(SKKN mới NHẤT) sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để nghiên cứu sự bằng nhau của hai tam giác có cùng chu vi, cùng diện tích nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

Xuất phát từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để nghiên cứu sự bằng nhau của hai tam giác có cùng chu vi, cùng diện tích nhằm rèn luyện tư duy

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, ở Việt Nam cũng như trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách

hàng đầu, là động lực của sự phát triển kinh tế - xã hội Với sức mạnh làm gia tăng giá trị con người, mục tiêu cơ bản của giáo dục phải đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không chỉ có kiến thức mà còn giàu năng lực trí tuệ Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt Cùng với đó,

nó đòi hỏi mỗi người phải năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mội mặt khoa học kĩ thuật, đời sống,…

Trong hoàn cảnh đó, việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở các nhà trường phổ thông đối với những người làm công tác giáo dục có một vị trí hết sức quan trọng

Đặc thù của môn Toán là: có hệ thống bài tập đa dạng phong phú, hệ thống kiến thức xuyên suốt trong chương trình giáo dục, tính liên hệ, vận dụng vào thực tế cao,…đây là điều kiện thuận lợi để phát triển tư duy cho người học mà đỉnh cao là tư duy sáng tạo

Trong thực tiễn giảng dạy môn hình học 10 ở trường THPT Như Thanh, sau khi học xong bài “Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác”có một số học sinh đặt ra cho tôi hai vấn đề cần giải quyết

Vấn đề 1: Ta đã biết hai tam giác bằng nhau thì có cùng chu vi và cùng diện tích Vậy ngược lại hai tam giác có cùng chu vi và cùng diện tích thì chúng có bằng nhau hay không?

đề trên liệu còn đúng không khi thay bởi hoặc ?

Hiện tại chưa có tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đề này, chưa có đồng nghiệp nào giải quyết thấu đáo và triệt để

Xuất phát từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để nghiên cứu sự bằng nhau của hai tam giác có cùng chu vi, cùng diện tích nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu quá trình rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo về toán đối với học sinh khá, giỏi bậc THPT

- Xây dựng các định lý về điều kiện đủ để hai tam giác có cùng chu vi và cùng diện tích thì bằng nhau Rút ra một số bất đẳng thức trong tam giác Trên cơ sở

đó góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này sẽ nghiên cứu các vấn đề sau:

- Hai tam giác có cùng chu vi và cùng diện tích nhưng bằng nhau.

Qua việc vận dụng hợp lý các đơn vị kiến thức trong bài 3 chương II (SGK Hình học 10) để giải quyết vấn đề 1 tự nó xuất hiện các yếu tố “gợi vấn đề” Qua việc phối hợp với các kiến thức cơ bản trong Đại số 10 ta suy ra một số bất đẳng thức trong tam giác nhằm cho học sinh hiểu rằng: “Phần lớn các bài toán các em được học, được đọc trong sách tham khảo hay trong đề thi,…

là có căn cứ suy diễn từ các đơn vị kiến thức SGK chứ không phải nó có từ điều

gì đó thật to tát” Từ đó phát triển được tư duy logic, tính tích cực, sáng tạo của người học

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu sách giá khoa Hình học 10 hiện hành và sách tham khảo liên quan đến đề tài

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: dạy học thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau thực nghiệm của lớp thực nghiệm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin và phương pháp thống kê, xử lý số liệu nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

Theo từ điển Tiếng việt: sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không

bị gò bó, phụ thuộc vào những cái đã có (cái mới, cách giải quyết mới phải có ý nghĩa, có giá trị xã hội)

Theo Bách khoa toàn thư Xô-viết (1976) thì “sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới

tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động được đặc trưng bởi tính không lặp lại, tính độc đáo và tính duy nhất

Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối liên

hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị

Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ là sự tự đương đầu với những vấn đề mới, tự tìm tòi độc lập giả quyết vấn đề đó

Những biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo:

- Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức, kĩ nămg, kĩ xảo sang tình huống mới gần hoặc xa, bên trong hoặc bên ngoài hay giữa các hệ thống tri thức

- Nhìn thấy những nội dung mới trong tình huống bình thường, cấu trúc mới của đối tượng quen thuộc

- Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết, tạo thành cái mới

Tính chất của tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo,

Cơ sở của sự sáng tạo: Krutecxki đã chỉ ra mối quan hệ giữa ba dạng tư duy, nói lên điều kiện cần của tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và tư duy tích cực

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Đối với giáo viên:

Trong thực tiễn giảng dạy tại trường THPT Như Thanh đa số giáo viên đã tích cực đổi mới phương pháp dạy học tuy nhiên chưa phát huy hết được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh Nhiều giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu học sinh làm các bài tập được giao trong SGK mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việc phát triển,

mở rộng và tổng quát bài toán Thường trong các tiết bài tập giáo viên chỉ tập trung chữa bài tập một cách thuần tuý chưa thực sự quan tâm để giúp học sinh làm nổi bật lên được mối quan hệ giữa bài tập này với bài tập khác, giữa kiến thức đang học với những kiến thức trước đó; chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự,bài toán tổng quát hoặc đặc biệt hoá để tìm ra các bài toán mới Bản thân tác giả chưa giải quyết ngay được tình huống sư phạm như trong mục 1.1 đã nêu và hiện tại chưa có tài liệu nào giả quyết triệt để vấn đề đó

- Đối với học sinh:

Đa số học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán coi như mình hoàn thành công việc được giao và dưng lại ở đó, ít có em học sinh nào chủ động khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải bài toán khác Vì vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài toán nâng cao học sinh thường có tâm lí sợ và ngại, lúng túng không biết cách chọn lọc và liên kết những kiến thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan Do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải quyết vấn đề, hạn chế đến việc phát triển tư duy của học sinh

Do vậy, việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh nói chung và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông là một yêu cầu cần thiết

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1.Ví dụ mở đầu

Xét các tam giác sau:

+/ vuông tại A và có chu vi ; diện tích

+/ cũng có chu vi và diện tích

Vì có góc lớn nhất Dễ thấy:

không phải là tam giác vuông Rõ ràng, hai tam giác và có chu vi

và diện tích bằng nhau nhưng chúng không bằng nhau, hơn nữa hai tam giác đó lại không cùng loại ( nhọn – vuông )

*/ Như vậy: Hai tam giác có cùng chu vi; cùng diện tích vẫn có thể không bằng nhau

*/ Từ công thức: suy ra nếu hai tam giác có cùng chu vi và cùng diện tích thì có cùng bán kính đường tròn nội tiếp

*/ Xét hai tam giác đã nêu trên:

+ có:

Như vậy hai tam giác trên không thể cùng nội tiếp một đường tròn

Tương tự hai tam giác trên không có cùng độ dài đường cao, trung tuyến, phân giác

2.3.2 Một số điều kiện đủ để hai tam giác có cùng chu vi, cùng diện tích thì bằng nhau

Bài toán 1:

Cho và có cùng chu vi và cùng diện tích Chứng minh rằng

Giải

Không làm mất tính tổng quát ta giả sử Xét , ta có:

Khi đó là nghiệm của phương trình:

Phương trình (1) có

trong đó nên theo bđt Côsi ta có:

Hoàn toàn tương tự trong ta cũng có hoặc

Định lí 1: Nếu hai tam giác có chu vi bằng nhau, diện tích bằng nhau và một

cạnh bằng nhau thì chúng bằng nhau Ta kí hiệu trường hợp bằng nhau này là

Hệ quả: Nếu hai tam giác có chu vi bằng nhau, diện tích bằng nhau và một

đường cao bằng nhau thì chúng bằng nhau

Chứng minh

Ta có: mà Theo định lí 1 ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2:

Cho và có cùng chu vi và cùng diện tích Chứng minh rằng

Giải:

Cách 1: Giả sử và có

Vẽ đường tròn nội tiếp

F

K

O

A

theo tính chất các tiếp tuyến của thì: vuông tại có

mà Thay vào ta được:

Mặt khác: nên

Tương tự, trong ta có: Theo bài ra nên

Áp dụng định lí 1 ta được

Cách 2: Trong , theo định lí Côsin ta có:

Tương tự trong ta cũng có

Vì nên từ và ta có suy ra điều phải chứng minh

Định lí 2: Nếu hai tam giác có chu vi bằng nhau, diện tích bằng nhau và một

góc bằng nhau thì chúng bằng nhau Ta kí hiệu trường hợp bằng nhau này là

Nhận xét 1: Khi giải bài toán 2 bằng cách 2 ta thu được công thức (4) thể hiện

mối liên hệ giữa trong Ta có:

Xét biểu thức

Theo hướng biến đổi thứ nhất: Áp dụng bđt Bunhiacôpsky, ta có:

Mặt khác, áp dụng bđt Côsi, ta có:

Từ (6) và (7) ta có:

Như vậy trong ta luôn có bđt sau:

Dấu “=“xảy ra đều Việc chứng minh (8) bằng cách khác là không dễ

Theo hướng biến đổi thứ hai ta có:

Theo (7) thì

mà theo bđt Bunhiacốpky nên

Theo nên ta có:

Đây là bđt “quen thuộc”trong tam giác mà ta thường gặp trong nhiều tài liệu tham khảo.

Như vậy, nhờ việc khai thác công thức Hêrông kết hợp với định lí Côsin và vận dụng hợp lí các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpsky ta đã “tìm ra một cách tự nhiên”bất đẳng thức (8) và (9) Việc hướng dẫn học sinh cùng tham gia các suy diễn trong phần nhận xét 1 phần nào giúp các em hiểu được quá trình hình thành một bài toán mà học sinh được học, được giải, qua đó bồi dưỡng khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh trong từng đơn vị kiến thức mà các em

đã được học.

Bài toán 3: Cho và có cùng chu vi và cùng diện tích Chứng minh rằng nếu và có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau thì

Giải:

Thay (2), (3) vào (1) và rút gọn ta được:

Tương tự trong ta cũng có:

Từ (4) và (5) và ta có:

Tóm lại: nên theo định lí 1 ta được

Định lí 3: Nếu hai tam giác có chu vi bằng nhau, diện tích bằng nhau và bán

kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau thì chúng bằng nhau Ta kí hiệu trường hợp bằng nhau này là

Bài toán 4: Cho và có cùng chu vi và cùng diện tích Chứng minh rằng nếu và có một trung tuyến bằng nhau thì

Giải:

Xét Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến:

Từ bài toán 1 ta đã có: suy ra

Tương tự trong ta cũng có:

Vì nên từ (1) và (2) ta có:

Theo định lí 1 ta có:

Định lí 4: Nếu hai tam giác có chu vi bằng nhau, diện tích bằng nhau và một trung tuyến bằng nhau thì chúng bằng nhau Ta kí hiệu trường hợp bằng nhau

Nhận xét 2:

Để giải bài toán 4, ta đã khai thác công thức tính độ dài đường trung tuyến của mỗi tam giác theo hướng tính độ dài đó theo và 1 cạnh Sau đó, sử dụng điều kiện của bài toán để suy ra điều phải chứng minh

Mặt khác

Cộng vế với vế (3), (4), (5) ta được:

Quan sát các vế của (6) ta liên tưởng tới bất đẳng thức:

Ta có:

Hơn nữa kết hợp với bất đẳng thức có được trong phần nhận xét 1 ta được bất đẳng thức

Các bất đẳng thức (7), (8), (9) “khá đẹp” Dấu “= “ở các bất đẳng thức trên xảy

ra khi và chỉ khi đều

Kết hợp bất đẳng thức (8) với (ở phần nhận xét 1) ta có sự đánh giá dễ nhớ sau: Như vậy bất đẳng thức (9) không “chặt”bằng bất đẳng thức (8) Vậy có thể làm “chặt”hơn bất đẳng thức (8) được không? Dễ kiểm tra bằng hằng đẳng thức sau:

từ (6) ta suy ra:

+/ Nếu ta có bđt:

Có “= “khi và chỉ khi đều

+/ Nếu ta có bđt:

Có “= “khi và chỉ khi đều

Bài toán 5: Cho và có cùng chu vi và cùng diện tích Chứng minh rằng nếu và có một phân giác bằng nhau thì

Giải:

x y

la

D

A

Trong , tính theo

Theo tính chất phân giác trong của ta có:

Áp dụng định lí Côsin trong ta có:

Trong ta có

Thay (1) và (3) vào (2) và rút gọn ta được:

Tương tự trong ta cũng có:

Vì nên ta có

Rút gọn ta được:

Theo định lí 1 ta có:

Định lí 5: Nếu hai tam giác có chu vi bằng nhau, diện tích bằng nhau và một

phân giác bằng nhau thì chúng bằng nhau Ta kí hiệu trường hợp bằng nhau này

+/ Xét , đường cao được tính bởi nên nếu thì

; tức là ta có mệnh đề đúng sau đây: “Trong mỗi tam giác, đường cao ứng với cạnh lớn hơn thì bé hơn” Nếu ta thay cụm từ “đường cao”bởi cụm từ “trung tuyến”hay “phân giác”thì liệu mệnh đề trên còn đúng hay không?

Ta sẽ khai thác công thức tính độ dài trung tuyến và độ dài phân giác trong

để trả lời câu hỏi trên

Biến đổi tương tự khi giải bài toán 5 ta được:

Vậy:

+/ cân tại C khi và chỉ khi

+/

+/

Mệnh đề nêu trong nhận xét 3 vẫn đúng khi thay cụm từ “đường cao”bởi cụm

từ “trung tuyến”hoặc “phân giác” Việc chứng minh (6) và (7) bằng kiến thức hình học ở cấp 2 là không dễ.

Những điều “nhỏ nhặt”nêu trong nhận xét 3 nếu được khai thác sẽ giúp học sinh nắm vững các “công cụ”mà họ có trong việc học tập, qua đó học sinh có thể xử lý tốt hơn các tình huống “mới”gặp phải khi học và thi cử, không những vậy còn kích thích ham muốn tìm tòi khám phá những kiến thức mới, rèn luyện

tư duy sáng tạo cho học sinh.

2.3.3 Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho ,vẽ phân giác AD Đặt Tính theo

Giải:

1

b c

D

A

Đặt các góc như hình vẽ

Diện tích của là:

Diện tích của là:

Mặt khác,

Ta có thể tính bằng cách khác nhưng phức tạp hơn

+/ Từ công thức (*) ta có:

Công thức (9) rất tiện lợi cho việc tính độ dài phân giác của tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó

Chẳng hạn: vuông tại A thì:

Ví dụ 2:Cho đường tròn cố định , B và C là hai điểm cố định trên đường tròn đó Điểm A thay đổi trên cung lớn BC Xác định vị trí của A để chu vi của

là lớn nhất

Giải:

a

α

Ao

D E

O

C B

A

Đây là bài toán có nhiều trong tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 Để giải bài toán này bằng các kiến thức của cấp THCS ta phải vẽ thêm nhiều đường phụ và sử dụng nhiều đơn vị kiến thức hình học khác nhau còn sử dụng kiến thức của lớp 10 ta giải bài toán này như sau:

Gọi là điểm chính giữa cung nhỏ ; cắt tại điểm thứ hai là thì

là điểm chính giữa cung lớn Ta có là tia phân giác của ;

và ; không đổi nên:

khi và chỉ khi

Cách giải trên khá gọn

Ví dụ 3: Cho có chu vi bằng 3 Tìm GTLN của biểu thức:

Giải:

Từ công thức: nếu ta có bđt:

Dấu “=“xảy ra khi và chỉ khi Vậy

Ví dụ 4: Cho có: Tính các cạnh của tam giác

Giải:

Từ bài toán 1 ta có là nghiệm của phương trình:

Có

vì là cạnh của tam giác nên:

Nhận xét: Trong trường hợp nêu trên thì tất cả các tam giác có cùng chu vi

và cùng diện tích đều bằng nhau

Ví dụ 5: Cho có: có thể là tam giác vuông hay không ?

Giải:

Giả sử vuông tại Từ công thức trong mục II:

Thay số ta có:

Lại có là nghiệm của phương trình:

Thay ta được phương trình:

Ví dụ 6: Xét tất cả các tam giác có

a/ Vẽ khi giá trị một cạnh của tam giác ấy đạt GTLN, GTNN

b/ Trong tập hợp tất cả các tam giác đã cho có bao nhiêu tam giác mà độ dài các cạnh là số tự nhiên?

a/ Vì vai trò của trong là như nhau, ta xét phương trình:

Thay ta có pt:

Vì là cạnh của nên:

+ Với thay vào (**) ta được pt Suy ra

Vẽ tam giác với

4 4

5

H

A