Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giải phương trình,hệ phương trình nghiêm nguyên

A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Đề tài này tôi đã thực hiện ở năm học 2013 – 2014 , năm học 2014 – 2015 tôi tiếp tục nghiên cứu và bổ sung. Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường, tôi nhận thấy rằng mảng kiến thức về phương trình , hệ phương trình nghiêm nguyên, nguyên dương thật rất đa dạng và không có một phương pháp giải chung nào cho loại toán này và như thế học sinh cũng như người dạy gặp nhiều khó khăn. Nhằm giúp học sinh trong các đội tuyển toán của trường cũng như học sinh yêu thích môn toán của trường giải quyết phần nào khó khăn trên, tôi đã viết chuyên đề “ Kinh nghiệm giải phương trình,hệ phương trình nghiêm nguyên”. B. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I. Cơ sở lý luận. Toán học là môn khoa học cơ bản , học toán đòi hỏi người học ngoài việc phải nắm vững các khái niệm, định lý, tính chất còn đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào các bài toán cụ thể để giải , không thể chỉ đơn thuần là thuộc. Trong quá trình học toán và giải toán lại không có phương pháp chung nào để có thể giải được các bài toán, mỗi bài khác nhau thì có thể vận dụng các phương pháp giải khác nhau. Phân loại các dạng toán cơ bản , phân tích tìm phương pháp giải để từ đó rút ra kinh nghiệm giải đồng thời có thể vận dụng các kinh nghiệm , kiến thức đó để giải các bài toán khác.

Trang 1

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

- Họ và tên: Đinh Quang Minh

- Ngày tháng năm sinh: 02/01/1961

- Đơn vị công tác: Trường THPT Đoàn Kết - Huyện Tân Phú – Đồng Nai

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị ( hoặc chuyên môn trình độ cao nhất): Cử nhân khoa học

- Năm nhận bằng: 1990

- Chuyên môn đào tạo: Sư phạm Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC:

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 33 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây: 4

DUYỆT CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Trang 2

A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đề tài này tôi đã thực hiện ở năm học 2013 – 2014 , năm học 2014 – 2015

tôi tiếp tục nghiên cứu và bổ sung

Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường, tôi nhận thấy rằng

mảng kiến thức về phương trình , hệ phương trình nghiêm nguyên, nguyên dương thật rất đa dạng và không có một phương pháp giải chung nào cho loại toán này và như thế học sinh cũng như người dạy gặp nhiều khó khăn

Nhằm giúp học sinh trong các đội tuyển toán của trường cũng như học sinh yêu thích môn toán của trường giải quyết phần nào khó khăn trên, tôi đã viết chuyên đề “ Kinh nghiệm giải phương trình,hệ phương trình nghiêm

nguyên”

I Cơ sở lý luận.

- Toán học là môn khoa học cơ bản , học toán đòi hỏi người học ngoài việc phải

nắm vững các khái niệm, định lý, tính chất còn đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào các bài toán cụ thể để giải , không thể chỉ đơn thuần

là thuộc

- Trong quá trình học toán và giải toán lại không có phương pháp chung nào để

có thể giải được các bài toán, mỗi bài khác nhau thì có thể vận dụng các phươngpháp giải khác nhau

- Phân loại các dạng toán cơ bản , phân tích tìm phương pháp giải để từ đó rút

ra kinh nghiệm giải đồng thời có thể vận dụng các kinh nghiệm , kiến thức đó

để giải các bài toán khác

II Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

- Điều kiện học tập chưa tốt, cơ sở vật chất còn hạn chế.

- Là một trường ở miền núi nên mặt bằng kiến thức chưa đồng đều giữa các họcsinh với nhau, còn nhiều học sinh có hoàn cảnh gia đình khó khăn , các em phảiphụ giúp gia đình kiếm từng bữa ăn nên thời gian cho học tập quá ít dẫn đến

học yếu là tất nhiên

2.3 Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:

- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài về phương trình,hệ phương trình nghiệmnguyên, nguyên dương

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán cơ bản

- Thực hiện đề tài trong các giờ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10,11 2.5 Các biện pháp thực hiện đề tài:

Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức

Trang 3

Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình, phân tích và cùng học sinh xây dựng

1 Phương trình vô định: ax by c 0   (1) với a,b,c nguyên

a Định lý: Phương trình (1) có nghiệm nguyên  (a,b) c

b Hệ quả: Nếu (a,b) 1 Thì phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên

 Ta có thể coi phương trình (1) là phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm một nghiêm riêng nguyên (x ;y )o o Khi đó phương trình

(1) có nghiệm nguyên tổng quát o

 Nếu không ta có thể dùng thuật toán Euclide để tìm

Trước tiên tìm nghiệm riêng của phương trình ax by 1  với (a,b) 1

Viết thuật toán Euclide cho hai số a và b

1

3 Các tính chất chia hết, số nguyên tố, đồng dư;

Trang 4

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CƠ BẢN:

i

i b c x x

a

2 2

m a cx

) 2

bc a a cx

b x

x x

a x

x x

a x

x x

a

n n

)

3 (

2 1 1 2 1 3

1 3

n n n

n n

b x

x

b x

a x

x

a x

x

a

) (

IN m c

b na x

b na

b na c x

c

b na c c x

b

n n

n

n n

Tiếp tục các bước như trên để tìm được xn-1 , …, x1

+ Cần chú ý: - Nếu tìm được xn = p thì chỉ cần giả sử x1 x2  x n1 p

- Nếu có bộ nghiệm phân biệt p1 , p2 , …., pn

Thì số nghiệm của PT là n! được hoán vị từ bộ nghiệm trên

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + z = xyz (1)

Giải: Do x,y,z bình đẳng Ta giả sử xyz 1

yz Do z  IN* nên z = 1+ VớI z = 1 thì ( 1 )  xy 1 xy (x 1 )(y 1 )  2

Trang 5

1

2 1

y

x y

10 2

5 2

5 )

xyz xyt xzt yzt

+ Với t = 1 Ta có 5(x+y+z) + 15 = 2xyz (3)

2

30 1 2

15 2

5 2

5 )

xy xz yz

35 5

5 2

13 5 2 1

5 2

65 5 2

y

x y

x

Vậy có 2 bộ nghiệm ( 13 ; 5 ; 1 ; 1) và ( 9 ; 5 ; 1 ;1 )

Nghiệm của phương trình là các hoán vị của 2 bộ

+ Với z = 2 , 3 Phương trình vô nghiệm

+ Với t =2 Ta có 5( x+ y + t) + 20 = 4xyz ( 4)

4

35 4

35 1 4

20 4

5 4

5 )

xy xz yz

Do xyt 2 Nên z = 2 Ta có 5( x+y) + 30 = 8xy

53 5 265 ) 5 8 )(

5

8

Vì xyt 2 nên 8x 5  8y 5  11 Vậy PT (5) vô nghiệm

+ Kết luận: có 2 bộ nghiệm ( 13 ; 5 ; 1 ; 1) và ( 9 ; 5 ; 1 ;1 ) Nghiệm là các hoán vị của 2 bộ

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương lẻ phân biệt của phương trình

11111 315563

k t z y

563 5

248 4

+ Các bước tương tự tìm được z = 5 , y = 7 , x = 9

+ Vậy có bộ nghiệm ( 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1) Nghiệm là các hoán vị của bộ nghiệm

Trang 6

Ví dụ 4: Một tam giác có số đo của đường cao là những số nguyên và bán kính

đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1 chứng minh tam giác đó là tam giác đều

Diện tích tam giác ABC

Khi đó a = b = c Vậy tam giác ABC đều

Ví dụ 5: Tìm hai số nguyên dương x,y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia

Trang 7

( , ) (1,1),(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)x y 

Ví dụ 6: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương x,y,z sao cho tích của hai trong

ba số thêm 1 thì chia hết cho số thứ 3

Giải:

Theo giả thiết ta có

( 1)( 1)( 1)

Trang 8

2

( 2) 53,7

z y

z z

Trang 9

3 3(3 3) 4 (*)

z y

z z

Mà z 3 nên (*) không xảy ra

Kiểm tra thì thì (x,y,z)=(2,3,7) và hoán vị thỏa đề bài

 Kết luận: Các bộ số (1,1,1),(1,1,2),(1,2,3),(2,3,7) và hoán vị của chúng

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHỜ TÍNH CHẤT CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN

TỐ.

Hướng dẫn:

Giả sử x, y là các số nguyên thoã mãn phương trình (1)

Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y 3; Do đó y  3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 – 2y 2 = 5 (2)

Hướng dẫn:

Từ phương trình (2) ta suy ra x phải là số lẻ

Thay x = 2k + 1 (k Z) vào (2), ta được:

Trang 10

Kiểm tra thấy đúng vậy phương trình có nghiệm (x, y) là (1; -2) và (3; 0)

Lưu ý: Bài này có thể dùng phương pháp đưa về tích để đưa về dạng:

(x – 2)(y + 1) = 1

Ví dụ 5: Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên Biết rằng f(1).f(2) = 35 Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn:

Giả sử f(x) có nghiệm nguyên a

Thế thì: f(x) = (x – a).g(x); trong đó g(x) là đa thức có các hệ số nguyên

Suy ra f(1) = (1 – a) g(1) và f(2) = (2 – a).g(2); trong đó g(1), g(2) là các sốnguyên

Do đó: f(1).f(2) = (1 – a)(2 – a) g(1).g(2)

Suy ra 35 = (1 – a)(2 – a) g(1).g(2) (*)

Ta thấy (1 – a)(2 – a) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên là số chẵn nên vế phải

là số chẵn, trong khi đó vế trái là số lẻ nên không xảy ra đẳng thức (*)

Tức là đa thức f(x) không có nghiệm nguyên

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 2x 4y 2 37

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2  y3 7

Hướng dẫn :

x  y  7 x 1 (y 2)(y    2y 4)

 Nếu y chẵn thì (x 1) 42    x2 3(mod 4) vô lý

 Nếu y lẻ thì y2  2y 4 (y 1)   2 3 có dạng 4k + 3 nên phải có một ướcnguyên tố dạng đó, do đó x 12  có ước nguyên tố dạng 4k + 3 điều này

Trang 11

vô lý

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 8: ( Đề thi HSG lớp 10 năm học 2014 – 2015 Đồng Nai )

Tìm các nguyên x,y thoả: 3x2 5y2 255 (*)

Giải : với k,m là các số nguyên

Từ PT(*) suy ra x  mà 5 là số nguyên tố nên 2 5 x5 x 5k  x2 25k2

Suy ra các nghiệm (x ;y) là (5 ;6),(5-6),(-5 ;6),(-5 ;-6)

Ví dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 19x2 28y2 729(1) Hướng dẫn :

Ta biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa

ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.

íï = ïî

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 3 – x 3 = 91 (2)

Hướng dẫn:

(2) (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 (*)

Vì y2 + xy + x2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y – x > 0

Mặt khác: 91 = 1.91 = 7.13 và y – x, y2 + xy + x2 đều nguyên dương nên ta có 4khả năng sau:

Trang 12

Biến đổi pt về dạng: (x + 1)(y + 1) = 10

Khi đó nghiệm ( x;y) l (1, 4); (4, 1); (-3, -6); (-6, -3), (9, 0); (0, 9); (-2; -11); (-11, -2)

Trang 13

Kiểm tra và kết luận

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy = p(x + y) với p là số nguyên tố cho trước.

2  0  3 – 3y2

4  0  -2  y  2Lần lượt thay y = 2; y = 1; 0 vào phương trình để tính x

Ta có nghiệm nguyên của phương trình là: (-1; -2), (1; 2); (-2; -1); (2; 1),

(-1; 1), (1; -1)

Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 1 1

x y 3 

Hướng dẫn:

Do vai trò bình đẳng của x và y nên giả sử: x  y

Hiển nhiên ta có: 1 1 nên y > 3 (1)

Trang 14

ìï - =ïïí

ï - =ïïî

Giải hệ v kiểm tra

Phương trình đã cho có nghiệm (x;y)là: (2; 3), (3; 2), (-1; -2), (-2; -1)

Ví dụ 2:

Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2 + 2y 2 + z 2 – 2xy – 2y + 2z + 2 = 0

Hướng dẫn:

Trang 15

Thay vào ta tìm được các giá trị của x

6 PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG:

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 – 5y 2 = 0 (1)

Hướng dẫn: Giả sử (x0; y0) là nghiệm của (1) thì:

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 3 = 2y 3 + 4z 3

Hướng dẫn:

Từ phương trình đã cho ta suy ra x chẵn, hay x = 2x1 (x1  Z)

Thay vào ta được 4x13 = y3 + 2z3 Ta lại suy ra y chẵn, y = 2y1 (y1  Z)

Thay vào ta được: 2x13 = 4y13 + z3

Do đó z chẵn, z = 2z1 (z1  Z) Thay vào ta được:

x13 = 2y13 + 4z13 Vậy nếu (x, y, z) là nghiệm của phương trình đã cho thì

Trang 16

  sự phân tích trên là duy nhất nên x1,y2,z3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

xyzt xy xt zt yzt y t

xyzt xy xt zt

yzt y t zt

x

yzt y t

t y

- Dựa vào các phép biến đổi tương tương và kết hợp các phương pháp giải

hệ phương trình quen thuộc đã biết

- Kết hợp các phương pháp đã biết về giải phương trình nghiệm nguyên

Ví d ụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của hệ 33x x 26y y1 (1)2z 1 (2)



Trang 17

Hướng dẫn:

- Ta có thể coi mỗi phương trình của hệ là phương trình mặt phẳng trong khônggian Oxyz

Tìm 1 nghiệm riêng nguyên chẳng hạn x 1,y 1,z7

Viết về dạng phương trình đường thẳng

Ví d ụ 3 : Trên trục hoành hãy tìm tất cả các điểm có toạ độ nguyên mà tại đó ta

dựng được đường thẳng vuông góc với trục Ox và cắt các đường thẳng

Trang 18

Ví d ụ 4 : Tìm nghiệm nguyên dương của hệ

Trang 19

199

3 0199

Bài tập 3 : Tìm số nguyên tố P để 4p 1 là số chính phương

Bài tập 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Trang 20

Bài tập 5 :

Chứng minh phương trình x

y + y

z +z

x = b không có nghiệm nguyên dương khi

b = 1 hoặc b = 2 , nhưng có nghiệm nguyên dương khi b =3

Bài tập 6 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Bài tập 8 : Chứng minh rằng nếu P(x) là một đa thức với hệ số nguyên, thêm

vào đó P(0) và P(1) là các số lẻ thì đa thức P(x) không thể có nghiệm nguyên

Bài tập 9:

Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương: x4 – x2 + 2x + 2

Bài tập 10: Tìm nghiệm nguyên của hệ

Trang 21

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang MinhC.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI

Đề tài này là một phần trong chuyên đề số học mà tôi đã áp dụng để bồidưỡng học sinh giỏi khối 10,11,12 tại trường

Kết quả đạt được là đa số học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi củatrường dự thi cấp Tỉnh giải được những bài toán về số học trong đề thi

Qua việc áp dụng đề tài này phần nào giúp các em học tập một cách say

mê hứng thú, chất lượng học tập của học sinh tăng nên rõ rệt Góp phần khôngnhỏ vào luyện trí thông minh, khả năng tư duy sáng tạo của học sinh

D.KẾT LUẬN:

Các bài tập về phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên, nguyên dương

thường là tương đối khó đối với học sinh bởi vì nó không có phương pháp cụ thểnào cho từng loại mà nó đòi hỏi phải biết phân tích, tổng hợp từ đó mới định ra được hướng giải Nhưng khi giảng dạy xong đề tài thì học sinh phần nào đã định ra được phương pháp giải cho một bài quen thuộc và có hướng giải cho cácbài không mẫu mực khác

Để đạt được kết quả tốt thì nhất thiết học sinh phải nắm được một số kiến thức cơ bản của số học như: Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, đồng dư, một số định lý về chia hết…cho nên giáo viên có thể kết hợp dạy với chuyên đề

số học

Nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế tôi sẽ từng bước hoàn thiện hơn

Thông qua đề tài này tôi mong hội đồng khoa học và các đồng nghiệp kiểm định và góp ý để đề tài ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi

Xin chân thành cảm ơn!

Thực hiện đề tài

Đinh Quang Minh

Trang 22

Tài liệu tham khảo:

1 Báo Toán học – Tuổi trẻ : Các năm 2010,2011,2012,2013,2014

2 Phương trình- hệ phương trình không mẫu mực của Nguyễn Đức

Tấn và Phan Ngọc Thảo

3 Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán số học của Nguyễn Vũ Thanh

4 Tài liệu bồi dưỡng số học của trường ĐH Quy Nhơn

Trang 23

SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đơn vị: THPT Đoàn Kết Độc lập - tự do - hạnh phúc

Tân Phú, ngày 18 tháng 05 năm 2014

PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến,đổi mới từ giải pháp đã có

2.Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao:

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao

-Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

-Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và triển khai áp dụngtại đơn vị có hiệu quả cao

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	0,99 MB