Khái niệm nửa nhóm một tham số của các toán tử tuyến tính trên không gianBanach bắt đầu xuất hiện từ nửa đầu của thế kỷ XX, và đạt đến cốt lõi của nó vàonăm 1948 với Định lý Hille-Yosida
Không gian định chuẩn
Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 Cho E là một không gian tuyến tính trên trường K Một chuẩn trên E là một hàm x 7→ ∥x∥ từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau: ∀x, y ∈ E và
Khi đó, ta nói không gianE cùng với chuẩn ∥.∥ được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu (E, ∥.∥).
Nếu x 7→ ∥x∥ là một chuẩn trên không gian E, thì d(x, y) = ∥x−y∥ là một mêtric trên E Mêtric này thỏa mãn các tính chất d(x+z, y+z) = d(x, y) và d(λx, λy) = |λ|d(x, y) với mọi x, y, z thuộc E và λ thuộc K Định nghĩa không gian Hilbert: Cho H là không gian vectơ trên trường K, tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ ⟨ã, ã⟩: H × H → K thỏa mãn các điều kiện nhất định.
1 ⟨x, x⟩ ≥0 với mọi x∈H và ⟨x, x⟩= 0 khi và chỉ khi x= 0.
Số ⟨x, y⟩ được định nghĩa là tớch vụ hướng giữa x và y, trong khi cặp (H,⟨ã,ã⟩) được gọi là khụng gian tiền Hilbert H trên K Để đơn giản hóa, từ đây trở đi, chúng ta sẽ thường gọi khụng gian tiền Hilbert H thay cho cặp (H,⟨ã,ã⟩) mà không gây nhầm lẫn.
Trong không gian H, chuẩn ∥ ã ∥ được gọi là chuẩn sinh do tích vô hướng Nếu H là không gian tiền Hilbert và đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng, thì nó được định nghĩa là không gian Hilbert Dãy {x n } trong không gian định chuẩn E được coi là hội tụ đến xo ∈E khi giới hạn limn→∞∥xn−xo∥= 0.
Ký hiệu x_n → x_o hoặc lim_{n→∞} x_n = x_o Dãy {x_n} trong không gian định chuẩn E được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n_o ∈ N sao cho với mọi n, m ∈ N, n, m ⩾ n_o, ta có ∥x_m − x_n∥ < ε Điều này có nghĩa là lim_{m,n→∞} ∥x_m − x_n∥ = 0 Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ, với metric được sinh bởi chuẩn.
Chuỗi và sự hội tụ
Giả sử {x n } là một dãy trong không gian định chuẩn E Khi đó tổng hình thức x 1 +x 2 +ã ã ã=:
Chuỗi X n=1 x n là một chuỗi trong E, với phần tử s n =x 1 +x 2 + +x n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi Chuỗi này được xem là hội tụ khi dãy các tổng riêng của nó hội tụ Giới hạn của dãy tổng riêng được gọi là tổng của chuỗi.
Nếu dãy các tổng riêng không hội tụ thì chuỗi được gọi là phân kỳ.
Nếu P∞ n=1x n = s, thì phần dư thứ n của chuỗi được định nghĩa là r n = s−s n, với r n = P∞ k=1x n+k Theo định nghĩa, chuỗi hội tụ khi lim n→∞ r n = 0 Định lý 1.1.1 khẳng định rằng nếu chuỗi P∞ n=1x n trong không gian định chuẩn E hội tụ, thì nó thỏa mãn điều kiện: ∀ε, ∃no,∀n⩾no, p⩾1.
Ngược lại, nếu E là không gian Banach thì mọi chuỗi thỏa mãn điều kiện trên là hội tụ.
Chuỗi P∞ n=1x n được gọi là hội tụ tuyệt đối khi chuỗi số dương P∞ n=1∥x n ∥ hội tụ Theo Định lý 1.1.2, nếu E là không gian Banach và P∞ n=1xn là một chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E, thì chuỗi P∞ n=1x n cũng sẽ hội tụ, đồng thời có ∥P∞ n=1x n ∥⩽P∞ n=1∥x n ∥.
Giả sử E là không gian định chuẩn và F là không gian tuyến tính con của E, thì F cũng trở thành không gian định chuẩn với chuẩn thu hẹp từ E F được coi là tập đóng trong E nếu nó chứa tất cả các dãy hội tụ trong E mà có các phần tử thuộc F Bao đóng của F, ký hiệu là F, bao gồm tất cả các điểm giới hạn của F trong không gian định chuẩn E, tức là F là tập đóng nhỏ nhất chứa F.
F Và F là không gian con đóng của E thì F phải là tập đóng trong không gian định chuẩnE Nếu E là không gian Banach vàF là không gian con đóng củaE thì F cũng là không gian Banach Nếu F là không gian con Banach của E thì F đóng trong E.
Toán tử tuyến tính liên tục
Cho hai không gian tuyến tính E và F, một ánh xạ A: E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, A(x+y) = Ax + Ay với mọi x, y thuộc E; thứ hai, A(αx) = αAx với mọi x thuộc E và mọi α thuộc K Lưu ý rằng, trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, thì A(0) sẽ bằng 0.
Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Theo định nghĩa chung, toán tử
A:E →F được gọi là liên tục tạix o nếulimn→∞x n =x o luôn kéo theolimn→∞Ax n Axo Toán tửA được gọi là liên tục trên E nếu A liên tục tại mọi x∈E.
Mọi toán tử tuyến tính từ R^k vào R^m đều liên tục, nhưng điều này không áp dụng cho không gian định chuẩn bất kỳ Để xác định tính liên tục của một toán tử tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn, cần xem xét các điều kiện cụ thể Định lý 1.2.1, hay còn gọi là Định lý 4 mệnh đề tương đương, khẳng định rằng các mệnh đề liên quan đến tính liên tục của A trên E là tương đương với nhau.
(iv) ∃M > 0, ∀x∈E :∥Ax∥⩽M∥x∥. Định nghĩa 1.2.1 Toán tử tuyến tính A : E → F được gọi là bị chặn nếu ∃M >
Dễ thấy rằng toán tử tuyến tính A bị chặn khi và chỉ khi A(B E ) bị chặn trongF.
Ta cũng nhắc lại, ánh xạ A : E → F được gọi là Lipschitz nếu tồn tại C > 0 sao cho
Toán tử tuyến tính A: E → F được coi là bị chặn nếu và chỉ nếu A là Lipschitz Điều này cho thấy rằng đối với các toán tử tuyến tính, các khái niệm liên tục, bị chặn và Lipschitz là tương đương Từ bất đẳng thức trong Định nghĩa 1.4.1, ta có thể suy ra sup x∈E, x̸=0.
∥x∥ 0 như sau:
Kí hiệu D(A) là tập tất cả các x∈ X sao cho giới hạn limh→0Ahx tồn tại, ta xác định toán tử A trên D(A) như sau:
Toán tử A được xác định là phần tử sinh của nửa nhóm T(t) với t≥0, trong đó D(A) là tập xác định của A Định lý 2.1.1 khẳng định rằng một toán tử tuyến tính A là phần tử sinh của nửa nhóm liên tục đều nếu và chỉ nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Chứng minh Cho A là một toán tử bị chặn trên X và đặt
Vế phải của (2.5) hội tụ theo chuẩn với mọit ≥0 và xác định với mỗi t, tạo thành một toán tử tuyến tính bị chặn T(t) cho t ≥ 0 Rõ ràng, T(0) = I và theo cách tính trực tiếp từ chuỗi luỹ thừa, ta có T(t+s) = T(t)T(s) Qua việc đánh giá chuỗi luỹ thừa, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
0≤s≤t∥T(s)−I∥, từ đó suy ra rằng (T(t)) t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X và A là toán tử sinh của (T(t))t≥0.
Cho (T(t))t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X Cố định ρ > 0, đủ nhỏ sao cho:
0 T(s)ds là khả nghịch và vì vậy Rρ
0 T(s)ds là khả nghịch Bây giờ, h −1 (T(h)−I)
Choh→0trong (2.6) ta thấyh −1 (T(h)−I)là hội tụ theo chuẩn và vì vậy đủ mạnh để toán tử tuyến tính bị chặn (T(ρ)−I) Rρ
0 T(s)ds−1 là toán tử sinh của(T(t))t≥0.
Nửa nhóm (T(t))t≥0 có một toán tử sinh A duy nhất nếu thỏa mãn điều kiện của định lý 2.1.2 Định lý này khẳng định rằng, cho hai nửa nhóm liên tục đều (T(t))t≥0 và (S(t))t≥0 của các toán tử tuyến tính bị chặn, nếu giới hạn limt→0 tồn tại, thì sẽ có một toán tử sinh A duy nhất liên quan đến nửa nhóm (T(t)).
Chứng minh Cho T >0, S(t) =T(t), với 0≤ t ≤T Cố địnhT >0, khi t 7→ ∥T(t)∥ và t 7→ ∥S(t)∥ là liên tục thì tồn tại một hằng số C sao cho ∥T(t)∥∥S(t)∥ ≤ C với
0≤s, t≤T Từ (2.7), cho ε >0, tồn tại một số δ >0sao cho h −1 ∥T(h)−S(h)∥< ε
Cho 0≤t≤T và chọnn ≥1sao cho n t < δ Từ tính chất của nửa nhóm và bất đẳng thức (2.8) Ta có:
Từ hai định lý trên ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.1 Cho (T(t))_{t≥0} là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn, ta có các kết luận sau: a) Tồn tại một hằng số ω ≥ 0 sao cho ∥T(t)∥ ≤ e^{ωt} b) Tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn duy nhất A sao cho T(t) = e^{tA} c) Toán tử A là toán tử sinh của (T(t))_{t≥0} d) Hàm t ↦ T(t) là khả vi với chuẩn và có dT(t)/dt = AT(t) = T(t)A.
Nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn
chặn Định nghĩa 2.1.3 Một nửa nhóm (T(t)) t≥0 của các toán tử tuyến tính bị chặn trên
X là nửa nhóm liên tục mạnh nếu limt→0T(t)x=x, ∀x∈X (2.9)
Một nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X được gọi là C0-nửa nhóm Định lý 2.1.3 khẳng định rằng, với (T(t))t≥0 là C0-nửa nhóm, sẽ tồn tại một hằng số ω ≥ 0.
Chứng minh Trước tiên ta thấy rằng có một số η >0 sao cho∥T(t)∥là bị chặn trong
Trong khoảng thời gian 0≤t≤η, nếu điều này không đúng, sẽ tồn tại dãy {t_n} với t_n ≥ 0, lim n→∞ t_n = 0 và ∥T(t_n)∥ ≥ n Áp dụng định lý bị chặn đều cho thấy tồn tại x ∈ X sao cho ∥T(t_n)x∥ không bị chặn, điều này mâu thuẫn với đẳng thức (2.9) Do đó, ta có ∥T(t)∥ ≤ M với 0≤t≤η, và vì ∥T(0)∥ = 1, suy ra M ≥ 1 Đặt ω = η − 1 log M ≥ 0, với t ≥ 0, ta có t = nη + δ, với 0 ≤ δ < η, và áp dụng tính chất nửa nhóm.
Hệ quả 2.1.2 Nếu (T(t))t≥0 là một C 0 -nửa nhóm thì ∀x∈X, t7→T(t)x là một hàm liên tục từ R + 0 vào X.
Chứng minh Cho t, h≥0, với mỗi x∈X ta có:
Vậy hàm t 7→T(t)x liên tục. Định lý 2.1.4 Cho (T(t))t≥0 là một C0-nửa nhóm và cho A là toán tử sinh của nó.
=T(t)x−x (2.12) c) Với x∈D(A), T(t)x∈D(A) và d dtT(t)x=AT(t)x=T(t)Ax (2.13) d) Với x∈D(A),
Chứng minh a) Phần này được suy ra trực tiếp từ tính liên tục củat 7→T(t)x. b) Cho x∈X và h >0 Ta có,
T(s)xds, và khih →0 vế phải sẽ tiến đến T(t)x−x.
Ta có điều phải chứng minh. c) Cho x∈D(A)và h >0, ta có:
Vì vậy, T(t)x∈D(A) vàAT(t)x=T(t)Ax Cũng suy ra rằng d + dtT(t)x=AT(t)x=T(t)Ax.
Đạo hàm bên phải của T(t)x được xác định là T(t)Ax Để chứng minh (2.13), cần chứng minh rằng với t > 0, đạo hàm bên trái của T(t)x tồn tại và bằng T(t)Ax Điều này dẫn đến giới hạn khi h tiến tới 0.
Khi xem xét giới hạn lim h→0(T(t−h)Ax−T(t)Ax), cả hai giới hạn bên phải đều bằng không Giới hạn đầu tiên bằng không do x ∈ D(A) và ∥T(t−h)∥ bị chặn trong khoảng 0 ≤ h ≤ t Giới hạn thứ hai bằng không nhờ vào tính liên tục mạnh của (T(t)) với t ≥ 0 Để chứng minh phần này, chúng ta thực hiện tích phân từ s đến t cho hai vế của (2.13).
Hệ quả 2.1.3 Nếu A là toán tử sinh của một C 0 -nửa nhóm (T(t))t≥0 trong X thì D(A), tập xác định của A là trù mật trong X và A là một toán tử tuyến tính đóng.
Chứng minh Với mọi x ∈ X, đặt x t = 1 t Rt
Theo Định lý 2.1.4, với t > 0, x t thuộc D(A) và khi t tiến tới 0, x t sẽ hội tụ về x Do đó, ta có D(A) = X Tính chất tuyến tính của A cũng được xác nhận, vì vậy chỉ cần chứng minh thêm một số điểm khác.
Alà ánh xạ đóng Chox n ∈D(A), x n →xvàAx n →ykhin → ∞ Từ ý d) của Định lý 2.1.4, ta có:
Hàm dưới dấu tích phân ở vế phải của đẳng thức (2.16) hội tụ đếnT(s)y đều trên một khoảng bị chặn, do vậy khi cho n → ∞trong (2.16), ta có
Theo định lý 2.1.4, khi chia hai vế của đẳng thức (2.17) cho t > 0 và cho t tiến tới 0, ta có x thuộc D(A) và Ax = y Định lý 2.1.5 khẳng định rằng, nếu (T(t))t≥0 và (S(t))t≥0 là C0-nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn với hai toán tử tuyến tính sinh tương ứng là A và B, thì khi A = B, ta có T(t) = S(t) với t ≥ 0.
Chứng minh Cho x ∈ D(A) = D(B) Từ ý c) của Định lý 2.1.4 ta thấy rằng hàm s7→T(t−s)S(s)x là khả vi và ta có: d dsT(t−s)S(s)x=−AT(t−s)S(s)x+T(t−s)BS(s)x
Hàm s7→ T(t−s)S(s)x là hàm hằng, với giá trị tại s=0 và s=t giống nhau, tức là T(t)x=S(t)x, đúng với mọi x∈D(A) Theo Hệ quả 2.1.3, D(A) trù mật trong X và các hàm (T(t)) t≥0, (S(t)) t≥0 bị chặn, dẫn đến kết luận T(t)x = S(t)x.
Các định lý cơ bản về nửa nhóm toán tử
Định lý Hille-Yosida
Cho (T(t))_{t≥0} là một C₀-nửa nhóm, theo Định lý 2.1.3, tồn tại hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 sao cho ∥T(t)∥ ≤ M e^{ωt} với 0 ≤ t ≤ ∞ Khi ω = 0, (T(t))_{t≥0} được gọi là bị chặn đều, và nếu M = 1, nó được gọi là C₀-nửa nhóm thu hẹp Nếu A là một toán tử tuyến tính trong không gian X, tập giải ρ(A) gồm các số phức λ sao cho λI−A khả nghịch, tức là (λI − A)^{-1} là toán tử tuyến tính bị chặn trong X Giải thức R(λ: A) = (λI − A)^{-1}, với λ ∈ ρ(A), được định nghĩa là giải thức của A Định lý 2.2.1 khẳng định rằng một toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một C₀-nửa nhóm thu hẹp (T(t))_{t≥0} nếu và chỉ nếu điều kiện nhất định được thỏa mãn.
(ii) Tập giải ρ(A) của A là tập chứa R + và ∀λ >0,
Chứng minh NếuA là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thì nó đóng và D(A) = X theo Hệ quả 2.1.3 Vớiλ >0 và x∈X đặt
Vì tích phân Vít7→T(t) liên tục và bị chặn, nên nó tồn tại dưới dạng tích phân Riemann suy rộng Điều này dẫn đến việc định nghĩa một toán tử tuyến tính bị chặn R(λ) thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Khi h→0, vế phải của đẳng thức (2.21) hội tụ tới λR(λ)x−x Điều này có nghĩa rằng ∀x∈X và λ >0, R(λ)x∈D(A) và AR(λ) = λR(λ)−I, hoặc
=AR(λ)x (2.23) Ở đây ta sử dụng ý c) của Định lý 2.1.4 và tính đóng của A Từ đẳng thức (2.22) và đẳng thức (2.23) suy ra,
R(λ) là nghịch đảo của λI−A, tồn tại cho mọi λ > 0 và đáp ứng ước lượng mong muốn của đẳng thức (2.18) Do đó, các điều kiện (i) và (ii) không chỉ là cần thiết mà còn đủ để A trở thành phần tử sinh.
C 0 -nửa nhóm thu hẹp, chúng ta sẽ cần một số bổ đề.
Theo Bổ đề 2.2.1, nếu A thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định lý 2.2.1 và R(λ:A) = (λI−A) −1, thì khi λ tiến tới vô cực, giới hạn của λR(λ:A)x sẽ bằng x với x thuộc không gian X Để chứng minh, trước tiên giả sử x thuộc miền xác định D(A).
Nhưng D(A) trù mật trong X và ∥λR(λ : A)∥ ≤ 1 Do đó, λR(λ : A)x → x khi λ→ ∞,∀x∈X.
Bây giờ chúng ta định nghĩa, ∀λ >0, phép xấp xỉ Yosida của A theo
A λ là phép xấp xỉ của A theo nghĩa sau:
Bổ đề 2.2.2 khẳng định rằng, nếu A thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định lý 2.2.1, thì phép xấp xỉ Yosida của A, ký hiệu là A λ, sẽ hội tụ đến Ax khi λ tiến tới vô cùng, với mọi x thuộc miền xác định D(A) Cụ thể, với x thuộc D(A), ta có thể áp dụng Bổ đề 2.2.1 và định nghĩa của A λ để chứng minh rằng giới hạn khi λ tiến đến vô cùng của A λ x chính là Ax.
Bổ đề 2.2.3 khẳng định rằng, với A thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định lý 2.2.1, nếu A λ là xấp xỉ Yosida của A, thì A λ sẽ là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm liên tục, được biểu diễn bởi e tA λ Hơn nữa, với mọi x thuộc X, λ và à lớn hơn 0, ta có mối quan hệ giữa e tA λ x và e tA à x.
Từ đẳng thức (2.26), có thể thấy rằng A λ là một toán tử tuyến tính bị chặn, do đó nó tạo thành phần tử sinh của một nửa nhóm liên tục đềue tA λ của các toán tử tuyến tính bị chặn Hơn nữa, ta có thể biểu diễn e tA λ dưới dạng e −λt e tλ 2 R(λ:A).
≤e −tλ e tλ 2 ∥R(λ:A)∥ ≤1, (2.29) và do đú e tA λ là một C 0 -nửa nhúm Rừ ràng từ cỏc định nghĩa rằnge tA λ , e tA à , A λ và
A à giao hoỏn với nhau Do đú, e tA λ x−e tA à x
Bổ đề 2.2.4 (Điều kiện đủ) Cho x∈D(A) Khi đó, e tA λ x−e tA à x
Từ đẳng thức (2.30) và Bổ đề 2.2.3, ta có thể kết luận rằng đối với mọi x thuộc D(A), hàm e^(tA)λx hội tụ khi λ tiến tới vô cùng, và sự hội tụ này là đồng đều trên các khoảng bị chặn Điều này cho thấy D(A) có tính trù mật trong không gian xét.
≤1 Nên ta có, λ→∞lim e tA λ x=T(t)x, ∀x∈X (2.31)
Giới hạn của đẳng thức (2.31) là đồng đều trên các khoảng bị chặn, cho thấy rằng giới hạn T(t) với t≥0 thỏa mãn tính chất nửa nhóm, với T(0) = I và ∥T(t)∥ ≤ 1 Hơn nữa, hàm t7→T(t)x liên tục với t≥0 như một giới hạn đồng đều của các hàm liên tục t 7→ e tA λ x, điều này chứng minh rằng (T(t))t≥0 là một C 0 -nửa nhóm thu hẹp trên X Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng A là phần tử sinh của (T(t))t≥0 trong X, với x∈D(A).
Đẳng thức cuối cùng được suy ra từ sự hội tụ đều của tA λ A λ x đến T(t)Ax trên các khoảng bị chặn Khi chia hai vế của đẳng thức này cho t > 0 và cho t → 0, ta thấy x thuộc về miền xác định của B và có Bx = Ax, do đó B ⊇ A.
B là phần tử sinh của T(t) với t ≥ 0, từ đó suy ra 1 ∈ ρ(B) theo các điều kiện cần thiết Giả sử 1 ∈ ρ(A), vì B ⊇ A, ta có (I−B)D(A) = (I−A)D(A) = X, dẫn đến D(B) = (I −B)⁻¹X = D(A), do đó A = B Định lý 2.2.1 và phần chứng minh của nó có một số hệ quả đơn giản sẽ được nêu ra.
Hệ quả 2.2.1 Cho A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp (T(t))t≥0 trong
X Nếu A λ là phép xấp xỉ Yosida của A, thì
Từ phần chứng minh của Định lý 2.2.1, ta có thể kết luận rằng vế phải của đẳng thức (2.33) định nghĩa một C 0 -nửa nhóm thu hẹp (S(t))t≥0 với phần tử sinh là A Đồng thời, theo Định lý 2.1.5, ta cũng suy ra rằng T(t) = S(t).
Hệ quả 2.2.2 Cho A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp (T(t))t≥0 trong
X Tập giải của A chứa nửa mặt phẳng phải mở, tức là ρ(A)⊇ {λ: Reλ >0} và với λ như vậy,
Chứng minh Với λ thỏa mãn Reλ > 0, R(λ)x = R∞
Trong bài viết này, chúng ta xem xét biểu thức 0 e −λt T(t)xdt, được xác định trong bối cảnh của Định lý 2.2.1 Chứng minh điều kiện cần cho định lý này cho thấy rằng R(λ) = (λI−A) −1, từ đó suy ra ρ(A) ⊇ {λ : Reλ > 0} Như vậy, bất đẳng thức (2.34) đối với R(λ) trở nên hiển nhiên.
Ví dụ sau đây cho thấy giải thức của phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp không cần chứa nhiều hơn nửa mặt phẳng phải mở.
Cho X = BU(0, ∞), tức là không gian của tất cả các hàm liên tục đều bị chặn trên [0, ∞) Định nghĩa
Khi đó,(T(t)) t≥0 là một C 0 -nửa nhóm thu hẹp trong X Phần tử sinhA của nó được xác định bởi:
Theo Hệ quả 2.2.2, ta có ρ(A)⊇ {λ: Reλ >0} Đối với mọi số phức λ, phương trình (λ−A)φ λ = 0 có nghiệm không tầm thường là φ λ (s) =e λs Nếu Reλ ≤ 0, thì φ λ thuộc X, từ đó nửa mặt phẳng trái đóng nằm trong phổ σ(A) của A.
Cho (T(t)) t≥0 là một C 0 -nửa nhóm với điều kiện ∥T(t)∥ ≤ e ωt (với mọi ω ≥ 0) Định nghĩa S(t) = e −ωt T(t) cho thấy (S(t))t≥0 là một C 0 -nửa nhóm thu hẹp Nếu A là phần tử sinh của (T(t))t≥0, thì A−ωI sẽ là phần tử sinh của (S(t))t≥0 Ngược lại, nếu A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp (T(t)) t≥0, thì A+ωI sẽ là phần tử sinh của một nửa nhóm khác.
C 0 -nửa nhóm của (T(t))t≥0 thỏa mãn tập ∥T(t)∥ ≤ e ωt Thật vậy, T(t) = e ωt S(t). Những nhận xét này dẫn chúng ta đến đặc điểm của các bộ sinh C 0 -nửa nhóm thỏa mãn ∥T(t)∥ ≤e ωt
Hệ quả 2.2.3 Một toán tử tuyến tính A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thỏa mãn ∥T(t)∥ ≤e ωt nếu và chỉ nếu
(ii) Tập giải ρ(A) của A chứa tia (λ: Imλ = 0, λ > ω) và với λ,
Định lý Lumer-Phillips
Trong phần trước, chúng ta đã khám phá đặc điểm của Định lý Hille-Yosida liên quan đến phần tử sinh của một C o -nửa nhóm Ở phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một đặc điểm khác của các phần tử sinh này Chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả quan trọng.
Với X là một không gian Banach và X ∗ là đối ngẫu củaX Ta biểu thị giá trị của x ∗ ∈X ∗ tại x∈Xbằng⟨x ∗ , x⟩hoặc ⟨x, x ∗ ⟩ Với mọix ∈X, ta định nghĩa tập đối ngẫu
Từ Định lý Hahn-Banach (Định lý 1.2.3), ta suy ra F(x)̸=∅, ∀x∈X. Định nghĩa 2.2.1 Một toán tử tuyến tính A là toán tử tán xạ (dissipative) nếu
∀x∈D(A) tồn tại một x ∗ ∈F(x), sao cho Re⟨Ax, x ∗ ⟩ ≤0.
Tiếp theo là một đặc điểm hữu ích của các toán tử tán xạ. Định lý 2.2.3 Một toán tử tuyến tính A là tán xạ nếu và chỉ nếu
Chứng minh ChoA là tán xạ,λ >0và x∈D(A) Nếu x ∗ ∈F(x)và Re⟨Ax, x ∗ ⟩ ≤0 thì,
∥λx−Ax∥∥x∥ ≥ |⟨λx−Ax, x ∗ ⟩| ≥Re⟨λx−Ax, x ∗ ⟩ ≥λ∥x∥ 2 , và đẳng thức (2.44) theo sau cùng một lúc Ngược lại, cho x∈D(A)và giả sử λ∥x∥ ≤
∥λx−Ax∥, ∀λ >0 Nếu y λ ∗ ∈F(λx−Ax) và z λ ∗ =y λ ∗ /∥y ∗ λ ∥ thì ∥z λ ∗ ∥= 1 và λ∥x∥ ≤ ∥λx−Ax∥=⟨λx−Ax, z λ ∗ ⟩
=λRe⟨x, z λ ∗ ⟩ −Re⟨Ax, z ∗ λ ⟩ ≤λ∥x∥ −Re⟨Ax, z ∗ λ ⟩, với mọiλ >0 Do đó,
Re⟨Ax, z λ ∗ ⟩ ≤0và Re⟨x, z λ ∗ ⟩ ≥ ∥x∥ − 1 λ∥Ax∥ (2.45)
Vì quả cầu đơn vị của X ∗ là compact trong tôpô yếu của X ∗ nên dãy z ∗ λ , λ → ∞, hội tụ yếu đến z ∗ ∈ X ∗ ,∥z ∗ ∥ ≤ 1 Từ đẳng thức (2.45) suy ra Re⟨Ax, z ∗ ⟩ ≤ 0 và
Re⟨x, z ∗ ⟩ ≥ ∥x∥ và Re⟨x, z ∗ ⟩ ≤ |⟨x, z ∗ ⟩| ≤ ∥x∥ dẫn đến ⟨x, z ∗ ⟩ = ∥x∥ Khi chọn x ∗ = ∥x∥z ∗, ta có x ∗ ∈ F(x) và Re⟨Ax, x ∗ ⟩ ≤ 0 Do đó, với mọi x ∈ D(A), tồn tại một x ∗ ∈ F(x) sao cho Re⟨Ax, x ∗ ⟩ ≤ 0, chứng tỏ A là tán xạ Định lý 2.2.4 chỉ ra rằng nếu A là toán tử tuyến tính với D(A) trù mật trong X, và nếu A là tán xạ với một số λ 0 > 0 sao cho R(λ 0 I−A) = X, thì A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp trên X Ngược lại, nếu A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp, thì R(λI−A) = X cho mọi λ > 0 và A cũng là tán xạ Hơn nữa, với mọi x ∈ D(A) và mọi x ∗ ∈ F(x), ta có Re⟨Ax, x ∗ ⟩ ≤ 0.
Chứng minh Cho λ >0, tính tán xạ của A suy ra theo Định lý 2.2.3 rằng
Từ đẳng thức \( VìR(λ_0 I −A) =X \) và \( λ = λ_0 \), ta suy ra rằng \( (λ_0 I−A)^{-1} \) là toán tử tuyến tính bị chặn và đóng, do đó \( λ_0 I−A \) cũng là toán tử đóng, dẫn đến việc \( A \) cũng đóng Nếu \( R(λI −A) = X \) với mọi \( λ > 0 \), thì \( ρ(A) ⊇ (0, ∞) \) và \( \|R(λ : A)\| ≤ λ^{-1} \) theo (2.46) Theo Định lý Hille-Yosida, \( A \) là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp trên \( X \) Để hoàn thành chứng minh cho phần a), chúng ta cần chứng minh rằng \( R(λI−A) =X \).
Cho λ ∈ Λ, theo đẳng thức (2.46), λ thuộc ρ(A) và ρ(A) là tập mở, nên tồn tại một lân cận của λ nằm trong ρ(A) Giao của lân cận này với đường thẳng thực cũng nằm trong Λ, do đó Λ là tập mở Ngoài ra, với λ n ∈ Λ, ta có λ n tiến tới λ > 0 Với mọi y ∈ X, tồn tại một phần tử x n ∈ D(A) sao cho λ n x n − Ax n = y.
Từ đẳng thức (2.46), suy ra ∥x n ∥ ≤λ −1 n ∥y∥ ≤C với một số C >0 Ta có, λ m ∥x n −x m ∥ ≤ ∥λ m (x n −x m )−A(x n −x m )∥
Do đó {xn} là một dãy Cauchy Cho xn →x, theo đẳng thức (2.47), Axn → λx−y.
VìA đóng, x∈D(A)vàλx−Ax=y Do đóR(λI−A) =X và λ∈Λ Do đóΛ cũng đóng trong (0, ∞) và vì λ 0 ∈Λ theo giả thiết Λ̸=∅ và do đó Λ =( 0, ∞) Điều này hoàn thành chứng minh của a).
NếuAlà phần tử sinh của mộtC 0 -nửa nhóm thu hẹp(T(t))t≥0 trongX, theo Định lý Hille-Yosida, ρ(A) ⊇ (0, ∞) và do đó R(λI − A) = X, ∀λ > 0 Hơn nữa, nếu x∈D(A),x ∗ ∈F(x) thì
Chia hai vế của đẳng thức (2.49) cho t >0 và chot→0 ta được
Re⟨Ax, x ∗ ⟩ ≤0 (2.50) Điều này đúng ∀x ∗ ∈F(x).
Hệ quả 2.2.4 Cho A là toán tử tuyến tính đóng, có tập xác định D(A)trù mật trong
X Nếu cả A và A ∗ đều tán xạ, thì A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp trên X.
Chứng minh Theo ý a) của Định lý 2.2.4, ta có thể chứng minh rằng R(I−A) =X.
Vì A là tán xạ và R(I −A) là không gian con đóng của X, nếu R(I −A) ̸= X, tồn tại x ∗ ∈ X ∗, x ∗ ̸= 0 sao cho ⟨x ∗ , x−Ax⟩ = 0 với x ∈ D(A) Điều này dẫn đến x ∗ −A ∗ x ∗ = 0 Do A ∗ cũng là tán xạ, theo Định lý 2.2.3, suy ra x ∗ = 0, điều này mâu thuẫn với sự chọn lựa x ∗ ban đầu.
Chúng ta kết thúc phần này bằng một số tính chất của toán tử tán xạ Định lý 2.2.5 chỉ ra rằng nếu A là toán tử tán xạ trong không gian X và tồn tại một số λ₀ > 0 sao cho R(λ₀I - A) = X, thì với mọi λ > 0, R(λI - A) cũng sẽ bằng X Hơn nữa, nếu A là toán tử khả đóng, thì A cùng với phép đóng của nó, ¯A, đều là các toán tử tán xạ Cuối cùng, nếu miền xác định D(A) bằng X, thì A là một toán tử khả đóng.
Để chứng minh b), ta xét x ∈ D(A) và y = Ax Có một dãy {xn} với xn ∈ D(A) sao cho xn → x và Axn → y = Ax Theo Định lý 2.2.3, ta suy ra ∥λxn − Axn∥ ≥ λ∥xn∥ với λ > 0 Khi n tiến tới vô hạn, ta có kết quả cần chứng minh.
Vì đẳng thức (2.51) đúng với mọi x thuộc D(A), nên A được xác định là tán xạ theo Định lý 2.2.3 Để chứng minh rằng A không phải là toán tử khả đóng, giả sử tồn tại một dãy số {x n } với x n thuộc D(A), x n tiến tới 0 và Ax n tiến tới y với ∥y∥ = 1 Theo Định lý 2.2.3, đối với mọi t > 0 và x thuộc D(A), ta có x + t^{-1} x n.
Khi cho n → ∞ và t → 0, ta có ∥x−y∥ ≥ ∥x∥ với mọi x ∈ D(A), điều này mâu thuẫn với tính trù mật của D(A) trong X, dẫn đến kết luận rằng toán tử A là khả đóng Theo Định lý 2.2.6, nếu A có tính tán xạ và R(I−A) = X, thì khi X có tính phản xạ, ta có D(A) = X.
Chứng minh rằng với x∗ ∈ X∗ sao cho ⟨x∗, x⟩ = 0 đối với mọi x ∈ D(A), ta có x∗ = 0 Do R(I−A) = X, chỉ cần chứng minh ⟨x∗, x−Ax⟩ = 0 cho mọi x ∈ D(A), tương đương với ⟨x∗, Ax⟩ = 0 Với x ∈ D(A), theo Định lý 2.2.5, tồn tại một xₙ sao cho x = xₙ − n₁.
Ax n Vì Ax n = n(x n −x) ∈ D(A), x n ∈ D(A 2 ) và Ax = Ax n − 1 n
Ax Theo Định lý 2.2.3 suy ra
≤ 1 và do đó ∥Ax n ∥ ≤ ∥Ax∥ Ngoài ra, ∥x n −x∥ ≤
Vì ∥Ax∥ và x n → x, nên ∥Ax n ∥ ≤ C và X là phản xạ, dẫn đến việc tồn tại một dãy con Ax n k của Ax n sao cho Ax n k → y yếu Theo Định lý 2.2.4, A đóng nên y = Ax Cuối cùng, với điều kiện ⟨x ∗ , z⟩ = 0 cho mọi z ∈ D(A), ta có kết luận cần thiết.
Cho nk → ∞ vào đẳng thức (2.52) ta được ⟨x ∗ , Ax⟩ = 0 Điều này đúng ∀x ∈ D(A) và do đó x ∗ = 0 và D(A) =X.
Ví dụ tiếp theo cho thấy Định lý 2.2.6 không đúng với các không gian Banach tổng quát.
Cho X = C[0,1], là các hàm liên tục trên [0,1] với chuẩn “max” Cho D(A) {u:u∈C 1 ([0,1]) và u(0) = 0} và Au = −u ′ với u ∈ D(A) Với mọi f ∈ X phương trình λu−Au=f có nghiệm u được cho bởi u(x) Z x 0 e λ(ξ−x) f(ξ)dξ (2.53) Điều này cho thấyR(λI−A) = X Từ đẳng thức (2.53), cũng suy ra, λ|u(x)| ≤ 1−e −λx
Lấy giá trị lớn nhất trên x∈[0,1] của vế trái đẳng thức (2.54), ta có λ∥u∥ ≤ ∥λu−Au∥, từ đó suy ra rằng A là tán xạ theo Định lý 2.2.3 Tuy nhiên, miền xác định của A được định nghĩa là D(A) = {u : u ∈ X và u(0) = 0}, với X = C([0,1]) Theo Định nghĩa 2.2.2, toán tử tán xạ A với R(I−A) = X được gọi là m-tán xạ.
Nếu A là tỏn xạ thỡ ∀à > 0, àA cũng là tỏn xạ Do đú, nếu A là m-tỏn xạ thỡ
Định lý Lumer-Phillips có thể được diễn đạt lại thông qua các toán tử m-tán xạ, cho biết rằng một toán tử A xác định trù mật là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm thu hẹp nếu và chỉ nếu nó là toán tử m-tán xạ Định lý 2.2.7 nêu rằng nếu A và B là các toán tử tuyến tính trong không gian X, với điều kiện D(B)⊃D(A) và A+tB là tán xạ trong khoảng 0≤t≤1, thì các điều kiện này đảm bảo tính chất tán xạ của toán tử.
∥Bx∥ ≤α∥Ax∥+β∥x∥ với x∈D(A), (2.55) trong đó, 0 ≤α < 1, β ≥0 và với t 0 ∈[0,1] sao cho A+t 0 B là m-tán xạ thì A+tB cũng là m-tán xạ,∀t ∈[0,1].
Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu A + t₀B là m-tán xạ thì A + tB cũng là m-tán xạ với mọi t ∈ [0,1], thỏa mãn |t − t₀| ≤ δ Mọi điểm trong [0,1] có thể đạt tới từ mọi điểm khác qua một số hữu hạn bước có độ dài không lớn hơn δ Giả sử rằng với một t₀ ∈ [0,1], A + t₀B là m-tán xạ.
I−(A+t 0 B) là khả nghịch Ký hiệu (I −(A+t 0 B)) −1 là R(t 0 ), ta có ∥R(t 0 )∥ ≤1.
Ta sẽ chứng minh rằng toán tử BR(t0) là một toán tử tuyến tính bị chặn Từ (2.55), với x∈D(A), ta có:
∥Bx∥ ≤α∥(A+t 0 B)x∥+αt 0 ∥Bx∥+β∥x∥ ≤α∥(A+t 0 B)x∥+α∥Bx∥+β∥x∥, và do đó,
Vì R(t 0 ) :X →D(A) và (A+t 0 B)R(t 0 ) =R(t 0 )−I Nên từ (2.56) ta suy ra:
Nửa nhóm toán tử tự liên hợp
Cho S là một toán tử tuyến tính với miền xác định trù mật D(S) trong không gian X Toán tử liên hợp S ∗ của S là một toán tử tuyến tính, được xác định từ miền D(S ∗) ⊂ X ∗ vào X ∗ Miền D(S ∗) bao gồm tất cả các phần tử x ∗ thuộc X ∗, sao cho tồn tại một phần tử y ∗ trong X ∗ thỏa mãn điều kiện nhất định.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình ⟨x ∗ , Sx⟩=⟨y ∗ , x⟩ với ∀x∈D(S), và nếu x ∗ thuộc D(S ∗ ), thì y ∗ sẽ bằng S ∗ x ∗ Ở đây, y ∗ là phần tử trong X ∗ thỏa mãn phương trình đã nêu Đặc biệt, do D(S) là trù mật trong X, nên chỉ có tối đa một phần tử y ∗ trong X ∗ để phương trình này có thể thỏa mãn.
Bổ đề 2.3.1 Cho S là một toán tử bị chặn trên X, khi đó S ∗ là một toán tử bị chặn trên X ∗ và ∥S∥=∥S ∗ ∥.
Chứng minh rằng với mỗi x ∗ ∈ X ∗, ánh xạ tuyến tính ⟨x ∗ , Sx⟩ là một ánh xạ bị chặn trên X, từ đó xác định một phần tử duy nhất y ∗ ∈ X ∗ sao cho ⟨y ∗ , x⟩ = ⟨x ∗ , Sx⟩, dẫn đến D(S ∗ ) = X ∗.
Bổ đề 2.3.2 Cho A là toán tử tuyến tính có tập xác địnhD(A) trù mật trongX Nếu λ∈ρ(A) thì λ∈ρ(A ∗ ) và
Chứng minh Từ định nghĩa của toán tử liên hợp, ta có(λI−A) ∗ =λI ∗ −A ∗ , trong đó
Toán tử đồng nhất I ∗ trên không gian X ∗ và R(λ:A) là một toán tử bị chặn, dẫn đến R(λ:A) ∗ cũng bị chặn trên X ∗ theo Bổ đề 2.3.1 Chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của R(λ:A ∗ ) và khẳng định rằng nó bằng R(λ:A) ∗ Để làm điều này, trước tiên, chúng ta chứng minh rằng λI ∗ −A ∗ là một ánh Nếu tồn tại x ∗ ̸= 0 sao cho (λI ∗ −A ∗ )x ∗ = 0, thì từ đó suy ra 0 = ⟨(λI ∗ − A ∗ )x ∗ , x⟩ = ⟨(λI−A)x, x ∗ ⟩.
∀x∈ D(A) Nhưng vìλ ∈ ρ(A), R(λI −A) = X và do đó x ∗ = 0 và λI ∗ −A ∗ là đơn ánh Bây giờ nếu x∈X, x ∗ ∈D(A ∗ ) có giá trị
R(λ :A) ∗ (λI ∗ −A ∗ )x ∗ =x ∗ , ∀x ∗ ∈D(A ∗ ) (2.61) Mặt khác, nếu x ∗ ∈X ∗ và x∈D(A)thì
Từ (2.61) và (2.62) suy ra λ∈ρ(A ∗ ) và R(λ:A ∗ ) = R(λ:A) ∗
Cho (T(t))t≥0 là một C 0 -nửa nhóm trên không gian X, và (T(t) ∗ )t≥0 là toán tử liên hợp của nó Theo định nghĩa, họ (T(t) ∗ )t≥0 là các toán tử bị chặn trên không gian X ∗ và tuân theo tính chất nửa nhóm tuyến tính Do đó, chúng được gọi là nửa nhóm tuyến tính liên hợp của (T(t))t≥0 Tuy nhiên, cần lưu ý rằng nửa nhóm tuyến tính liên hợp không nhất thiết phải là một nửa nhóm tuyến tính C 0 trên không gian X ∗, vì ánh xạ này có thể không thỏa mãn điều kiện đó.
T(t) không nhất thiết bảo toàn tính liên tục mạnh của (T(t)) với t≥0 Trước khi trình bày và chứng minh kết quả chính về mối quan hệ giữa các nửa nhóm tuyến tính (T(t))t≥0, (T(t) ∗ )t≥0 và các phần tử sinh của chúng, chúng ta cần thêm một định nghĩa Theo định lý 2.3.1 của Stone, A là toán tử sinh của một nhóm C 0 các toán tử đơn vị trên không gian Hilbert H nếu và chỉ nếu iA là tự liên hợp.
Trong trường hợp cần mở rộng miền tham số của nửa nhóm toán tử trên trục thực không âm sang miền mở rộng trong mặt phẳng phức, miền tham số phức cần phải là một nửa nhóm cộng của các số phức để bảo toàn tính chất nửa nhóm Do đó, chúng ta xem xét miền tham số phức trên các dải gốc chứa nửa trục thực Định nghĩa nửa nhóm giải tích được đưa ra cho tập hợp △ = {z : φ1 < argz < φ2, φ1 < 0 < φ2} với z ∈ △, trong đó (T(z)) là toán tử tuyến tính bị chặn Họ (T(z)), z ∈ △ được coi là một nửa nhóm giải tích trong △ nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Rõ ràng, một nửa nhóm giải tích trên dải △ hạn chế lên nửa trục thực là một
C 0 -nửa nhóm có khả năng mở rộng thành nửa nhóm giải tích trên một dải △ chứa nửa trục thực không âm Theo Định lý 2.3.2, nếu (T(t))t≥0 là một C 0 -nửa nhóm bị chặn đều và A là phần tử sinh của (T(t))t≥0 với điều kiện 0∈ρ(A), thì các mệnh đề liên quan đến nó là tương đương.
(a) (T(t))t≥0 có thể mở rộng thành một nửa nhóm giải tích trong một dải △ δ ={z :
|argz|< δ} và ∥T(z)∥ bị chặn đều trên mọi dải con đóng△ δ của △ δ , với δ ′ < δ. (b) Tồn tại hằng số C sao cho với mọi σ > 0, τ ̸= 0, ta có:
|τ|. (c) Tồn tại0< δ < π 2 và M >0 sao cho: ρ(A)⊃P
(d) (T(t))t≥0 là khả vi với t >0 và tồn tại một hằng số C, sao cho:
Bài toán Cauchy và ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm toán tử trong phương trình đạo hàm riêng
Trong chương này, chúng tôi thảo luận về bài toán Cauchy và ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm toán tử đối với các bài toán liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Toàn bộ nội dung trong chương được xây dựng trên không gian Banach, với các thông tin được trích dẫn từ mục [1] trong tài liệu tham khảo.
Bài toán Cauchy
Bài toán giá trị ban đầu thuần nhất
Cho A là một toán tử tuyến tính từ D(A) ⊂ X vào X Đối với x ∈ X, bài toán Cauchy tổng quát cho A với giá trị ban đầu x là việc tìm nghiệm u(t) cho bài toán giá trị ban đầu.
Phương trình vi phân dạng du(t)/dt = Au(t), với t > 0 và điều kiện ban đầu u(0) = x, yêu cầu nghiệm u(t) là một hàm liên tục trong không gian X Nghiệm này cần phải liên tục với t ≥ 0, khả vi và thuộc miền xác định D(A) cho t > 0 để thỏa mãn phương trình (3.1) Cần lưu ý rằng nếu x không thuộc D(A), thì phương trình (3.1) sẽ không có nghiệm.
Kết quả từ Chương 2 cho thấy rằng nếu A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm trong (T(t)) với t≥0, thì bài toán Cauchy tổng quát cho A có nghiệm u(t) = T(t)x, với mọi x ∈ D(A) Đặc biệt, u(t) = T(t)x là nghiệm duy nhất của bài toán (3.1) đối với x ∈ D(A) Tính duy nhất của nghiệm trong bài toán giá trị ban đầu (3.1) có thể được xác định theo các giả định yếu hơn nhiều, như sẽ được trình bày trong Định lý 3.1.1.
Bổ đề 3.1.1 Cho u(t) là một hàm có giá trị trong X Nếu
Chứng minh Chox ∗ ∈X ∗ và đặtφ(t) =⟨x ∗ , u(t)⟩thì φrõ ràng liên tục trên [0, τ]và
Chúng ta sẽ chứng minh rằng, bất đẳng thức (3.3) suy ra làφ(t)≡0trên (0, τ)và vì x ∗ ∈X ∗ là tùy ý nên suy rau(t)≡0 trên [0, τ].
Chuỗi này hội tụ đều tạiτ trên các khoảng bị chặn Do đó,
(3.4) Đối với t < τ, vế phải của (3.4) có giới hạn là 0 khin → ∞ Mặt khác, ta có
Theo định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue, vế phải của đẳng thức (3.5) hội tụ đến Rτ τ−tφ(s)ds khi n → ∞ Kết hợp với đẳng thức (3.4), ta suy ra rằng với mọi 0 ≤ t < τ, Rτ τ−tφ(s)ds = 0, từ đó dẫn đến φ(t) ≡ 0 trên [0, τ] Định lý 3.1.1 khẳng định rằng nếu A là toán tử tuyến tính với tập xác định D(A) trù mật trong X, và điều kiện R(λ:A) tồn tại cho mọi số thực λ ≥ λ₀ cùng với lim sup khi λ → ∞ của λ⁻¹ log∥R(λ:A)∥ ≤ 0, thì bài toán giá trị ban đầu (3.1) có nhiều nhất một nghiệm cho mọi x ∈ X.
Chứng minh Trước tiên, lưu ý rằng u(t) là nghiệm của (3.1) khi và chỉ khi e zt u(t) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu dv dt = (A+zI)v, v(0) =x.
Chúng ta có thể tịnh tiến điểm A theo bội số hằng số của phép thuần nhất, giả sử rằng R(λ:A) tồn tại cho mọi số thực λ với λ≥0 và thỏa mãn điều kiện (3.6).
Chou(t) là một nghiệm của phương trình (3.1) thỏa mãn u(0) = 0 Để chứng minh rằng u(t) ≡ 0, ta xét hàm t 7→ R(λ : A)u(t) với λ > 0 Vì u(t) là nghiệm của (3.1), ta có d dtR(λ : A)u(t) = R(λ : A)Au(t) = λR(λ : A)u(t) − u(t) Từ đó, chúng ta suy ra kết quả cần thiết.
Từ giả thiết (3.6), ta suy ra rằng với mọiσ >0 λ→∞lim e −σλ ∥R(λ:A)∥= 0, và do đó suy ra từ (3.7) rằng: λ→∞lim
Từ Bổ đề 3.1.1, ta suy ra rằngu(τ)≡0 với 0≤τ ≤t−σ Vìt và σ là tùy ý, u(t)≡0 với t≥0.
Trong trường hợp các giá trị ban đầu của bài toán Cauchy (3.1) thuộc tập xác định của toán tử A, Định lý 3.1.2 chỉ ra rằng nếu A là toán tử tuyến tính với tập xác định D(A) trù mật trong X và tập giải không rỗng ρ(A), thì bài toán giá trị ban đầu (3.1) có một nghiệm duy nhất u(t), khả vi liên tục trên [0, ∞), với mọi giá trị ban đầu x∈D(A) nếu và chỉ nếu A là phần tử sinh của một C0-nửa nhóm (T(t))t≥0 trong X.
Nếu A là phần tử sinh của nửa nhóm C 0 (T(t))t≥0 trong không gian X, theo Định lý 2.1.4, ta có thể khẳng định rằng với mọi x thuộc D(A), T(t)x là nghiệm duy nhất của phương trình (3.1) với giá trị ban đầu x thuộc D(A) Thêm vào đó, T(t)x duy trì tính liên tục trong khoảng thời gian từ 0 đến vô hạn.
Nếu bài toán (3.1) có một nghiệm duy nhất khả vi liên tục trên [0, ∞) cho mọi giá trị ban đầu x∈D(A), thì Alà phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm (T(t)) với t≥0 trong không gian X Giả sử rằng với mọi x∈D(A), bài toán giá trị ban đầu (3.1) có một nghiệm duy nhất khả vi liên tục trên [0, ∞), được ký hiệu là u(t;x).
Đối với x ∈ D(A), chuẩn đồ thị được định nghĩa là |x| G = ∥x∥ + ∥Ax∥ Vì ρ(a) ̸= ∅ và A là một toán tử đóng, D(A) cùng với chuẩn đồ thị tạo thành một không gian Banach, được ký hiệu là [D(A)] Không gian X t 0 là không gian Banach của các hàm liên tục từ [0, t 0] vào [D(A)] với chuẩn "max" thông thường Chúng ta xem xét phép ánh xạ S: [D(A)] → X t 0 được xác định bởi.
Sx = u(t; x) với 0 ≤ t ≤ t 0 cho thấy S là toán tử tuyến tính xác định trên mọi [D(A)], đồng thời S cũng là toán tử đóng Nếu x n → x trong [D(A)] và Sx n → v trong X t 0, điều này chứng tỏ tính đóng của toán tử S.
Au(τ;x n )dτ, ta suy ra rằng khin → ∞ v(t) = x+
Có nghĩa rằng v(t) = u(t;x)và S là đóng Do đó, S bị chặn và sup
Bây giờ chúng ta định nghĩa một ánh xạ T(t): [D(A)] → [D(A)] bởi T(t)x = u(t;x).
Từ tính chất độc đáo của các nghiệm trong (3.1), chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng (T(t))t≥0 là một nửa nhóm Theo (3.9), với 0 ≤ t ≤ t0, (T(t))t≥0 bị chặn đều, cho phép chúng ta mở rộng nó thành T(t)x = T(t−nt0)T(t0)nx với nt0 ≤ t < (n+1)t0, tạo thành một nửa nhóm trên [D(A)] và thỏa mãn điều kiện |T(t)x|G ≤ M eωt |x|G.
Z t 0 u(s;Ay)ds, (3.11) ta có: v ′ (t) = u(t;Ay) =Ay+
Vì v(0) = y ta có theo tính duy nhất của nghiệm (3.1), v(t) = u(t;y) và do đó Au(t;y) = v ′ (t) = u(t;Ay) giống như (3.10).
Vì D(A) trù mật trong X và giả định rằng ρ(A) không rỗng, nên D(A²) cũng trù mật trong X Giả sử λ₀ ∈ ρ(A) và λ₀ khác 0, cùng với y ∈ D(A²) Khi x = (λ₀ I - A)y, theo đẳng thức (3.10), ta có T(t)x = (λ₀ I - A)T(t)y.
|y| G =∥y∥+∥Ay∥ ≤C 2 ∥x∥, và ta thu được:
Theo tính liên tục (T(t)) với t≥0 có thể mở rộng tới toàn bộ không gian X, và sau khi mở rộng, (T(t)) trở thành một C 0 -nửa nhóm trong X Để hoàn thành chứng minh, cần chứng minh rằng A là phần tử sinh của (T(t)) Cụ thể, nếu x thuộc miền xác định D(A), thì theo định nghĩa của (T(t)), ta có T(t)x = u(t, x), từ đó suy ra rằng đạo hàm theo t của T(t)x là AT(t)x với t≥0.
Cho Reλ > ω và cho y∈D(A 2 ) Từ (3.10) và từ A 1 ⊃A, ta suy ra e −λt AT(t)y=e −λt T(t)Ay=e −λt T(t)A 1 y (3.15) Tích phân đẳng thức (3.15) theo t, từ 0 đến ∞ ta được,
Nhưng A 1 R(λ :A 1 )y = R(λ:A 1 )A 1 y và do đó AR(λ :A 1 )y = A 1 R(λ :A 1 )y với mọi y ∈ D(A 2 ) Vì A 1 R(λ :A 1 ) bị chặn đều, A đóng và D(A 2 ) trù mật trong X, nên AR(λ:A 1 )y = A 1 R(λ:A 1 )y, ∀y ∈ X Điều này có nghĩa là D(A) ⊃ Range
R(λ:A1) = D(A1) và A⊃A1 dẫn đến A=A1 Định lý tiếp theo mô tả trường hợp bài toán giá trị ban đầu (3.1) có một nghiệm duy nhất cho mọi x thuộc X Cụ thể, Định lý 3.1.3 chỉ ra rằng nếu A là phần tử sinh của một nửa nhóm khả vi, thì bài toán giá trị ban đầu (3.1) sẽ có một nghiệm duy nhất cho mọi x trong X.
Bài toán giá trị ban đầu không thuần nhất
Trong phần này, chúng ta xét bài toán giá trị ban đầu không thuần nhất
Phương trình vi phân dạng chuẩn được mô tả bởi u(t) dt = Au(t) + f(t) với t > 0 và điều kiện ban đầu u(0) = x, trong đó f: [0, τ)→X Trong phần này, giả sử A là phần tử sinh của một C0-nửa nhóm (T(t))t≥0 trong không gian X, với phương trình thuần nhất tương ứng (khi f ≡ 0) có nghiệm duy nhất cho mọi giá trị ban đầu x thuộc D(A) Định nghĩa 3.1.1 nêu rõ rằng một hàm u: [0, τ)→X được coi là nghiệm (cổ điển) của phương trình trên.
[0, τ)nếu u(t) liên tục và khả vi trên[0, τ), u(t)∈D(A)với 0≤t≤τ và (3.17) được thỏa mãn trên [0, τ).
Giả sử (T(t))t≥0 làC0-nửa nhóm sinh bởi A và giả sử u là một nghiệm của (3.17). Khi đó, hàm có giá trị trong X, g(s) =T(t−s)u(s) khả vi đối với 0< s < t và dg ds =−AT(t−s)u(s) +T(t−s)u ′ (s)
Nếu f ∈L 1 (0, τ :X) thì T(t−s)f(s) có thể tích phân được và tích phân (3.18) từ 0 đến t tạo ra u(t) =T(t)x+
Hệ quả 3.1.2 Nếu f ∈ L 1 (0, τ : X) thì ∀x ∈X, bài toán giá trị ban đầu (3.17) có nhiều nhất một nghiệm Nếu có nghiệm, nghiệm này được đưa ra bởi (3.19).
Với mọi hàm f thuộc L1(0, τ :X), vế phải của (3.19) là một hàm liên tục trên khoảng [0, τ) Điều này cho phép chúng ta xem xét nó như một nghiệm tổng quát của phương trình (3.17), ngay cả khi nó không khả vi và không tuân theo định nghĩa nghiêm ngặt trong Định nghĩa 3.1.1 Từ đó, chúng ta định nghĩa khái niệm bài toán Cauchy như sau: Định nghĩa 3.1.2 Cho A là phần tử sinh của một C0-nửa nhóm (T(t))t≥0 trong không gian X Với x thuộc X và f thuộc L1(0, τ :X), hàm u(t) được xác định bởi công thức u(t) = T(t)x.
Nghiệm nhẹ (mild solution) của bài toán giá trị ban đầu (3.17) trên đoạn [0, τ] được biểu diễn bởi công thức T(t−s)f(s)ds, với điều kiện 0≤t ≤τ Định nghĩa của nghiệm nhẹ trùng với định nghĩa của T(t)x khi f ≡ 0, nhưng không phải mọi nghiệm nhẹ của (3.17) đều là nghiệm cổ điển, ngay cả khi f ≡ 0 Đối với trường hợp f ∈ L 1 (0, τ : X), bài toán này có một nghiệm nhẹ duy nhất theo Định nghĩa 3.1.2 Chúng ta sẽ xem xét các điều kiện cần thiết trên f để đảm bảo rằng nghiệm nhẹ trở thành nghiệm cổ điển cho x ∈ D(A), từ đó chứng minh sự tồn tại của các nghiệm của (3.17) trong điều kiện này.
Tính liên tục của hàm f không đủ để đảm bảo sự tồn tại của nghiệm cho phương trình (3.17) với x thuộc tập D(A) Cụ thể, nếu A là phần tử sinh của một nửa nhóm C 0 (T(t)) với t≥0 trong không gian X và x thuộc X nhưng T(t)x không nằm trong D(A), thì hàm f(s) = T(s)x là liên tục với s≥0 Điều này dẫn đến việc cần xem xét lại bài toán giá trị ban đầu.
Chúng ta khẳng định rằng (3.20) không có nghiệm mặc dù u(0) = 0 ∈ D(A) Thật vậy, nghiệm nhẹ của (3.20) là u(t) Z t 0
T(t−s)T(s)xds=tT(t)x, nhưngtT(t)xkhông khả vi đối với t >0và do đó không thể là nghiệm của (3.20).
Để chứng minh sự tồn tại của nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu (3.17), chúng ta cần nhiều hơn chỉ tính liên tục của hàm f Chúng ta sẽ bắt đầu với một tiêu chuẩn chung cho sự tồn tại của nghiệm Theo Định lý 3.1.4, nếu A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm (T(t)) với t ≥ 0 trong không gian X, và hàm f thuộc L 1 (0, τ :X) liên tục trên khoảng (0, τ], thì tồn tại nghiệm v(t) cho bài toán này.
Bài toán giá trị ban đầu (3.17) có nghiệm u(t) trên [0, τ), ∀x∈ D(A) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) v(t) khả vi liên tục trên (0, τ).
(ii) v(t)∈D(A) với 0< t < τ và Av(t) liên tục trên (0, τ).
Nếu với x∈D(A), bài toán (3.17) có nghiệm u(t) trên [0, τ) thì v(t) thỏa mãn cả (i) và (ii).
Nếu \( x \in D(A) \), bài toán giá trị ban đầu (3.17) có nghiệm \( u(t) \) được xác định bởi (3.19) Ta có \( v(t) = u(t) - T(t)x \) khả vi với \( t > 0 \) và \( v'(t) = u'(t) - T(t)Ax \) liên tục trên khoảng \( (0, \tau) \), do đó điều kiện (i) được thỏa mãn Hơn nữa, nếu \( x \in D(A) \), thì \( T(t)x \in D(A) \) với \( t \geq 0 \), dẫn đến \( v(t) = u(t) - T(t)x \in D(A) \) với \( t > 0 \) và \( Av(t) = Au(t) - AT(t)x = u'(t) - f(t) - T(t)Ax \) cũng liên tục trên \( (0, \tau) \), nên điều kiện (ii) cũng được thỏa mãn.
Mặt khác, dễ dàng để kiểm chứng với h >0, ta có:
Trong bài toán giá trị ban đầu (3.17), từ tính liên tục của v(t) cho thấy rằng nếu v(t) khả vi liên tục trên khoảng (0, τ), thì v(t) thuộc miền xác định D(A) với 0 < t < τ và Av(t) = v′(t) − f(t) Với điều kiện v(0) = 0, ta có nghiệm u(t) = T(t)x + v(t) Nếu v(t) thuộc D(A), thì v(t) khả vi tại t và thỏa mãn D + v(t) = Av(t) + f(t) Do D + v(t) liên tục, suy ra v(t) khả vi liên tục và v′(t) = Av(t) + f(t), khẳng định rằng u(t) là nghiệm của bài toán với x thuộc D(A).
Từ Định lý 3.1.4, ta rút ra hai hệ quả sau.
Hệ quả 3.1.3 Cho A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm (T(t))t≥0 trong X Nếu f(s) khả vi liên tục trên [0, τ] thì bài toán giá trị ban đầu (3.17) có nghiệm u(t) trên
Chứng minh Chúng ta có, v(t) Z t 0
Rõ ràng từ đẳng thức (3.23) rằngv(t)có thể khả vi được với t >0 và rằng đạo hàm: v ′ (t) =T(t)f(0) +
T(t−s)f ′ (s)ds, liên tục trên(0, τ) Do đó, kết quả suy ra từ ý (i) của Định lý 3.1.4.
Hệ quả 3.1.4 Cho A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm (T(t))t≥0 trong X. Cho f ∈ L 1 (0, τ : X) liên tục trên (0, τ) Nếu f(s) ∈ D(A) với 0 < s < τ và
Af(s) ∈ L 1 (0, τ : X) thì ∀x ∈ D(A), bài toán giá trị ban đầu (3.17) có nghiệm trên
Chứng minh Từ các điều kiện suy ra rằng với s >0,T(t−s)f(s)∈D(A) và AT(t− s)f(s) = T(t−s)Af(s) là khả tích Do đó v(t) được xác định bởi (3.21) thỏa mãn v(t)∈D(A) với t >0và
T(t−s)Af(s)ds, là liên tục Theo ý (ii) của Định lý 3.1.4, ta có điều phải chứng minh.
Theo định lý 3.1.5, nếu hàm f thuộc L1 trên khoảng (0, τ : X) và u(t) là nghiệm nhẹ của phương trình (3.17) trong khoảng [0, τ], thì với mọi τ' nhỏ hơn τ, u(t) sẽ là giới hạn đều trên khoảng [0, τ'] của các nghiệm của phương trình (3.17).
Chứng minh Giả sử rằng ∥T(t)∥ ≤ M e ωt Cho xn ∈ D(A) thỏa mãn xn → x và cho f n ∈C 1 ([0, τ] :X)thỏa mãnf n →f trongL 1 (0, τ :X) Từ Hệ quả 3.1.3, suy ra rằng với mỗin ≥1, bài toán giá trị ban đầu
, (3.24) có một nghiệm u n (t) trên [0, τ) thỏa mãn: u n (t) = T(t)x n +
Nếuu(t)là nghiệm nhẹ của (3.17) trên [0, τ] thì,
, (3.25) và kết quả suy ra dễ dàng từ đẳng thức (3.25).
Chúng tôi kết thúc phần này với những nhận xét về khái niệm nghiệm mạnh trong bài toán giá trị ban đầu (3.17) Theo định nghĩa 3.1.3, một hàm u(t) được coi là nghiệm mạnh nếu nó khả vi hầu khắp nơi trên đoạn [0, τ] và đạo hàm u' thuộc L1(0, τ; X) Cụ thể, hàm u(t) thỏa mãn điều kiện u(0) = x và u'(t) = Au(t) + f(t) hầu khắp nơi trên [0, τ].
Nếu A = 0 và f ∈ L 1 (0, τ : X), bài toán giá trị ban đầu (3.17) thường không có nghiệm trừ khi f liên tục Tuy nhiên, luôn tồn tại một nghiệm mạnh được xác định bởi công thức u(t) = u(0) + Rt.
Nếu u(t) là nghiệm mạnh của phương trình (3.17) và f thuộc L1(0, τ : X), thì u(t) có thể được biểu diễn bởi (3.19), chứng minh rằng nó cũng là nghiệm nhẹ của (3.17) và là nghiệm mạnh duy nhất Một câu hỏi quan trọng là xác định điều kiện để một nghiệm nhẹ trở thành nghiệm mạnh Định lý 3.1.6 chỉ ra rằng với A là phần tử sinh của một C0-nửa nhóm (T(t))t≥0 trong X và f thuộc L1(0, τ : X), chúng ta có thể khảo sát mối liên hệ giữa các loại nghiệm này.
Với mỗi x ∈ D(A), bài toán giá trị ban đầu (3.17) có một nghiệm mạnh u(t) trên
[0, τ], ∀x∈D(A) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn;
(i) v(t) khả vi hầu khắp nơi trên[0, τ] và v ′ (t)∈L 1 (0, τ :X).
(ii) v(t)∈D(A) hầu khắp nơi trên [0, τ] và Av(t)∈L 1 (0, τ :X).
Nếu x ∈ D(A), bài toán (3.17) có nghiệm mạnh u(t) trên [0, τ] thì v(t) thỏa mãn cả (i) và (ii).
Theo hệ quả của Định lý 3.1.6, ta có:
Nếu A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm (T(t))t≥0 trong không gian X, và hàm f khả vi hầu khắp trên đoạn [0, τ] với f ′ thuộc L 1 (0, τ :X), thì đối với mọi x thuộc D(A), bài toán giá trị ban đầu (3.17) sẽ có nghiệm mạnh duy nhất trên khoảng thời gian [0, τ].
Tính liên tục Lipschitz của hàm f trên khoảng [0, τ] không đảm bảo sự tồn tại của nghiệm mạnh cho phương trình (3.17) với x thuộc D(A) Tuy nhiên, nếu X là một quá trình phản xạ và f có tính Lipschitz liên tục trên khoảng [0, τ], điều này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc tìm kiếm nghiệm.
∥f(t 1 )−f(t 2 )∥ ≤C|t 1 −t 2 | với t 1 , t 2 ∈[0, τ], thì theo kết quả cổ điển f khả vi vàf ′ ∈L 1 (0, τ :X) Do đó, Hệ quả 3.1.5 suy ra:
Nếu A là phần tử sinh của một C 0 -nửa nhóm (T(t))t≥0 trong không gian X và hàm f là Lipschitz liên tục trên khoảng [0, τ], thì với mọi x thuộc tập D(A), bài toán giá trị ban đầu (3.17) sẽ có một nghiệm duy nhất u(t) trên khoảng [0, τ], được xác định bởi công thức: u(t) = T(t)x+.
Chứng minh Từ các nhận xét trước đó, rõ ràng là (3.17) có một nghiệm mạnh Do đó theo Định lý 3.1.6,v(t)được cho bởi (3.21), là khả vi trên [0, τ] và v ′ (t) = T(t)f(0) +
Dễ dàng chứng minh rằng g(t) liên tục trên [0, τ] và kết quả thu được từ Định lý3.1.4.
Tính chính quy (regularity) của các nghiệm nhẹ cho các nửa nhóm giải tích
ChoAlà phần tử sinh của mộtC 0 -nửa nhóm(T(t))t≥0 trongX và chof ∈L 1 (0, τ : X) Trong phần trước, chúng ta đã định nghĩa nghiệm nhẹ của bài toán giá trị ban đầu
Nếu thêm điều kiện cho hàm f, chẳng hạn như f ∈ C 1 ([0, τ] : X), nghiệm nhẹ (3.27) sẽ trở thành nghiệm cổ điển, tức là nghiệm khả vi liên tục của (3.26) Khi A là phần tử sinh của nửa nhóm giải tích, chúng ta có kết quả mạnh hơn Cụ thể, theo Hệ quả 3.1.7, trong trường hợp này, tính liên tục H¨older của f đảm bảo rằng nghiệm nhẹ (3.27) là nghiệm của (3.26).
Nếu (T(t))t≥0 là một nửa nhóm giải tích và f ∈ L p (0, τ :X) với p > 1, thì nghiệm nhẹ u(t) của phương trình (3.26) là liên tục H¨older Cụ thể, Định lý 3.1.7 cho biết rằng nếu A là phần tử sinh của nửa nhóm giải tích (T(t))t≥0 trong X và f ∈ L p (0, τ : X) với 1 < p < ∞, thì u(t) sẽ có tính liên tục H¨older với số mũ (p−1)/p trên khoảng [ε, τ] cho mọi ε > 0 Hơn nữa, nếu x ∈ D(A), thì u(t) cũng sẽ duy trì tính liên tục H¨older với cùng số mũ trên khoảng [0, τ].
Chứng minh rằng ∥T(t)∥ ≤ M trên đoạn [0, τ] cho thấy (T(t))t≥0 là nửa nhóm giải tích, từ đó tồn tại hằng số C sao cho ∥AT(t)∥ ≤ Ct −1 trên (0, τ] Điều này chỉ ra rằng T(t)x là liên tục Lipschitz trên [ε, τ] với mọi ε > 0 Nếu x thuộc D(A), thì T(t)x cũng sẽ là liên tục Lipschitz trên [0, τ] Vì vậy, cần chứng minh rằng nếu f thuộc L p (0, τ : X) với 1 < p < ∞, thì v(t) = Rt.
0 T(t−s)f(s)ds là liên tục H¨older với số mũ (p−1)/p trên [0, τ] Với h > 0, ta có: v(t+h)−v(t) Z t+h t
Chúng ta đánh giá I 1 và I 2 , đối với I 1 , sử dụng bất đẳng thức H¨older ta thu được:
0 ∥f(s)∥ p ds1/p là chuẩn của f trong L p (0, τ :X) Để đánh giáI 2 , ta lưu ý rằng đối với h >0, ta có:
1,h t với t, t+h∈[0, τ], (3.29) trong đó,C 1 là hằng số thỏa mãn C 1 ≥max(2M, C) Sử dụng đẳng thức (3.29) và bất đẳng thức H¨older, ta có:
Mặt khỏc, vỡ à≥0 nờn ta cú:
Z ∞ 0 à(h, τ) p/(p−1) dτ =ph, và kết hợp (3.30) với bất đẳng thức cuối cùng ta tìm được∥I2∥ ≤ const h (p−1)/p
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các điều kiện cần thiết để đảm bảo rằng nghiệm nhẹ của phương trình (3.26) là một nghiệm mạnh Định lý 3.1.8 chỉ ra rằng, với A là phần tử sinh của nửa nhóm giải tích (T(t))t≥0 trong không gian X, nếu f thuộc L1(0, τ : X) và tồn tại một δ1 > 0 cùng với một hàm liên tục Wt(τ) : [0, ∞)→[0, ∞) cho mọi 0 < t < τ, thì các điều kiện này sẽ được thỏa mãn.
Khi đó, ∀x∈X, nghiệm nhẹ của (3.26) cũng là một nghiệm cổ điển.
Chứng minh rằng T(t) là một nửa nhóm giải tích với điều kiện t ≥ 0, trong đó T(t)x là nghiệm của phương trình thuần nhất với giá trị ban đầu x cho mọi x thuộc X Theo Định lý 3.1.4, để hoàn tất chứng minh, cần xác nhận rằng v(t) = Rt.
0T(t−s)f(s)ds ∈D(A)với 0< t < τ vàAv(t)liên tục trên khoảng này Ta có: v(t) Z t 0
Theo ý b) của Định lý 2.1.4, ta có v2(t) thuộc D(A) và Av2(t) = (T(t)−I)f(t) Do f liên tục trên khoảng (0, τ), nên Av2(t) cũng liên tục trên (0, τ) Để chứng minh kết luận tương tự cho v1, chúng ta định nghĩa v1,ε(t) bằng cách tích phân từ 0 đến t−ε.
Từ định nghĩa này, rõ ràng làv 1,ε (t)→v 1 (t)khiε →0 Cũng rõ ràng làv 1,ε (t)∈D(A) và với t≥ε, ta có:
Từ đẳng thức (3.31) và đẳng thức (3.32), suy ra rằng với t > 0, Av1,ε(t) hội tụ khi ε→0 và ta có: limε→0Av 1,ε (t) Z t 0
Khi đó từ tính đóng của A suy ra v 1 (t)∈D(A)với t >0và
AT(t−s)(f(s)−f(t))ds (3.37) Để kết thúc phần chứng minh, ta phải chứng minh rằng Av 1 (t) liên tục trên (0, τ). Thật vậy, với 0< δ < t, ta có:
Tích phân thứ hai trong đẳng thức (3.38) là hàm liên tục của t, trong khi tích phân thứ nhất có giá trị O(δ) đều trên t với δ > 0 cố định Do đó, Av 1(t) là một hàm liên tục.
ChoI là một khoảng Một hàmf :I →X là liên tục H¨older với số mũϑ,0< ϑ 0, Au∈C ϑ ([δ, τ] :X) và du/dt ∈C ϑ ([δ, τ] :X).
(ii) Nếu x∈D(A) thì Au và du/dt liên tục trên [0, τ].
(iii) Nếu x= 0 và f(0) = 0 thì Au, du/dt∈C ϑ ([0, τ] :X).
Vì theo đẳng thức (3.42), AT(t)x là Lipschitz liên tục trên δ ≤t ≤τ, ∀δ >0 nên chỉ cần chứng minh rằngAv(t)∈C ϑ ([δ, τ] :X) Để đạt được mục đích này, chúng ta phân tíchv(t)như trước thành: v(t) =v 1 (t) +v 2 (t) Z t 0
Từ Bổ đề 3.1.2, ta suy ra Aϑ1(t)∈ C ϑ ([0, τ] : X) nên chỉ còn phải chứng minh rằng
Aϑ 2 (t)∈C ϑ ([δ, τ] :X),∀δ >0 NhưngAϑ 2 (t) = (T(t)−I)f(t)và vìf ∈C ϑ ([0, τ] :X) nên ta chỉ phải chứng minh rằng T(t)f(t) ∈ C ϑ ([δ, τ] : X), ∀δ > 0 Giả sử t ≥ δ và h >0thì:
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh bất đẳng thức ≤M Lh ϑ + c δh∥f∥∞ ≤C1h ϑ, sử dụng các đẳng thức (3.29) và (3.30) cùng với ký hiệu ∥f∥∞ = max0≤t≤T ∥f(t)∥ Điều này hoàn thành chứng minh cho phần (i) Để chứng minh phần (ii), chúng ta nhận thấy rằng nếu x ∈ D(A), thì AT(t)x ∈ C([0, τ] : X) Theo Bổ đề 3.1.2, Aϑ1(t) ∈.
C ϑ ([0, τ] :X) và do f liên tục trên [0, τ], chúng ta cần chứng minh rằng T(t)f(t) cũng liên tục trên [0, τ] Từ điều (i), có thể thấy rõ ràng rằng T(t)f(t) liên tục trên [0, τ] Tính liên tục tại t = 0 có thể dễ dàng suy ra từ điều này.
Để hoàn thành chứng minh (ii), ta có bất đẳng thức ∥T(t)f(t)−f(0)∥ ≤ ∥T(t)f(0)−f(0)∥+M∥f(t)−f(0)∥ Cuối cùng, để chứng minh (iii), ta chỉ cần xác nhận rằng trong trường hợp này, T(t)f(t) thuộc C ϑ ([0, τ] : X), và điều này có thể suy ra từ các kết quả đã được trình bày.
Z t+h t τ ϑ−1 dτ ≤Ch ϑ , và chứng minh hoàn tất.
Ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm toán tử đối với một số bài toán phương trình đạo hàm riêng
Phương trình sóng
Trong phần này, chúng ta xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sóng trong không gian R n , xét bài toán giá trị ban đầu sau:
Bài toán tương đương với hệ phương trình bậc nhất:
u 1 u 2 với x∈R n , t >0, (3.49) và u1(0, x) u 2 (0, x) u1(x) u 2 (x) với x∈R n Để áp dụng lý thuyết nửa nhóm toán tử, chúng ta chứng minh rằng toán tử
Toán tử sinh của một C0-nửa nhóm các toán tử trên không gian Banach là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết toán tử Bài toán (3.49) được coi là một trường hợp đặc biệt của bài toán Cauchy tổng quát (3.1) với A Việc nghiên cứu các toán tử này giúp hiểu rõ hơn về sự phát triển của các hàm trong không gian Banach.
Không gian hàm H 1 (R n ) được định nghĩa như sau: cho f ∈L 2 (R n )và cho fˆ(ξ) = (2π) −n/2
Biến đổi Fourier của hàm f(x) được biểu diễn bằng công thức R n e −ixãξ f(x)dx Hàm f thuộc không gian H k (R n ) nếu và chỉ nếu (1 +|ξ| 2 ) k/2 fˆ(ξ) thuộc L 2 (R n ) Đặc điểm này là hệ quả của đồng nhất thức Parseval và các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier.
Với một vector U = [u 1 , u 2 ]∈C 0 ∞ (R n )×C 0 ∞ (R n ), chúng ta định nghĩa chuẩn:
Dễ dàng để kiểm tra rằng việc hoàn tất không gian C 0 ∞ (R n )×C 0 ∞ (R n ) theo chuẩn
||| ã ||| chớnh là khụng gian Hilbert H =H 1 (R n )ìL 2 (R n ) Trong khụng gian Hilbert này, chúng ta định nghĩa toán tử A liên quan đến toán tử vi phân
D(A) =H 2 (R n )×H 1 (R n ), (3.52) và với U = [u 1 , u 2 ]∈D(A), ta định nghĩa:
AU =A[u 1 , u 2 ] = [u 2 , ∆u 1 ] (3.53) Để chứng minh rằng toán tử A được định nghĩa bởi (3.52), (3.53) là toán tử sinh
C 0 -nửa nhóm các toán tử trên H, chúng ta cần sử dụng một số kết quả sau.
Bổ đề 3.2.1 Nếu ν > 0 và f ∈ H k (R n ) với k ≥ 0, thì tồn tại duy nhất một hàm u∈H k+2 (R n ) thỏa mãn: u−ν∆u=f (3.54)
Chứng minh Giả sử fˆ(ξ) là biến đổi Fourier của f và đặt u(ξ) = (1 +˜ ν|ξ| 2 ) −1 fˆ(ξ).
Vì f ∈ H k (R n ), (1 +|ξ| 2 ) k/2 f(ξ)ˆ ∈ L 2 (R n ) và do đó (1 +|ξ| 2 ) (k+2)/2 u(ξ)˜ ∈ L 2 (R n ). Nếuu được xác định bởi u(x) = (2π) −n/2
R n e ixãξ u(ξ)˜ dξ, thìu∈H k+2 (R n )vàulà nghiệm của phương trình (3.54) Tính duy nhất nghiệmucủa phương trình (3.54) suy ra từ thực tế rằng nếuw∈H k+2 (R n )thỏa mãn w−ν∆w= 0, thì wˆ= 0 và do đó w= 0.
Bổ đề 3.2.2 Với mọi F = [f1, f2] ∈ C 0 ∞ (R n )×C 0 ∞ (R n ) và λ là số thực khác 0, phương trình
U −λAU =F (3.55) có một nghiệm duy nhất U = [u 1 , u 2 ]∈H k (R n )×H k−2 (R n ), ∀k ≥2 Hơn nữa,
Chứng minh Cho λ là số thực khác 0 và cho w 1 , w 2 là các nghiệm của w i −λ 2 ∆w i =f i với i= 1,2 (3.57)
Từ Bổ đề 3.2.1, rõ ràng rằng các nghiệm tồn tại và w i ∈ H k (R n ), ∀k ≥ 0 Đặt u1 =w1+λw2, u2 =w2+λ∆w1 Dễ dàng kiểm tra rằng U = [u1, u2]là một nghiệm của phương trình (3.55) và do đó u 1 −λu 2 = f 1 và u 2 −λ∆u 1 = f 2 Hơn nữa, U ∈
H k (R n )×H k−2 (R n ),∀k≥2 Ký hiệu(., ) 0 là tích vô hướng trong không gianL 2 (R n ), ta có:
Bổ đề 3.2.2 chứng minh rằng tập giá trị của toán tử I−λA bao gồm C 0 ∞ (R n )×C 0 ∞ (R n ) cho mọi số thực λ với điều kiện 0 < |λ| < 1 Do toán tử A được định nghĩa trong Định nghĩa 3.2.1 là một toán tử đóng, nên tập giá trị của I −λA là toàn bộ không gian.
Hệ quả 3.2.1 Với mọi F ∈H 1 (R n )×L 2 (R n ) và λ là số thực thỏa mãn 0 n 2 ,
(3.65) trong đó, C 1 và C 2 là hằng số phụ thuộc vào N và |α| Cho u ∈ H k (R n ) và u n ∈
C 0 ∞ (R n ) sao cho u n → u trong không gian H k (R n ) Khi đó, từ (3.65), ta suy ra rằng
D α u n → D α u đều trên R n đối với mọi α thỏa mãn |α| ≤ m < k − n 2 , và do đó u∈C m (R n ), ta có điều phải chứng minh.
Xét bài toán giá trị ban đầu (3.63) với f1, f2 ∈ C 0 ∞ (R n ) Rõ ràng, [f1, f2] ∈
, ∀k ≥1, trong đó A là toán tử được xác định trong Định nghĩa 3.2.1 Do đó, [u 1 , u 2 ] = T(t) [f 1 , f 2 ] ∈ D A k
, ∀k ≥ 1 và đặc biệt ∆ k u 1 ∈ L 2 (R n ), ∀k ≥ 0 Điều này suy ra rằng u1 ∈H k (R n ), ∀k ≥0, và từ Định lý 3.2.1, ta có thể kết luận rằng u1 là nghiệm của phương trình (3.63), thỏa mãn u 1 (t, x)∈C ∞ (R n ), ∀t≥0.
Phương trình Schr¨ odinger
Phương trình Schr¨odinger được cho bởi:
Phương trình ∂t = ∆u - V u, với V được gọi là thế năng, là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân thuần nhất trong bài toán Cauchy tổng quát Trong bài viết này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình này trong không gian Hilbert mà chưa xét đến điều kiện ban đầu.
H = L²(Rⁿ) là không gian Hilbert được xác định bởi toán tử A₀ liên quan đến toán tử vi phân i∆ Để giải phương trình vi phân (3.64), cần xác định toán tử (A₀ - iV) như một phần tử sinh của nửa nhóm trong không gian Hilbert H tương ứng Định nghĩa 3.2.2 chỉ ra rằng với D(A₀) = H²(Rⁿ) và u∈D(A₀), ta có thể tiếp tục nghiên cứu các thuộc tính của toán tử này.
Bổ đề 3.2.3 Toán tử iA 0 là tự đối xứng trong L 2 (R n ).
Chứng minh Tích phân từng phần, ta có
Toán tử iA 0 = −∆ là một toán tử đối xứng, và để chứng minh tính tự đối xứng của nó, cần chỉ ra rằng với mọi λ sao cho Imλ̸= 0, miền xác định của λI−iA 0 là trù mật.
L 2 (R n ) Nhưng, nếu f ∈ C 0 ∞ (R n ) thì, bằng cách sử dụng biến đổi Fourier, ta có thể suy ra rằng u(x) = (2π) −(n/2)
R n f(ξ)eˆ ixξ λ+|ξ| 2 dξ, (3.66) nằm trongD(A 0 ) = H 2 (R n )và nó là nghiệm của (λI−iA 0 )u=f Do đó, tập giá trị của λI−iA 0 chứa C 0 ∞ (R n ) và do đó trù mật trong L 2 (R n ).
Từ định lý của Stone (Định lý 2.3.1) ta có:
Hệ quả 3.2.3 cho biết A 0 là toán tử sinh của một nhóm các toán tử đơn vị trên L 2 (R n) Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét thế năng V và định nghĩa một toán tử V trong L 2 (R n).
Bổ đề 3.2.4 Cho V(x)∈L p (R n ) Nếu p > n/2 và p≥2, thì ∀ε >0, tồn tại hằng số C(ε) sao cho
∥V u∥ ≤ε∥∆u∥+C(ε)∥u∥ với u∈H 2 (R n ), (3.67) trong đú, chuẩn ∥ ã ∥ biểu thị là chuẩn L 2 trong R n
Chứng minh Nếuu∈H 2 (R n )thì(1 +|ξ| 2 ) ˆu(ξ)∈L 2 (R n ), và vì p > n/2nên ta cũng có (1 +|ξ| 2 ) −1 ∈ L p (R n ) Sử dụng bất đẳng thức H¨older và đẳng thức Parseval, với q= 2p/(2 +p), ta có:
Vì p ≥ 2, 1 ≤ q ≤ 2, và do đó theo định lý cổ điển của Hausdorff và Young, ta có
Thay hàmu(x)trong (3.68) bằng u(ρx), với tham sốρ >0, ta có thể chọnρ thích hợp để làm cho hệ số của∥∆u∥ nhỏ tuỳ ý Vớiε >0, ta chọnρ sao cho:
Cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức H¨older một lần nữa, ta có
∥V u∥ ≤ ∥V∥ 0, p ∥u∥ 0, r ≤ε∥∆u∥+C(ε)∥u∥, điều phải chứng minh. Định lý 3.2.3 ChoV(x)là số thực,V(x)∈L p (R n ) Nếu p > n/2, p≥2, thìA 0 −iV là một toán tử sinh của một nhóm các toán tử đơn vị trên L 2 (R n ).
Toán tử iA0 là tự liên hợp, và ±A0 là m-tán xạ Vì V(x) là số thực, nên toán tử V đối xứng, dẫn đến iA0 + V cũng là toán tử đối xứng Để chứng minh rằng nó là tự liên hợp, cần chỉ ra miền giá trị của nó.
I±(A0−iV)là toàn bộ trên L 2 (R n ) Thật vậy, vì±A0 làm-tán xạ và từ Bổ đề 3.2.4, ta có:
∥V u∥ ≤ε∥A 0 u∥+C(ε)∥u∥ với u∈D(A 0 ), kết hợp với Định lý 2.2.7, suy ra±(A 0 −iV)làm-tán xạ Do đó I±(A 0 −iV)là toàn ánh Vậy A0−iV là tự liên hợp
Nhận xét 3.2.1 Việc thêm vào V trong Định lý 3.2.3 một hàm thực V 0 sao cho
V 0 ∈ L ∞ (R n ) không ảnh hưởng đến kết quả của định lý, vì ±V0 là đối xứng và bị chặn, dẫn đến iA0 + V + V0 trở thành toán tử tự liên hợp Hơn nữa, miền giá trị của I ±(A 0 − iV − iV 0 ) bao trùm toàn bộ L 2 (R n ), điều này được suy ra từ kết quả tương tự với I ±(A 0 − iV).
Trong Đề án thạc sĩ, tôi đã trình bày chi tiết về nửa nhóm toán tử và phần tử sinh, bài toán Cauchy cùng ứng dụng của nó Chương 1 giới thiệu các khái niệm cơ bản trong Giải tích hàm, bao gồm không gian định chuẩn, toán tử tuyến tính liên tục và toán tử đóng, cùng mối liên hệ với toán tử bị chặn Những kiến thức này đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng lý thuyết cho các nội dung tiếp theo của đề án.
Chương 2:Đi sâu vào trình bày về nửa nhóm toán tử và phần tử sinh Đối với nội dung này thì tôi hệ thống kiến thức theo ba phần chính đó là khái niệm và tính chất của nửa nhóm toán tử; các định lý cơ bản về nửa nhóm toán tử và nửa nhóm toán tử tự liên hợp.
Chương 3: Tập trung trình bày về các bài toán Cauchy tổng quát theo hướng áp dụng lý thuyết nửa nhóm toán tử và ứng dụng của nó Đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm toán tử đối với một số bài toán trong phương trình đạo hàm riêng dạng phương trình sóng và phương trình Schr¨odinger.
Dựa trên các nghiên cứu và kết quả đạt được, tôi đã xây dựng một nền tảng lý thuyết và kiến thức hợp lý cho Đề án “NỬA NHÓM TOÁN TỬ VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” Đề án này thể hiện sự nỗ lực học hỏi của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Mai Thành Tấn Mặc dù đã cố gắng, do hạn chế về thời gian và công việc cá nhân, Đề án vẫn còn một số thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các thầy cô và bạn học viên để hoàn thiện Đề án này hơn nữa.