Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thông

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thôngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG

TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Mai Sỹ Thủy Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong toán học phổ thông, các bài toán về phương trình và bất phương trình,

hệ phương trình chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các

kỳ thi tuyển sinh các cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia… Điều tất nhiên khi gặp những bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình không ở dạng cơ bản học sinh phải mất rất nhiều thời gian, công sức

để giải quyết nó Đối với những bài toán đó đề bài tuy được phát biểu hết sức ngắn gọn, sáng sủa và đẹp đẽ nhưng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải Đứng trước vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giúp học sinh tìm tòi có hướng phán đoán, có phương pháp giải quyết vấn đề tốt nhất Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạn năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán Trong khi đó việc giảng dạy toán học nói chung và trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết Trong bài viết này, dựa trên kinh nghiệm một số năm giảng dạy, luyện thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tôi xin nêu lên một vài hướng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương

trình, hệ phương trình với đề tài “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thông”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Như chúng ta đã biết khi đứng trước một bài toán thông thường phải nghiên cứu, chuyển về bài toán quen thuộc, đã biết nếu có thể Tuy nhiên việc chuyển về những bài toán quen thuộc không phải lúc nào cũng làm được Chính vì vậy, việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thông”, sẽ giúp cho học sinh khi gặp một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ở dạng chưa quen, đã dùng các phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học… mà vẫn chưa giải được thì có một hướng suy nghĩ tiếp theo là sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết bài toán đó

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài sẽ nghiên cứu về sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số vào việc giải một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong đề tài tác giả đã xây dựng phương

pháp trên cơ sở lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến

Sáng kiến này dựa trên cơ sở lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số Cụ thể:

Ta xét D là một trong các tập con dưới đây của R: ( ; ), a b [ ; ), a b ( ; ],a b

(   ; ), (a   ; ],a ( ;a  ), [ ;a   ), R

i) Đồng biến trên D nếu x x1 ; 2 D x; 1 x2 thì f x( ) 1  f x( ) 2

ii) Nghịch biến trên D nếu x x1 ; 2 D x; 1 x2 thì f x( ) 1  f x( ) 2

Hàm số f x( ) đồng biến hoặc nghich biến trên D được gọi chung là đơn điệu trên D

i) Nếu f x'( ) 0;   x D thì hàm số f x( ) đồng biến trên D

ii) Nếu f x'( ) 0;   x D thì hàm số f x( ) đồng biến trên D

(Dấu " "  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên D)

2.1.3 Một số tính chất được sử dụng trong chuyên đề này

trình ( ) 0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc D

Tính chất 2: Nếu phương trình f x '( ) 0có một nghiệm trên tập ( ; )a b thì phương trình f x ( ) 0có nhiều nhất hai nghiệm trên ( ; )a b

Tính chất 3: Nếu hàm số f x ( ) 0đơn điệu trên D thì với u v D;  ta có: f u( ) f v( )  u v .

Tính chất 4:

i) f x( )đồng biến trên Dthì với u v D;  , ta có f u( )  f v( ) u v

ii) f x( )nghịch biến trên Dthì với u v D;  , ta có f u( )  f v( ) u v

của của đồ thị các hàm số y u x y v x ( );  ( )(Trên D)

Từ tính chất này và định lý: “Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên [ ; ]a b thì hàm

số yf x( ) đạt được giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D”, ta có: “Nếu hàm số

( )

yf x liên tục trên [ ; ]a b thì phương trình f x( ) m có nghiệm khi và chỉ khi

[ ; ] [ ; ]

[ min ( ); m ax ( )]

a b a b

Tính chất 6 Tập nghiệm của bất phương trình u x( ) v x( ) là tập hợp các hoành độ tương ứng với phần đồ thị hàm sốy u x ( ) nằm ở phía trên so với phần đồ thị hàm số y v x ( )

Hệ quả:

i) Nếu tồn tại min ( )D f x thì:

+) bất phương trình f x( ) m được nghiệm đúng  x D min ( )

D f x m

+) bất phương trình f x( ) m có nghiệmx D  min ( )

D f x m

ii) Nếu tồn tại m ax ( )D f x thì:

+) bất phương trình f x( ) m được nghiệm đúng  x D ax ( )

D

m f x m

+) bất phương trình f x( ) m có nghiệm x D  ax ( )

D

m f x m

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Trong những năm gần đây các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi các cấp có nhiều bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mà học sinh đã sử dụng các phương pháp quen thuộc như: Biến đổi tương đương; phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác hóa; phương pháp hình học… nhưng vẫn còn lúng túng, chưa tìm ra được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng chưa đưa ra được kết quả cuối cùng Tuy nhiên nếu học sinh nắm chắc tính đơn điệu của hàm số, có kỹ năng vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình thì các bài toán đó sẽ có được lời gải một cách ngắn gọn, chính xác

Trong phạm vi sáng kiến này, tôi trình bày một phương pháp giải quyết các bài toán dạng đó, khi mà các phương pháp thông thường chưa thể giải được, đó là phương pháp "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số"

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Ở mỗi vấn đề tác giả đưa ra ví dụ, phân tích và trên cơ sở đó sẽ rút ra được phương pháp thực hiện

2.3.1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

a) 4x 1  4x2  1 1 

b) 3x7  5 4  x   3 x3

Nhận định:

- Đối với câu 1, có thể học sinh nghĩ đến việc biến đổi tương đương hoặc sẽ bình phương hai vế của phương trình , tuy nhiên sẽ gặp khó khăn trong các phép biến đổi Câu 2, các phương pháp "truyền thống" không khả thi

- Nếu chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm

số đồng biến (trên một tập nào đó) Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải quyết bài toán đã nảy ra trong đầu Vấn đề còn lại là đoán nghiệm! Công việc này không

khó, nhưng nếu học sinh cứ thử từng số thì sẽ mất thời gian Hãy ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương! Ngày nay, công việc này càng dễ dàng hơn nhờ sự trợ giúp của máy tính cầm tay

Đáp án:

a) Điều kiện [ ;1 )

2

x   Dễ thấy 1

2

x  là một nghiệm của phương trình

Xét hàm số f x( )  4x 1  4x2  1 trên ( ;1 )

2  ,

Ta có '( ) 42 1 42 0, ( ;12 )

4 1

x

Do đó, hàm số f x( ) đồng biến trên ( ;1 )

2 

( ) 4 1 4 1 0;

2

f x  x  x    x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

2

x 

b) 3x7  5 4  x   3 x3 (1)

Điều kiện [ ; )5

4

x   

7 3

(1)  3x x  5 4  x  3

5

4

x  không phải là nghiệm của phương trình

Xét hàm số f x( ) 3  x7 x3  5 4  x trên ( ; )5

4

 

Ta có '( ) 21 6 3 2 2 0, ( ; )5

4

5 4

x

       



Suy ra, hàm số f x( ) đồng biến trên ( ; )5

4

 

Ta có phương trình trở thành: f x( ) f(1)  x 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

a) 2 2 3 x 1 27  x3  27x2  13x 2

5 7 1

Nhận định:

- Ý a có thể giải quyết được bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2

- Ta sẽ giải bài toán trên cũng bằng tư duy như trong Ví dụ 1 nhưng sẽ khó khẳng định được hàm số f x( ) đơn điệu trên tập xác định của nó Để khắc phục khó khăn này, ta sẽ giải các phương trình trên bằng cách xét hàm số đặ trưng của các phương trình đó

Đáp án:

a) Điều kiện: x R

3 2 3

2 2x 1 27  x  27x  13x 2

3

2 2x 1 [(3 )x 3(3 )x 3.(3 ) 1] 4x x 1

3 3

2 2x 1 (3x 1) 4x 1

     

3 3

2x 1 2 2x 1 (3x 1) 2(3x 1) (*)

       

Xét hàm số f t( )  t3 2t Ta có f t'( ) 3  t2   2 0;  t R Từ đó ta có hàm số

( )

f t đồng biến trên R

Phương trình (*) trở thành:

3 2

( 2 1) (3 1) 2 1 3 1 2 1 27 27 9 1

27 27 7 0 (27 27 7) 0 0

            

         

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0

5 7 1

Điều kiện: 7

5

x 

5 7 1

(5 6) 1 1

5 6 1 5

x x

x





  

 



Xét hàm số ( ) 2 1

1

f t t

t

 

 ; t 1 Ta có: 3

1 '( ) 2 0; 1

2 ( 1)

t

    

Vậy, hàm số f t( ) đồng biến trên (1;  )

Phương trình(*) trở thành (5 6) ( ) 5 6 3

2

f x f x  x  x x (Thỏa mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3

2

x 

Một số bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

a) 15  x 3  x 6 b) 3x 5  2x   3 2 12  x

c) 2x2  23 4  x 2  2x2  7 d) x2  15 3  x 2  x2  8

e) x5 x3  1 3  x  4 0 g) 8x3  ( 2x 1) 3  2x  1 2x

3 2

3 log ( ) 3 2

2 4 5

x x

 

  

  i)3x 4x 5x

 

k) 9x 2(x 2).3x 2x 5 0 

2.3.2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình.

Ví dụ 1 Giải các bất phương trình sau:

a) x  5 2x  3 9

b) 3 3 2 5 2 6

2 1

x



c) x2  2x  3 x2  6x 11  3  x x 1

Nhận định:

- Câu a: Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp bình phương hoặc biến đổi tương đương để giải Tuy nhiên, tôi muốn hướng đến việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết, tuy nhiên đoán được một nghiệm của phương trình này mất khá nhiều thời gian (chú ý chọn những số sao cho biểu thức dưới dấu căn là số chính phương)

- Câu b: Có thể đặt ẩn phụ, nhưng biến đổi khá rối Bài toán đơn giản nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số

- Câu c: khá phức tạp và cũng có thể đặt ẩn phụ Song nếu quan sát kỹ thì thấy

có mối quan hệ tương ứng giưa các vế để có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Đáp án:

a) x  5 2x  3 9

Điều kiện: 3

2

x 

2

x  là một nghiệm của bất phương trình

+) Với ( 3; )

2

x   

2

2 5 2 3

          

Suy ra, hàm số f x( ) đồng biến trên ( 3; )

2

 

Bất phương trình trở thành:

3

3 ( ) (11) 2 11

2 11

x

x



 



      

 



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ 3;11)

2

S  

b) 3 3 2 5 2 6

2 1

x



Điều kiện: ( ; ]1 3

2 2

+) 3

2

x  là một nghiệm của bất phương trình

Xét hàm số ( ) 3 3 2 5 2

2 1

x



Ta có '( ) 3 23 5 2 2 0; ( ; )1 32 2

(2 1)

Suy ra hàm số f x( ) nghịch biến trên ( ; )1 3

2 2 Bất phương trình trở thành:

1

3 ( ) (1) 1 3 [1; )

2 ( ; )

2 2

x

x











Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: S=[1; ]3

2 c) x2  2x  3 x2  6x 11  3  x x 1

Điều kiện: 1  x 3,

2 2 3 2 6 11 3 1 ( 1) 2 2 1 (3 ) 2 2 3

x  x  x  x   x x  x   x   x    x

Xét hàm số: f t( )  t4   2 t t;  0 Ta có

3 4

2 '( ) 1 0; 0

2

t

t

    



Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên [0;  )

Bất phương trình đã cho trở thành:

f x  f  x  x   x  x   x x

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S (2;3]

Bài tập vận dụng: Giải các bất phương trình sau:

a) x  9 2x 4 5  b) 2x3  3x2  6x 16  4  x 2 3

c) x  1 3 5x 7  4 7x 5  5 13x 7 8  d) log 2x log ( 3 x 2)

2.3.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình

( ; ) 0 (2)

f u x f v y

g x y











Phương pháp giải chung:

+) Tìm điều kiện của hệ (Ngoài điều kiện để các biểu thức trong hệ phương trình có nghĩa, trong nhiều trường hợp, ta cần căn cứ vào nội tại của các biểu thức trong hệ, ta đánh giá để thu hẹp hơn miền chứa nghiệm của hệ)

+) Với điều kiện trên, ta suy ra u x v y( ); ( ) cùng nhận giá trị trên miền D

+) Chứng minh f t( ) đơn điệu trên D(Cần lưu ý rằng, rất ít khi Bài toán cho trước hàm số f t( ) (Gọi là hàm đặc trưng của hệ phương trình) Do đó phải đi tìm

( )

f t Thông thường, ta tìm f t( ) bằng cách phân li biến số)

+) Từ suy ra u x( ) v y( ) Do đó, ta có hệ mới (Đơn giản hơn): u x g x y( )( ; ) 0v y( )





Ví dụ 1 Giải hệ phương trình:

8 4

5 5 (1)

1 (2)

x y

   





 



Đáp án:

(2)        1 x 1; 1 y 1 Xét hàm số f t( )  t3 5 ;t t  [ 1;1]

Ta có: f t'( ) 3  t2  5 0;   t [-1;1]

Suy ra hàm số f t( )  t3 5t nghịch biến trên [-1;1]

Phương trình (1) trở thành: f x( ) f y( )  xy, thế vào (2) ta có:

1 0

x x    x    x  

Vậy hệ có hai nghiệm: 4 1 5

2

2

x y  

Tuy nhiên, nếu chỉ như thế thì hàm đặc trưng f t( )  t3 5t không phải là hàm đơn điệu do đó để áp dụng phương pháp này, ta phải “thu gọn” miền chứa nghiệm, để trong miền đó, hàm đặc trưng của phương trình thu được là hàm số đơn điệu

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình:

2 2 3 1

2 2 3 1

y

x





     





    



Đáp án:

1 ( 1) 1 3 (1)

2 2 3 1

2 2 3 1 1 ( 1) 1 3 (2)

y y







          



         

Từ (1) và (2) ta có:

2 2 1 1

( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 3 3

( 1) ( 1) 1 3 ( 1) ( 1) 1 3 (3)

y x

 

          

           

1 ( ) 1 3 '( ) 1 3 ln 3 3 ln 3

 

nhận xét:  t t2   1 t2  t t2     1 t 0 f t'( ) 0;  t

Do đó hàm số f t( ) đồng biến trên 

(3) trở thành: f x(  1) f y(  1)  x 1  y 1  xy Thế vào (1) ta có:

1 ( 1) 1 3 (4)x

    

Theo nhận xét trên ta có: x  1 (x 1) 2   1 0 Do đó

(4)  ln(x  1 (x 1)  1) (  x 1) ln 3  ln(x  1 (x 1)  1) (  x 1) ln 3 0(5) 

Lại xét hàm số g x( ) ln(  x  1 (x 1) 2  1) (  x 1) ln 3

2

1 1

'( ) ln 3 ln 3 1 ln 3 0

1 ( 1) 1 ( 1) 1

x x

g x





 

,

Suy ra hàm số g x( )nghịch biến trên 

(5) trở thành: g x( ) g(1)  x  1 y 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 1;y 1

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:

2

2 2

(4 1) ( 3) 5 2 0(1)

4 2 3 4 7(2)

     





   



(Đề thi tuyển sinh vào đại học khối A năm 2010)

Đáp án:

Điều kiện 3; 5

4 2

x y

(4x  1)x (y 3) 5 2  y  0(1)  (4x  1)2x (3  x) 5 2  y

2

(4x 1)2x [(5 2 ) 1] 5 2 (*)y y

Xét hàm số f t( ) t(1 t2 ); f t'( ) 1 3   t2  0;  t R, hàm số đồng biến trên R Phương trình (*) trở thành:

2 2

0 0

4 5 2

2

x x









Thế vào phương trình (2) ta được: 2 5 4 2 2

4 ( ) 2 3 4 7(**)

2

x

+) 3

4

x  không phải là nghiệm của phương trình này

+) Với [0; )3

4

x 

Xét hàm số 2 5 4 2 2

( ) 4 ( ) 2 3 4

2

x

g x  x     x liên tục trên [0; )3

4

D  Ta có:

'( ) 8 4 (5 4 ) 4 (4 3) 0; [0; )

4

Vậy hàm số 2 5 4 2 2

( ) 4 ( ) 2 3 4

2

x

g x  x     x nghịch biến trên [0; )3

4

D 

Phương trình (**) trở thành ( ) ( )1 1 2

g x g  x D y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

1 2 2

x y









 



Ví dụ 4 Giải hệ phương trình:

2 2

3 9 22 3 9

1 2

      





   





(Đề thi tuyển sinh vào đại học khối A năm 2012)

Đáp án:

2 2

3 9 22 3 9

1 2

      





   





( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1) (1)

( ) ( ) 1 (2)

       



 

   





Từ (2) suy ra

      



      

Xét hàm số f t( )  t3 12 ;t t [-1;1] Ta có: f t( ) 3  t2  12 0;   t [-1;1] Suy ra hàm số f t( )nghịch biến trên [-1;1]

(1) trở thành f x(  1) f y(  1)  x    1 y 1 x y 2, thế vào (2) ta có:

( ) ( ) 1 2 4 0



  



         

   

