Phân rã một số bài toán biên của phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dương, compact trên không gian Sobolev

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ QUỐC HUY PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG, COM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ QUỐC HUY

PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG, COMPACT

TRÊN KHÔNG GIAN SOBOLEV

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ QUỐC HUY

PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG, COMPACT

TRÊN KHÔNG GIAN SOBOLEV

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ TÙNG SƠN

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả trình bày trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự trung thực và chính xác, tuân thủ các quy định về quyền sở hữu trí tuệ

Tác giả

Vũ Quốc Huy

Bản luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự đề xuất hướng nghiên cứu, động viên thường xuyên

và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn của TS Lê Tùng Sơn Tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm

- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,

Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hòa Bình, trường THPT Lạc Sơn – Hòa Bình đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp, gia đình và người thân đã động viên khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Học viên

Vũ Quốc Huy

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

BẢNG KÍ HIỆU iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Không gian Sobolev 5

1.2 Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp bốn 11

Chương 2: SỰ PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ 21

2.1 Lược đồ chung 21

2.2 Sự phân rã của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình song điều hòa về dãy các bài toán các bài toán cấp hai 22

2.3 Sự phân rã của bài toán biên thứ hai đối với phương trình song điều hòa về dãy các bài toán các bài toán cấp hai 34

KẾT LUẬN CHUNG 43

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

Rn - Không gian Euclide n chiều

Ω - Miền giới nội trong không gian Rn

1

0

V - Chuẩn xác định trên không gian V

MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình song điều hòa và phương trình kiểu song điều hòa là các lớp phương trình mô tả nhiều bài toán trong cơ học, vật lý, kỹ thuật,…

Nhiều bài toán cơ học, chẳng hạn như bài toán về độ võng của bản mỏng dưới tác động của tỉ trọng (xem [ 24], [25]), các bài toán về lý thuyết đàn hồi phẳng (xem [11]), các bài toán về dòng chảy (xem [15], [21])… dẫn đến việc giải phương trình song điều hòa

∆2

trong đó ∆ là toán tử Laplace trên một miền nào đó với các điều kiện biên Các bài toán dẫn đến phương trình (1) đã và đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Đã có nhiều hướng tiếp cận khác nhau tới việc giải các bài toán biên cho các phương trình trên Năm 2003, một bài tổng quan lớn của Meleshko (xem [20]) đã được đăng tải trên “ Applied Mechanics Review” của Hội kỹ sư cơ học Mỹ, trong đó tác giả đã hệ thống, tổng kết khá nhiều phương pháp mà các nhà nghiên cứu cơ học đã sử dụng để giải bài toán song điều hòa hai chiều như phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức và một số phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov – Galerkin với các hàm cơ sở được chọn là các hàm trơn đối với một số miền đặc biệt như hình chữ nhật, hình ellip,…

Trong khoảng thời gian gần ba chục năm trở lại đây, nhiều phương pháp mới hữu hiệu hơn cho việc giải phương trình (1) đã được nghiên cứu và phát triển trong các công trình của nhiều nhà toán học như phương pháp phần tử hữu hạn (xem [5]), phương pháp sai phân (xem [13], [14], [18], [25])

Các phương trình kiểu song điều hòa

∆2

∆2

u -a∆u + bu = f , (a>0, b>0), (3)

mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine (1988) (xem [3]), Katsikadelis và Kallivokas (1988) giải bằng phương pháp tích phân biên (xem [17]), Bjorstad và Bjorn (1997) trong [4] sau khi rời rạc hóa (3) với điều kiện

biên u =

n

u

= 0 bằng phương pháp phổ Galerkin dựa trên đa thức được sự phát

triển từ Shen, đã xây dựng được thuật toán O(N 3

)

Ý tưởng đưa việc giải bài toán Dirichlet cho phương trình song điều hòa

về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson được thực hiện đầu tiên bởi Palsev (1966), Meller (1968) và Dorodnitsyn (1971) (xem [21], [22], [23]) Trong [16], Glowinski (1979) khi nghiên cứu việc giải lặp bài toán biên Dirichlet đối với phương trình song điều hòa

∆2 ψ= f, (x,y) Ω

1 , 2 ,

trên miền giới nội Ω 2

R với biên = mô tả sự uốn của bản đàn hồi,

đã đưa bài toán trên về dãy các bài toán cấp hai Năm 1994, trong [8], Đặng Quang Á khi nghiên cứu bài toán biên Dirichlet đối với phương trình kiểu song điều hòa

Năm 1999, trong [11], Đặng Quang Á cũng đã có được những kết quả tương tự khi nghiên cứu các bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp

trong đó Ω là miền giới nội trong ¡ với biên đủ trơn, m Γ và 1 Γ là hai phần 2

biên không giao nhau của Γ , Γ = Γ1UΓ2

Gần đây hơn là các kết quả nghiên cứu của Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn năm 2006 đối với bài toán biên của phương trình kiểu song điều hòa với điều kiện biên không hỗn hợp

Theo hướng nghiên cứu các bài toán trên tôi chọn đề tài ‘‘Phân rã một

số bài toán biên của phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dương, compact trên không gian Sobolev”.

Nội dung luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổ trợ bao gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, định tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai, định tính của bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa Khối kiến thức cơ bản và các kết quả trong

chương 1 được sử dụng và làm cơ sở cho các kết quả nghiên cứu trình bày trong chương 2

Chương 2 đưa ra các kết quả nghiên cứu về việc phân rã hai bài toán cụ thể về dãy các bài toán cấp hai mà quan hệ nghiệm của bài toán gốc và nghiệm của bài toán phân rã được thông qua phương trình toán tử

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các kiến thức trình bày trong chương này để sử dụng trong các chương sau được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [6]

1.1 Không gian Sobolev

trong đó hằng số C phụ thuộc vào p, q

Định lý 1.1.1.6 Cho 1 £ p£ + ¥ , và p¢ là số liên hợp với p, f p( )*,

1.1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian Wm,p(Ω) ([2],[19])

Cho Ω là một miền giới nội trong n

α α α α

n α

α = α + α + + α , p³ , f Î L U với mọi tập con mở UÌ Ω, UÌ Ω và C0 ¥ ( )Ω

là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho supp f Ì Ω trong đó suppf là giá của hàm f

loc u,ωÎ L Ω thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α nếu

Định lý 1.1.2.3 (The Sobolev imbedding Theorem) Cho Ω là một miền giới

nội trong ¡ n có biên khả vi lớp C 1 Khi đó

1 2

Định lý 1.1.2.6 (Định lý về sự thác triển) Giả sử ¶Ω là liên tục Lipschitz, khi

đó tồn tại một toán tử thác triển tuyến tính liên tục P từ 1( )

s S

Định nghĩa 1.1.3.1 Không gian Sobolev s( )n

H ¡ với s Î ¡ được xác định bởi ( ) ( )

s n n

trong đó bao đóng được lấy theo chuẩn (*)

Định nghĩa 1.1.3.2 Không gian Sobolev 0( )

s

H Ω , trong đó Ω là một miền giới

nội nào đó trong ¡ n được xác định bởi

là tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trên Ω và bao

đóng được lấy theo chuẩn (*)

Định nghĩa 1.1.3.3 Không gian Sobolev s( )

H Ω với s Î ¡ được xác định bởi

1.1.4 Vết của hàm trên biên ([6])

Định lý 1.1.4.1 (Định lý Vết) Giả sử Ω là một miền mở trong¡ n có biên ¶Ω

là liên tục Lipschitz, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục

sao cho với bất kỳ 1( ) 0( )

uÎ H Ω ÇC Ω ta có γ u( )= u ¶Ω Hàm ( ) được gọi là Vết của u trên¶Ω

Định lý 1.1.4.2 Giả sử ¶Ω là liên tục Lipschitz, khi đó

2 2

1 2 1

với 1 £ £i N , trong đó n= (n ,n , ,n1 2 N) là vectơ pháp tuyến ngoài của Ω

Định lý 1.1.4.4 (Bất đẳng thức Poincare) Tồn tại một hằng số C Ω sao cho

è ø là hằng số phụ thuộc vào đường kính của Ω,

được gọi là hằng số Poincare và

( f f , , f )Î ê éëL Ω ù úû+

Định nghĩa 1.1.5.3 Giả sử ¶Ω liên tục Lipschitz, ta ký hiệu ( )

1 2

H- ¶Ω là một không gian Banach được xác định bởi

( )

( ){ }

( ) ( ) ( )

1 1

2 2 1

u x ,x= x ,x , ,x Î ΩÌ ¡ , trong đó Ω là miền giới nội với biên Γ= ¶Ω

2

α α

n n

α α

a x , f x là các hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính Với

m= , (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, với m1 = 2, (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp 4

Giả thiết nghiệm của (1.1) được xét trong ΩÌ ¡ n Bài toán tìm nghiệm của (1.1) sao cho trên biênΓ= ¶Ω của Ω, nghiệm u(x) thỏa mãn một số điều

kiện biên sau đây

được gọi là bài toán biên (1.1), (1.2)

Định lý 1.2.1 (Định lý Lax – Milgram) ([6]) Giả sử V là không gian Hilbert,

dạng song tuyến tính ặ,.): V V´ ® ¡ liên tục và V - elliptic theo nghĩa

Bài toán 1.2.2.1 (Bài toán Dirichlet) Giả sử ( ) ( ( )) 1( )

ïïîtrong đó λÎ ¡ .

Định lý 1.2.2.3 (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet thuần nhất)

Định lý 1.2.2.4 (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet không thuần

nhất) Giả sử ¶Ω liên tục Lipschitz và ma trận AÎ M α, β,Ω( ) Cho

là hai hằng số dương phụ thuộc vào α,β,Ω

Bài toán 1.2.2.5 (Bài toán Neumann) Cho ( 1( ))

f Î H Ω ¢, xét bài toán sau, gọi là bài toán Neumann thuần nhất

Định lý 1.2.2.6 (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann thuần nhất)

Giả sử ma trận AÎ M α, β,Ω( )thì với bất kì f Î (H- 1( )Ω )¢, tồn tại duy nhất

f Î L Ω thì nghiệm này thỏa mãn ước lượng

( ) ( )

( )

( )

Định lý 1.2.2.7 (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann không thuần nhất)

Giả sử ¶Ω liên tục Lipschitz và ma trận AÎ M α, β,Ω( )thì với bất kì

Bài toán 1.2.2.8 (Bài toán Robin) Giả sử ¶Ω liên tục Lipschitz,

Định lý 1.2.2.9 (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Robin không thuần nhất)

Giả sử ¶Ω liên tục Lipschitz và ma trận AÎ M α, β,Ω( )thì với bất kì

Cho Ω là liên thông, giả sử ¶Ωlà liên tục Lipschitz, sao cho ¶Ω= Γ1ÈΓ2

trong đó Γ1 và Γ2 là hai biên rời nhau của Ω, Γ1 có độ đo dương Xét bài toán sau gọi là bài toán Robin-Dirichlet hỗn hợp

( ) ( )

( )( )

Định lý 1.2.2.10 (Sự duy nhất nghiệm của bài toán Robin-Dirichlet hỗn hợp)

Cho Ω là liên thông, giả sử ¶Ω là liên tục Lipschitz, sao cho ¶Ω= Γ1ÈΓ2

trong đó Γ1 và Γ2 là hai biên rời nhau của Ω, Γ1 có độ đo dương Cho ma trận

(Các chứng minh của các Bổ đề, Định lý trong mục 1.2.2 [6])

1.2.3 Bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa ([1])

Cho V là một không gian Hilbert, ký hiệu không gian đối ngẫu của nó là

V ¢ và đặt

và V ¢là không gian Hilbert với tích vô hướng

( )(u,v )= (Ju;v , u,v V ) " ÎKhi đó V là không gian Hilbert với tích vô hướng

f ,g J- f ; J g- f ; J g , f ,g- V

Nếu J = I là toán tử đơn vị hoặc đồng nhất ((u,v)) với các cặp đối ngẫu

(f ,v)= ((f ,v)) trên V V´ thì V đồng nhất với V ¢ Trong trường hợp này ta nói

V là một không gian lõi

Nếu H là một không gian lõi, T là một không gian Hilbert, γ L V ,TÎ ( )

thỏa mãn

(i) Ánh xạ γ :V® T là toàn ánh

(ii) V là một tập con của T với một tôpô mạnh

(iii) Nhân V0 của γ trù mật trong H,

Xét toán tử D + 2 λ với dạng song tuyến tính tương ứng là

a u,v = ò D Du v + λò uv Phải chọn một không gian Hilbert V sao cho

(1) a u,v( ) là liên tục và V -elliptic

(2) Tồn tại các không gian H và T và γ L V ,TÎ ( ) sao cho các điều kiện

trong (i),(ii),(iii) nói trên được thỏa mãn

Khi đó, ta có:

+ (Bài toán Neumann) Nếu chọn

( ) { 2( ) 2( )}

V = H Ω,D = u L ΩÎ D Îu L Ω

thì a u,v( ) là V -elliptic với λ > 0

+ Dạng a u,v( ) liên tục trên 2( )

H Ω nhưng a u,v( ) không 2( )

của một trong hai bài toán dưới đây:

1 Bài toán Neumann đối với toán tử D + 2 λ

thì tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Neumann sau

( i ) u H Ω, , , ( ii ) u u u f , ( iii ) γ u γ u t

Giả sử bài toán (2.1) là giải được, tức nghiệm u x( ) tồn tại và đủ trơn

Sử dụng phép đặt u x( ) v x( ) và kí hiệu, v x( ) v x0( ) Xét trường hợp bài toán (2.1) có thể được đưa về dãy các bài toán biên đối với phương trình Poisson sau

0

( ) ( ), ( ) ( ),

Tiến hành nghiên cứu các tính chất của toán tử S như: đối xứng, dương, xác định dương, compact, … Trong Thông qua đó ta xem xét sự tồn tại nghiệm

0

v của phương trình toán tử thứ nhất (2.4)

2.2 Sự phân rã của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai

Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

( )

u x là tồn tại đủ trơn Trước tiên ta phân rã bài toán (2.5) - (2.7) về dãy các bài toán cấp hai, sau đó xây dựng toán tử biên cho bài toán gốc và nghiên cứu các tính chất của nó

2.2.1 Phương trình toán tử biên của bài toán gốc

Đặt u v và kí hiệu v v0, khi đó bài toán (2.5)-(2.7) được đưa về dãy các bài toán cấp hai sau

0

( ), ,

elliptic cấp hai trong [19] , với

3

2( ),

s

f H v0 H s( ),s 0 thì (2.8) có duy nhất nghiệm

Gọi u v, lần lượt là nghiệm của bài toán (2,8), (2.9), đặt v v1 v2 thay vào (2.8), u u1 u2 thay vào (2.9), từ các bài toán (2,8), (2.9), ta nhận được dãy bốn bài toán biên cấp hai dưới đây

được xác định bởi công thức

Toán tử B đầu tiên được xác định trên không gian H ( ), ví i s 02 , sau

đó được thác triển liên tục lên toàn không gian 2

Với giả thiết ban đầu u là nghiệm của bài toán (2.5)-(2.7) nên điều kiện

biên (2,7) được thỏa mãn, tức là

q u u 0

H , thay v1 vào vế phải của bài toán (2.11), tương tự ta

có nghiệm u1 của bài toán (2.11) thuộc

cho việc xác định v0 trên biên tức là bài toán (2.5)-(2.7) được đưa về

phương trình toán tử biên (2.23) với vế phải F hoàn toàn xác định bởi (2.21b)

Bước tiếp theo ta nghiên cứu một số tính chất toán tử S cần thiết cho việc tìm nghiệm bài toán gốc Các tính chất của bài toán tử S được nghiên cứu thông qua các tính chất của toán tử B Các tính chất của toán tử B được thể hiện qua định lý sau:

Định lý 2.2.2 Với B là toán tử xác định bởi (2.10), (2.11), (2.12), khi đó

i) B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương trong không gian Hilbert

B tuyến tính: hiển nhiên

Xét không gian Hilbert L2( ) với tích vô hướng (2.24), v v0, 0 L2( ),