay, có nhiều mô hình khác nhau của SLTT được sử dụng như những chiến lược trong việc giảng dạy và học tập khoa học Những mô hình này đã được phát triển thông qua nghiên cứu thực hiện bởi nhiều nhà giáo dục Tuy nhiên, hầu hết các mô hình đều dựa trên việc giảng dạy với SLTT và xây dựng nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy của GV Tài liệu [48] đã đề cập 3 mô hình nghiên cứu

về việc sử dụng SLTT trong quá trình DH:

• Mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching)

• Mô hình TWA (Teaching With Analogy)

• Mô hình FAR (Focus-Action-Reflection)

1.3.1 Mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching)

Mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching) đề xuất bởi Hassan Hussein Zeitoun năm 1984 (dẫn theo [52]) Mô hình GMAT bao gồm các bước sau:

i) Đo lường một số đặc điểm của HS liên quan đến học tập với SLTT nói chung;

ii) Đánh giá kiến thức đã biết của HS về chủ đề;

iii) Phân tích các tài liệu học tập về chủ đề;

iv) Đánh giá sự phù hợp của nguồn tương tự được sử dụng;

v) Xác định các đặc điểm của nguồn được sử dụng;

vi) Chọn chiến lược và môi trường giảng dạy với SLTT;

vii) Trình bày các SLTT cho HS;

viii) Đánh giá kết quả của việc sử dụng SLTT trong giảng dạy (đánh giá kiến thức của HS về các thuộc tính của chủ đề và xác định những quan niệm sai lầm khi sử dụng SLTT);

ix) Rà soát các giai đoạn của mô hình nếu cần thiết

Mô hình GMAT nhấn mạnh sự cần thiết lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh giá những tác động của SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS Tuy nhiên, mô hình này chưa đưa ra các bước cụ thể để

GV thực hiện quá trình DH với SLTT trên lớp

1.3.2 Mô hình FAR (Focus-Action-Reflection)

Trước và sau khi DH với SLTT, GV cần thực hiện phân tích tương tự đó để

việc DH hiệu quả hơn Theo [40, tr.12-16], mô hình FAR (the

Focus-Action-Reflection) hướng dẫn GV thực hiện việc phân tích này khi DH một tương tự (xem

bảng 1.5)

Bảng 1.5 Mô hình FAR [49]

a Tâm điểm (Focus)

Trong quá trình DH với SLTT, GV nên xem xét khái niệm cần dạy có khó, không quen thuộc hay trừu tượng đối với HS hay không? GV nên đặt ra câu hỏi: HS

Tâm điểm (Focus):

KHÁI NIỆM Khái niệm cần học có khó, không quen thuộc hay trừu tượng

HỌC SINH Những ý tưởng nào mà HS đã biết về khái niệm

NGUỒN Có điều gì mà HS quen thuộc

Hành động (Action):

TƯƠNG ĐỒNG Thảo luận những đặc điểm của nguồn và khái niệm, rút ra những điểm

giống nhau của chúng

DỊ BIỆT Thảo luận những đặc điểm của nguồn không giống khái niệm

Suy xét (Reflection):

KẾT LUẬN Nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm lẫn

CẢI TIẾN Xét lại tâm điểm trên cơ sở kết luận

đã có những ý tưởng nào về khái niệm cần dạy? Những điều gì đã quen thuộc với

HS có liên quan đến khái niệm này? Điều đó yêu cầu GV xem xét lại nội dung các bài học mà HS đã học trong chương trình đã học hay những điều mà HS đã biết

b Hành động (Action)

Ở bước này, GV cho HS thảo luận để phân tích những đặc điểm của nguồn

và đích; từ đó rút ra những điểm giống nhau của chúng Để quá trình này có hiệu quả, GV có thể mở rộng, thu hẹp, điều chỉnh lại khi cần thiết, để HS hiểu được những đặc điểm chung Những tương tự được chỉ ra là kết quả của quá trình thiết lập sự tương ứng giữa nguồn và đích Bên cạnh đó, HS cũng cần chỉ ra những điểm khác biệt giữa nguồn và đích Điều đó giúp cho quá trình sử dụng SLTT có ý nghĩa

và HS tránh được những sai lầm

c Suy xét (Reflection)

Trong bước này, GV cần xét xem nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm lẫn, từ đó đưa ra kết luận về nguồn của SLTT Sau đó, nên xem xét lại tâm điểm từ các kết luận được rút ra, đồng thời đề ra những thay đổi để cải tiến cho lần sau

Bảng 1.6 Phân tích khái niệm PT mặt cầu theo mô hình FAR

Tâm

điểm

Khái niệm PT mặt cầu:   2  2 2 2

xa  y b  z c R là khái niệm khó, không quen thuộc đối với HS đang học chương III, Hình học 12

HS Đã học về định nghĩa mặt cầu ở chương II, Hình học 12

2 2( ; ) ( )

Kết luận Nguồn tương tự (PT đường tròn trong mặt phẳng) thì rõ ràng và hữu ích

Cải tiến Có thể sử dụng PT đường tròn làm nguồn tương tự cho PT mặt cầu

Chúng tôi đưa ra ví dụ minh họa áp dụng mô hình FAR để phân tích khái niệm

PT mặt cầu trong mối quan hệ tương tự với PT đường tròn (xem bảng 1.6)

Mô hình FAR có ưu điểm nổi bật là việc phân tích chi tiết các đặc điểm của nguồn và đích; từ đó, xem xét tính hữu ích và sự phù hợp của việc lựa chọn nguồn Đây là một yêu cầu không thể thiếu đối với người GV khi DH với SLTT Hơn nữa,

bước hành động đã nhấn mạnh quá trình hợp tác, thảo luận của HS trong việc tìm

kiếm các điểm tương đồng và dị biệt của nguồn và đích Điều đó làm gia tăng hiệu quả của việc sử dụng SLTT Tuy nhiên, những hoạt động này chỉ mới đề cập nói chung mà chưa được mô tả hay đưa ra những hướng dẫn cụ thể cho việc giảng dạy trên lớp

1.3.3 Mô hình TWA ( Teaching-With-Analogies)

GV sử dụng SLTT để xây dựng cầu nối khái niệm cho HS giữa những gì quen thuộc (nguồn) và những gì mới (đích) Quy trình của DH với SLTT được thể

hiện trong mô hình TWA (the Teaching-With-Analogies), do Glynn đề nghị (1989)

bao gồm các bước sau [69, tr.13-14]:

1 Giới thiệu kiến thức cần dạy (đích);

2 Khơi dậy kí ức của HS về tình huống tương tự;

3 Nhận biết các đặc điểm quan trọng của kiến thức nguồn;

4 Thiết lập sự tương ứng giữa nguồn và đích;

5 Chỉ ra những kết luận không đúng;

6 Rút ra kết luận về kiến thức đích

Mô hình trên đã đề xuất một quy trình DH với SLTT một cách rõ ràng Theo hướng dẫn đó, GV có thể dễ dàng thực hiện quá trình DH của mình Theo chúng tôi, đây là mô hình có nhiều ưu điểm trong việc áp dụng SLTT vào DH các chủ đề

cụ thể của toán học

1.3.4 Kết luận về các mô hình DH với suy luận tương tự

Mỗi mô hình DH với SLTT nói trên đều có những ưu điểm và khuyết điểm

Mô hình GMAT đưa ra các bước để GV lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT và đánh giá những tác động của SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS Mô hình FAR nhấn

mạnh sự hợp tác để hành động, phân tích các điểm tương đồng, dị biệt của nguồn

và đích từ đó thiết lập sự tương ứng giữa chúng Tuy nhiên, hai mô hình GMAT và FAR còn bộc lộ khuyết điểm là chưa đưa ra được các bước, các hướng dẫn cụ thể

để giúp GV thực hiện quá trình DH với SLTT trên lớp Các bước cụ thể trong mô

hình TWA đã giúp bổ sung và khắc phục khuyết điểm này Như vậy, nếu kết hợp các mô hình nói trên để phát huy ưu điểm của mỗi mô hình sẽ mang lại hiệu quả tích cực cho quá trình DH với SLTT

1.4 Một số yếu tố của Didactic toán

Trong luận án, chúng tôi có sử dụng một số công cụ lý thuyết của didactic toán Sau đây, chúng tôi xin trình bày tóm tắt một số yếu tố của nó (phần này được tham khảo trong tài liệu [2])

1.4.1 Thuyết nhân học trong didactic toán

* Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân

Quan hệ của thể chế I với tri thức O, R(I, O) là tập hợp các tác động qua lại

mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, … trong I [2, tr 317]

Quan hệ cá nhân X với tri thức O, R (X, O) là tập hợp các tác động qua lại mà

cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X, O) Hiển nhiên, đối với một tri thức

O, quan hệ của thể chế I, mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại dấu ấn trong quan hệ R(X,O) Muốn nghiên cứu R(X, O) ta cần đặt nó trong R(I, O)

Để góp phần trả lời cho vấn đề những ảnh hưởng của thể chế dạy học đến quan hệ cá nhân của giáo viên và sinh viên với việc sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian, trong chương 3 và chương 4 của luận án, chúng tôi sẽ phân tích những SLTT được các tác giả SGK hiện hành sử dụng và nghiên cứu cách thức sử dụng SLTT của GV và SV sư phạm toán

* Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội, thực

tế toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội nên cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Chính quan điểm này đã dẫn đến khái niệm

Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến một đối tượng tri thức là cần thiết trong quá trình DH tri thức đó bởi nó cho phép vạch rõ mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với tri thức Từ đó, có thể tìm hiểu nguồn gốc của những sai lầm mà HS gặp phải khi học tập tri thức này

Điều này đã được hai tác giả Nguyễn Phú Lộc và Diệp Văn Hoàng diễn giải lại như sau (xem hình 1.5):

Hình 1.5 Sơ đồ diễn giải “tổ chức toán học” (praxéologie) theo cách tiếp cận của

thuyết nhân học trong didactic toán [21]

Cách tiếp cận chương trình và SGK sẽ vạch rõ sự lựa chọn của thể chế và những điều kiện, những ràng buộc, những ảnh hưởng của sự lựa chọn của thể chế đối với việc xây dựng hoặc làm thay đổi quan hệ cá nhân của HS đối với tri thức

Lý thuyết về tổ chức toán học cho phép nghiên cứu các dạng bài tập theo một tiêu chuẩn nhất định Các khái niệm kiểu nhiệm vụ, kĩ thuật, yếu tố công nghệ được vận dụng để phân tích một số tổ chức toán học có đặc điểm tương tự ở hai nội dung PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian ở chương 3 Những phân tích về đặc điểm tương tự của các kiểu nhiệm vụ cho phép chúng tôi dự đoán một số sai lầm của HS khi sử dụng SLTT để giải bài tập chương PPTĐ trong không gian

1.4.2 Các khái niệm trong lý thuyết tình huống

Chương 5 và 6 của luận án sử dụng một số khái niệm của lý thuyết tình huống như: phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm, biến, chiến lược,… Nó tạo điều kiện để giải thích cho sự lựa chọn của chúng tôi đối với từng tình huống thực nghiệm Do vậy, trong phần này, chúng tôi xin trích dẫn một số khái niệm cần thiết

1.4.2.1 Biến didactic

Một họ các bài toán có thể được sinh ra từ một tình huống bằng việc thay đổi những giá trị của một số biến Các biến này, đến lượt nó, lại làm thay đổi những đặc trưng của các chiến lược giải (độ khó khăn, tính hợp thức, sự phức tạp,…) Chúng

sẽ là biến didactic nếu bằng cách thực hiện sự tác động lên chúng, người ta có thể gây nên những thích nghi và những điều tiết của việc học tập [2, tr.175]

B3 Công nghệ

(Nêu ra các tri thức làm cơ sở;

lý giải cho kĩ thuật giải ở B2)

B4 Lý thuyết

(Hợp thức hóa tri thức ở B3; chỉ rõ lý thuyết làm cơ sở cho tri thức cho B3)

Cách thức thực hiện nhiệm vụ (hoặc quy

trình hành động để hoàn thành nhiệm vụ) Tri thức và lý thuyết được dùng lý giải cho cách thức thực hiện nhiệm vụ

G.Brousseau gọi: biến didactic là những biến có thể làm thay đổi đặc trưng của những chiến lược giải hay câu trả lời của HS và GV có thể thực hiện việc lựa chọn các giá trị của biến

1.4.2.2 Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

 Phân tích tiên nghiệm: là thiết lập một mô hình dự kiến về thực tế (tình huống Sa gắn liền với đối tượng tri thức đang nghiên cứu) Khi phân tích tiên nghiệm, người ta thường tìm cách xác định các yếu tố:

- Các biến didactic có thể tác động trong Sa, những chiến lược hay câu trả lời có thể xuất hiện và ảnh hưởng của biến trên chiến lược

- Những cái có thể quan sát được, minh chứng các chiến lược hay câu trả lời

- Những kiến thức ẩn đằng sau những chiến lược đó, nghĩa là những kiến thức mầm mống cho sự nảy sinh các chiến lược

- Những kiến thức có thể nảy sinh và các lựa chọn giá trị của biến tạo ra điều kiện nảy sinh đó

 Phân tích hậu nghiệm: là dựng lại tình huống thực tế Sp xảy ra thực sự khi triển khai thực nghiệm tình huống Sa Trong đó, điểm mấu chốt là thực hiện sự phân tích đối chứng giữa những cái đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm với những dữ liệu và mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được khi triển khai tình huống thực nghiệm, nghĩa là sự đối chứng giữa tình huống Sa và tình huống thực nghiệm Sp xảy ra trong thực tế thực nghiệm

1.4.2.3 Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại

Hợp thức hóa ngoại vi là phương pháp kiểm chứng tính hiệu quả và khả thi của một hệ thống hóa các giải pháp về DH toán mà nghiên cứu đề xuất Người ta thường xây dựng triển khai kế hoạch, nội dung và tiến hành trên nhóm đối tượng mẫu và so sánh với nhóm đối tượng đối chứng Về cơ bản, hai nhóm đối tượng này

có bản chất như nhau

Trong hợp thức hóa nội tại, người ta chỉ triển khai thực nghiệm trên nhóm đối tượng mẫu và do đó không có sự so sánh kết quả với nhóm đối chứng như trong hợp thức hoá ngoại vi Điểm quan trọng trong hợp thức hóa nội tại là thực hiện sự đối chứng giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

Trong chương 5 và chương 6 của luận án, chúng tôi chủ yếu sử dụng hình thức hợp thức hóa nội tại Các thực nghiệm được tổ chức trên cơ sở có sự so sánh giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

1.4.3 Hợp đồng dạy học

Theo quan điểm didactic, cái đích của GV và HS trong lớp là tri thức, nhưng

kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức khác nhau Điều đó là do vị trí khác nhau của mỗi bên đối với tri thức Những gì mỗi bên có quyền làm hay không được làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các quy tắc có khi tường minh nhưng thường là ngầm ẩn

G Brousseau định nghĩa hợp đồng DH là tập hợp các quan hệ xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành những điều khoản của mỗi bên (GV và HS) có trách nhiệm thực hiện những nghĩa vụ bên này với bên kia Theo Y Chevallard (1993) hợp đồng DH quy định các quyền hạn và nhiệm

vụ của HS và GV qua sự phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi bên Nó là tập hợp các quy tắc hoạt động, các điều kiện quy định mối quan hệ giữa GV và HS Hợp đồng DH được xem như là công cụ để nghiên cứu sai lầm của HS và dự đoán nguyên nhân của các sai lầm này Điều này giúp lý giải một số sai lầm của HS

khi giải các bài tập PPTĐ trong không gian ở chương 5

Hơn nữa, chúng tôi còn trình bày một số yếu tố của didactic như lý thuyết tình huống, thuyết nhân học trong didactic toán, hợp đồng DH,… Đây là những công cụ lý thuyết được sử dụng trong các nghiên cứu ở các chương sau của luận án

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP VÀ THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

Trong chương này, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau để trả lời bốn câu hỏi nghiên cứu đã nêu trong phần nhiệm vụ nghiên cứu:

- Phương pháp phân tích nội dung: phân tích các SGK Hình học hiện hành

được thực hiện nhằm tìm hiểu các SLTT trong chương PPTĐ trong không gian

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát quá trình DH sử dụng SLTT

trong chương PPTĐ trong không gian của GV, điều tra, phân tích sản phẩm của SV

sư phạm Toán

- Phương pháp phân tích sản phẩm và phỏng vấn: phân tích bài làm và phỏng

vấn HS khi thực nghiệm các tình huống gắn liền với những sai lầm của HS do sử dụng SLTT để giải bài tập trong chương PPTĐ trong không gian

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: thực nghiệm kiểm chứng tính hiệu

quả của các tình huống DH sử dụng SLTT vào DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian

2.1 Nghiên cứu các suy luận tương tự trong chương Phương pháp tọa độ trong không gian

2.1.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu này được thực hiện để trả lời câu hỏi nghiên cứu 1 (đã nêu

trong nhiệm vụ nghiên cứu) và được cụ thể hơn như sau:

- Các khái niệm, tính chất tương tự có thể có giữa hai nội dung PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian là gì?

- Các tác giả SGK Hình học (cơ bản và nâng cao) trong chương trình toán THPT

có sử dụng SLTT để trình bày các nội dung toán học hay không? Các tác giả đã sử dụng SLTT như thế nào trong chương PPTĐ trong không gian ở các SGK Hình học

12 hiện hành?

- Có những tổ chức toán học nào ở chương PPTĐ trong không gian có mối quan

hệ tương tự với những những tổ chức toán học ở chương PTTĐ trong mặt phẳng?

2.1.2 Phương pháp nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành phương pháp phân tích nội dung để:

- Phân tích những khái niệm, tính chất tương tự ở hai nội dung PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian bằng cách làm rõ các đặc điểm của nguồn và đích

trong mỗi tương tự Đây là cơ sở cho việc vận dụng SLTT vào DH khái niệm, tính chất mới trong chương PPTĐ trong không gian

- Phân tích những SLTT được các tác giả SGK Hình học hiện hành (cơ bản và nâng cao) sử dụng để trình bày các nội dung toán học trong chương trình toán THPT Ở đây, chúng tôi sử dụng cách phân loại SLTT khi nghiên cứu SGK đã đề cập ở chương 1 (xem bảng 1.1) Sau đó, chúng tôi phân tích cụ thể những SLTT ở chương PPTĐ trong không gian để làm rõ thực trạng sử dụng SLTT của các SGK

- Trình bày tóm tắt 30 cặp tổ chức toán học có đặc điểm tương tự trong hai chương PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian theo quan điểm của didactic toán bao gồm: T là kiểu nhiệm vụ,  là kĩ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kĩ thuật  Phân tích cụ thể một số tổ chức toán học làm

cơ sở cho việc dùng SLTT vào DH giải bài tập toán và nghiên cứu sai lầm của HS

2.2 Nghiên cứu thực tiễn dạy học sử dụng suy luận tương tự

Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 2, chúng tôi tiến hành khảo sát để tìm

hiểu về cách thức và mức độ sử dụng SLTT vào DH chương PPTĐ trong không gian của GV ở các trường THPT tại đồng bằng sông Cửu Long và SV năm cuối ngành sư phạm toán học ở trường Đại học Cần Thơ Khảo sát này góp phần làm rõ những ảnh hưởng của cách trình bày trong SGK đối với cách sử dụng SLTT vào

DH của GV và SV sư phạm

2.2.1 Khảo sát giáo viên

2.2.1.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khảo sát này nhằm trả lời hai câu hỏi sau:

- Dưới sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT trong các SGK, GV toán THPT có lựa chọn sử dụng SLTT nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới hay không?

- Nếu GV có sử dụng SLTT trong quá trình DH thì tính chất và mức độ sử dụng như thế nào?

2.2.1.2 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp điều tra và quan sát như sau: Trong năm học

2013 - 2014, chúng tôi tiến hành khảo sát một số tiết dạy trong chương PPTĐ trong không gian của GV toán ở các trường THPT tại đồng bằng sông Cửu Long Ở đây, chúng tôi không thực hiện bất kì một tác động nào đến quá trình DH của GV Trong các tiết dạy, GV được chủ động lựa chọn phương pháp DH riêng cho mình Những

tiết dạy được các GV khác trong tổ toán của trường THPT dự giờ, ghi chép lại một cách chi tiết thành biên bản theo mẫu mà chúng tôi đề nghị (xem hình 2.1)

Hình 2.1 Mẫu biên bản dự giờ GV

Khảo sát đã tiến hành trên 20 tiết dạy của 18 GV dạy toán tại 10 trường THPT (xem bảng 2.1):

Bảng 2.1 Thống kê các bài dạy của GV ở các trường THPT

12 G12 (N.T.T.A.) Trường THPT Nguyễn

16/01/2014

14 G14 (T.T.L.H.) Trường THPT Long Phú –

Vĩnh Long

Luyện tập PTTQ của mặt phẳng

Từ cách phân loại SLTT ở bảng 1.1 cho thấy có nhiều mức độ khác nhau khi

sử dụng SLTT Đó có thể là một SLTT đơn giản, cụ thể bằng cách nói rằng nguồn tương tự đích hay một SLTT được giải thích rõ ràng, chỉ ra các dấu hiệu tương ứng giữa nguồn và đích Vì vậy, việc xây dựng một thang bậc với các tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong quá trình DH của GV là cần thiết Dựa trên các cách phân loại SLTT và các bước trong mô hình TWA, chúng tôi đã đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT được phân chia thành các mức độ như sau (xem bảng 2.2):

Bảng 2.2 Thang bậc đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH

Mức Mức độ sử dụng SLTT

0 Không sử dụng tương tự

1 Chỉ nêu được tên nguồn tương tự

2 Nhắc lại đặc điểm của nguồn, nhưng chưa thiết lập được sự tương ứng với kiến thức đích

3 Lập được tương ứng giữa nguồn và đích

4 Thực hiện tốt sự tương ứng giữa nguồn và đích: chỉ ra được tương đồng và dị biệt; có những kết luận thích đáng nhờ SLTT

2.2.2 Khảo sát SV sư phạm

2.2.2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu nhằm trả lời các câu hỏi sau:

1 SV năm cuối ngành sư phạm toán ở trường Đại học Cần Thơ có lựa chọn

sử dụng SLTT trong quá trình thực hành soạn giáo án chủ đề PPTĐ trong không gian hay không?

2 Những khó khăn mà SV gặp phải khi thực hành soạn giáo án có vận dụng

mô hình TWA vào DH các nội dung chương PPTĐ trong không gian?

3 SV đã thực hiện những biện pháp nào để khắc phục những khó khăn này?

2.2.2.2 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp điều tra và phân tích bài làm của SV như sau: Chúng tôi đã tiến hành hai khảo sát đối với các SV năm cuối ngành sư phạm toán và sư phạm toán - tin học tại trường Đại học Cần Thơ Khi đó, các em SV đã được học các học phần về phương pháp DH như: Lý luận và phương pháp DH toán,

Xu hướng DH không truyền thống, Hoạt động dạy và học môn toán, Khảo sát được thực hiện đối với các SV đang học học phần Tập giảng toán học Trong học phần này, SV được giao nhiệm vụ lập kế hoạch bài giảng, soạn giáo án và thực hành

DH nên có thể xem như SV đang thực hành công việc của người GV tương lai

Khảo sát 1

Để trả lời cho câu hỏi 1, chúng tôi đã tiến hành khảo sát đối với 52 SV ngành

Sư phạm Toán và Sư phạm Toán-tin học khóa 36 của trường Đại học Cần Thơ trong năm học 2013 -2014 Thời gian khảo sát vào tháng 9 năm 2013 và được tiến hành tại hai lớp học phần tập giảng Nội dung điều khảo sát được tiến hành như sau:

Bước 1: SV được giao nhiệm vụ tham khảo các tài liệu để soạn giáo án bài

Hệ tọa độ trong không gian (được phân phối trong 3 tiết dạy) SV sẽ làm việc cá nhân ở nhà và nộp lại giáo án đã soạn sau 1 tuần Chúng tôi lựa chọn bài Hệ tọa độ trong không gian vì nó có nhiều khái niệm và công thức tương tự với hệ tọa độ

trong mặt phẳng để tạo điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng SLTT vào DH Các nội dung trong bài hệ tọa độ trong không gian ở SGK 12 Nâng cao được trình bày trong bảng 2.3

Bảng 2.3 Các nội dung tương tự trong bài Hệ tọa độ trong không gian

Kiến thức Hệ tọa độ trong không gian

(kiến thức đích)

Hệ tọa độ trong mặt phẳng (Kiến thức nguồn)

Oxyz

HS đã biết định nghĩa về tọa độ điểm, vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán trên vectơ, PT đường tròn

tung), Oz (trục cao) đôi một vuông góc;

bán kính R a2 b2 c

Ở bước này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem khi làm việc cá nhân, SV có sử dụng SLTT vào DH một số nội dung trong PPTĐ trong không gian hay không?

Bước 2: SV được chia nhóm thảo luận tại lớp, mỗi nhóm từ 3 đến 4 SV Các

em sẽ thảo luận với nhau về cách dạy bài Hệ tọa độ trong không gian trong 60 phút

và nộp lại kết quả Trong bước này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem sau khi thảo luận theo nhóm, việc sử dụng SLTT vào DH của SV có tăng lên hay không?

Khảo sát 2

Để trả lời cho câu hỏi 2 và câu hỏi 3, chúng tôi tiến hành khảo sát đối với 31

SV ngành Sư phạm Toán và Sư phạm Toán-tin học khóa 37 của trường Đại học Cần

Thơ trong năm học 2014 -2015 Thời gian khảo sát vào tháng 9 năm 2014 và được tiến hành tại một lớp học phần tập giảng như sau:

Bước 1: Chúng tôi giới thiệu cho SV về SLTT, mô hình TWA và một ví dụ

sử dụng mô hình TWA vào DH công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số nhân trong thời gian 45 phút Sau đó, chúng tôi tổ chức cho SV thảo luận theo nhóm trong 60 phút để soạn giáo án DH các khái niệm, tính chất và bài tập chương PPTĐ trong không gian theo mô hình TWA Lớp học phần tập giảng gồm 31 SV được chia lớp thành 9 nhóm, mỗi nhóm từ 3 đến 4 SV và soạn giáo án các nội dung sau (xem bảng 2.4):

Bảng 2.4 Thống kê nội dung bài soạn của SV theo nhóm

Nhóm 1 (4 SV: L.T.N., N.T.T.A., N.T.T.N., H.D.T.A.) Hệ trục tọa độ, tọa độ điểm, tọa độ vectơ

trong không gian Nhóm 2 (3 SV: T.T.T, N.H.D., N.T.T.T.) Tích vô hướng và tích có hướng

Nhóm 3 (3 SV: V.T.D.P, T.B.T., V.T.N.D.) PT mặt cầu

Nhóm 4 (3 SV: T.N.C., L.N.D., D.K.) PT mặt phẳng

Nhóm 5 (3 SV: T.S.R., S.H.D., H.C.T.T.) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Nhóm 6 (3 SV: N.T.T., N.N.N., P.N.Y.K.) Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Nhóm 7 (4 SV: H.B.T., D.T.M.H., N.H.L., V.N.H.K.) PT tham số và chính tắc của đường thẳng Nhóm 8 (4SV: N.T.T.D., N.T.N.N., T.T.T.N., N.T.L.Q.) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Nhóm 9 (4 SV: L.H.N., N.T.T.T., D.T.N.D., L.C.H.) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Bước 2: Chúng tôi cho SV tiếp tục thảo luận theo nhóm để trả lời các câu hỏi sau trong thời gian 30 phút:

1 Khi vận dụng mô hình TWA vào DH các khái niệm, tính chất, bài tập, các em có được những thuận lợi và khó khăn nào?

2 Hãy cho biết những khó khăn mà em đã gặp phải trong mỗi bước khi áp dụng

mô hình TWA vào DH? Theo em, bước nào là khó nhất? Cho ví dụ minh họa

3 Làm thế nào để vận dụng một cách hiệu quả nhất mô hình TWA vào DH?

Nghiên cứu này được thực hiện để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp

phải những sai lầm nào khi sử dụng SLTT vào giải các bài tập chương PPTĐ trong không gian?

Dựa theo tính đúng sai của nguồn và đích, có 4 trường hợp sau:

 Trường hợp 1(Nguồn đúng – đích đúng): Từ các tính chất đúng của nguồn, HS

có thể suy ra các tính chất tương tự của đích cũng đúng Ở đây, SLTT cho một dự đoán đúng và HS cần chứng minh lại các tính chất này

 Trường hợp 2 (Nguồn sai – đích sai): Từ các tính chất sai của nguồn, HS có

thể suy ra các tính chất tương tự của đích cũng sai Vì vậy, SLTT cho một dự đoán sai và từ đây cũng dẫn đến sai lầm cho HS

 Trường hợp 3 (Nguồn đúng – đích sai): Từ các tính chất đúng của nguồn, HS

lại suy ra các tính chất tương tự của đích sai Ở đây, SLTT cho một dự đoán sai Nếu các em biết kiểm chứng lại dự đoán thì đây là điểm khác biệt của nguồn và đích Nhưng nếu các em thừa nhận dự đoán này thì sẽ dẫn đến sai lầm

 Trường hợp 4 (Nguồn sai – đích đúng): Từ các tính chất sai của nguồn, HS có

thể suy ra các tính chất tương tự đúng của đích Về mặt logic, điều này hoàn toàn có thể xảy ra đối với HS

Từ phân tích trên cho thấy chỉ có hai loại sai lầm đối với đích có thể xảy ra khi HS sử dụng SLTT vào giải bài tập toán:

Sai lầm loại 1: HS mắc phải sai lầm khi giải các bài toán nguồn Do đó, các

em cũng mắc phải những sai lầm khi vận dụng các chiến lược giải tương tự cho bài toán đích

Sai lầm loại 2: HS đã từng thành công khi sử dụng các chiến lược giải này ở

bài toán nguồn Tuy nhiên, khi vận dụng các chiến lược tương tự vào giải bài toán đích thì lại dẫn đến sai lầm Điều này buộc HS phải xem xét lại cách giải của mình

và điều chỉnh cho phù hợp

Bên cạnh đó, chúng tôi nhận thấy còn một số nguyên nhân khác có thể dẫn đến sai lầm của HS như: áp dụng các quy tắc của hợp đồng DH, không nắm vững khái niệm, tính chất, tính toán sai hay sự vô ý của HS

2.3.2 Phương pháp nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng công cụ lý thuyết của Didactic toán:

lý thuyết tình huống Chúng tôi đã thiết kế một tình huống học tập gắn liền với các sai lầm khi HS sử dụng SLTT để giải các bài tập ở chương PPTĐ trong không gian Phân tích tiên nghiệm: Chúng tôi phân tích cụ thể một số kiểu nhiệm vụ trong chương PPTĐ trong không gian minh họa cho các loại sai lầm nói trên Các kiểu nhiệm vụ này bao gồm: viết PTTQ của mặt phẳng, viết PTTS của đường thẳng trong không gian, tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng, nhận dạng PT đường

tròn và mặt cầu Chúng tôi còn đề cập các biến được sử dụng trong tình huống và các chiến lược có thể của 5 bài toán trong tình huống thực nghiệm sai lầm

Phân tích hậu nghiệm: Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu học tập cho 309 HS tại 9 lớp 12 vào tháng 3 năm 2015 Các lớp học này bao gồm 4 lớp 12A1, 12A2, 12B1, 12B2 ở trường THPT Thực hành Sư phạm (thành phố Cần Thơ) và 5 lớp 12T1, 12A2, 12A4, 12A7, 12A8 ở trường THPT Nguyễn Thị Định (tỉnh Bến Tre)

do 7 GV toán khác nhau giảng dạy Cuối cùng, chúng tôi chọn 6 HS trong số các

HS có mắc phải sai lầm để phỏng vấn về cách mà các em đã sử dụng để giải các bài toán này Điều này giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về cách sử dụng SLTT để giải toán của các em

2.4 Nghiên cứu giải pháp sư phạm sử dụng suy luận tương tự vào dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian và thực nghiệm kiểm chứng

Nghiên cứu này được thực hiện để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 4

2.4.1 Căn cứ đề xuất giải pháp sư phạm sử dụng suy luận tương tự vào dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian

2.4.1.2 Đặc trưng của tình huống dạy học bằng SLTT

Tình huống DH bằng SLTT là một tình huống tạo ra những điều kiện thuận lợi để HS thực hiện phép SLTT vào khám phá kiến thức mới Đây không phải là quá trình mô tả trực quan, đưa nhận xét rồi phát biểu kiến thức cần học Kiến thức mới phải được xây dựng thông qua việc sử dụng SLTT

Ở đây, GV không thực hiện nhiệm vụ xây dựng kiến thức mới cho HS GV có vai trò thiết kế các tình huống, các câu hỏi, các nhiệm vụ giao cho HS thực hiện và thể chế hóa kiến thức

HS có nhiệm vụ thực hiện các yêu cầu của GV, tập dượt sử dụng SLTT trong việc khám phá kiến thức mới

2.4.1.3 Các căn cứ của việc dạy học PPTĐ trong không gian bằng SLTT

Các giải pháp sư phạm khi DH sử dụng SLTT được đề xuất dựa trên những đặc điểm sau:

 Mục tiêu DH nội dung PPTĐ trong chương trình toán THPT hiện nay Đó là đảm bảo sự cân đối cho HS nắm vững các mặt cú pháp và ngữ nghĩa; chú trọng khai thác càng nhiều càng tốt các ứng dụng khác nhau của từng khái niệm, định lí, quy tắc, tính chất suy từ khái niệm vào giải quyết nghiên cứu các vấn đề khác thuộc phạm vi kiến thức phổ thông; chú trọng các yếu tố trực quan; chú trọng các dạng toán trong chương trình phổ thông, phối hợp nhiều phương pháp khác nhau để giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, PPTĐ (trích theo [29, tr.117-136]) Hơn nữa, nội dung chương PPTĐ trong không gian có nhiều đặc điểm tương tự với chương PPTĐ trong mặt phẳng Chính vì vậy, việc sử dụng SLTT vào DH PPTĐ trong không gian là hợp lý Điều này được nhấn mạnh trong các giáo trình Phương pháp DH dành cho SV ngành sư phạm toán và cũng được các tác giả SGK đề cập

 SLTT và vai trò quan trọng của nó trong DH toán, đặc biệt là việc dùng SLTT để giúp HS khám phá kiến thức mới và nhận ra các sai lầm trong quá trình học tập Bên cạnh đó, các mô hình DH như TWA, GMAT, FAR là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc tổ chức DH bằng SLTT

 Thực tiễn DH với SLTT của GV THPT và SV sư phạm toán nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới

2.4.2 Nghiên cứu thực nghiệm các tình huống dạy học sử dụng suy luận tương tự

2.4.2.1 Mục đích nghiên cứu thực nghiệm

Mục đích chính là thử nghiệm các tình huống DH trong đó HS khám phá kiến thức mới ở chương PPTĐ trong không gian bằng cách sử dụng SLTT Trọng tâm của nghiên cứu là kiểm chứng giả thuyết H1, H2 và một phần giả thuyết H3 đã nêu trong phần giả thuyết nghiên cứu

2.4.2.2 Phương pháp thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm DH để kiểm chứng các giả thuyết trên:

Thực nghiệm 1: thiết kế một tình huống để HS khám phá kiến thức về PT mặt cầu bằng cách sử dụng SLTT với PT đường tròn

Thực nghiệm 2: thiết kế một tình huống để HS khám phá công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng cách sử dụng SLTT với công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Thực nghiệm 3: tình huống đưa ra yêu cầu HS huy động các kiến thức cũ để tìm bài toán tương tự đã học, sau đó dùng SLTT để suy ra cách giải cho các bài toán viết PT mặt phẳng trong không gian