SKKN 2014: KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN NHẰM RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ TÍNH TÍCH CỰC SÁNG TẠO TRONG HÌNH HỌC CHO HỌC SINH LỚP 7

KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN NHẰM RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ TÍNH TÍCH CỰC SÁNG TẠO TRONG HÌNH HỌC CHO HỌC SINH LỚP 7 A Đặt vấn đề: Trong trường THCS bộ môn toán là một trong những bộ môn được coi trọng, vì nó là bản lề cho học sinh học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Để thực hiện mục đích giảng dạy hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học với hướng đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hoá hoạt động học B. Giải quyết vấn đề. I. Cơ sở lý luận và thực tiễn: Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS tôi thấy hiện nay đa số học sinh sợ học môn Hình học. Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa có phương pháp học phù hợp, nhiều em chưa thực sự hứng thú học tập bộ môn vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù bộ môn, sự hứng thú với môn hình học là hầu như không có. Có nhiều nguyên nhân, trong đó có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau: Đặc thù của bộ môn hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng này học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic. kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là học sinh lớp 7 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Các em đang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh hình học hoàn chỉnh . Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào. Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào lĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề mới từ bài toán cơ bản. Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để có kết qủa giáo dục tốt còn hiều hạn chế. Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý về phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề. Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với bộ môn Hình Học do thiếu sự tự tin và niềm đam mê. III. Quá trình thực nghiệm giải pháp mới : Bài toán xuất phát: Cho tam giác ABC cân tại A, trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh: tam giác AMN cân Đối với bài toán này dễ dàng định hướng cho HS hai cách chứng minh sau: Cách 1: Cm: (c.g.c) Cách 2: Cm: (c.g.c) Từ bài toán xuất phát trên ta có thể khai thác và phát triển bài toán theo các định hướng sau: ĐỊNH HƯỚNG 1: KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ TẠO TÌNH HUỐNG MỚI

phòng giáo dục & đào tạO QUỲ HỢP

TRƯỜNG THCS NGHĨA XUÂN - 

 -KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN NHẰM RẩN LUYỆN TƯ DUY

VÀ TÍNH TÍCH CỰC SÁNG TẠO TRONG HèNH HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 7

NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN TRUNG THÀNH

TỔ KHOA HỌC: TOÁN – LÍ

Nghĩa Xuõn, ngày 24 thỏng 03 năm 2014

Năm học: 2013- 2014

A- Đặt vấn đề:

Trong trường THCS bộ môn toán là một trong những bộ môn được coi trọng,

vì nó là bản lề cho học sinh học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác Để thực hiện mục đích giảng dạy hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học với hướng đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Do đó việc giảng dạy Toán

ở Trường THCS là vấn đề hết sức nặng nề Nhất là đối với học sinh bậc THCS hiện nay thì phân môn Hình học là môn học được xem là khó nhất, trừu tượng nhất Để học sinh hiểu thấu đáo các vấn đề về hình học, có lòng đam mê, hứng thú với bộ môn, đòi hỏi người giáo viên giảng dạy phải hết sức nhạy bén với sự thay đổi của dạng toán từ đó có phương pháp phù hợp với mỗi loại toán khác nhau và với các đối tượng học sinh của mình

Đặc biệt để rèn luyện cho học sinh vận dụng các kiến thức cơ bản đã học vào giải bài tập hình một cách linh hoạt, hợp lý, biết xem xét một bài toán với nhiều góc độ tư duy, rèn khả năng kẻ thêm yếu tố phụ để có thể tạo tính chất mới, thêm bớt dữ kiện của bài toán để tạo vấn đề hoặc xem xét bài toán trong các trường hợp đặc biệt thông qua việc đặc biệt hóa bài toán hình học sẽ khơi dậy và kích thích các em hứng thú và đam mê bộ môn hơn

B Giải quyết vấn đề.

I Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS tôi thấy hiện nay đa số học sinh

sợ học môn Hình học Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa

có phương pháp học phù hợp, nhiều em chưa thực sự hứng thú học tập bộ môn vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù bộ môn, sự hứng thú với môn hình học là hầu như không có Có nhiều nguyên nhân, trong đó có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:

- Đặc thù của bộ môn hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng này học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là học sinh lớp 7 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học Các em đang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh hình học hoàn chỉnh Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào

- Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào

lĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn

đề mới từ bài toán cơ bản

- Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để có kết qủa giáo dục tốt còn hiều hạn chế

- Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý

về phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề

- Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với bộ môn Hình Học do thiếu

sự tự tin và niềm đam mê

II Giả thuyết :

+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán ở SGK Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này

+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn

- Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

- Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho các em

Đây là kinh nghiệm của bản thân tôi trong giảng dạy toán ở THCS cũng như dạy toán 7 nói riêng Chắc chắn trong bài viết này còn nhiều điều chưa thật đầy đủ ,chưa thật phù hợp với đối tượng học sinh của bạn đọc Do đó tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp ,của Hội đồng bộ môn Toán và quý

vị đọc bài viết này Xin chân thành cám ơn

Trong quá trình trình bày tôi chỉ xin đưa ra các định hướng phát triển bài toán

và trình bày giải một cách vắn tắt mà không đi giải củ thể chi tiết bài toán, cũng như các định hướng gợi ý cho HS chứng minh để bài viết không quá dài dòng

Một số ký hiệu dùng trong bài viết C/m: Chứng minh

GV: Giáo viên

HS: Học sinh

III Quá trình thực nghiệm giải pháp mới :

Bài toán xuất phát:

Cho tam giác ABC cân tại A, trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

Chứng minh: tam giác AMN cân

Đối với bài toán này dễ dàng định hướng

cho HS hai cách chứng minh sau:

Từ bài toán xuất phát trên ta có thể khai thác và phát triển bài toán theo các định hướng sau:

ĐỊNH HƯỚNG 1: KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ TẠO

TÌNH HUỐNG MỚI

GV đặt vấn đề dẫn dắt HS khai thác bài toán.

 Kẻ BH AM, CK AN.

So sánh độ dài hai đoạn thẳng BH và CK?

Ta xem yêu cầu của bài toán ở trên là câu 1.1 ta đề xuất thêm yêu cầu mới

Câu 1.2 Kẻ BH AM, CK AN

Chứng minh: BH = CK

Gv có thể đặt câu hỏi:

? Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng

nhau ta thường sử dụng phương pháp

nào?

(Gắn vào hai tam giác rồi c/m hai tam

giác đó bằng nhau)

? Ta có thể gắn hai đoạn thẳng trên vào những tam giác nào và nêu cách c/m

Từ đó định hướng để HS đưa ra hai cách c/m

Cách 1: C/m: (cạnh huyền – góc nhọn)

Cách 2: C/m: (cạnh huyền – góc nhọn)

Cả hai cách giải trên đều sử dụng kết quả của câu 1 và giải theo phương pháp thường dùng GV có thể đưa ra thêm câu hỏi sau

Ngoài hai cách c/m trên ta có thể có cách c/m nò khác không?

( )

A

( )

K H

A

Nếu hai tam giác bằng nhau thì các yếu tố tương ứng của hai tam giác có bằng nhau không?

Cách 3: Vì (theo câu 1) SABM = SACN BH = CK

( Hai tam giác bằng nhau thì đường cao tương ứng bằng nhau)

 GV tiếp tục đặt ra thêm tình huống kéo

dài HB và KC cắt nhau tại O Có nhận

xét gì về tính chất của tam giác OBC?

(Cân tại O)

Từ đó đề xuất thêm yêu cầu.

Câu1.3 Gọi O là giao điểm của HB và KC.

Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?

Định hướng c/m:

Cách 1: Theo cách 1 câu 1.2 ta có

B2 = C2 B3 = C3 đpcm

Cách 2: Theo cách 2 câu 1.2 ta có: HBA = KCA mà B1 = C1 (gt)

B3 = C3 đpcm

 Trên hình vẽ có thể có những tam giác nào cân tại đỉnh O?

Từ đó đưa thêm yêu cầu mới cho bài toán như sau.

Câu 1.4 Chứng minh: các tam giác OHK và OMN cân

Định hướng c/m:

+ Theo câu 1.2 ta có HB = KC; Theo câu 1.3 ta có OB = OC

từ đó suy ra OH = OK tam giác OHK cân tại O

+ Chứng minh được (c.g.c) OM = ON

tam giác OMN cân tại O

 So sánh độ dài hai đoạn thẳng HN và KM?

Câu 1.5 Chứng minh HN = KM.

Định hướng c/m:

Sử dụng tính chất tam giác cân ta có

AH = AK ; AM = AN

từ đó suy ra (c.g.c)

Suy ra HN = KM

GV có thể hỏi thêm: tương tự có thể c/m

HC = KB không?

3 2 1 3

O

K H

A

( )

O

K H

A

 Kẻ AO có dự đoán gì về mối quan hệ của tia AO và góc MAN?

Câu1.6 Chứng minh AO là tia phân

giác của góc MAN.

Định hướng c/m:

Cách 1: (c.c.c)

Cách 2: (c.c.c)

 Có nhận xét gì về quan hệ của

HK và MN?

Câu 1.7 Chứng minh HK // MN.

Định hướng c/m:

GV cho HS nhận xét tính chất của tia

AO trong các tam giác cân HAK và MAN từ đó suy ra HK và MN cùng vuông góc với AO nên HK // MN

 Có thể kết luận gì về quan hệ của đường thẳng AO với các đoạn thẳng HK ,

MN và BC?

Câu 1.8 Chứng minh: AO là trung trực của HK và MN.

Định hướng c/m:

Vì AO là phân giác của góc MAN nên ta

dễ dàng chứng minh

(c.g.c)

suy ra AP là trung trực của HK

Tương tự (c.g.c)

suy ra AQ là trung trực của MN

(Kiến thức vận dụng ở đây chỉ đưng lại ở

chương II)

* Nếu dạy sau khi đã học chương III thì có thể dùng tính chất: Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh cũng là đường cao, đường trung tuyến

và là đường trung trực và có thể đề xuất thêm yêu cầu sau.

Câu 1.9 Chứng minh: AB OM ; AC ON

Định hướng c/m: Sử dụng tính chất ba đường cao đồng quy trong tam giác

ĐỊNH HƯỚNG 2: ĐẶC BIỆT HÓA BÀI TOÁN

3 2 1 3

O

K H

A

( )

Q P

O

K H

A

1 600 2

1 2 3 3

2 1

K H

O

N M

A

Từ giả thiết của bài toán xuất phát ta bổ sung thêm điều kiện để bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt bằng cách sau

BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = BC = CN

Câu 2.1 Tính số đo các góc của tam giác AMN.

Định hướng:

Qua yêu cầu trên có thể củng cố khắc sâu cho HS các tính chất và kiến thức quan trọng như:

- Tam giác cân có một góc 600 là tam giác đều

- Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề nó

 Tam giác OBC có gì đặc biệt không?

Câu 2.2 Tam giác BOC là tam giác gì? Vì sao?

Định hướng:

 Có nhận xét gì về các tam giác AMO , ANO và OHK ?

Câu 2.3 Chứng minh các tam giác

AMO và ANO là tam giác đều

Định hướng c/m:

C/m được (c.g.c)

Cân có MAO = 600

đều

C/m tương tự ta có đều

 Tam giác AMC có thể là tam giác vuông không?

1 600 2

1 2 3 3

K H

O

N M

A

Câu 2.4 Chứng minh AM AC

Định hướng c/m: Theo câu 2.1 ta có A1 = 300 mà BAC = 600 (gt)

Suy ra MAC = 900 hay AM AC

 Trên hình vẽ có những tam giác nào vuông tại đỉnh A?

Câu 2.5 Chứng minh:

Định hướng c/m:

Tương tự câu 2.3 ta có tam giác

ABN vuông tại A nên

BN2

= AB2 + AN2

AN2

= BN2 - AB2 = 3AB2

= 3AC2

 Gọi Q là giao điểm của AO và MN Hãy nêu dự đoán của em về quan hệ của đoạn thẳng QK với đoạn thẳng AM?

Câu 2.6 Chứng minh QK // AM và

Định hướng c/m:

Ta có đều KA = KN mà vuông tại Q

Mặt khác cân tại K có QAK = 600 nên là tam giác đều

QK AC QK // AM

 Gọi I là giao điểm của AC với ON Ba điểm H, Q, I có thể nằm trên một đường thẳng không?

Câu 2.7 Gọi I là giao điểm của AC

và ON Chứng minh ba điểm H, Q,

I thẳng hàng

Định hướng c/m:

Cách 1: C/m cân tại H

HQM = 300

C/m đều OQI = 600

Mà OQM = 900

Suy ra HQM + MQI = 1800 hay ba điểm H, Q, I thẳng hàng

Cách 2: C/m HQ // AN , QI // AN ( sử dụng cặp góc đồng vị bằng nhau)

1 600 2

1 2 3 3

2 1

Q

K H

O

N M

A

1 600 2

1 2 3 3

2 1

I Q

K H

O

N M

A

1 600 2

1 2 3 3

P

Q

K H

O

N M

A

Theo tiên đề Ơclit suy ra ba điểm H, Q, I thẳng hàng

 Gọi J là trung điểm của OM.

Khi đó: Ba điểm A, B, J có thẳng hàng không?

Ba điểm K, Q, J có thẳng hàng không?

Câu 2.8 Gọi J là trung điểm của OM chứng minh ba điểm A, B, J thẳng hàng ( Trường hợp K Q, J thẳng hàng chứng minh tương tự như câu 2.7)

Định hướng c/m:

Ta có đều nên chứng minh

được AJ là phân giác của góc MAO

Mặt khác AB cũng là phân giác của

góc MAO nên 2 điểm B và J cùng

nằm trên tia phân giác của góc MAO

nên ba điểm A, B, J thẳng hàng

 Ở bài toán trước ta đã C/m

được HK // MN trong trường hợp đặc biệt này HK và MN có thể có thêm tính chất gì mới nữa không?

Câu 2.9 Chứng minh:

Định hướng c/m:

C/m đều suy ra HK = HO

C/m HO = MQ Mà từ đó suy ra

Câu 2.10 Giả sử BC = 4 cm Tính diện tích và chu vi tam giác HOK.

Định hướng giải:

Ta có MN = 12cm

HK = 6cm

Vì tam giác OHK đều

Chu vi tam giác OHK: 18cm

Gọi P là giao điểm AO và HK

HP = 3cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông

OHP ta tính được OP = cm SOHK = 3 (cm2)

Câu 2.11 So sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AMON?

1 600 2

1 2 3 3

2 1

Q

K H

O

N M

A

Định hướng giải:

Cách 1: Dựa vào các tam giác vuông bằng nhau trên hình so sánh được

SAMON = 6.SABC

Cách 2: Tính diện tích các tam giác đặc biệt rồi lập tỉ số để đi đến kết luận

SAMON = 6.SABC

* Qua việc kẻ thêm đường phụ một cách có chủ ý hoặc đặc biệt hóa bài toán ta có thể khai thác mở rộng phát triển từ một bài toán đơn giản mà có thể đưa ra những yêu cầu mới đa dạng, phong phú Vừa hệ thống lại được các kiến thức cơ bản vừa nâng cao khả năng vận dụng một cách có trình tự logic nhằm phát huy tính sáng tạo cho HS, không chỉ dừng lại ở việc giải một bài toán mà qua hoạt động trên HS thấy được sự liên kết xâu chuỗi của các kiến thức, những tính chất có tính hệ quả, kế thừa trong toán học và sự thú vị khi phát hiện những vấn

đề mới trên những vấn đề cũ

Trong quá trình trình bày ở trên tôi chỉ nêu ra các vấn đề và chọn một vài cách giải đặc trưng và cũng chỉ định hướng giải vắn tắt Một số trường hợp vẫn còn cách giải khác nhưng tôi không đưa ra vì tránh bài viết quá dài dòng.

Kiến thức vận dụng ở đây tôi chỉ dừng lại với thời điểm học sinh học xong chương II Hình Học 7.

Vẫn có thể còn định hướng khai thác bài toán xuất phát theo định hướng thay đổi dữ kiện bài toán bằng cách không lấy hai điểm M và N ở phía ngoài mà lấy trên đoạn BC sao cho BM = CN khi đó các yêu cầu của định hướng 1 vẫn đúng Tuy nhiên cần lưu ý cho HS có hai trường hợp xảy ra đó là:

MB = CN < BC và MB = CN > BC

Trường hợp này GV có thể nêu ra cho HS tự nghiên cứu tìm hiểu nhằm rèn luyện cho HS có ý thức xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, hình thành kĩ năng xét các trường hợp có thể xảy ra Một trong những kĩ năng mà HS thậm chí ngay cả một

số GV cũng ít khi nghĩ đến.

Trong bài viết này tôi đang xây dựng kiến thức theo mạch sắp xếp từ dễ đến khó, các yêu cầu sau được giải quyết có tính kế thừa các yêu cầu trước đó Tùy vào đối tượng học sinh và thời lượng dạy học mà GV chọn lựa vận dụng một cách hợp lý Chẳng hạn: Với tiết ôn tập chương II hình học 7( tiết 2) nếu đối tượng học sinh đại trà có mức độ đa số là HS trung bình thì GV nên chọn lựa theo định hướng 1 và chú trọng việc hướng dẫn HS phân tích bài toán để tìm lời giải và trình bày chứng minh, những yêu cầu nào có tính tương tự cho HS về nhà làm

Với HS là đối tượng Khá - Giỏi giáo viên không nên đưa ra tất cả các yêu cầu theo trình tự trên mà chọn lọc một cách thích hợp bỏ một số câu có tính gợi

mở cho câu sau, có thể xen kẽ một cách hợp lý cả hai định hướng trên nhằm kích

thích sự tìm tòi khai thác bài toán để các em có cảm giác mình là người khám phá

ra kiến thức mới.( chẳng hạn bỏ câu 2.4 yêu cầu ngay câu 2.5)

- Việc phát triển một bài toán phù hợp với học sinh trung bình chỉ nên dừng ở mức độ tái hiện, củng cố và khắc sâu hơn các kiến thức cơ bản đã học, các vấn đề đưa ra không quá khó với mục đích là học sinh có thể tự giải quyết được, từ đó tạo sự tự tin cho các em trong học tập và giải toán

- Việc khai thác bài toán này với mức độ từng bước nâng dần như trên vừa tổng hợp được các kiến thức quan trọng vừa hoc trong chương vừa tái hiện, xâu chuỗi được các kiến thức đã học trước đây Từ đó giúp học sinh thấy được sự đa dạng

và lí thú của toán học, tạo cho các em có sự hứng thú trong học tập và thêm yêu thích bộ môn hơn

- Với mức độ yêu cầu như trên ta có thể còn nhiều cách khai thác và có thể đề xuất theo nhiều hướng khác nhau và cách giải khác nhau Nhưng ở đây tôi chỉ đề xuất theo trình tự yêu cầu mức độ kiến thức tăng dần và có sự liên hệ giữa câu sau với câu trước Kiến thức vân dụng chủ yếu ở chương II Hình học 7

KẾT QUẢ SAU KHI THỰC HIỆN

Số học

KT đầu năm

KT trước tác động

KT sau tác động

KT đầu năm

KT trước tác động

KT sau tác động