RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TÍCH 12

Đề tài:RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TÍCH 12 MÔN: TOÁN HỌC... Là giáo viên tôiluôn trăn trở,

Đề tài:

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TÍCH 12

MÔN: TOÁN HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 4

Đề tài:

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TÍCH 12

Thuộc môn: Toán học Tên tác giả: Ngô Quang Vân

Tổ bộ môn: Toán – Tin - VP Năm thực hiện: 2021 – 2022

Số điện thoại liên hệ: 0984879679

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

A ĐẶT VẤN ĐỀ 2

B NỘI DUNG 3

I CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

II THỰC TRẠNG 3

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4

1 Định hướng tìm lời giải bài toán tìm số điểm cực trị của các hàm số dạng   y f x với f x( ) là hàm đa thức bậc ba ……… …5

a Các kiến thức cơ bản cần sử dụng 5

b Các định hướng 6

c Các ví dụ áp dụng 10

2 Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số dạng y f u x   khi biết đồ thị hàm số f x  hoặc bảng xét dấu của hàm số f x  11

a Các kiến thức cơ bản cần sử dụng 12

b Định hướng 12

c Các ví dụ áp dụng 12

3 Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm só dạng y f u x    khi biết đồ thị hàm số f x  hoặc bảng xét dấu của hàm số f x  15

a Các kiến thức cơ bản cần sử dụng 15

b Định hướng 16

c Các ví dụ áp dụng 16

4 Định hướng tìm lời giải bài toán tìm tham số m để hàm số f x m ,  có n điểm cực trị 20

a Các định hướng 20

b Các ví dụ áp dụng 20

5 Định hướng tìm lời giải bài toán tìm cực trị của hàm số hợp f u x    .22

a Các kiến thức cơ bản cần sử dụng 22

b Định hướng 23

c Các ví dụ áp dụng 23

6 Bài tập tự luyện 27

Hướng dẫn giải - Bài tập tự luyện 29

C PHẦN KẾT LUẬN 34

D PHỤ LỤC 35

Hướng tiếp tục mở rộng và nghiên cứu đề tài 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Ngày nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách và lâudài là nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Tầm quan trọng đó đặt lên vainhững người làm công tác giáo dục và dạy học nhiều trách nhiệm nặng nề

Trong các khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và nổi bật.Công việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán họccùng những phẩm chất tốt đẹp của con người lao động mới để các em vũng vàngtrở thành những chủ nhân tương lai của đất nước

Ở trường phổ thông dạy học toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ởtrường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đượctrong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng,

kỹ xảo trong ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điềukiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy tổchức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chấtlượng dạy học toán Như vậy việc định hướng tìm lời giải cho học sinh là mộttrong những khâu then chốt, chiến lược trong quá trình dạy học môn toán

Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh học tập môn toán mộtcách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầy giáo, cô giáohay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghị tìm đường lối giải, đặt vấn đề trởlại đối với bài toán đó, lời giải đó Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưatừng tiếp xúc thì việc tìm lời giải cho bài toán đối với nhiều học sinh là rất khókhăn và không tự tìm đường lối giải được Quá trình định hướng tìm đường lối giải

có tính chất quan trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán Quá trình này

là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo – một khả năngkhông thể thiếu đối với một người giải toán

Cực trị trong giải tích đóng một vai trò quan trọng trong chương trình toánhọc phổ thông, đặc biệt là trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia hiện nay Bàitoán cực trị trong giải tích 12 xuất hiện trong đề với tư cách là các câu hỏi nhậnbiết, thông hiểu, đặc biệt là các câu vận dụng và vận dụng cao, các câu hỏi quyếtđịnh và phân loại học sinh Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì cần hơnnữa cho học sinh những định hướng rõ ràng và học sinh chỉ cần tra giả thiết vào là

có ngay đáp án Nhìn chung đa số học sinh đều chưa trang bị được cho mình cácphương pháp đó hoặc có thì cũng chưa được rõ ràng và bài bản Là giáo viên tôiluôn trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh của mình có được các định hướngtrước mỗi bài toán khó để học sinh có thể tìm thấy được những thuật toán, tạo tíchlũy cho bản thân để giải quyết nhanh các bài toán trắc nghiệm trong khoảng thờigian ngắn

Với mong muốn góp phần nhỏ đơn giản hóa việc giải các bài tập trắc nghiệmcực trị vận dụng và vận dụng cao trong giải tích lớp 12, làm phong phú thêm hệthống các phương pháp giải dạng toán này Nhận thức được thực tế đó, tác giảmạnh dạn đề xuất chuyên đề nghiên cứu “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm

lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm này.

B NỘI DỤNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN

Hiện nay, với trình độ lý luận ngày càng cao và sự thay đổi về hình thức thi

do đó hệ thống các bài toán nêu ra cũng bắt buộc phải đổi mới theo hướng này Sựđổi mới đó cũng yêu cầu người học tư duy nhiều hơn, tìm tòi nhiều hơn để “phátan” được lớp bảo vệ và đưa bài toán về đúng bản chất của nó và từ đó có thể giảiđược một cách nhanh gọn Đối với giáo viên phổ thông, vấn đề giúp học sinh cóđược kỹ năng này là rất quan trọng và then chốt, đặc biệt đối với những học sinhkhá và giỏi

Qua nhiều năm giảng dạy; cùng sự tìm tòi, nghiên cứu của bản thân; học hỏicác giáo viên, giảng viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đã đúc kết vấn đề trênthành một chuyên đề được gọi là các định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạtđộng giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12

Tổng quan lý luận về định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giảitoán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12: Dựa vào các cách biến đổi

đồ thị, dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra rút ra các định hướng tổng quát, quy tắctìm cực trị và kết hợp với việc khái quát, tổng quát hóa Từ đó đưa ra được hệthống các bài toán cơ sở, làm định hướng để vận dụng giải các bài toán khác mộtcách nhanh gọn và phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay

Đề tài cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phươngpháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trởthành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán Từnhững kiến thức cơ bản dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao mộtcách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao)

II THỰC TRẠNG

Trong giảng dạy ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt trong dạy ôn thi TNTHPT, các bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12 là một vấn đềkhó tiếp cận với học sinh và giáo viên Cái khó ở đây thể hiện có nhiều phươngpháp giải bài toán cực trị trong giải tích 12 nhưng lại khó vận dụng để áp dụng cụthể cho từng bài toán đó Mỗi bài toán đưa ra đều được che đậy bởi một lớp phủbên ngoài bản chất của bài toán Đồng thời các phương pháp giải bài toán cực trịtrong giải tích 12 không thể sử dụng được trực tiếp (thời gian không cho phép) màphải thông qua các bài toán định hướng Nói cụ thể hơn, dựa vào các cách biến đổi

đồ thị, dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra rút ra các bài toán tổng quát, quy tắc

tìm cực trị và kết hợp với việc khái quát, để đưa ra các định hướng và từ đó tìmđược ngay lời giải phù hợp cho bài toán đặt ra Đây chính là điểm yếu mà học sinh

và giáo viên phổ thông cần có thêm sự hộ trợ để giải quyết các bài toán loại này Việc rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải bài toán trắc nghiệm cực trịtrong giải tích 12 là một vấn đề hết sức khó khăn Nhận thức được thực trạng đó tôi

đã tiến hành làm thực nghiệm ở các lớp của trường THPT Quỳnh Lưu 4, bằng haibài kiểm tra 10 phút trên 10 học sinh của mỗi lớp

Đề kiểm tra số 1 (Thực hiện khi chưa dạy chuyên đề- Mức độ vận dụng)

Đề kiểm tra số 2 (Thực hiện sau khi dạy chuyên đề - Mức độ vận dụng)

Câu 1 (VD) Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  x216 ,x x R Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số yf x 4  8x2m

có đúng 9điểm cực trị?

A 16 B 9 C 15 D 10

Câu 2 (VDC) Cho hàm số y f x 

liên tục và xác định trên  và có đồthị đạo hàm yf x  như hình vẽ Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị

nguyên m  21;21 để hàm số y f x 2 2mx 1

có đúng 7 điểm cực trị Số phần tử của S là:

Trước hết cần phải khẳng định, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiệntrong đề thi minh họa, đề thi thử của các trường và đề thi tốt nghiệp THPT Có một

số câu của dạng toán này có mặt cũng nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi

để tìm kiếm và đào tạo chuyên môn mũi nhọn

Đối với bài toán cực trị trong giải tích 12 có nhiều phương pháp giải nhưngtrong giai đoạn hiện nay, để giải các bài toán bằng các phương pháp này, đòi hỏicác đối tượng học cần đào sâu nghiên cứu, để định hướng và đưa bài toán đa màusắc về một dạng toán cụ thể, từ đó người học có thể giải quyết dễ dàng khi gặpnhững bài toán loại này

Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho các bài toán cực trị trong giảitích 12 là rèn luyện khả năng định hướng đưa bài toán ban đầu về các bài toán màchỉ cần tra giả thiết vào là cho kết quả, tạo khả năng liên kết các bài toán có cùngdạng nhưng đã được phủ bởi một số phép đổi biến

Với hơn hai mươi năm giảng dạy cùng sự học hỏi, rèn luyện, tự nghiên cứu,bản thân tác giả đã đúc kết một số vấn đề có tính liên kết phương pháp giải bàitoán cực trị trong giải tích 12 bằng định hướng sử dụng các phép biến đổi đồ thị,dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra và khái quát hệ thống các bài toán tìm cực trịcủa hàm hợp từ quy tắc tìm cực trị cơ bản Sau đây là năm định hướng cơ bản màtôi đã sử dụng trong quá trình ôn thi cho học sinh và đã đạt được một số kết quảcao trong các kỳ thi THPT quốc gia và tốt nghiệp THPT

1 Định hướng tìm lời giải bài toán tìm số điểm cực trị của các hàm số dạng

 

y  f x

với f x( ) là hàm đa thức bậc ba.

Cái khó của các bài toán tìm số điểm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệtđối, thường liên quan đến việc làm thế nào để “phá vỡ” được dấu giá trị tuyệt đối.Nên định hướng để giải quyết bài toán luôn là một vấn đề khá hấp dẫn Với mụcnày tôi muốn bằng sự kết hợp các cách suy đồ thị quen thuộc và bằng trực quan vẽhình bằng phần mềm GeoGebra xây dựng hệ thống các định hướng tìm lời giảinhằm “phá vỡ” lớp vỏ bọc về giá trị tuyệt đối bên ngoài đưa nó về dạng quenthuộc Từ đó có thể tìm ra kết quả nhanh cho bài toán (Link video về cách suy đồthị trực quan bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra)

https://drive.google.com/file/d/11AijiCfaLcjdMduxQiaaSfRcUjNuTxRj/view?usp=sharing

Vì  x x nên yf x 

là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối xứng Vì vậy ( )H C1C2 với C1 là phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục tung x 0, còn C2 là phần đối xứng của C1 qua trục tung.

Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a b;  và f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất

một điểm ca b;  sao cho f c ( ) 0.

Cho phương trình f x   0 *  Để chứng minh  * có k nghiệm trong a b; , ta

thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Chọn các số a T 1 T2  T k1 chia đoạn b a b;  thành k đoạn

vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 7

- Định hướng [1.3] Đồ thị hàm số đa thức bậc ba yf x( ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, có hai điểm có hoành độ dương và có một điểm cực trị dương thì hàm số y f x 

vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 5

- Định hướng [1.4] Đồ thị hàm số đa thức bậc ba yf x( ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, có một điểm có hoành độ dương và có một điểm cực trị dương thì hàm số y f x 

- Định hướng [1.5] Đồ thị hàm số đa thức bậc ba yf x( ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, có 1 điểm có hoành độ dương và không có điểm cực trị dương thì hàm số y f x 

Suy ra f x   0 có ba nghiệm phân biệt c 1 0;1 , c 2 1;2 và c32;p  1

Suy ra đồ thị hàm số f x  có hai điểm cực trị x1c c1; 2 và x2c c2; 3  2

Lời giải

Dùng máy tính cầm tay ta bấm được phương trình f x   0 có 3 nghiệm phânbiệt, có đúng 1 nghiệm dương và phương trình f x  0 có đúng một nghiệmdương Áp dụng định hướng [1.4] suy ra hàm số y f x 

Ví dụ 4. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số yf x 

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để

hàm số y f x m

có 11 điểm cực trị Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

là trục đối xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số y f ax b m    bằng 2 t  ,1với t là số điểm cực trị lớn hơn

b a

Phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nó vừa là hàm

số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối Do đó khi gặp bài toán cực trị của hàm sốdạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyết được bàitoán trong khoảng thời gian ngắn Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìm cực trịcủa hàm số yf x , kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phần mềm vẽhình GeoGebra Từ đó ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm số này

a Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.

Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số yf x .

Bước 2: Tìm f x  Tìm các điểm f x  bằng 0 hoặc f x  không xác định.

b Định hướng:

Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số yf x , cách suy đồ thị hàm số và phần mềm

GeoGebra ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số y f u x  

bằng tổng số nghiệm bội lẻ của hai

phương trình và các điểm tại đó đạo hàm không xác định (Định hướng [2])

Ví dụ 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên .

Đồ thị của hàm số f x  như hình vẽ bên Biết f  3 0 và

A

1.4

m 

B m 0. C m 0 D

1.4

Ta có bảng biến thiên của hàm số h x  f2 x  f x  m:

Từ bảng biến thiên và định hướng [2] suy ra hàm số

Xét hàm số h x( ) 2 ( ) ( f x  x 1)2, ta

có h x'( ) 2 '( ) 2( f x  x 1)

01'( ) 0

23

x x

h x

x x

có tối đa 5 điểm cực trị.

3 Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số dạng y f u x   

khi biết đồ thị hàm số f x  hoặc bảng xét dấu của hàm số f x 

Trước hết phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nóvừa là hàm số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối Do đó khi gặp bài toán cực trịcủa hàm số dạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyếtđược bài toán trong khoảng thời gian ngắn Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìmcực trị của hàm số yf x , kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phầnmềm vẽ hình GeoGebra Từ đó ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm

số này như sau:

a Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.

Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số yf x .

Bước 2: Tìm f x  Tìm các điểm f x  bằng 0 hoặc f x  không xác định.

b Định hướng:

Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số yf x  và cách suy đồ thị ta có thể khái quátnên quy tắc tìm cực trị của hàm số yf u x   

như sau: (Định hướng [3])

bằng tổng số nghiệm bội lẻ của (1) và

các điểm bội lẻ tại đó đạo hàm không xác định

c Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1. Cho hàm số yf x( ), hàm f x  có bảng xét dấu như sau:

Tìm số giá trị nguyên của m để hàm số g x( ) f e(| x  m|) có 3 cực trị?

y f x như hình vẽ bên Gọi S là tập hợp các giá

trị nguyên thuộc đoạn 10;10 của tham số m để

hàm số y f x 2  x 2  m

có đúng 3 điểm cực

x x x

3 3

3 3

88