(SKKN 2022) rèn luyện kĩ năng tư duy hình học qua việc khai thác một số bài toán về tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường THCS minh lộc

MỤC LỤCPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯ DUY HÌNH HỌC QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS MINH LỘC Ng

MỤC LỤC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯ DUY HÌNH HỌC QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP CHO HỌC

SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS MINH LỘC

Người thực hiện: Lưu Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Minh Lộc SKKN thuộc môn: Toán

HẬU LỘC NĂM 2022

1.1 Lý do chọn đề tài 1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2.Thực trạng vấn đề trức khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 13

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình THCS, Toán học chiếm vai trò rất quan trọng Cùng với

sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật bộ môn Toán cũng có sự đổi mới rõ rệt Đó là giúp hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt chốt và tạo

cơ hội để học sinh trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo dục toán học tạo ra sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác; giữa toán học và đời sống thực tiễn

Hình học là một phần quan trọng của giáo dục toán học, giúp học sinh tiếp thu về kiến thức không gian và phát triển kĩ năng thực tế thiết yếu Trong chương trình lớp 9, nội dung về tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung quan trọng, luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi cuối kì, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi, trường chuyên, và ứng dụng vào thực tiễn phong phú Qua thời gian trực tiếp giảng dạy về nội dung, tôi nhận thấy những khó khăn mà học sinh gặp phải trong quá trình học kiến thức cơ bản dẫn tới khả năng tiếp thu kiến thức mới khó khăn và

có tâm lí ngại môn hình Cụ thể:

+ Học sinh chưa nhận dạng và vận dụng được các dấu hiệu về chứng minh

tứ giác nội tiếp

+ Học sinh chưa sử dụng được các kết quả về tứ giác nội tiếp để chứng minh các yếu tố khác hoặc tính toán

Từ đó, tôi đã trao đổi và nghiên cứu để tìm ra những biện pháp khắc phục, phù hợp giúp cho các em phần nào giảm bớt túng túng trong việc giải các bài toán

liên quan đến tứ giác nội tiếp Do vậy tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng tư duy hình học qua việc khai thác một số bài toán về tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường THCS Minh Lộc”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Với kiến thức sách giáo khoa, các bài tập về chứng minh tứ giác nội tiếp và

áp dụng kiến thức đó vào các bài tập là không khó nhưng đối với học sinh nông thôn vùng biển thì các bài toán trên các em lại gặp khó khăn Do đó, các em cần được tiếp cận kiến thức một cách có hệ thống, làm quen với các bài toán từ dễ đến khó Bên cạnh đó, học sinh biết phân tích tổng hợp và trình bày lời giải bài toán một cách logic, khoa học Đồng thời, rèn luyện khả năng tổng quát hóa, khái quát hóa và tìm các định hướng giải khác nhau cho các bài toán mới Từ đó, các em yêu

và chủ động, tích cực trong môn hình học và vận dụng được vào thực tiễn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu kĩ năng tư duy hình học qua các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp Sau khi đọc đề nắm bắt thông tin, học sinh biết cách sắp xếp các thông tin

và liên kết lại với nhau để tìm ra ý tưởng, phương pháp giải quyết vấn đề

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu và làm sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau đây:

+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo, internet

+ Phương pháp đàm thoại trực tiếp

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục thông qua thực tế dạy học

+ Điều tra, khảo sát thực tế, thống kê, phân tích, so sánh, xử lí số liệu.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Các bài toán hình học về tứ giác nội tiếp rất phong phú và đa dạng Do đó để học sinh tiếp thu và vận dụng được phần kiến thức này đòi hỏi giáo viên phải kiên trì và tìm ra phương pháp và cách thức dạy học phù hợp với đối tượng học sinh

Với đề tài: “Rèn luyện kĩ năng tư duy hình học qua việc khai thác một số bài toán về tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường THCS Minh Lộc”, tôi hi

vọng sẽ giúp học sinh vững vàng hơn trong việc tìm lời giải cho các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp

2.2 Thực trạng của vấn đề.

a Thuận lợi:

+ Được sự quan tâm và chỉ đạo của nhà trường và các cấp, giáo viên luôn được tạo mọi điều kiện để phấn đấu học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp đổi mới trong chuyên môn

+ Giáo viên trẻ năng động chịu khó tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu và chia sẻ kinh nghiệm lẫn nhau

b Khó khăn:

Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:

+ Học sinh ở vùng biển thường có bố mẹ đi làm ăn xa, không quản lí và đốc thúc việc học cho các em được Một số gia đình có hoàn cảnh khó khăn, phụ huynh chưa quan tâm

+ Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh không đồng đều

+ Học sinh phần lớp ngại học hình nên phần kiến thức cơ bản không nắm được, không biết cách trình bầy bài hình một cách logic

c Số liệu thống kê:

Sau khi cho các em làm các bài kiểm tra trắc nghiệm, tự luận và các bài thi liên quan đến tứ giác nội tiếp, tôi đã ghi nhận được như sau:

Lớp

Tổng số

học sinh

Điểm từ TB trở lên Điểm dưới trung bình

Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ

2.3.Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2.3.1 Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.

Để thực hiện tôi đã áp dụng các giải pháp sau:

+ Soạn bài đầy đủ, chi tết phân dạng dạy theo đối tượng Mỗi dạng bài sẽ từ

dễ đến khó dần, các bài sau khó hơn sẽ được phát triển từ bài trước Từ đó học sinh thấy hứng thú với các bài toán hơn

+ Hướng dẫn học sinh cách học các bài toán cơ bản trước Các bài này nằm trong SGK, SBT Từ đó, phát triển các bài toán cơ bản thành các bài toán khó hơn

+ Tổ chức dạy học theo chuyên đề, trong các giờ chính khóa hoặc các giờ phụ đạo tùy thuộc vào đối tượng và khả năng tiếp thu của học sinh đồng thời định hướng, hướng dẫn học sinh tự tìm tòi, nghiên cứu thêm

+ Thực hiện theo phương pháp dạy học đổi mới: Phát triển năng lực toán học chung và riêng

+ Luôn kiểm tra, đánh giá, sửa lỗi, động viên học sinh trong quá trình thực hiện giảng dạy để các em tự tin và yêu thích môn học

2.3.2 Kiến thức cơ bản.

a Khái niệm tứ giác nội tiếp:

+ Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó

b Định lý:

+ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o

+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn

c Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o

+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (có thể xác định được) Điểm đó

là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

d Một số kết quả được suy ra từ tứ giác nội tiếp:

+ Tổng hai góc đối diện bằng 180o

+ Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

+ Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau…

2.3.3 Một số dấu hiệu cơ bản chứng minh tứ giác nội tiếp và sử dụng kết quả để giải các bài toán liên quan.

Sau đây, tôi xin trình bày các ví dụ chứng minh tứ giác nội tiếp và sử dụng kết quả chứng minh vào các bài toán khác Trong các ví dụ, tôi xin được trình bày định hướng tư duy Phần trình bày chứng minh dựa vào sơ đồ nên cho phép tôi không trình bày ở đây

a, Dấu hiệu 1 Trong một tứ giác, nếu tổng của hai góc đối diện bằng 180 O

thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Kiến thức Hình vẽ

Tứ giác ABCD có

  180o

A C  (hoặcB D   180o)

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

*Trường hợp đặc biệt:

D

C B

A

  90o

A C  thì tứ giác ABCD nội tiếp

đườn tròn đường kính BD và tâm của

đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng

BD

*Kết quả: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp

thì tổng hai góc đối bằng 180 o

D

C B

A

Ví dụ 1: Cho tam giác ABM Điểm F là hình chiếu của điểm A trên đoạn

BM Trên đoạn AF lấy điểm C Từ điểm C, kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với AM (D thuộc AB, E thuộc AM) Chứng minh:

a, Tứ giác CDBF, CDAE là các tứ giác nội tiếp được đường tròn

b, EDF FAE FBC  

Hướng dẫn:

Quan sát tứ giác CDAE và tứ giác CDBF ta nhận thấy đặc điểm chung là có 2 góc đối tại đỉnh D và E; D và F đều bằng 90o nên dễ dàng chứng minh

tứ giác nội tiếp

a, ADC AEC 90o(gt) ,CDB CFB    90o(gt)

ADC AEC   90o 90o  180o

CDB CFB    90o 90o  180o

Tứ giác ADCE, BDCF nội tiếp được đường tròn

(Dấu hiệu 1)

b, Để chứng minhEDF FAE FBC   ta nhận thấy EDF EDC CDF   do đó ta tìm mối liên hệ giữa các góc trên Ta có sơ đồ như sau:

Tứ giác ADCE, BDCF nội tiếp được đường tròn

   

EDCA FDC B (Kết quả)

   

2 2

EDC CDF A B

  

2 2

EDF A B hayEDF  FAE FBC 

Ví dụ 2 (Phát triển từ VD1): Từ điểm M ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai

tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C Vẽ CD

1

2

1 2

C

D

E

B

A

vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF Chứng minh:

a, Tứ giác ICKD nội tiếp được đường tròn

b, IK vuông góc với CD

c, CD2 = CE CF

Hướng dẫn: Sử dụng kết quả của ví dụ 1, ta có

  

2 2

EDF A B

Mà theo ĐL tổng ba góc trong CAB

1 1

1 1

180 180

o o

ICK A B

2 2 180o 1 1

IDK ICK A B   A  B

Mà    

1 2 , 2 1

A B A B (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn BC, AC)

IDK ICK 

Tứ giác ICKD nội tiếp được đường tròn.(Dấu hiệu 1)

b, Vận dụng kết quả tứ giác để chứng minh câu b Nhận thấy: CD vuông góc với

AB, nên để IK vuông góc với CD ta đi chứng minh IK//AB Sử dụng kết quả tứ giác nội tiếp ta có sơ đồ sau:

Tứ giác ICKD nội tiếp được đường tròn

CIK CDK   (cùng chắn cung CK)

Mà  

2

CDK B (tứ giác CDBF nội tiếp)  

2

CIK B

Lại có  

2 1

B A (chứng minh trên)  

1

CIKA

Mà hai góc sole trong

IK//AB

Do CDAB

CDIK

c, Để chứng minh CD2 = CE CF ta áp dụng tính chất tỉ lệ thức để suy luận tìm ra

tỉ số bằng nhau Từ đó tìm ra được cặp tam giác đồng dạng cần chứng minh

 

2

CDF B (ví dụ 1)  

1

CFD B (ví dụ 1)

Mà  

2 1

B A (c/m trên) Mà  

1 2

B A (c/m trên)  

1

CDF A (C/m trên)  

2

CFD A (c/m trên)  

1

CED A (Tứ giác DCEA nội tiếp)  

2

CDEA (tứ giác CDAE nội tiếp)

2 1

2 1

E

K

I

O

D

M F

C B

A

CDF CED   CFD CDE  

CDF  CED (g.g)

CD CF

CE CD

CD2 = CE CF

b, Dấu hiệu 2: Trong một tứ giác, nếu góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp dược đường tròn.

Kiến thức Hình vẽ

Tứ giác ABCD cóD  ABx  Tứ giác

ABCD là tứ giác nội tiếp

Chứng minh: Giả sử đã có D ABx 

Mà ABx và ABC là hai góc kề bù

nên ABx ABC   180O

Từ đó suy ra D ABC    180O Khi

đó, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

(theo phương pháp 1) Ta cũng có thể

chứng minh cặp góc khác tương tự

Trường hợp đặc biệt:

Nếu D ABx    90O thì AC cũng chính

là đường kính của đường tròn ngoại

tiếp tứ giác ABCD

Kết quả: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp

thì góc ngoài tại một đỉnh bằng góc

trong tại đỉnh đối diện.

x

D

C B

A

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M là một điểm nằm trong tam

giác Hạ MH vuông góc với BC Gọi P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử P, Q, E, F thẳng hàng Chứng minh:

a, Điểm M là trực tâm của tam giác ABC

b, Tứ giác BEFC nội tiếp được đường tròn

Hướng dẫn:

Dựa vào dấu hiệu 1, ta dễ dàng nhận

ra các tứ giác: BEPH, HPMQ, HQFC,

…là các tứ giác nội tiếp

Để chứng minh điểm M là trực tâm của tam giác, ta chứng minh CK và BI

F M

P

E

I

K

Q

B

A là hai đường cao (vì vai trò của hai

đường cao CK, BI như nhau nên ta có thể chứng minh tương tự)

a, gt: BEH BPH  90o

Tứ giác

Tứ giác BEPH nội tiếp MPHQ nội tiếp (Cùng phụ

với QHC)

BHE BPE BPE MPQ MPQ MHQ MHQ BCK  (cùng chắn BE) (đối đỉnh)

BHE BCK  

mà hai góc đồng vị

CK//EH Chứng minh tương tự mà EHAB

M là trực tâm của ABC

b, HQC HFC   90o(giả thiết)

Tứ giác HQFC nội tiếp dược đường tròn QH//AB

AFE QHC  (Kết quả) QHC  ABH EBC (đồng vị)

AFE EBC 

Tứ giác BEFC nội tiếp được đường tròn.(Dấu hiệu 2)

c, Dấu hiệu 3: Trong một tứ giác, nếu hai đỉnh kề nhau của tứ giác nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại bởi hai góc có số đo bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Kiến thức Hình vẽ

Tứ giác ABCD có ABD  ACD

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Mà AD cố định

 B, C nằm trên cung chứa góc α dựng trên

đoạn AD (xem bài toán quỹ tích cung chứa

góc)

Khi đó kết luận bốn đỉnh của tứ giác

cùng nằm trên một đường tròn Tức là tứ

giác đó nội tiếp được đường tròn

*Trường hợp đặc biệt

Nếu ABD  ACD 90  O thì tứ giác ABCD nội

tiếp đường tròn đường kính AD

Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ

giác ABCD chính là trung điểm I của đoạn

thẳng AD

Kết quả: Trong tứ giác nội tiếp, hai góc có

đỉnh kề nhau cùng nhìn một đoạn thẳng

thì có số đo bằng nhau.

D

C B

A

D

C B

Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB Gọi M là điểm đối xứng của

điểm O qua điểm A Đường thẳng qua M cắt nửa đường tròn tâm O tại C và D (Điểm C nằm giữa M và D) Gọi E là giao điểm của AD và BC, N là trung điểm cảu OA Chứng minh:

a, Tứ giác NEDB nội tiếp được đường tròn

b, ENMB

N E

D C

Hướng dẫn:

Theo dấu hiệu 3, nhận thấy tứ giác ACDB nội tiếp nên EBN CDA  

Để tứ giác NEDB nội tiếp, ta cần có

EBN EDN

Từ đó ta chứng minh EDN CDA  

a, NOD và DOM có:

1

2

NO OD

OD OM  (gt),DOM chung

NOD DOM c g c( )

1

2

DN NO

DM OD 

mà 1

2

AN

AM 

DN AN

DM AM

Tứ giác CDBA nội tiếp

EBN CDA  DA là tia phân giác của góc MDN

(cùng chắnCA)

EDN CDA 

EBN EDN

Tứ giác NEDB nội tiếp được đường tròn (Dấu hiệu 3)

b, Từ kết quả : NEDB là tứ giác nội tiếp

EDB ENB    180o

Mà EDB ADB    90O(góc nội tiếp chắn nửa đường

tròn) ENB  90ohay ENMB

*Từ bài toán trên ta còn chứng minh được AND AEB (g.g) suy ra

AE AD = AN AB

Thật vậy: Xét AND và AEB có:

DAB chung

ADN ABE(góc nội tiếp chắn cung EN) Suy ra AND AEB (g.g)

Suy raAN AD

AE AB hay AE AD = AN AB

Kết quả trên cũng là nội dung của dấu hiệu sau

d Dấu hiệu 4: Trong một tứ giác, tích hai đoạn thẳng từ giao điểm hai cạnh đối (hoặc hai đường chéo) của tứ giác đến hai đỉnh của cạnh này bằng tích của hai đoạn thẳng từ giao điểm đó đến hai đỉnh của cạnh kia thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Kiến thức Hình vẽ

-Trường hợp 1: K là giao điểm hai cạnh

(kéo dài) của tứ giác:

Tứ giác ABCD có

KA KB = KC KD

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

*Chứng minh:

Giả sử AB cắt CD tại K (hình vẽ)

KA KB = KC KD

KD

KA KC KB

Xét hai tam giác KAC và KDB, có:

K là góc chung

KD

KA KC

KB

 (cmt)

Suy ra KAC KDB (c.g.c)

 DB 

K KAC

  (hai góc tương ứng)

Từ đó dựa vào phương pháp 4 ta kết luận

được tứ giác ABCD nội tiếp được đường

tròn

Chú ý: Khi KT là tiếp tuyến thì:

- Trường hợp 2: K là giao điểm hai đường

chéo của tứ giác:

Tứ giác ABCD có

KA KC = KB KD

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Chứng minh: Tứ giác ABCD có

KA KC = KB KD KA KD

KB KC

 

1 2

K K (đối đỉnh)

 KAD KBC (c.g.c)

KAD KBC

  (hai góc tương ứng) Hay

CAD DBC

Ta cũng kết luận được tứ giác ABCD

nội tiếp

Kết quả: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp và K

là giao điểm của AB và CD suy ra:

KA KB = KC KD = KT2

T

D

C

B A

2

1 K