VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỂ NÂNG CAO TÍNH TÍCH CỰC SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH

Để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh thì người thầy không chỉ dừng lại ở vai trò là người tuyền thụ kiến thức mà còn đảm nhiệm vai trò khơi nguồn sáng tạo ở người học. Bên cạnh việc hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh kiếm thức cần đạt, người thầy cần phải giúp học sinh nhìn nhận vấn đề ở nhiều góc độ khác nhau, góp phần trong việc hiểu sâu sắc về đối tượng. Qua đó, kết hợp với phương pháp đặt vấn đề, người thầy hướng dẫn học sinh tìm ra những cách làm mới, những con đường mới để giải quyết vấn đề. Những thành quả đó sẽ tạo tiền đề cho sự sáng tạo của học sinh. Với lí do nêu trên và với kinh nghiệm hạn chế của mình, tôi mạnh dạn đưa ra một giải pháp là: Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh. Với đặc thù của bộ môn, tôi giới thiệu giải pháp thông qua chuyên đề thể tích khối đa diện của chương trình hình học lớp 12 nâng cao.

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT SÔNG RAY

* _ oo0oo *

Mã số: ………

Đề tài:

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT

HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO BÀI TOÁN

TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỂ NÂNG CAO

TÍNH TÍCH CỰC SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH

Người thực hiện: Ngô văn Vũ

Lĩnh vực nghiên cứu:

Phương pháp dạy học bộ môn: 

Có đính kèm:

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật

x

tính tích cực, sáng tạo của học sinh Năm học: 2011 - 2012

Phần I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Luật giáo dục nước Cộng Hồ Xã hội Chủ Nghĩa Việt Nam quy định: “… phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mơn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh…”

Chương trình mơn tốn (thí điểm) trường Trung học phổ thơng (năm 2002) cũng đã chỉ rõ: “…Một điểm yếu trong hoạt động dạy và học của chúng ta là phương pháp giảng dạy Phần lớn là kiểu thầy giảng - trị ghi, thầy đọc - trị chép; vai trị của học sinh trở nên thụ động Phương pháp đĩ làm cho học sinh cĩ thĩi quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo cũng như thĩi quen học lệch, học tủ, học để đi thi Tinh thần của phương pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ động sáng tạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý tới sự hoạt động tích cực của học sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài giảng của thầy; dưới sự hướng dẫn của thầy, họ cĩ thể phát hiện ra vấn đề và suy nghĩ tìm cách giải quyết vấn đề…”

Để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh thì người thầy khơng

chỉ dừng lại ở vai trị là người tuyền thụ kiến thức mà cịn đảm nhiệm vai trị khơi

nguồn sáng tạo ở người học Bên cạnh việc hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh kiếm thức cần đạt, người thầy cần phải giúp học sinh nhìn nhận vấn đề ở nhiều gĩc độ khác nhau, gĩp phần trong việc hiểu sâu sắc về đối tượng Qua đĩ, kết hợp với phương pháp đặt vấn đề, người thầy hướng dẫn học sinh tìm ra những cách làm mới, những con đường mới để giải quyết vấn đề Những thành quả đĩ sẽ tạo tiền đề cho sự sáng tạo của học sinh

Với lí do nêu trên và với kinh nghiệm hạn chế của mình, tơi mạnh dạn đưa ra

một giải pháp là: " Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề vào bài tốn tính thể tích khối chĩp để phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh'' Với đặc thù của bộ mơn, tơi giới thiệu giải pháp thơng qua chuyên đề " thể

tích khối đa diện" của chương trình hình học lớp 12 nâng cao

2 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

+ Đối tượng: Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

+ Phương pháp nghiên cứu:

* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tài liệu giáo dục học, triết học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ mơn Tốn Đặc biệt

là phương pháp dạy học mơn tốn của Nguyễn Bá Kim xuất bản năm 2004 làm cơ sở

lí luận của giải pháp

* Quan sát, trao đổi: Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh để tìm ra giải pháp hợp lí nhằm phát huy tính tính tích cực của học sinh trong quá trình học

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

* Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài

3 Thực trạng:

+ Đối với giáo viên: Do những lí do khách quan và cả chủ quan, giáo viên thường sử dụng phương pháp dạy học truyền thống để mang tri thức đến cho học sinh Vì thế, hình thành ở học sinh cách học thụ động

+ Đối với học sinh: Một mặt, vì kiến thức bị hổng quá nhiều, lười biến suy nghĩ Mặt khác, do thói quen học tập thụ động từ trước hoặc do giáo viên chỉ đơn thuần áp đặt kiến thức cho học sinh, mà dẫn đến mất đi tính tích cực, chủ động, sáng tao

Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:

1 Vấn đề

Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ một vài khái niệm khác

có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống.

Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa những quan hệ giữa những tập hợp đó.

Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể là một hệ thống nào đó.

Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể.

Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán.

Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có trong tay một thuật giải nào

để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.

2 Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề, còn được gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và

có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.

3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là thầy tổ chức cho trò học tập trong hoạt động và bằng hoạt động do thầy tạo ra một tình huống hấp dẫn gợi sự tìm hiểu của học sinh, gợi ra sự vướng mắc mà họ chưa giải đáp ngay được, nhưng có liên hệ với kiến thức đã biết, khiến họ thấy có triển vọng tự giải đáp được nếu tích cực suy nghĩ.

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện

kĩ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác.

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặt điểm sau:

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

 Học sinh phải được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là một thông báo tri thức dưới dạng có sẵn;

 Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải nghe thầy giảng một cách thụ động;

 Mục tiêu dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác, học sinh học được bản thân việc học.

4 Cơ sở lí luận

4.1 Cơ sở Triết học

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẩn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển Một vấn đề được gợi ra cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức sẵn có Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong giữa tri thức cũ, kĩ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế.

4.2 Cơ sở Tâm lí học

Theo các nhà tâm lí học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một

tình huống gợi vấn đề " tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề" (Rubinstein 1960, tr 435).

Theo tâm lí học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó người học xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm nghiệm mới với những tri thức đã có Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với quan niệm này.

4.3 Cơ sở Giáo dục học

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực, vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất Những tri thức mới (đối với học sinh) được kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ học sinh học được cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có thể chia thành 4 bước như sau

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

 Phát hiện vấn đề từ tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra

 Giải thích và chính xác hóa tình huống để hiểu đúng vấn đề được đặt ra.

 Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.

Phân tích vấn đề Bắt đầu

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

Kết thúc

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

Bước 2: Tìm giải pháp

 Tìm một cách giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ sau

_

+

Giải thích sơ đồ:

Khi phân tích vấn đề, cần phải làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm Trong môn toán, ta thường dựa vào những tri thức toán đã học, liên tưởng tới những định nghĩa và định lí thích hợp.

Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu thập, tổ

chức dữ liệu, huy động tri thức, thường hay sử dụng những giải pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa,

chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa, xem xét những mối liên hệ phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi, Phương hướng được đề xuất không phải là bất biến, trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng

đi hợp lí.

Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp.

Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay không.

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng.

 Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác (theo sơ đồ trên), so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất.

Bước 3 Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp.

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

 Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, và giải quyết nếu có thể.

( Trích từ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN - NGUYỄN BÁ KIM - XB 2004)

B Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh

1) Kết quả gợi mở

Sách giáo khoa hình học lớp 12 chương trình nâng cao, trang 29 có nêu bài tập 23: "Cho khối chóp tam giác S.ABC trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với điểm S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' Chứng minh rằng .

V SA SB SC

V SA SB SC (*) "

Chứng minh:

' '

1 ' '.sin ' ' 2

SB C

S  SB SC B SC

Vì B' SB B, ' S và C' SC C, ' S nên

 ' ' 

B SC BSC hoặc B SC ' ' 180  0  BSC

sin 'B SC' sinBSC

Do đó ' ' ' '

.

SB C SBC

S SB SC

S SB SC

Gọi H và H' lần lượt là hình chiếu của A và A' lên mặt phẳng (SBC)

SAH

 đồng dạng với SA H' ' SA' A H' '

SA AH

Mặt khác: .

1 3

S ABC A SBC SBC

V V  AH S ,

1 ' '.

3

S A B C A SB C SB C

V V  A H S

Suy ra: .

V SA SB SC

V SA SB SC

Sau khi học sinh nắm được nội dung của công thức (*), giáo viên thường yêu cầu làm một số bài tập áp dụng Ví dụ như bài tập sau:

2) Ví dụ vận dụng

H' S

C

A

B A'

B'

C'

H

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

Cho khối chóp S.ABC có SA (ABC), tam giác ABC vuông tại C, SA = a, CA = a,

CB = 2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A', B', C' sao cho: SA' = 2

3SA, SB' = 3

4SB, SC' =4

5

SC Tính thể tích khối chóp S.A'B'C'

Hoạt động của học sinh

Câu a) + Phân tích: Vì SA (ABC) nên SA đóng vai trò là chiều cao của khối chóp, tam giác ABC là mặt đáy Cả độ dài đoạn SA và diện tích tam giác ABC đều dễ dàng xác định Do đó, dùng công thức V = 1

3.B.h sẽ hoàn thành yêu cầu bài toán

+ Lời giải: Vì SA (ABC) nên SA là chiều cao của khối chóp Tam giác ABC vuông tại là mặt đáy có diện tích là 1 2 2

.

ABC

S  CA CB a Vậy 2 3

.

S ABC

V  a a a Câu b)

+ Phân tích: Nếu dùng trực tiếp công thức V = 1

3.B.h để tính thể tích của khối chóp thì sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc xác định chiều cao và diện tích mặt đáy Khó khăn đó buộc ta phải tìm mối liên hệ giữa khối chóp đã biết thể tích với khối chóp cần tìm thể tích Giả thiết của bài toán giúp ta liên hệ với công thức (*)

+ Lời giải

Áp dụng công thức (*), ta có:

' ' '

' ' '

S A B C

S A B C S ABC

S ABC

V SA SB SC

Lời bình: Việc áp dụng công thức (*) đã cho chúng ta một lời giải ngắn gọn, dễ hiểu

Vì thế giáo viên cần rèn luyện cho học kĩ năng vận dụng công thức vào quá trình tính thể tích khối đa diện.

3) Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Những bài tập tương tự như trên cũng được nêu ra rất nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 12 cơ bản và nâng cao ( sách xuất bản năm 2008)

Tuy nhiên học sinh chỉ dừng lại ở mức độ áp dụng công thức (*) một cách thụ động

Sự thụ động đó được biểu hiện qua tình huống như sau:

Thâm nhập vấn đề

Trở lại ví dụ trên, với giả thiết của bài toán thì ta có:

SA = a, SB = 2a, SC = a 2 suy ra SA' = SA = a, SB' = 2 2 3 3 , SC' = SC4 4 2

S

C

B

A

A'

B'

C'

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

A SB ASB B SC BSC  C SA CSA

Bây giờ, giáo viên nêu bài toán: " Cho khối chóp S.A'B'C' có

SA' = a, SB' = ,

4 2 SC' =

5 a và A SB' ' 60 , '  0 B SC ' 45 , '  0 C SA ' 45  0 Tính thể tích khối chóp S.A'B'C' "

Lời bình: Với giả thiết của bài toán mới như thế liệu có học sinh nào nghĩ đến ba

điểm A, B, C có tính chất như ở ví dụ trên hay không? Và rõ ràng việc chỉ sử dụng công thức V = 1

3.B.h thì rất khó giải được bài toán nêu trên Vì khối chóp S.A'B'C' không có tính chất gì đặc biệt giúp ích cho việc tính chiều cao hạ từ đỉnh S và diện tích mặt đáy A'B'C'

Tình huống vừa được nêu ra có tác dụng:

Một mặt cho học sinh thấy rõ họ chỉ biết sử dụng công thức (*) ở mức độ thụ động, tức là khi giả thiết của bài toán cho những điều kiện cấu thành công thức (*) thì

họ mới nghĩ đến việc vận dụng nó Chứ không tìm cách tự tạo ra những giả thiết và điều kiện phù hợp để sử dụng công thức (*)

Mặt khác tạo ra một tình huống gợi vấn đề

Giáo viên đặt nghi vấn: Liệu chúng ta có thể tìm được ba điểm A, B, C trên ba đường

SA', SB', SC' sao cho khối chóp S.ABC có thể tính được thể tích một cách đơn giản

và các tỉ số SA SB SC', ', '

SA SB SC dể dàng được xác định hay không?

Lời bình: Câu hỏi giáo viên nêu ra nhằm gợi ý cho người học liên lệ với bài toán ở ví

dụ 1 và góp phần định hướng cho việc tìm lời giải

Vấn đề vừa đặt ra có thể được giáo viên phát biểu dưới dạng tổng quát như sau:

" Cho khối chóp S.ABD có SA = a, SB = b, SC = c và các góc ASB , BSC, CSB    lần lượt bằng  , , 

a) Giả sử  =  = Tính thể tích của khối chóp S.ABD theo a, b, c và

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABD theo a, b, c và , ,  "

Tìm hướng giải quyết câu a

Phân tích vấn đề

Với giả thiết của bài toán thì rất khó xác định được chiều cao của khối chóp S.ABC Mặc dù ta có giả thiết ASB BSC CSB        nhưng SA, SB, SC khác nhau nên ta vẫn chưa thấy khối chóp S.ABC có gì đặc biệt Ta nhận thấy rằng: Nếu SA = SB = SC thì khối chóp S.ABC là khối chóp đều và việc tính thể tích của khối chóp đều thì dể dàng

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

hơn Với ước muốn đó, kết hợp với gợi ý của giáo viên nêu trên thì học sinh sẽ tìm được hướng giải quyết

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Trên ba tia SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho SM = SN = SP = 1 (đơn vị) Khi đó, khối chóp S.MNP là khối chóp đều Để tính thể tích khối chóp S.ABC ta tính thể tích khối chóp S.MNP sau đó sử dụng công thức (*)

Hình thành giải pháp

Lời giải

Trên 3 tia SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho SM = SN = SP = 1 (đơn vị)

Ta có S.MNP là khối chóp đều Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) suy

ra H là trọng tâm của tam giác đều MNP

MN

S

 cân tại S suy ra: 2.sin

2

MN  ,

MNP

 đều cạnh bằng 2.sin

2



2. 3 2 3sin

2

MNP

S   ,

SHM

 vuông tại H suy ra: 2 2 4 2

SH  SM  MH    ,

.

1

S MNP

Áp dụng công thức (*), ta có:

.

.

S ABC

S ABC

S MNP

V

V SM SN SP

Nghiên cứu sâu giải pháp

+ Một số trường hợp đặc biệt

* Nếu a = b = c và 0

60

  thì khối chóp S.ABC là tứ diện đều và theo kết quả trên, ta

.

S ABC

* Nếu   90 0 thì .

6

S ABC

a b c

+ Cách giải khác Nếu chúng ta xem tứ diện SABC là hình chóp có đỉnh là A thì có thể tính thể tích của

tứ diện SABC như gợi ý sau:

Gọi H là hình chiếu của A lên mặt (SBC), ta chứng minh được  

2

BSH HSC Gọi K

là hình chiếu của H lên cạnh SB suy ra AK  SB và SK a.cos ,

.cosα SH

cos 2

a





,

S

C

B

H A

M

N

P

tính tích cực, sáng tạo của học sinh

2 cos

2



2

SBC

S  b c  Do đó:

.

A SBC

+ Đề xuất bài toán vận dụng

Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB bằng 

a) Tính thể tích của tứ diện ABCD theo a, b, c, 

b) Giả sử  thay đổi Tìm  để thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất

c) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng tổng của chúng là hằng số k không đổi Tìm a,

b, c để thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất

Tìm hướng giải quyết câu b

Phân tích vấn đề

Câu a) là một trường hợp đặc biệt của câu b) Vì thế nêu chúng ta thực ý tưởng như đã làm ở câu a) thì có thể thu được kết quả mong muốn

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết: như ở câu a).

Hình thành giải pháp

Lời giải

Trên 3 tia SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho SM = SN = SP = 1 (đơn vị)

Ta có: SMN cân tại S suy ra: 2.sin

2

MN   x, tương tự: 2.sin

2

NP  y,

2.sin

2

PM   z

Đặt

2

x y z

p   , khi đó: S MNP  p p x p y p z(  )(  )(  ) S0

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)

Suy ra: H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác MNP Vì

2 1

HM HN HP  SH

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Ta có:

0

MNP

MNP

x y z x y z x y z

SHM

 vuông tại H suy ra:

0

.

S xyz

x y z

SH SM MH



S MNP

V  S SH  S  xyz

Áp dụng công thức (*), ta có: