Skkn phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Hà Ngọc Long Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU - 1

1.1 Lí do chọn đề tài - 1

1.2 Mục đích nghiên cứu - 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu - 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu - 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm - 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 2.3.1 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

-Hệ thống kiến thức về khoảng cách trong không gian

-3 3 2.3.2 Phương thức 1: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các bài toán về hình chóp. - 6

2.3.3 Phương thức 2: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các bài toán về hình lăng trụ - 11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường - 15

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - 16

3.1 Kết luận - 16

3.2 Kiến nghị - 17

Tài liệu tham khảo

-18 Danh mục các đề tài SKKN - 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trongquá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìmhiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiếnthức và các đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục Việt Nam có viết:

“Phương pháp giáo dục Phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ độngsáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡngphương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong thời gian giảng dạy, tôiluôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đốitượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, kỹ năng giải toán cho học sinh mộtcách tốt nhất

Ngày nay trong đổi mới giáo dục toán học ở Việt Nam đã đặc biệt quan tâmđến phát triển năng lực của học sinh Các năng lực then chốt như: Năng lực tự chủ

và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo,năng lực tính toán, Việc nghiên cứu phương pháp tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau trong không gian góp phần hình thành và phát triển cácnăng lực nói trên đặc biệt là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Để có năng lựccần phải có tri thức Tri thức toán học nói chung, tri thức về khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau trong không gian đóng vai trò là điều kiện thúc đẩy cáchoạt động nhằm phát triển các năng lực của người học Chính vì lí do nói trên, tôichọn đề tài:

“Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Việc nghiên cứu đề tài với mục tiêu sau:

Bổ sung một số kĩ thuật để giải một số dạng toán về khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau nhằm làm phong phú thêm vai trò của phương pháp tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Đề tài cũng đặc biệt quan tâm việc phát triển và mở rộng các bài toán trongchương trình Phổ thông nhằm góp phần phát triển cho học sinh năng lực giải quyếtvấn đề và sáng tạo

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu vai trò của phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳngchéo nhau trong trường Phổ thông.

Nghiên cứu các phương thức mở rộng và phát triển các bài toán trongchương trình trung học Phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

a, Nghiên cứu tài liệu, nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp tính khoảng cáchgiữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình toán học Phổ thông

b, Điều tra

- Thực dạy và kết quả kiểm tra

- Đàm thoại:

+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp

+ Trao đổi với các em học sinh về cách học

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trong học tập cũng như trong cuộc sống, học sinh sẽ gặp các tình huống cóvấn đề cần giải quyết Việc nhận ra tình huống có vấn đề và giải quyết các tìnhhuống đó một cách thành công chính là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là khả năng của học sinh nhận ra các mâuthuẫn nhận thức trong các vấn đề học tập hoặc trong các vấn đề trong cuộc sống vàtìm ra được phương pháp để giải quyết mâu thuẫn, vượt qua các khó khăn và trởngại, từ đó học sinh tiếp thu được kiến thức, kĩ năng mới hoặc giải quyết vấn đềtrong thực tiễn

Sách giáo khoa và nhiều tài liệu đã trình bày kiến thức về phương pháp tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Tuy nhiên với thờilượng chương trình còn ít nên chưa đề cập sâu được các kiến thức cũng như hệthống bài tập áp dụng phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau trong không gian Trong khuôn khổ đề tài này, tôi bổ sung thêm một số kiếnthức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian đồng thờichọn lọc một số bài toán mà trước đây các tác giả đã giải bằng các cách khác, tôihướng dẫn học sinh giải bằng cách phù hợp hơn Như vậy học sinh không chỉ giảitheo một cách giải cũ mà luôn tìm tòi các cách giải mới Qua đó phát triển đượcnăng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cũng như phát triển được năng lực học tập

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong chương trình toán học lớp 11, nội dung khoảng cách được đánh giá làmột nội dung quan trọng và khó với học sinh Mặc dù số tiết phân phối chươngtrình ít nhưng chúng ta thấy dạng toán khoảng cách, đặc biệt là bài toán tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian luôn gặp trong các

đề thi Có thể nói khó khăn chung của học sinh khi học hình không gian là kĩ năngdựng hình, đọc hình, làm sao để bóc tách hình không gian đưa về áp dụng kiến thứchình học phẳng Riêng với bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau trong không gian, một khó khăn nữa là học sinh cần tìm tòi phát hiện và dựngđược đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng; hoặc chuyển về bài toán tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để khắc phục những hạn chế đã nêu trên, trong đề tài này tôi hệ thống kiếnthức về khoảng cách, nêu các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳngchéo nhau trong không gian đồng thời chọn lọc các ví dụ, bài tập áp dụng phù hợpvới đối tượng học sinh mà mình phụ trách Thông qua đó sẽ phát triển được nănglực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh, giúp các em vững tin hơn khi giảiquyết các bài toán tính khoảng cách trong không gian

2.3.1 Hệ thống kiến thức về khoảng cách trong không gian.

2.3.1.1 Vai trò của việc thực hiện phương thức

Việc thực hiện phương thức đề ra nhằm vào các mục đích sau:

- Mở rộng tiềm năng huy động kiến thức khoảng cách trong không gian

- Nhằm nhìn nhận một cách tổng quan các dạng toán tính khoảng cách

2.3.1.2 Nội dung cụ thể:

* Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông

góc chung của hai đường thẳng đó [1].Cho là hai đường thẳng chéo nhau

Ta có nếu:

thì

b B



* Các phương pháp thường dùng để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian:

Phương pháp 1: Sử dụng trực tiếp định nghĩa

Bước 1 Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bước 2 Tính độ dài đoạn thẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Để giải tốt dạng toán này, chúng ta cần lưu ý một số kiến thức sau:

- Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với nằmtrong thì song song với mặt phẳng

- Cách dựng mặt phẳng chứa 1 đường thẳng

và song song với đường thẳng còn lại:

+ Cho hai đường thẳng chéo nhau Có duy

M

a

b H



a

b N

và song song với đường thẳng kia.

+ Cách dựng: Lấy điểm bất kì thuộc Qua kẻ đường thẳng

Gọi là mặt phẳng xác định bởi và Khi đó

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

Cho đường thẳng song song với mặt phẳng



A I

Dạng toán 2 Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các bài toán về hình lăng trụ.

2.3.2 Phương thức 1: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các bài toán về hình chóp.

2.3.2.1 Vai trò của việc thực hiện phương thức 1

- Thực hiện phương thức này giúp học sinh biết cách giải quyết vấn đề và phát triểncách giải quyết vấn đề một cách sáng tạo

- Tăng cường cơ sở định hướng cách huy động đúng đắn kiến thức cho việc lậpluận giải các dạng toán tính khoảng cách

2.3.2.2 Nội dung cụ thể:

Sau đây là một số ví dụ minh họa được lấy từ các nguồn tài liệu, các đề thi trongnhững năm gần đây và các ví dụ do bản thân tự làm, tự nghiên cứu

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,

và Hãy tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau và [3].Phân tích: Nhận thấy tức là đường thẳng Chính vìvậy bài này chúng ta sử dụng phương pháp 1 Để dựng được đoạn vuông góc chungcủa 2 đường thẳng và ta chỉ cần dựng trong mặt phẳng đườngthẳng Dễ dàng chứng minh được là đoạn vuông góc chungcủa 2 đường thẳng và

S

Ví dụ 2 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Gọi lần lượt

là trung điểm của và là giao điểm của và Biết

và Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau và [3].Phân tích: Với bài này chúng ta cần sử dụng tính chất của hình vuông như sau: Cho hình vuông có lần lượt là trung điểm của và là giaođiểm của và Ta có: Từ đây ta dễ dàng chứng minh được

Chính vì vậy bài này chúng ta sử dụng phương pháp 1 Để dựngđược đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng và ta chỉ cần dựng trongmặt phẳng đường thẳng Khi đó là đoạn vuông gócchung của 2 đường thẳng và

N

Suy ra Vậy

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh

Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau và [2].Phân tích: Với bài này chúng ta cần khai thác giả thiết sau:

Ta có: đều, gọi là trọng tâm Khi đó theo giả thiết

những phân tích trên ta thấy bài này sử dụng phương pháp 2

C B

S

K

H

Với những phân tích trên ta thấy bài này sử dụng phươngpháp 2.

Lời giải: Gọi là trung điểm cạnh

bằng là trung điểm của là điểm thuộc cạnh sao cho

Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và [3].Phân tích: Gọi là trung điểm cạnh Gọi là trung điểm cạnh Ta có:

Với những phân tích trên ta thấy bài này sử dụng phương pháp 2

Lời giải:

Ta có:

+ Ta có

Theo giả thiết thì

+ Xét tam giác vuông tại

có

+ Xét tứ diện có 3 cạnh đôi một vuông góc nhau tại Ta có:

B O

A

C

M

J I

H

C D

S

F

K

Suy ra Vậy

Để có thể làm rõ thêm cách áp dụng các phương pháp trong chuyên đề này, tôi đưa

ra một số bài tập như sau:

Bài 2 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng

vuông góc với mặt phẳng đáy và Gọi lần lượt là trung điểm của

và Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và [5]

Kết quả:

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng Gọi

lần lượt là trung điểm các cạnh và Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng và [5]

Kết quả:

Bài 4 Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và Biếttam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy;góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng và [5]

Kết quả:

Bài 5 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật cácmặt bên là các tam giác vuông tại Góc tạo bởi cạnh và mặt

đáy bằng Gọi là trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách giữa haiđường thẳng và [5].

Kết quả:

2.3.3 Phương thức 2: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các bài toán về hình lăng trụ.

2.3.3.1 Vai trò của việc thực hiện phương thức 2

- Thực hiện phương thức này giúp học sinh biết cách giải quyết vấn đề và phát triểncách giải quyết vấn đề một cách sáng tạo

tức là đường thẳng Chính vì vậy bài này ta sử dụng phươngpháp 1 Để dựng được đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng và tachỉ cần dựng trong mặt phẳng đường thẳng Dễ dàngchứng minh được là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng và

Phân tích: Gọi là trung điểm suy ra Khi đó:Lời giải: Gọi là trung điểm suy ra Khi đó:

Như vậy với bài toán này chúng ta sửdụng phương pháp 3:

Lời giải: Gọi lần lượt là trung điểm

Vậy

Ví dụ 4 Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và [5].Phân tích: Dựng hình thoi suy ra

Như vậy với bài toán này chúng ta sử dụng phương pháp 2:

+ Xét tam giác đều cạnh ta có

+ Xét tam giác vuông tại có là đường cao Áp dụng công thức ta có:

Vậy

Ví dụ 5 Cho lăng trụ tam giác biết độ dài các cạnh bên bằng

hai đường thẳng và [3].Phân tích: Lăng trụ tam giác suy ra

Như vậy với bài toán này chúng ta sử dụng phương pháp 2:

Lời giải:

nên vuông tại

Mặt khác vuông tại nên nếu gọi là trung điểm thì

+ Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng thì sẽ là tâm của đườngtròn ngoại tiếp

+ Lại có cân tại

S

C H

A

C

K

+ Trong tam giác vuông tại dựng đường cao Dễ dàng chứng minhđược Áp dụng công thức:

Vậy

Để có thể làm rõ thêm cách áp dụng các phương pháp trong chuyên đề này, tôi đưa

ra một số bài tập như sau:

Bài 3 Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi lần lượt

là trung điểm của và Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài 5 Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều, và

Biết khoảng cách giữa và là Tính cạnh đáy của hìnhlăng trụ theo và [4]

Kết quả:

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

* Bản thân:

Khi nghiên cứu về bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau, bản thân đã được bổ sung thêm những kiến thức mới về khoảng cách trongkhông gian Qua đó thấy được vai trò của phương pháp tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau trong chương trình toán Phổ thông Đặc biệt có thể dựa vàophương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

để giải quyết một số bài toán mà lâu nay các tác giả sử dụng cách giải khác Từ đó

đã giúp bản thân có thêm những kinh nghiệm trong việc giải quyết vấn đề và sángtạo khi tính khoảng cách cũng như giải các bài toán trong chương trình Phổ thông

* Học sinh:

Thông qua đề tài này học sinh đã phần nào bỏ bớt đi tính thụ động trong giải toán Một bài toán đặt ra có nhiều cách giải khác nhau Học sinh phải luôn tìm tòi,sáng tạo để tìm ra cách giải hay nhất Giải bài toán tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau trong không gian giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắchơn, tổng quan hơn về bài toán tính khoảng cách; thấy được vai trò của phươngpháp tính khoảng cách trong không gian Qua đó phát triển được năng lực giảiquyết vấn đề và sáng tạo khi học bài khoảng cách cũng như học tập môn toán

Học sinh học tập có nhiều tiến bộ và thu được kết quả khả quan Điểm tổngkết môn toán của 2 lớp 11 năm học 2021-2022 mà bản thân phụ trách:

Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinh